1、第 1 页（共 21 页）人教版九年级下学期27.1 图形的相似同步练习卷一选择题（共 13 小题）1如果实数 x、y 、z 满足关系式 那么 x：y：z（ ）A2：3：1 B5：2：2 C8：1：19 D8：1：12如果 ，那么 k 的值为（ ）A1 B C2 或1 D 或13一种零件的长是 2 毫米，在一幅设计图上的长是 40 厘米，这幅设计图的比例尺是（ ）A200：1 B2000：1 C1：2000 D1：2004已知 a，b，c 为ABC 的三边，且 ，则 k 的值为（ ）A1 B 或1 C2 D1 或25若 a：bc：d，则下列各式成立的是（ ）Aa：dc：b Bb：dc：aC D
2、 （ b+d0）6点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段，如果 AP 是 PB 和 AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）A B C D 7在欧几里得的几何原本中给出一个找线段的黄金分割点的方法如图所示，以线段AB 为边作正方形 ABCD，取 AD 的中点 E，连结 BE，延长 DA 至 F，使得 EFBE，以AF 为边作正方形 AFGH，则点 H 即是线段 AB 的黄金分割点若记正方形 AFGH 的面积为 S1，矩形 BCIH 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是（ ）第 2 页（共 21 页）AS 1S 2 BS 1S 2 CS 1S 2 D不能确定8下列说法
3、：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0，当 a、c 异号时，方程一定有实数根；关于 x 的方程（a2）x 2+x+a240 有一个根是 x0，则 a2；若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 x4 或 1；数 4 和 9 的比例中项是 6；若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB10，则 AC 5 5其中正确的说法的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个9如图，点 O 为正五边形 ABCDE 外接圆的圆心，五边形 ABCDE 的对角线分别相交于点P，Q， R，M，N 若顶角等于 36的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（ ）个黄金三角形A5 B10 C15 D20
4、10如图，矩形 ABCD 中，已知点 M 是线段 AB 的黄金分割点，且AMBM ，ADAM，FBBM ，EF 和 GM 把矩形 ABCD 分成四个小矩形，其面积分别用 S1，S 2，S 3，S 4 表示，EF 与 MG 相交与点 N，则以下结论正确的有（ ）N 是 GM 的黄金分割点 S1S 4 A B C D11如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC，DF 分别与 l1，l 2，l 3 相交于点 A，B，C 和点第 3 页（共 21 页）D，E，F ，若 ，DE 3，则 EF 等于（ ）A6 B8 C9 D1212如图，直线 l1l 2l 3，两条直线 AC 和 DF 与 l1，l 2，
5、l 3 分别相交于点 A、B、C 和点D、E、 F则下列比例式不正确的是（ ）A B C D 13下列两个图形，一定相似的是（ ）A两个等腰三角形 B两个直角三角形C两个等边三角形 D两个矩形二填空题（共 5 小题）14已知 ，则 15已知线段 a4，线段 b9，则 a，b 的比例中项是 16已知四条线段 a，2，6，a+1 成比例，则 a 的值为 17如图，AD 是ABC 的中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F， ，则 18请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分第 4 页（共 21 页）（1）方程 x29x +180 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这
6、个等腰三角形的周长为 （2）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（请填写正确答案的序号） 三解答题（共 6 小题）19已知 a、b、c 是ABC 的三边，且满足 ，且 a+b+c12，请你探索ABC 的形状20解答下列各题：（1）解方程：（x+2） （x +3）2x+16（2）已知 a、b、c 均为非零的实数，且满足 ，求的值21如图，已知ABC 中，ACB 90，CDAB，垂足为点 D，已知AC3，BC4问线段 AD， CD，CD，BD 是不是成比例线段？写出你的理
7、由22如图 1，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 AC AB，则称线段 AB被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段 AB上另有一点 D 把线段 AB 分成两条线段 AD 和 BD，若 BD AB，则称点 D 是线段 AB 的黄金“ 左割”点请根据以上材科回答下列问题（1）如图 2，若 AB8，点 C 和点 D 分别是线段 AB 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则 BC ，DC （2）若数轴上有 M，P，Q，N 四个点，它们分别对应的实数为 m，p，q，n，且mpqn，n3|m| ，点 Q 和点 P 分别是线段 MN 的黄金
8、“右割”点、黄金“左割”第 5 页（共 21 页）点，求 的值23已知：如图，在三角形 ABC 中，FG DEBC，且 BDDF AF；求证：DE+ FGBC24如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 F、E 在边 AC 上，且 DFBE，求： 的值第 6 页（共 21 页）参考答案与试题解析一选择题（共 13 小题）1如果实数 x、y 、z 满足关系式 那么 x：y：z（ ）A2：3：1 B5：2：2 C8：1：19 D8：1：1【分析】将 y 看做已知数，然后解得 x、z 的值，注意是将 x、z 用含 y 的式子表示出来，从而求得 x：y：z 的比【解答】解：2x+3y z 05x
9、2y2z02，得4x+6y2z0x8y0x8y把 x8y 代入方程z19yx：y：z8y ：y：19y8：1：19故选：C【点评】此类题要把其中一个未知数看成字母即已知数，分别表示其它两个未知数，从而达到约分的目的2如果 ，那么 k 的值为（ ）A1 B C2 或1 D 或1【分析】分两种情况讨论a+ b+c0，利用比例的等比性质得出；a+ b+c0，利用分式的性质得出【解答】解：当 a+b+c0 时，根据比例的等比性质得到： k；当 a+b+c0 时，a+ bc，k 1第 7 页（共 21 页）因而 k 的值是 或1故选：D【点评】利用等比性质时，注意运用的条件：各式分母的和不等于 03一种
10、零件的长是 2 毫米，在一幅设计图上的长是 40 厘米，这幅设计图的比例尺是（ ）A200：1 B2000：1 C1：2000 D1：200【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺 ”即可求得这幅设计图的比例尺【解答】解：因为 2 毫米0.2 厘米，则 40 厘米：0.2 厘米200：1；所以这幅设计图的比例尺为 200：1；故选：A【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算4已知 a，b，c 为ABC 的三边，且 ，则 k 的值为（ ）A1 B 或1 C2 D1 或2【分析】依据 ，即可得出 2（a+b+c）2k（a+b+c） ，再根据a、b、c 为ABC 的三边，可得
11、 a+b+c0，进而得到 k1【解答】解：根据题意有：2ak（b+c） ，2bk （a+ c） ，2ck （a+ b） ，2（a+b+c）2k（a+b+ c） ，a、b、c 为ABC 的三边，a+b+c0，k1故选：A【点评】此题主要考查了三角形三边关系及比例的基本性质的综合运用，注意三角形的三边之和大于 05若 a：bc：d，则下列各式成立的是（ ）Aa：dc：b Bb：dc：a第 8 页（共 21 页）C D （ b+d0）【分析】根据比例的性质，两內项之积等于两外项之积，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、a：bc ：d，adbc ，故本选项错误；B、a：bc： d，bc a
12、d ，b：da：c，故本选项错误；C、 +1， 1， ，故本选项错误；D、令 k，则 k ，故本选项正确；故选：D【点评】本题考查了比例性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键6点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段，如果 AP 是 PB 和 AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）A B C D 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（ ）叫做黄金比【解答】解：点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB 两段，AP 是 PB 和 AB 的比例中项，根据线段黄金分割的定义得： 故选：D【点评】考
13、查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键7在欧几里得的几何原本中给出一个找线段的黄金分割点的方法如图所示，以线段AB 为边作正方形 ABCD，取 AD 的中点 E，连结 BE，延长 DA 至 F，使得 EFBE，以AF 为边作正方形 AFGH，则点 H 即是线段 AB 的黄金分割点若记正方形 AFGH 的面积为 S1，矩形 BCIH 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是（ ）第 9 页（共 21 页）AS 1S 2 BS 1S 2 CS 1S 2 D不能确定【分析】设正方形 ABCD 的边长为 2a，根据勾股定理求出 BE，求出 EF，求出
14、AF，再根据面积公式求出 S1、S 2 即可【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，EAB 90，设正方形 ABCD 的边长为 2a，E 为 AD 的中点，AEa，在 Rt EAB 中，由勾股定理得：BE a，EFBE，EF a，AFEFAE aa（ 1）a，即 AFAH （ 1）aS 1AFAH（ 1）a（ 1）a6a 22 a2，S2S 正方形 ABCDS 长方形 ADIH2a2a2a（ 1）a6a 22 a2，即 S1S 2，故选：C【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是 90，正方形的四边都相等8下列说法：关于 x 的一元二
15、次方程 ax2+bx+c0，当 a、c 异号时，方程一定有实数根；关于 x 的方程（a2）x 2+x+a240 有一个根是 x0，则 a2；若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 x4 或 1；数 4 和 9 的比例中项是 6；第 10 页（共 21 页）若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB10，则 AC 5 5其中正确的说法的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】 利用判别式的值即可判断；根据方程的解的定义即可解决问题；根据最简二次根式是定义即可判断；根据比例中项的定义即可解决问题；根据黄金分割的定义即可解决问题；【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+b
16、x+c0，当 a、c 异号时，方程一定有实数根；正确，此时0；关于 x 的方程（a2）x 2+x+a240 有一个根是 x0，则 a2；正确；若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 x4 或 1；错误，x4 不符合题意，不是最简二次根式；数 4 和 9 的比例中项是 6；错误，数 4 和 9 的比例中项是6，若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB10，则 AC 5 5错误，若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB10，则 AC5 5 或 BC5 5故选：C【点评】本题考查黄金分割、最简二次根式、同类二次根式、一元二次方程的根的判别式、方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
17、属于中考常考题型9如图，点 O 为正五边形 ABCDE 外接圆的圆心，五边形 ABCDE 的对角线分别相交于点P，Q， R，M，N 若顶角等于 36的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（ ）个黄金三角形A5 B10 C15 D20【分析】根据正五边形的性质和黄金三角形的定义进行分析第 11 页（共 21 页）【解答】解：根据题意，得图中的黄金三角形有EMR、ARQ 、BQP、CNP、DMN、DER、EAQ 、ABP、 BCN、CDM、DAB、EBC、ECA 、ACD 、BDE，ABR，BQC，CDP，DEN，EAQ，共 20 个故选：D【点评】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义注意
18、：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形10如图，矩形 ABCD 中，已知点 M 是线段 AB 的黄金分割点，且AMBM ，ADAM，FBBM ，EF 和 GM 把矩形 ABCD 分成四个小矩形，其面积分别用 S1，S 2，S 3，S 4 表示，EF 与 MG 相交与点 N，则以下结论正确的有（ ）N 是 GM 的黄金分割点 S1S 4 A B C D【分析】首先证明四边形 AMGD，四边形 BMNF 都是正方形，推出AMAD MGBC，MBBFMNFN ，由点 M 是线段 AB 的黄金分割点，AMBM，推出 AM2BMAB，可得 S1+S3S 3+S4，推出 S1S 4，故正确，推出
19、MN2GNDGNGGM，可得 N 是 GM 的黄金分割点，故正确，因为 ，由 可得 ，故错误；【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，AMAD，BMBF，四边形 AMGD，四边形 BMNF 都是正方形，AMAD MGBC，MBBFMNFN ，点 M 是线段 AB 的黄金分割点，AMBM，AM 2BMAB，S 1+S3S 3+S4，第 12 页（共 21 页）S 1S 4，故正确，MN 2GNDGNGGM，N 是 GM 的黄金分割点，故正确， ， ，故错误，故选：A【点评】本题考查黄金分割、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型11如图，直线 l1l 2l 3，直
20、线 AC，DF 分别与 l1，l 2，l 3 相交于点 A，B，C 和点D，E， F，若 ，DE3，则 EF 等于（ ）A6 B8 C9 D12【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可【解答】解：直线 l1l 2l 3， ， ，即 ，解得：EF9，故选：C第 13 页（共 21 页）【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例12如图，直线 l1l 2l 3，两条直线 AC 和 DF 与 l1，l 2，l 3 分别相交于点 A、B、C 和点D、E、 F则下列比例式不正确的是（ ）A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例即可得到结论【解答】解
21、：l 1l 2l 3， ， ， ， ，故选：D【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键13下列两个图形，一定相似的是（ ）A两个等腰三角形 B两个直角三角形C两个等边三角形 D两个矩形【分析】根据相似三角形的判定方法 一一判断即可；【解答】解：两个等边三角形的内角都是 60，两个等边三角形一定相似，故选：C【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型二填空题（共 5 小题）14已知 ，则 4 【分析】根据等式的性质，可用 y 表示 x，根据等式的性质，可得答案【解答】解：x y第 14 页（共 21 页） 4，故答案为
22、：4【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键15已知线段 a4，线段 b9，则 a，b 的比例中项是 6 【分析】根据已知线段 a4，b9，设线段 x 是 a，b 的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案【解答】解：a4，b9，设线段 x 是 a，b 的比例中项， ，x 2ab4936，x6，x6（舍去） 故答案为：6【点评】此题主要考查比例线段问题，关键是利用两内项之积等于两外项之积解答16已知四条线段 a，2，6，a+1 成比例，则 a 的值为 3 【分析】由四条线段 a，2，6，a+1 成比例，根据成比例线段的定义解答即可【解答】解：四条线段 a，2，
23、6，a+1 成比例， ，解得：a 13，a 24（舍去） ，所以 a3，故答案为：3【点评】此题考查了成比例线段的定义此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义17如图，AD 是ABC 的中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F， ，则 第 15 页（共 21 页）【分析】根据平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理进行解答【解答】解：如图，过点 D 作 DGBE，交 AC 于点 G； ，AD 是ABC 的中线，BDDC， ， ，故答案为： 【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断18请
24、从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分（1）方程 x29x +180 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 15 （2）如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（请填写正确答案的序号） 【分析】 （1）求出方程的解，分为两种情况：当等腰三角形的三边是 3，3，6 时，当等腰三角形的三边是 3，6，6 时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可（2）根据相似多边形的定义逐一进行判断后即可确定正确的选项【解答】解：（1）x 2
25、9x +180，（x3） （x6）0，x30，x60，第 16 页（共 21 页）x 13，x 26，当等腰三角形的三边是 3，3，6 时，3+36，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形，当等腰三角形的三边是 3，6，6 时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6 15，故答案为：15（2）由题意得，中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；，中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以 中矩形不是相似多边形，故答案为：【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理及相似图形，关键
26、是确定三角形的三边的长度及相似图形的定义三解答题（共 6 小题）19已知 a、b、c 是ABC 的三边，且满足 ，且 a+b+c12，请你探索ABC 的形状【分析】令第一个等式等于 k，表示出 a，b，c，代入第二个等式求出 k 的值，即可作出判断【解答】解：设 k，可得 a3k4，b2k 3，c4k8，代入 a+b+c12 得：9k1512，解得：k3，a5，b3，c4，则ABC 为直角三角形【点评】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键20解答下列各题：第 17 页（共 21 页）（1）解方程：（x+2） （x +3）2x+16（2）已知 a、b、c
27、均为非零的实数，且满足 ，求的值【分析】 （1）先展开，再合并同类项，根据因式分解法解方程即可求解 ；（2）根据比例的等比性质解决分式问题注意分两种情况：a+b+c0；a+b+c0 进行讨论本题还可以设参数法解答【解答】解：（1） （x+2） （x+3）2x+16，x2+5x+62x+16，x2+3x100，（x2） （x+5） 0，解得 x12，x 25；（2）若 a+b+c0，由等比定理有 1，所以 a+bcc ，ab+ cb，a+b+ca，于是有 8若 a+b+c0，则 a+bc，b+ca，c+ab，于是有 1【点评】考查了因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将
28、方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解同时考查了等比性质：若 k，则 k， （b+d+n0） 特别注意条件的限制（分母是否为 0） 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解引进一个参数 k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用21如图，已知ABC 中，ACB 90，CDAB，垂足为点 D，已知AC3，BC4问线段 AD， CD，CD，BD 是不是成比例线段？写出你的理由第 18 页（共 21 页）【分析】运用勾股定理求得 AB5，由 SABC ABCD BCAC
29、 求得 CD2.4，再进一步计算可得 AD，BD 的长，根据比例线段的概念即可判断【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4AB5，S ABC ABCD BCAC，CD 2.4，在 Rt ADC 中， AD 1.8，BD3.2，所以 AD：CDCD：BD3：4，所以线段 AD，CD，CD，BD 是成比例线段【点评】本题主要考查比例线段，解题的关键是掌握勾股定理与比例线段的概念22如图 1，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 AC AB，则称线段 AB被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段 AB上另有一点 D 把
30、线段 AB 分成两条线段 AD 和 BD，若 BD AB，则称点 D 是线段 AB 的黄金“ 左割”点请根据以上材科回答下列问题（1）如图 2，若 AB8，点 C 和点 D 分别是线段 AB 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则 BC 124 ， DC 8 16 （2）若数轴上有 M，P，Q，N 四个点，它们分别对应的实数为 m，p，q，n，且mpqn，n3|m| ，点 Q 和点 P 分别是线段 MN 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求 的值【分析】 （1）黄金分割：把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（AC BC） ，且使 AC 是AB 和 BC 的比例中项（即 AB：AC AC ：
31、BC） ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线第 19 页（共 21 页）段 AB 的黄金分割点其中 AC AB，并且线段 AB 的黄金分割点有两个把AB8 代入式子可以 AC 和 BD，用减法可以分别求 BC 和 DC；（2）在数轴上，由于 m 的取值不确定，需要分类讨论；同时根据上述的黄金“右割”点、黄金“左割”点，可以列出： ； ；接着求出 PNnp； MQqm ； MNnm ；最后代入求出 p 和 q 及 的值；【解答】解：（1）点 C 和点 D 分别是线段 AB 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，ACBD AB 84 4，BC8（4 4）12 4 ；DCBDBC（4 4）（12
32、4 ）8 16；故答案为 124 ；8 16；（2）由（1）和题意可知： ； 在数轴上，mpqn， n3|m|PNnp； MQqm； MNnm ；当 m0 时，n3m； 即 3mp 根据被减数差减数：p3m 4m 同理可求 q 的值为当 m0 时，n3m；3mp根据被减数差减数：p3m 同理可求 q3m 的值为 【点评】本题考查了黄金分割、分类讨论的思想；把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC（ACBC） ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项（即 AB：ACAC ：BC） ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点其中 AC AB，并且线段 AB的黄金分割点有
33、两个利用分类讨论的思想，全面考虑不同的 M 值时， 的值第 20 页（共 21 页）23已知：如图，在三角形 ABC 中，FG DEBC，且 BDDF AF；求证：DE+ FGBC【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，由 FGBC 得到 ，由 DEBC 得到 ，即 DE BC，所以 DE+FG BC+ BCBC【解答】证明：FGBC， ，而 BDDF AF， ，即 FG BC，DEBC， ，即 DE BC，DE+ FG BC+ BCBC 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例24如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 F、E 在边 AC 上，且 DFBE，求： 的值【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可第 21 页（共 21 页）【解答】解：DFBE ， ， ， ，DEBC， ， ， ， 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键
