2019年天津市红桥区高考数学一模试卷(理科)含解析
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1、2019 年天津市红桥区高考数学一模试卷(理科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)设 z +2i,则| z|( )A0 B C1 D2 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 zy2x 的最大值为( )A7 B5 C3 D13 (5 分)已知 alog 34, , ,则 a,b,c 的大小关系为( )Aabc Bbac Ccba Dc ab4 (5 分)设a n是公比为 q 的等比数列,则“q1”是 “an为递增数列”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也
2、不必要条件5 (5 分)若 a0,b0,且 a+b4,则下列不等式恒成立的是( )A B + 1C 2 D 6 (5 分)若如图所示的程序框图输出的 S 是 126,则条件可以为( )第 2 页(共 22 页)An5 Bn6 Cn7 Dn87 (5 分)设 F1,F 2 分别为双曲线 1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|+|PF2| 3b,|PF 1|PF2| ab,则该双曲线的离心率为( )A B C D38 (5 分)若方程 kx2 有两个不同的实数根,则实数 k 的取值范围为( )A (,1) B (1,0
3、)C (0,4) D (0,1) (1,4)二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分9 (5 分)已知集合 U(x,y )|x 2+y21,x Z,y Z,则集合 U 中的元素的个数为 (用数字填写)10 (5 分)在 的展开式中的常数项是 11 (5 分)设直线 l: (t 为参数) ,曲线 C: ( 为参数) ,直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,则| AB| (用数字填写)12 (5 分)若函数 f(x )cos xsinx 在a,a 是减函数,则 a 的最大值是
4、 13 (5 分)平面 截球 O 所得的截面圆的半径为 1,球心 O 到平面 的距离为 ,则此球的体积为 第 3 页(共 22 页)14 (5 分)已知两点 A(1,0) ,B(1, ) ,O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且AOC120,设2 ,rR,则实数 (用数字填写)三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (13 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c已知bsinA3c sinB, a3,cos B ()求 b 的值;()求 cos(2B )的
5、值16 (13 分)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响()求甲获胜的概率;()求投篮结束时甲的投球次数 的分布列和期望17 (13 分)在四棱锥 PABCD 中,PA底面ABCD, ADAB,ABDC ,ADDCAP2,AB1,点 E 为棱 PC 中点()证明:BE平面 PAD;()求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值;()若 F 为棱 PC 上一点,满足 BFAC ,求二面角 FABP 的余弦值18 (13 分)设等差数列a n的公差为 d
6、,d 为整数,前 n 项和为 Sn,等比数列b n的公比为 q,已知 a1b 1,b 22,dq,S 10100,n N*(1)求数列a n与b n的通项公式;(2)设 ,求数列c n的前 n 项和为 Tn第 4 页(共 22 页)19 (14 分)已知椭圆 C: 的离心率为 ,直线 l 过点 A(4,0) ,B(0, 2) ,且与椭圆 C 相切于点 P()求椭圆 C 的方程;()是否存在过点 A(4,0)的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M、N,使得36|AP|2 35|AM|AN|?若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由20 (14 分)已知函数 f(x )ln (e
7、 x+k) (k 为常数)是实数集 R 上的奇函数,其中 e 为自然对数的底数()求 k 的值;()讨论关于 x 的方程 x 22ex+m 的根的个数第 5 页(共 22 页)2019 年天津市红桥区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)设 z +2i,则| z|( )A0 B C1 D【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后,然后求解复数的模【解答】解:z +2i +2ii +2ii ,则|z| 1故选:C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的模的求法,考查计算能力2 (5 分)设变量 x
8、,y 满足约束条件 ,则目标函数 zy2x 的最大值为( )A7 B5 C3 D1【分析】画出满足条件的可行域,求出各个角点的坐标,代和目标函数比较大小后,可得目标函数 zy2x 的最大值【解答】解:满足变量 x,y 满足约束条件 的可行域如下图所示:第 6 页(共 22 页)由 得:x1,y1,故目标函数 zy2x 的最大值是 3,故选:C【点评】利用线性规划求最值的步骤:(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形常见的类型有截距型(ax+by 斜率型) 、 ( 型型)和距离型(x+a) 2+(y+b) 2 型) (3)确定最优解:根据目标
9、函数的类型,并结合可行域确定最优解(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值3 (5 分)已知 alog 34, , ,则 a,b,c 的大小关系为( )Aabc Bbac Ccba Dc ab【分析】容易得出 , ,从而得出 a,b,c 的大小关系【解答】解: , ;cab故选:D【点评】考查对数函数和指数函数的单调性,对数的换底公式第 7 页(共 22 页)4 (5 分)设a n是公比为 q 的等比数列,则“q1”是 “an为递增数列”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质,结合充
10、分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解:等比数列1,2,4,满足公比 q21,但a n不是递增数列,充分性不成立若 an1 为递增数列,但 q 1 不成立,即必要性不成立,故“q1”是“a n为递增数列”的既不充分也不必要条件,故选:D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的性质,利用特殊值法是解决本题的关键5 (5 分)若 a0,b0,且 a+b4,则下列不等式恒成立的是( )A B + 1C 2 D 【分析】由题设知 ab ,所以 , , , ,由此能够排除选项 A、B、C,从而得到正确选项【解答】解:a0,b0,且 a+b4,ab , ,故
11、A 不成立;,故 B 不成立;,故 C 不成立;ab4,a+b4,162ab8, ,故 D 成立故选:D【点评】本题考查不等式的基本性质,解题时要注意均值不等式的合理运用第 8 页(共 22 页)6 (5 分)若如图所示的程序框图输出的 S 是 126,则条件可以为( )An5 Bn6 Cn7 Dn8【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出 S2+2 2+2n 的值,结合输出的 S 是 126,即可得到退出循环的条件【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加并输出 S2+2 2+
12、2n 的值,由于 S2+2 2+26126,故中应填 n 6故选:B【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:分支的条件循环的条件变量的赋值 变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误7 (5 分)设 F1,F 2 分别为双曲线 1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|+|PF2| 3b,|PF 1|PF2| ab,则该双曲线的离心率为( )A B C D3第 9 页(共 22 页)【分析】解法一:不妨设右支上 P 点的横坐
13、标为 x,由焦半径公式有|PF1|ex+a,|PF 2|exa,结合条件可得 a b,从而 c b,即可求出双曲线的离心率解法二:根据已知条件和定义,就可以求得|PF 1|,|PF 2|,然后代入|PF 1|PF2| ab,即可得出【解答】解法一:不妨设右支上 P 点的横坐标为 x由焦半径公式有|PF 1|ex+ a,|PF 2|exa,|PF 1|+|PF2|3b,|PF 1|PF2| ab,2ex3b, (ex) 2a 2 ab b2a 2 ab,即 9b24a 29ab0,(3b4a) (3b+a)0a b,c b,e 解法二:不妨设不妨设右支上 P 点,则|PF 1|PF 2|2a,又
14、|PF 1|+|PF2|3b,联立解得:|PF 1| ,|PF 2| ,然后代入|PF 1|PF2| ab,可得: ab,9b 24a 29ab0,(3b4a) (3b+a)0a b,c b,e 故选:B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质、双曲线的第一第一与第二定义的灵活运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题第 10 页(共 22 页)8 (5 分)若方程 kx2 有两个不同的实数根,则实数 k 的取值范围为( )A (,1) B (1,0)C (0,4) D (0,1) (1,4)【分析】先画出函数 ykx2,y 图象,利用方程 kx2 有两个不同的实数根函数 ykx2,
15、y 的图象有两个交点,即可求出【解答】解:y ,画出函数 ykx2,y 的图象,由图象可以看出,ykx2 图象恒过 A(0,2) ,B(1 ,2) ,AB 的斜率为 4,当 0 k1 时,函数 ykx2,y 的图象有两个交点,即方程 kx2 有两个不同的实数根;当 k1 时,函数 ykx2,y 的图象有 1 个交点,即方程 kx2 有 1 个不同的实数根;当 1 k4 时,函数 ykx2,y 的图象有两个交点,即方程 kx2 有两个不同的实数根因此实数 k 的取值范围是 0k1 或 1k 4故选:D【点评】本题考查方程有两个实数解的条件,熟练掌握数形结合的思想方法及把问题等价转化是解题的关键二
16、、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分9 (5 分)已知集合 U(x,y )|x 2+y21,x Z,y Z,则集合 U 中的元素的个数为 5 (用数字填写)第 11 页(共 22 页)【分析】集合 U 的元素代表单位圆圆周及其内部的点,分坐标轴和象限进行讨论,即可得到结论【解答】解:集合 U 的元素代表单位圆圆周及其内部的两坐标皆为整数的点,坐标轴上满足 x2+y21 有 5 个,分别为(0,0) , (1,0) , (0,1) , (1,0) ,(0,1) 象限内没有满足 x2+y21 的点,故填:5【点评】本题考察集合的表示以及点与圆的位置关系,解题时需注意集合 U
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