1、第 1 页（共 14 页）26.1 二次函数及其图象同步练习卷一选择题（共 8 小题）1若 y（m+1）x 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为（ ）A2 B1 C2 或 1 D2 或 12已知二次函数 yax 2+4x+c，当 x 等于2 时，函数值是 1；当 x1 时，函数值是5则此二次函数的表达式为（ ）Ay2x 2+4x1 Byx 2+4x2Cy 2x 2+4x+1 Dy2x 2+4x+13二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：a0 ；c0；b 2 4ac0；4a+2b+c0其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D44在同一直角坐标系中，一次函数 yaxb 和
2、二次函数 yax 2b 的大致图象是（ ）A BC D5将二次函数 y2x 24x +1 化为顶点式，正确的是（ ）Ay2（x1） 2+1 By2（x+1） 21Cy 2（x 1） 21 Dy2（x+1） 2+16已知二次函数 y（x 2） 2+c，当 xx 1 时，函数值为 y1；当 xx 2 时，函数值为第 2 页（共 14 页）y2，若|x 12| |x 22|，则 y1，y 2 的大小关系是（ ）Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1y 2 D无法确定7若二次函数 y（k +1）x 22 x+k 的最高点在 x 轴上，则 k 的值为（ ）A1 B2 C1 D28把二次函数 y（2x
3、1） 2+3 的图象，先向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，平移后的二次函数解析式为（ ）Ay2x 2+4 By4x 2+4x+5 Cy4x 24x+5 Dy 4x 2+4x+4二填空题（共 6 小题）9抛物线 y2（x +5） 23 的顶点坐标是 10已知抛物线 y（x 2） 2 的图象上有两点（x 1，y 2）和（x 2，y 2） ，且 x1x 22，则y1 与 y2 的大小关系是 11抛物线 yax 22ax +5 的对称轴是直线 12若函数 y ，则当函数值 y12 时，自变量 x 的值是 13已知抛物线 yx 2+ax+a 的顶点的纵坐标为 ，且当 x1 时，y 随 x 的
4、增大而增大，则 a 的值为 14已知 x2m +n+2 和 xm+2n 时，多项式 x2+4x+6 的值相等，且 mn+20，则当x2（m+ n+1）时，多项式 x2+4x+6 的值等于 三解答题（共 6 小题）15已知抛物线 yax 23ax4a（a0） （1）直接写出该抛物线的对称轴（2）试说明无论 a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标16已知抛物线 yax 2+bx 经过点 A（4，4）和点 B（m ，0） ，且 m0（1）若该抛物线的对称轴经过点 A，如图，直接写出此时 y 的最小值及 m 的值；（2）求出使该抛物线开口向下的 m 的取值范围第 3 页（共 14
5、 页）17已知：二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象的顶点坐标为（2、5）且经过点（1，4） ，试确定 a、b，c 的值18如图，抛物线 yx 2+bx+c 经过点 B（0，3）和点 A（3，0） （1）求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；（2）若点 P 是抛物线落在第一象限，连接 PA，PB，求PAB 的面积 S 的最大值及此时点 P 的坐标19如图，平面直角坐标系中，A（5，0） ，B（2，3） ，连结 OB 和 AB，抛物线yx 2+bx 经过点 A（1）求 b 的值和直线 AB 的解析式；（2）若 P 为抛物线上位于第一象限的一个动点，过 P 作 x 轴的垂线，交折线段 O
6、BA于 Q当点 Q 在线段 AB 上时，求 PQ 的最大值20抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A（4，0）和点 B（0，2） ，且抛物线的对称轴为直线 l，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）连接 AC、BC、BO，求四边形 AOBC 的面积第 4 页（共 14 页）参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1若 y（m+1）x 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为（ ）A2 B1 C2 或 1 D2 或 1【分析】根据 yax 2+bx+c（ a 是不为 0 的常数）是二次函数，可得答案【解答】解：若 y（m +1） x 是关于 x 的二次函数，则 m2+m2 且 m+10 ，解得
7、：m2 或 m1故选：C【点评】本题考查了二次函数，注意二次项的系数不能是 02已知二次函数 yax 2+4x+c，当 x 等于2 时，函数值是 1；当 x1 时，函数值是5则此二次函数的表达式为（ ）Ay2x 2+4x1 Byx 2+4x2Cy 2x 2+4x+1 Dy2x 2+4x+1【分析】把两组对应值代入 yax 2+4x+c 得到关于 a、c 的方程组，然后解方程组即可【解答】解：根据题意得 ，解得 ，所以抛物线解析式为 y2x 2+4x1故选：A【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代
8、入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解3二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：a0 ；c0；b 2 4ac0；4a+2b+c0其中正确的个数是（ ）第 5 页（共 14 页）A1 B2 C3 D4【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：由抛物线开口方向向下
9、知，a0，故正确，由抛物线与 y 轴交于正半轴知，c0，故错误，由抛物线与 x 轴有两个不同的交点知，b 24ac0，故正确，如图所示，根据抛物线的对称性知，当 x2 时，二次函数的值大于 0，把 x2 代入该函数，得：4a+2b+c0，故错误，正确的是 ，共 2 个，故选：B【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数的性质是解题的关键4在同一直角坐标系中，一次函数 yaxb 和二次函数 yax 2b 的大致图象是（ ）A BC D【分析】可先根据一次函数的图象判断 a、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误【解答】解：A、由一次函数 yax b 的图象可得：
10、a0，b0，此时二次函数yax 2b 的图象应该开口向下，顶点的纵坐标b 大于零，故 A 正确；B、由一次函数 yax b 的图象可得： a0，b0，此时二次函数 yax 2b 的图象应该开口向上，顶点的纵坐标b 大于零，故 B 错误；C、由一次函数 yaxb 的图象可得：a0，b0，此时二次函数 yax 2+b 的图象应该开口向上，故 C 错误；第 6 页（共 14 页）D、由一次函数 yaxb 的图象可得：a0，b0，此时抛物线 yax 2b 的顶点的纵坐标大于零，故 D 错误；故选：A【点评】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数 ykx +b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二
11、次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等5将二次函数 y2x 24x +1 化为顶点式，正确的是（ ）Ay2（x1） 2+1 By2（x+1） 21Cy 2（x 1） 21 Dy2（x+1） 2+1【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案【解答】解：y2x 24x +12（x 22x）+12（x 22x+11）+12（x1） 22+12（x1） 21，故选：C【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用完全平方公式是解题关键6已知二次函数 y（x 2） 2+c，当 xx 1 时，函数值为 y1；当 xx 2 时，函数值为y2，若|x 12| |x22|，则 y1，y 2 的大小
12、关系是（ ）Ay 1y 2 By 1y 2 Cy 1y 2 D无法确定【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性即可确定出y1 与 y2 的大小关系【解答】解：y（x 2） 2+c，二次函数图象开口向下，对称轴为直线 x2，|x 12|x 22|，y 1y 2故选：A【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据解析式确定开口方向和对称轴7若二次函数 y（k +1）x 22 x+k 的最高点在 x 轴上，则 k 的值为（ ）A1 B2 C1 D2第 7 页（共 14 页）【分析】直接利用二次函数的性质得出b 24ac0，进而得出答案
13、【解答】解：二次函数 y（k+1）x 22 x+k 的最高点在 x 轴上，b 24ac0，即 84k（k +1）0，解得：k 11，k 22，当 k1 时，k+10，此时图象有最低点，不合题意舍去，则 k 的值为：2故选：D【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题关键8把二次函数 y（2x 1） 2+3 的图象，先向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，平移后的二次函数解析式为（ ）Ay2x 2+4 By4x 2+4x+5 Cy4x 24x+5 Dy 4x 2+4x+4【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案【解答】解：y（2x 1） 2+34（x
14、 ） 21，把二次函数 y（2x 1） 2+3 的图象向左平移 1 个单位，其解析式为y4（x +1） 2+3，再 y4（x +1） 2+3 图象向上平移 1 个单位，其解析式为 y4（x +1） 2+3+1，即 y4x 2+4x+5，故选：B【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键二填空题（共 6 小题）9抛物线 y2（x +5） 23 的顶点坐标是 （5，3） 【分析】由于抛物线 ya（xh） 2+k 的顶点坐标为（h， k） ，由此即可求解【解答】抛物线 ya（x h） 2+k 为（h，k） ，抛物线 y2（x +5） 23 的顶点坐标是（
15、5，3）故答案为（5，3） 【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式的意义是解题的关键第 8 页（共 14 页）10已知抛物线 y（x 2） 2 的图象上有两点（x 1，y 2）和（x 2，y 2） ，且 x1x 22，则y1 与 y2 的大小关系是 y 1y 2 【分析】已知抛物线 y（x2） 2 的解析式可知对称轴为 x2，利用二次函数的增减性可知答案【解答】解：抛物线 y（x2） 2 的对称轴为 x2 ，又10，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，x 1x 22，y 1y 2故答案是：y 1y 2【点评】本题运用了二次函数的增减性的性质，熟练应用二次函数的性质
16、是解决本题的关键11抛物线 yax 22ax +5 的对称轴是直线 x1 【分析】直接利用二次函数对称轴公式计算得出答案【解答】解：抛物线 yax 22ax +5 的对称轴是直线：x 1故答案为：x1【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆对称轴公式是解题关键12若函数 y ，则当函数值 y12 时，自变量 x 的值是 2.4 或 【分析】根据分段函数的解析式即可得出结论【解答】解：当 x2 时，则 2x2+212，解得 x ，此时 x ；当 x2 时，则 5x12，解得 x2.4；综上，x 的值为 2.4 或 故答案为 2.4 或 【点评】本题考查 二次函数的性质，根据分段函数进行分段
17、求解是解题的关键13已知抛物线 yx 2+ax+a 的顶点的纵坐标为 ，且当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的值为 3 第 9 页（共 14 页）【分析】把解析式化成顶点式，即可得到 +a ，解得 a1 或 3，又根据 1，则 a2，即可求得 a3【解答】解：yx 2+ax+a（x + ） 2 +a，抛物线的顶点为（ ， +a） ， +a ，解得 a1 或 3，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 1，则 a2，a3，故答案为 3【点评】本题考查了二次函数的性质，把抛物线的解析式化成顶点式，得到关于 a 的方程和不等式是解题的关键14已知 x2m +n+2 和 xm+2n 时
18、，多项式 x2+4x+6 的值相等，且 mn+20，则当x2（m+ n+1）时，多项式 x2+4x+6 的值等于 2 【分析】将 x2m +n+2 和 x m+2n 代入多项式 x2+4x+6，由值相等得到 mn+20 或m+n+2 0，mn+20，m +n+20，求出 x2（m+n+1 ）2，即可求解；【解答】解：x2m +n+2 和 xm +2n 时，多项式 x2+4x+6 的值相等，（2m+n+2 ） 2+4（2m+n+2 ）+6（m+2n） 2+4（m +2n）+6，（2m+n+4 ） 2（m+2n+2） 2，2m+ n+4m+2n+2 或 2m+n+4（m +2n+2） ，mn+20
19、 或 m+n+20，mn+20，m+ n+20，当 x2（m+n+1）时，x 2，x 2+4x+62；故答案为 2【点评】本题考查整式的运算，整体代入思想；能够将多项式整体代入多项式中，进行正确的化简是解题的关键第 10 页（共 14 页）三解答题（共 6 小题）15已知抛物线 yax 23ax4a（a0） （1）直接写出该抛物线的对称轴（2）试说明无论 a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标【分析】 （1）直接利用抛物线对称轴方程求得对称轴即可；（2）化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；【解答】解：（1）抛物线的对称轴方程为 x ；（2）yax 23a
20、x 4aa（ x+1） （x4） ，当（x+1） （x 4）0，即 x 1 或 4 时 y0，抛物线一定经过（1，0） ， （4，0） ；【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键时了解抛物线的对称轴方程，难度不大16已知抛物线 yax 2+bx 经过点 A（4，4）和点 B（m ，0） ，且 m0（1）若该抛物线的对称轴经过点 A，如图，直接写出此时 y 的最小值及 m 的值；（2）求出使该抛物线开口向下的 m 的取值范围【分析】 （1）直接利用二次函数图象得出其最值以及 m 的值；（2）利用函数图象结合抛物线 yax 2+bx 经过点 A（4 、4） ，即可得出 m 的取值范围【解答】解：（
21、1）根据题意得：A 是抛物线的顶点，此时 y 的最小值4，对称轴是直线 x4，m8（2）使抛物线开口向下的 m 的取值范围为：m 4【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及待定系数法求出二次函数解析式，正确利用数形结合分析是解题关键第 11 页（共 14 页）17已知：二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象的顶点坐标为（2、5）且经过点（1，4） ，试确定 a、b，c 的值【分析】设二次函数的解析式为 ya（x+2） 2+5，然后把 （1，4 ）代入解得 a 的值即可得到二次函数的解析式，最后确定 a，b，c 的值【解答】解：设二次函数的解析式为 ya（x+2） 2+5，把 （1，4 ）
22、代入解析式得，4a（1+2） 2+5，解得 a1，二次函数的解析式为 y（x+2） 2+5x 24x +1，所以 a1，b4，c1【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式：ya（xk） 2+h，其中a0，顶点坐标为（k，h） 18如图，抛物线 yx 2+bx+c 经过点 B（0，3）和点 A（3，0） （1）求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式；（2）若点 P 是抛物线落在第一象限，连接 PA，PB，求PAB 的面积 S 的最大值及此时点 P 的坐标【分析】 （1）由 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求得函数解析式；（2）过 P 点作 PNOA 于 N，交直线 B 于 M，设点
23、P 横坐标为 a，则可分别表示出P、M 的纵坐标，从而表示出 PM 的长，根据 SPAB S PAM+SPBM 得到S PMOA （a ） 2+ ，利用二次函数的性质可求得其最大值，及此时的点 P 的坐标【解答】解：（1）抛物线 yx 2+bx+c 经过点 B（0，3）和点 A（3，0） ， ，解得 ，抛物线的函数表达式是 yx 2+2x+3；设直线 AB：ykx+ m，第 12 页（共 14 页）根据题意得 ，解得 ，直线 AB 的函数表达式是 yx +3；（2）如图，过 P 点作 PNOA 于 N，交直线 B 于 M，设点 P 横坐标为 a，则点 P 的坐标为（a，a 2+2a+3） ，点
24、 M 的坐标是（a，a+3） ，又点 P，M 在第一象限，PMa 2+2a+3（a+3）a 2+3a，S PAB S PAM +SPBM PMOA （a 2+3a）3 （a ） 2+ ，当 a 时，S PAB 有最大值，最大值为 ，此时点 P 坐标为（ ， ） 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用待定系数法求得两函数解析式是解题的关键19如图，平面直角坐标系中，A（5，0） ，B（2，3） ，连结 OB 和 AB，抛物线yx 2+bx 经过点 A（1）求 b 的值和直线 AB 的解析式；（2）若 P 为抛物线上位于第一象限的一个动点，过 P 作 x 轴的垂线，交折线段 OBA于 Q当
25、点 Q 在线段 AB 上时，求 PQ 的最大值【分析】 （1）把 A（5，0）代入抛物线抛物线 yx 2+bx 中，即可解出可得 b 的值，然后设直线 AB 的解析式为 ykx+n，可把 A（5，0） ，B（2 ，3）代入利用待定系数法即可求得直线 AB 的解析式；（2）设点 P 的坐标，并表示点 Q 的坐标，根据铅直高度表示 PQ 的长，并配方可得 PQ第 13 页（共 14 页）的最大值【解答】解：（1）把 A（5，0）代入抛物线 yx 2+bx 中得：5 2+5b0，解得 b5，设直线 AB 的解析式为 ykx+n，把 A（5，0） ，B（2，3）代入得： ，解得 ，直线 AB 的解析式
26、为 yx +5；（2）设 P（m，m 2+5m） ，则 Q（m，m +5） ，PQm 2+6m5（2m5） ，由 PQm 2+6m5（m3） 2+4 可知，当 m3 时，PQ 有最大值为 4【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及相似三角形的判定和性质、一次函数的解析式解题的关键是表示线段的长度20抛物线 yx 2+bx+c 经过点 A（4，0）和点 B（0，2） ，且抛物线的对称轴为直线 l，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）连接 AC、BC、BO，求四边形 AOBC 的面积【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用割补法求四边形 OABC 的面积【解答】解析 （1）抛物线 yx 2+bx+c 经过 A（4，0） 、B（0，2） ， 解得第 14 页（共 14 页）抛物线的解析式为 yx 2+ x+2（2）C 点是抛物线的顶点，C 点为 ，S 四边形 AOBCS BOC +SAOC 4 故（1）的解析式为：yx 2+ x+2， （2）四边形 AOBC 的面积为【点评】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积解答时注意数形结合
