2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷(含答案解析)

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资源描述

1、2019年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 (4 分)若复数 z 满足 iz 1+2i,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为     2 (4 分)已知全集 UR,集合 A y|yx 2 ,x R,x0,则 UA     3 (4 分)若实数 x,y 满足 xy1,则 2x2+y2 的最小值为     4 (4 分)若数列a n的通项公式为 an (n N*) ,则 an   &n

2、bsp; 5 (4 分)已知双曲线 1(a0,b0)的一条渐近线方程是 y2x,它的一个焦点与抛物线 y220x 的焦点相同,则此双曲线的方程是     6 (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线经过坐标原点, (3,1)是 l 的一个法向量已知数列a n满足:对任意的正整数 n,点(a n+1,a n)均在 l 上,若 a26,则 a3的值为     7 (5 分)已知(2x 2 ) n(nN*)的展开式中各项的二项式系数之和为 128,则其展开式中含 项的系数是     (结果用数值表示)8 (5 分)上海市普通高中学业水平

3、等级考成绩共分为五等十一级,各等级换算成分数如表所示:等级 A+ A B+ B B C+ C C D+ D E分数 70 67 64 61 58 55 52 49 46 43 40上海某高中 2018 届高三(1)班选考物理学业水平等级考的学生中,有 5 人取得 A+成绩,其他人的成绩至少是 B 级及以上,平均分是 64 分,这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为     人9 (5 分)已知函数 f(x )是以 2 为周期的偶函数,当 0x1 时,f(x)lg(x+1) ,令函数 g(x ) f(x ) (x 1,2) ,则 g(x)的反函数为   &nbs

4、p;   10 (5 分)已知函数 ysinx 的定义域是 a,b,值域是 1, ,则 ba 的最大值是     第 2 页(共 20 页)11 (5 分)已知 R,函数 f(x) ,若函数 f(x)恰有 2 个零点,则 的取值范围是     12 (5 分)已知圆 M:x 2+( y1) 21,圆 N:x 2+(y +1) 21直线 l1、l 2 分别过圆心M、N ,且 11 与圆 M 相交于 A,B 两点,1 2 与圆 N 相交于 C,D 两点,点 P 是椭圆1 上任意一点,则 + 的最小值为     二、选择题(本大题

5、共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13 (5 分)设 R,则“ ”是“sin ”的(  )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件14 (5 分)魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖” ,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 :4若正方体的棱长为 2,则“牟合方盖”的体积为(  )A16 B16 C D15 (5 分)对于函数 yf(x) ,如果其图象上的任意一点

6、都在平面区域(x,y )| (y+x)(yx )0内,则称函数 f(x)为“蝶型函数” ,已知函数: ysinx;y,下列结论正确的是(  )A、 均不是“蝶型函数”B、 均是 “蝶型函数”C是“蝶型函数” ;不是 “蝶型函数”D不是 “蝶型函数”:是“蝶型函数”16 (5 分)已知数列a n是公差不为 0 的等差数列,前 n 项和为 Sn,若对任意的 nN*,都有 SnS 3,则 的值不可能为(  )A2 B C D第 3 页(共 20 页)三、解答题.17 (14 分)如图,已知正方体 ABCDABC D的棱长为 1(1)正方体 ABCDAB C D'中哪些棱所

7、在的直线与直线 AB 是异面直线?(2)若 M,N 分别是 A'B,BC的中点,求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小18 (14 分)已知函数 f(x ) ,其中 aR(1)解关于 x 的不等式 f(x)1;(2)求 a 的取值范围,使 f( x)在区间(0,+)上是单调减函数19 (14 分)我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧 AB,对应的圆心角 AOB ,该地区为打击洋垃圾走私,在海岸线外侧 20 海里内的海域 ABCD 对不明船只进行识别查证(如图:其中海域与陆地近似看作在同一平面内)在圆弧的两端点 A,B 分别建有监测站,A 与 B 之间的

8、直线距离为 100 海里(1)求海域 ABCD 的面积;(2)现海上 P 点处有一艘不明船只,在 A 点测得其距 A 点 40 海里,在 B 点测得其距B 点 20 海里判断这艘不明船只是否进入了海域 ABCD?请说明理由20 (16 分)已知椭圆 : 1(ab0)的长轴长为 2 ,右顶点到左焦点的第 4 页(共 20 页)距离为 +1,直线 l:y kx+m 与椭圆 交于 A,B 两点(1)求椭圆 的方程;(2)若 A 为椭圆的上项点,M 为 AB 中点,O 为坐标原点,连接 OM 并延长交椭圆 于 N, ,求 k 的值(3)若原点 O 到直线 l 的距离为 1, ,当 时,求OAB 的面积

9、S 的范围21 (18 分)已知项数为 n0(n 04)项的有穷数列a n,若同时满足以下三个条件:a1 1,a m(m 为正整数) ; aia i1 0 或 1,其中 i2,3,n 0;任取数列 an中的两项 ap,a q(pq) ,剩下的 n02 项中一定存在两项as, at(s t) ,满足 ap+aqa s+at,则称数列 an为 数列(1)若数列a n是首项为 1,公差为 1,项数为 6 项的等差数列,判断数列 an是否是数列,并说明理由(2)当 m3 时,设 数列 an中 1 出现 d1 次,2 出现 d2 次,3 出现 d3 次,其中d1,d 2,d 3N*求证:d 14,d 2

10、2,d 34;(3)当 m2019 时,求 数列 an中项数 n0 的最小值第 5 页(共 20 页)2019 年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 (4 分)若复数 z 满足 iz 1+2i,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为 2 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:由 iz1+2i,得 z ,z 的实部为 2故答案为:2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题2 (

11、4 分)已知全集 UR,集合 A y|yx 2 ,x R,x0,则 UA (,0 【分析】可解出集合 A,然后进行补集的运算即可【解答】解:A(0,+) ; UA(,0故答案为:(,0【点评】考查描述法、区间表示集合的定义,以及补集的运算3 (4 分)若实数 x,y 满足 xy1,则 2x2+y2 的最小值为 2   【分析】根据基本不等式可得【解答】解:xy1,2x 2+y22 2 , (当且仅当 2xy 时,取等) ,故答案为:2 【点评】本题考查了基本不等式及其应用属基础题4 (4 分)若数列a n的通项公式为 an (n N*) ,则 an 1 【分析】利用行列式求出数列的通

12、项公式,然后利用数列的极限求解即可【解答】解:数列a n的通项公式为 an ,第 6 页(共 20 页)则 an ( )1故答案为:1【点评】本题考查数列的极限的求法,通项公式的求法,考查计算能力5 (4 分)已知双曲线 1(a0,b0)的一条渐近线方程是 y2x,它的一个焦点与抛物线 y220x 的焦点相同,则此双曲线的方程是    【分析】求得抛物线的焦点,可得双曲线的焦点位置,求出渐近线方程,可得双曲线的a,b,解方程即可得到所求双曲线的方程【解答】解:抛物线 y220x 的焦点为(5,0) ,则双曲线的焦点在 x 轴上,双曲线 的一条渐近线为 y2x,可得 b2a,

13、由题意双曲线 的一个焦点与抛物线 y220x 的焦点相同,可得 5,解得 a ,b2 ,则双曲线的方程为: 故答案为: 【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点坐标,以及抛物线的焦点,考查运算能力,属于基础题6 (4 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线经过坐标原点, (3,1)是 l 的一个法向量已知数列a n满足:对任意的正整数 n,点(a n+1,a n)均在 l 上,若 a26,则 a3的值为 2 【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程,求得 an+1 an,则数列a n为公比 q 为 的等比数列,运用等比数列的通项公式可得所求值第 7 页(共 20 页)【解答】解:直线经过

14、坐标原点, (3,1)是 l 的一个法向量,可得直线 l 的斜率为3,即有直线 l 的方程为 y3x,点(a n+1,a n)均在 l 上,可得 an3a n+1,即有 an+1 an,则数列a n为公比 q 为 的等比数列,可得 a3a 2q6( )2故答案为:2【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查直线方程的求法,考查运算能力,属于基础题7 (5 分)已知(2x 2 ) n(nN*)的展开式中各项的二项式系数之和为 128,则其展开式中含 项的系数是 84 (结果用数值表示)【分析】由已知求得 n,写出二项展开式的通项,由 x 的指数为1 求得 r,则答案可求【解答】解:

15、由题意,2 n128,得 n7(2x 2 ) n(2x 2 ) 7,其二项展开式的通项 由 143r1,得 r5展开式中含 项的系数是 故答案为:84【点评】本题考查二项式定理,关键是熟记二项展开式的通项,是基础题8 (5 分)上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级,各等级换算成分数如表所示:等级 A+ A B+ B B C+ C C D+ D E分数 70 67 64 61 58 55 52 49 46 43 40上海某高中 2018 届高三(1)班选考物理学业水平等级考的学生中,有 5 人取得 A+成绩,其他人的成绩至少是 B 级及以上,平均分是 64 分,这个班级选考物理学业水

16、平等第 8 页(共 20 页)级考的人数至少为 15 人【分析】可设取得 A 成绩的 x 人,取得 B+成绩的 y 人,取得 B 成绩的 z 人,由题意可得:705+67x+64y+61z64(5+x+y+z) ,解得:zx10,又 x,y,zN,故当且仅当 x0,y0,z10 时,5+x+y+z 取得最小值 15,故得解【解答】解:设取得 A 成绩的 x 人,取得 B+成绩的 y 人,取得 B 成绩的 z 人,则 705+67x+64y+61z64(5+x+y+z) ,即 zx 10,又 x,y,z N,即当且仅当 x0,y 0,z10 时,5+x+y+z 取得最小值 15,取得 A 成绩的

17、 0 人,取得 B+成绩的 0 人,取得 B 成绩的 10 人,这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为 15 人,故答案为:15【点评】本题考查了实际问题通过数学问题解决,考查了阅读理解及数学建模的能力,属中档题9 (5 分)已知函数 f(x )是以 2 为周期的偶函数,当 0x1 时,f(x)lg(x+1) ,令函数 g(x ) f(x ) (x 1,2) ,则 g(x)的反函数为   g1 (x)310 x(0 xlg2) 【分析】先根据偶函数性质求出 x1,0上的解析式,再根据周期为 2 求出 x1,2上的解析式,最后求出反函数【解答】解:当1x0 时,0x1,f (x)f

18、 (x)lg(x+1) ,当 1x2 时,1x 20,f (x)f (x2)lg(x2)+1lg(x+3) g(x)lg( x+3) (1x2) ,x+310 g(x) ,x310 g(x) ,故答案为:g 1 (x)310 x, (0xlg2)【点评】本题考查了反函数,属基础题10 (5 分)已知函数 ysinx 的定义域是 a,b,值域是 1, ,则 ba 的最大值是 【分析】根据函数 ysinx,令 a ,要使 ba 的最大值,结合三角函数第 9 页(共 20 页)的图象可得 b ,可得答案;【解答】解:函数 ysinx,令 a ,要使 ba 的最大值,可知 b 的最大值为:b ,ba

19、的最大值为 ;故答案为:【点评】本题考查了正弦函数的图象及性质的应用,属于基础题11 (5 分)已知 R,函数 f(x) ,若函数 f(x)恰有 2 个零点,则 的取值范围是 (1,3(4,+) 【分析】根据题意,在同一个坐标系中作出函数 yx4 和 yx 24x +3 的图象,结合图象分析可得答案【解答】解:根据题意,在同一个坐标系中作出函数 yx4 和 yx 24x +3 的图象,如图:若函数 f(x)恰有 2 个零点,即函数 f(x)图象与 x 轴有且仅有 2 个交点,则 13 或 4,即 的取值范围是:(1,3(4,+)故答案为:(1,3(4,+) 【点评】本题考查分段函数的图象和函数

20、的零点,考查数形结合思想的运用,考查发现问题解决问题的能力第 10 页(共 20 页)12 (5 分)已知圆 M:x 2+( y1) 21,圆 N:x 2+(y +1) 21直线 l1、l 2 分别过圆心M、N ,且 11 与圆 M 相交于 A,B 两点,1 2 与圆 N 相交于 C,D 两点,点 P 是椭圆1 上任意一点,则 + 的最小值为 8 【分析】由题意可知, , 1,结合 P 为椭圆上的点,可用 P 的坐标表示,然后结合椭圆的性质即可求解【解答】解:由题意可得,M(0,1) ,N(0,1) ,r Mr N1,( )( ) ,( ) 1,P 为椭圆 上的点, + 22(x 2+y2)由

21、题意可知,3x3,8 ,故答案为:8【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及基本不等式的应用,属于知识的简单综合应用二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13 (5 分)设 R,则“ ”是“sin ”的(  )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件【分析】由 ,通过运算有 sin ,即“ ”是“sin ”的充分条件,由 sin ,通过解三角方程有:k +(1) k ,即 “ ”是“sin ”的不必要条件,故可得解第 11 页(共 20 页)【解答】

22、解:由 ,则有 sin ,即“ ”是“sin ”的充分条件,由 sin ,得: k+( 1) k ,即“ ”是 “sin ”的不必要条件,即“ ”是 “sin ”的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件,考查了解三角方程,属简单题14 (5 分)魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖” ,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 :4若正方体的棱长为 2,则“牟合方盖”的体积为(  )A16 B16 C D【分析】由已知求出正方体内切球的体积,再由已知体积比求得“牟

23、合方盖”的体积【解答】解:正方体的棱长为 2,则其内切球的半径 r1,正方体的内切球的体积 ,又由已知 , 故选:C【点评】本题考查球的体积的求法,理解题意是关键,是基础题15 (5 分)对于函数 yf(x) ,如果其图象上的任意一点都在平面区域(x,y )| (y+x)(yx )0内,则称函数 f(x)为“蝶型函数” ,已知函数: ysinx;y,下列结论正确的是(  )A、 均不是“蝶型函数”B、 均是 “蝶型函数”C是“蝶型函数” ;不是 “蝶型函数”D不是 “蝶型函数”:是“蝶型函数”【分析】由 g(x)sinx+ x,h(x)sin xx,求得导数判断单调性,结合“蝶型函数

24、”可判断 ;由平方差公式,化简结合“蝶型函数” 可判断【解答】解:由 ysinx,设 g(x)sin x+x,导数为 cosx+10,即有 x0,g(x)第 12 页(共 20 页)0;x0 时,g(x )0;设 h(x)sinxx,其导数为 cosx10,x0 时,h(x)0,x0 时,h(x)0,可得(y+x) (yx)0 恒成立,即有 ysinx 为“蝶型函数” ;由( +x) ( x)x 21x 210,可得 y 为“蝶型函数”故选:B【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查不等式恒成立问题解法,以及运算能力,属于中档题16 (5 分)已知数列a n是公差不为 0 的等差数列,前 n

25、项和为 Sn,若对任意的 nN*,都有 SnS 3,则 的值不可能为(  )A2 B C D【分析】由等差数数列前 n 项和公式推导出3da 12d,由此能求出 的值不可能为 【解答】解:数列a n是公差不为 0 的等差数列,前 n 项和为 Sn,对任意的 nN*,都有 SnS 3, , ,且3da 12d,当 2 时,a 13d成立;当 时,a 1 d成立;当 时,a 12d成立;第 13 页(共 20 页)当 时,a 1d不成立 的值不可能为 故选:D【点评】本题考查等差数列的两项比值的求法,考查等差数列性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是基础题三、解答题.1

26、7 (14 分)如图,已知正方体 ABCDABC D的棱长为 1(1)正方体 ABCDAB C D'中哪些棱所在的直线与直线 AB 是异面直线?(2)若 M,N 分别是 A'B,BC的中点,求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小【分析】 (1)利用列举法能求出直线 AB 是异面直线的棱所在直线(2)M,N 分别是 A'B,BC的中点,以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 MN 与 BC 所成角的大小【解答】解:(1)正方体 ABCDABC D中,直线 AB 是异面直线的棱所在直线有:AD,BC

27、,CD,CD,DD,CC,共 6 条(2)M,N 分别是 A'B,BC的中点,以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,1) ,B(1,1,0) ,C (0,1,1) ,M(1, , ) ,N( ) ,B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,( ,0) , (1,0,0) ,设异面直线 MN 与 BC 所成角的大小为 ,第 14 页(共 20 页)则 cos ,45,异面直线 MN 与 BC 所成角的大小为 45【点评】本题考查异面直线的判断,考果异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推

28、理能力与计算能力,是中档题18 (14 分)已知函数 f(x ) ,其中 aR(1)解关于 x 的不等式 f(x)1;(2)求 a 的取值范围,使 f( x)在区间(0,+)上是单调减函数【分析】 (1)由题意可得 0,对 a 讨论,可得所求解集;(2)求得 f(x ) a+ ,由反比例函数的单调性,可得22a0,解不等式即可得到所求范围【解答】解:(1)x 的不等式 f(x)1,即为 1,即为 0,当 a1 时,解集为x| x2;当 a1 时,解集为(2,0;当 a1 时,解集为(,2)0,+ ) ;(2)f(x) a+ ,由 f(x)在区间( 0,+)上是单调减函数,可得22a0,解得 a

29、1第 15 页(共 20 页)即 a 的范围是(,1) 【点评】本题考查分式不等式的解法,注意运用分类讨论思想方法,考查函数的单调性的判断和运用,考查运算能力,属于基础题19 (14 分)我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧 AB,对应的圆心角 AOB ,该地区为打击洋垃圾走私,在海岸线外侧 20 海里内的海域 ABCD 对不明船只进行识别查证(如图:其中海域与陆地近似看作在同一平面内)在圆弧的两端点 A,B 分别建有监测站,A 与 B 之间的直线距离为 100 海里(1)求海域 ABCD 的面积;(2)现海上 P 点处有一艘不明船只,在 A 点测得其距 A 点

30、 40 海里,在 B 点测得其距B 点 20 海里判断这艘不明船只是否进入了海域 ABCD?请说明理由【分析】 (1)利用扇环的面积公式求出海域 ABCD 的面积;(2)由题意建立平面直角坐标系,利用坐标求出点 P 的位置,判断点 P 是否在海域ABCD 内【解答】解:(1)AOB ,在海岸线外侧 20 海里内的海域 ABCD,AB100ADBC20,OAOB AB100,ODOA +AD100+20120,S ABCD (OD 2OA 2) (120 2100 2) (平方海里) ,(2)由题意建立平面直角坐标系,如图所示;由题意知,点 P 在圆 B 上,即(x100) 2+y27600,第

31、 16 页(共 20 页)点 P 也在圆 A 上,即(x 50) 2+ 1600;由组成方程组,解得 或 ;又区域 ABCD 内的点满足 ,由 302+ 360010000,点(30,30 )不在区域 ABCD 内,由 902+ 1560014400,点(90,50 )也不在区域 ABCD 内;即这艘不明船只没进入了海域 ABCD【点评】本题考查了圆的方程模型应用问题,是中档题20 (16 分)已知椭圆 : 1(ab0)的长轴长为 2 ,右顶点到左焦点的距离为 +1,直线 l:ykx+m 与椭圆 交于 A,B 两点(1)求椭圆 的方程;(2)若 A 为椭圆的上项点,M 为 AB 中点,O 为坐

32、标原点,连接 OM 并延长交椭圆 于 N, ,求 k 的值(3)若原点 O 到直线 l 的距离为 1, ,当 时,求OAB 的面积S 的范围第 17 页(共 20 页)【分析】 (1)先根据已知条件可求出 a、c 的值,结合 a、b、c 的值可得出 b 的值,进而可求出椭圆 的标准方程;(2)先得出直线 l 的方程为 ykx+1 ,将直线 l 的方程代入椭圆方程可求出点 B 的坐标,利用中点坐标公式可得出点 M 的坐标,根据已知条件可得出点 N 的坐标,再将点 N 的坐标代入椭圆的方程,即可求出 k 的值;(3)利用原点 O 到直线 l 的距离可得出 m2k 2+1,将直线 l 的方程与椭圆方

33、程联立,列出韦达定理,将韦达定理代入 ,结合 的取值范围可得出 k2 的取值范围,并求出线段 AB 的长度的表达式,可求出| AB|的取值范围,再利用三角形的面积公式可求出 S 的取值范围【解答】解:(1)由题意可知, ,于是得到 ,因为右顶点到左焦点的距离为 ,所以,c1,则 ,因此,椭圆 的方程为 ;(2)当点 A 为椭圆的上顶点时,点 A 的坐标为(1,0) ,则 m1,直线 l 的方程为ykx +1,将直线 l 的方程代入椭圆的方程并化简得( 2k2+1)x 2+4kx0,解得 ,所以点 B 的坐标为 ,由于点 M 为线段 AB 的中点,则点 M 的坐标为 ,由于 ,所以,点 N 的坐

34、标为 ,第 18 页(共 20 页)将点 N 的坐标代入椭圆的方程得 ,化简得,解得 ;(3)由于点 O 到直线 l 的距离为 1,则有 ,所以,m 2k 2+1设点 A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2) ,将直线 l 的方程代入椭圆方程并化简得(2k 2+1)x2+4kmx+2m220,由韦达定理可得 , ,x 1x2+(kx 1+m) (kx 2+m) ,由于 ,即 ,解得 ,线段 AB 的长为 ,所以, 因此,OAB 的面积 S 的取值范围是 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查韦达定理在椭圆中的应用,考查计算能力与推理能力,属于难题21 (18 分)已知项数为 n0(n

35、04)项的有穷数列a n,若同时满足以下三个条件:a1 1,a m(m 为正整数) ; aia i1 0 或 1,其中 i2,3,n 0;第 19 页(共 20 页)任取数列 an中的两项 ap,a q(pq) ,剩下的 n02 项中一定存在两项as, at(s t) ,满足 ap+aqa s+at,则称数列 an为 数列(1)若数列a n是首项为 1,公差为 1,项数为 6 项的等差数列,判断数列 an是否是数列,并说明理由(2)当 m3 时,设 数列 an中 1 出现 d1 次,2 出现 d2 次,3 出现 d3 次,其中d1,d 2,d 3N*求证:d 14,d 22,d 34;(3)当

36、 m2019 时,求 数列 an中项数 n0 的最小值【分析】 (1)根据 数列的定义判断即可;(2)根据 数列的定义证明即可;(3)先证明项数 n0 的最小值是 2027:再证明上述数列是 数列,从而判断即可【解答】解:(1)若数列a n:1,2,3,4,5,6 是 数列,取数列a n中的两项 1 和 2,则剩下的 4 项中不存在两项 as,a t(st) ,使得 1+2a s+at,故数列a n不是 数列;(2)若 d13,对于 p1,q2,若存在 2st,满足 ap+aqa s+at,2st,于是 s3,t4,故 a5a 2,a ta 1,从而 as+ata 2+a1,矛盾,故 d14,

37、同理 d34,下面证明 d22:若 d21,即 2 出现了 1 次,不妨设 ak2,a 1+aka s+at,等式左边是 3,等式右边有几种可能,分别是 1+1 或 1+3 或 3+3,等式两边不相等,矛盾,于是 d12;(3)设出现 d1 次,2 出现 d2 次,2019 出现 d2019 次,其中 d1,d 2,d 2019N*,由(2)可知,d 14,d 20194,且 d22,同理 d20182,又d 3,d 4,d 2017N*,故项数 n0d 1+d2+d2019 2027,下面证明项数 n0 的最小值是 2027:第 20 页(共 20 页)取 d14,d 22,d 3d 4d

38、20171,d 20182,d 20194,可以得到数列a n:1,1,1,1,2,2,3,4,2016,2017,2018,2019,2019,2019,2019,接下来证明上述数列是 数列:若任取的两项分别是 1,1,则其余的项中还存在 2 个 1,满足 1+11+1,同理,若任取的两项分别是 2019,2019 也满足要求,若任取的两项分别是 1,2,则其余的项中还存在 3 个 1,1 个 2,满足要求,同理,若任取的两项分别是 2018,2019 也满足要求,若任取 ap1,a q3,则在其中的项中取 a52,a ta q 1,满足要求,同理,若 ap2017,a q2019 也满足要求,若任取的两项 ap,a q 满足 1a pa q2019,则在其余的项中选取 asa p1,a ta q+1,每个数最多被选取了 1 次,于是也满足要求,从而,项数 n0 的最小值是 2027【点评】本题考查了新定义问题,考查数列的证明以及转化思想,是一道综合题

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