1、2019 年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设 z +2i，则| z|（ ）A0 B C1 D2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zy2x 的最大值为（ ）A7 B5 C3 D13 （5 分）已知 alog 34， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bbac Ccba Dc ab4 （5 分）设a n是公比为 q 的等比数列，则“q1”是 “an为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也
2、不必要条件5 （5 分）若 a0，b0，且 a+b4，则下列不等式恒成立的是（ ）A B + 1C 2 D 6 （5 分）若如图所示的程序框图输出的 S 是 126，则条件可以为（ ）第 2 页（共 22 页）An5 Bn6 Cn7 Dn87 （5 分）设 F1，F 2 分别为双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|+|PF2| 3b，|PF 1|PF2| ab，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D38 （5 分）若方程 kx2 有两个不同的实数根，则实数 k 的取值范围为（ ）A （，1） B （1，0
3、）C （0，4） D （0，1） （1，4）二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）已知集合 U（x，y ）|x 2+y21，x Z，y Z，则集合 U 中的元素的个数为 （用数字填写）10 （5 分）在 的展开式中的常数项是 11 （5 分）设直线 l： （t 为参数） ，曲线 C： （ 为参数） ，直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，则| AB| （用数字填写）12 （5 分）若函数 f（x ）cos xsinx 在a，a 是减函数，则 a 的最大值是
4、 13 （5 分）平面 截球 O 所得的截面圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积为 第 3 页（共 22 页）14 （5 分）已知两点 A（1，0） ，B（1， ） ，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且AOC120，设2 ，rR，则实数 （用数字填写）三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知bsinA3c sinB， a3，cos B （）求 b 的值；（）求 cos（2B ）的
5、值16 （13 分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响（）求甲获胜的概率；（）求投篮结束时甲的投球次数 的分布列和期望17 （13 分）在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD， ADAB，ABDC ，ADDCAP2，AB1，点 E 为棱 PC 中点（）证明：BE平面 PAD；（）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；（）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC ，求二面角 FABP 的余弦值18 （13 分）设等差数列a n的公差为 d
6、，d 为整数，前 n 项和为 Sn，等比数列b n的公比为 q，已知 a1b 1，b 22，dq，S 10100，n N*（1）求数列a n与b n的通项公式；（2）设 ，求数列c n的前 n 项和为 Tn第 4 页（共 22 页）19 （14 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，直线 l 过点 A（4，0） ，B（0， 2） ，且与椭圆 C 相切于点 P（）求椭圆 C 的方程；（）是否存在过点 A（4，0）的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M、N，使得36|AP|2 35|AM|AN|？若存在，试求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由20 （14 分）已知函数 f（x ）ln （e
7、 x+k） （k 为常数）是实数集 R 上的奇函数，其中 e 为自然对数的底数（）求 k 的值；（）讨论关于 x 的方程 x 22ex+m 的根的个数第 5 页（共 22 页）2019 年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设 z +2i，则| z|（ ）A0 B C1 D【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模【解答】解：z +2i +2ii +2ii ，则|z| 1故选：C【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力2 （5 分）设变量 x
8、，y 满足约束条件 ，则目标函数 zy2x 的最大值为（ ）A7 B5 C3 D1【分析】画出满足条件的可行域，求出各个角点的坐标，代和目标函数比较大小后，可得目标函数 zy2x 的最大值【解答】解：满足变量 x，y 满足约束条件 的可行域如下图所示：第 6 页（共 22 页）由 得：x1，y1，故目标函数 zy2x 的最大值是 3，故选：C【点评】利用线性规划求最值的步骤：（1）在平面直角坐标系内作出可行域（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ax+by 斜率型） 、 （ 型型）和距离型（x+a） 2+（y+b） 2 型） （3）确定最优解：根据目标
9、函数的类型，并结合可行域确定最优解（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值3 （5 分）已知 alog 34， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bbac Ccba Dc ab【分析】容易得出 ， ，从而得出 a，b，c 的大小关系【解答】解： ， ；cab故选：D【点评】考查对数函数和指数函数的单调性，对数的换底公式第 7 页（共 22 页）4 （5 分）设a n是公比为 q 的等比数列，则“q1”是 “an为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，结合充
10、分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：等比数列1，2，4，满足公比 q21，但a n不是递增数列，充分性不成立若 an1 为递增数列，但 q 1 不成立，即必要性不成立，故“q1”是“a n为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键5 （5 分）若 a0，b0，且 a+b4，则下列不等式恒成立的是（ ）A B + 1C 2 D 【分析】由题设知 ab ，所以 ， ， ， ，由此能够排除选项 A、B、C，从而得到正确选项【解答】解：a0，b0，且 a+b4，ab ， ，故
11、A 不成立；，故 B 不成立；，故 C 不成立；ab4，a+b4，162ab8， ，故 D 成立故选：D【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均值不等式的合理运用第 8 页（共 22 页）6 （5 分）若如图所示的程序框图输出的 S 是 126，则条件可以为（ ）An5 Bn6 Cn7 Dn8【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S2+2 2+2n 的值，结合输出的 S 是 126，即可得到退出循环的条件【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S2+2 2+
12、2n 的值，由于 S2+2 2+26126，故中应填 n 6故选：B【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值 变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误7 （5 分）设 F1，F 2 分别为双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|+|PF2| 3b，|PF 1|PF2| ab，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D3第 9 页（共 22 页）【分析】解法一：不妨设右支上 P 点的横坐
13、标为 x，由焦半径公式有|PF1|ex+a，|PF 2|exa，结合条件可得 a b，从而 c b，即可求出双曲线的离心率解法二：根据已知条件和定义，就可以求得|PF 1|，|PF 2|，然后代入|PF 1|PF2| ab，即可得出【解答】解法一：不妨设右支上 P 点的横坐标为 x由焦半径公式有|PF 1|ex+ a，|PF 2|exa，|PF 1|+|PF2|3b，|PF 1|PF2| ab，2ex3b， （ex） 2a 2 ab b2a 2 ab，即 9b24a 29ab0，（3b4a） （3b+a）0a b，c b，e 解法二：不妨设不妨设右支上 P 点，则|PF 1|PF 2|2a，又
14、|PF 1|+|PF2|3b，联立解得：|PF 1| ，|PF 2| ，然后代入|PF 1|PF2| ab，可得： ab，9b 24a 29ab0，（3b4a） （3b+a）0a b，c b，e 故选：B【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质、双曲线的第一第一与第二定义的灵活运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题第 10 页（共 22 页）8 （5 分）若方程 kx2 有两个不同的实数根，则实数 k 的取值范围为（ ）A （，1） B （1，0）C （0，4） D （0，1） （1，4）【分析】先画出函数 ykx2，y 图象，利用方程 kx2 有两个不同的实数根函数 ykx2，
15、y 的图象有两个交点，即可求出【解答】解：y ，画出函数 ykx2，y 的图象，由图象可以看出，ykx2 图象恒过 A（0，2） ，B（1 ，2） ，AB 的斜率为 4，当 0 k1 时，函数 ykx2，y 的图象有两个交点，即方程 kx2 有两个不同的实数根；当 k1 时，函数 ykx2，y 的图象有 1 个交点，即方程 kx2 有 1 个不同的实数根；当 1 k4 时，函数 ykx2，y 的图象有两个交点，即方程 kx2 有两个不同的实数根因此实数 k 的取值范围是 0k1 或 1k 4故选：D【点评】本题考查方程有两个实数解的条件，熟练掌握数形结合的思想方法及把问题等价转化是解题的关键二
16、、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）已知集合 U（x，y ）|x 2+y21，x Z，y Z，则集合 U 中的元素的个数为 5 （用数字填写）第 11 页（共 22 页）【分析】集合 U 的元素代表单位圆圆周及其内部的点，分坐标轴和象限进行讨论，即可得到结论【解答】解：集合 U 的元素代表单位圆圆周及其内部的两坐标皆为整数的点，坐标轴上满足 x2+y21 有 5 个，分别为（0，0） ， （1，0） ， （0，1） ， （1，0） ，（0，1） 象限内没有满足 x2+y21 的点，故填：5【点评】本题考察集合的表示以及点与圆的位置关系，解题时需注意集合 U
17、 的元素为两坐标均为整数的点，本题属于基础题10 （5 分）在 的展开式中的常数项是 84 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 0，求出 r，将 r的值代入通项求出展开式的常数项【解答】解：展开式的通项为令 解得 r3所以展开式的常数项为C 9384故答案为：84【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题11 （5 分）设直线 l： （t 为参数） ，曲线 C： （ 为参数） ，直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，则| AB| 1 （用数字填写）【分析】先把曲线 C 化成普通方程，再把直线 l 的参数方程代入，利用参数的几何意义可得
18、【解答】解：曲线 C： 消去参数化成普通方程得 x2+y21，将直线 l 的参数方程代入 x2+y21 得 t2+t0，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，t 10，t 21，|AB| t1t 2|1故答案为 1【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题第 12 页（共 22 页）12 （5 分）若函数 f（x ）cos xsinx 在a，a 是减函数，则 a 的最大值是 【分析】由题意利用两角和的余弦公式，化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得 a 的最大值【解答】解：函数 f（x ）cos xsinx cos（x+ ）在 a，a是减函数，a
19、+ 0，且 a+ ，求得 a ，故 a 的最大值为 ，故答案为： 【点评】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属于基础题13 （5 分）平面 截球 O 所得的截面圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积为 4 【分析】根据条件求出截面圆的半径，根据直角三角形建立条件根据即可求出球的半径【解答】解：作出对应的截面图，截面圆的半径为 1，即 BC1，球心 O 到平面 的距离为 ，OC ，设球的半径为 R，在直角三角形 OCB 中，OB 2OC 2+BC21+（ ） 23即 R23，解得 R ，该球的体积为 R3 ，故答案为： 【点评】本题主要考查球的体积
20、的计算，根据条件求出球半径是解决本题的关键14 （5 分）已知两点 A（1，0） ，B（1， ） ，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且第 13 页（共 22 页）AOC120，设2 ，rR，则实数 1 （用数字填写）【分析】设|OC|c，根据已知条件即可表示出 C 点坐标为（ ） ，进行向量的坐标运算从而可得到 ，这便能得到 ，解方程组即可得到 的值【解答】解：如图，设|OC| c，根据AOC120； ；由 及 A，B 点坐标得：（ ）2（1，0）+ ； ；解得 1故答案为：1【点评】考查由三角函数的定义表示点的坐标，向量坐标和点的坐标的关系，以及向量的坐标运算，解二元一次方程组三、解答题
21、：本大题共 6 个小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知第 14 页（共 22 页）bsinA3csinB ，a3，cos B （）求 b 的值；（）求 cos（2B ）的值【分析】 （）由 bsinA3c sinB，利用正弦定理可得 ab 3bc，且 a3，解得 c再利用余弦定理即可得出 b（）cosB 可得 ，再利用倍角公式与和差公式即可得出【解答】解：（）由 bsinA3c sinB，得 ab3bc，即 a3c，且 a3，c1由余弦定理可得：cosB ，解得 b （）cosB ，则 ，cos2
22、B2cos 2B1 ，cos（2B ）cos2 Bcos +sin2Bsin 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、平方关系、倍角公式与和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16 （13 分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各次投篮互不影响（）求甲获胜的概率；（）求投篮结束时甲的投球次数 的分布列和期望【分析】 （1）设 Ak，B k 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中，则 P（A k） ，P（B k） ，k（1， 2，3） ，由互斥事件有一个发生的概率与相
23、互独立事件同时发生的概率计第 15 页（共 22 页）算公式能求出甲获胜的概率（2） 的所有可能为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能出投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望【解答】解：（1）设 Ak，B k 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中，则 P（A k） ，P（B k） ，k （1，2，3） 记“甲获胜”为事件 C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知：P（C）P（A 1）+P（ ）+ P（ ） + （5 分）（2） 的所有可能为：1，2，3，由独立性知：P（1）P（A 1）+P（ ） ，P（2）P（ ）+P（ ） +（ ） 2（ ） 2 ，P（3）P（
24、 ）（ ） 2（ ） 2 ，综上知， 的分布列为： 1 2 3P（9 分）E （次）（11 分）甲获胜的概率为 ；甲的投篮次数的期望为 次（12 分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17 （13 分）在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD， ADAB，ABDC ，ADDCAP2，AB1，点 E 为棱 PC 中点第 16 页（共 22 页）（）证明：BE平面 PAD；（）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；（）若
25、 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC ，求二面角 FABP 的余弦值【分析】 （）取 PD 中点 M，连接 AM，EM ，证明四边形 ABEM 为平行四边形，然后证明 BE平面 PAD（）以点 A 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 PBD 的法向量，求出，然后求解直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值（）求出平面 FAB 的法向量，平面 ABP 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 FABP 其余弦值【解答】 （本小题满分 13 分）（）证明：取 PD 中点 M，连接 AM，EM ，由于 E，M 分别为 PC，PD 的中点，故 EMDC ，且 ，又因为 ABCD， ，所以 EMA
26、B 且 EMAB ，故四边形 ABEM 为平行四边形，（2 分）所以 BEAM，且 BE平面 PAD，AM 平面 PAD，所以 BE平面 PAD（4 分）（）解：依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系（如图） ，可得 B（1，0，0） ，C（2，2 ，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） 由 E 为棱 PC 的中点，得 E（1，1，1） 第 17 页（共 22 页）向量 ， 设 为平面 PBD 的法向量，则 即可得 为平面 PBD 的一个法向量，（6 分）且于是有 ，（8 分）所以，直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 （9 分）（）解：向量 ， ， ，由点 F 在棱 PC
27、 上，设 ，0 1 （若 ，则 ）故 （12，22 ，2） 由 ，得 ，因此 2（12）+2（22）0，解得 ，（11 分） （若 ，则 ）即 设 为平面 FAB 的法向量，则 ，即 ，可得 为平面的 FAB 一个法向量（12 分）取平面 ABP 的法向量 ，第 18 页（共 22 页）则 ，（13 分）二面角 FAB P 是锐角，所以其余弦值为 【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理以及二面角直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力18 （13 分）设等差数列a n的公差为 d，d 为整数，前 n 项和为 Sn，等比数列b n的公比为 q，已知 a1b 1，b 22，dq，S
28、10100，n N*（1）求数列a n与b n的通项公式；（2）设 ，求数列c n的前 n 项和为 Tn【分析】 （1）利用已知条件求出数列的首项与公差与公比，然后求解通项公式（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（1）有题意可得： ，解得 （舍去）或 ，所以 an2n1， （2） ， ， ，可得 ，故 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力19 （14 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，直线 l 过点 A（4，0） ，第 19 页（共 22 页）B（0，2） ，且与椭圆 C 相切于点 P（）求椭圆 C 的方程；（）是否存在
29、过点 A（4，0）的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M、N，使得36|AP|2 35|AM|AN|？若存在，试求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由【分析】 （）由题得过两点 A（4，0） ，B（0，2） ，直线 l 的方程为 x+2y40因为，所以 a2c，b 再由直线 l 与椭圆 C 相切，能求出椭圆方程（）设直线 m 的方程为 yk（x4） ，由 ，得（3+4k 2）x232k 2x+64k2120由题意知（32k 2） 24（3+4k 2） （64k 212）0，解得k 设 M（x 1，y 1） ， N（x 2，y 2） ，则 ， 由此能求出直线 m 的方程【解答】解：（）
30、由题得过两点 A（4，0） ，B（0，2） ，直线 l 的方程为x+2y40 （1 分）因为 ，所以 a2c，b 设椭圆方程为 ，由 ，消去 x 得，4y 212y +123c 20又因为直线 l 与椭圆 C 相切，所以12 244（123 c2）0，解得 c21所以椭圆方程为 （5 分）（）直线 m 的斜率存在， 设直线 m 的方程为 yk（x4） ，（6 分）由 ，消去 y，整理得（3+4k 2）x 232k 2x+64k2120（7 分）由题意知（32k 2） 24（3+4k 2） （64k 212）0，第 20 页（共 22 页）解得 k （8 分）设 M（x 1，y 1） ，N（x
31、2，y 2） ，则 ， （9 分）又直线 l：x+2y40 与椭圆 C： 相切，由 ，解得 ，所以 P（1， ） （10 分）则 所以|AM |AN| 又 （k 2+1） （4x 1） （4x 2）（k 2+1） （ 4 +16）（k 2+1） 所以（k 2+1） ，解得 k 经检验成立（13 分）所以直线 m 的方程为 y （14 分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，探索直线方程是否存在综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化20 （14 分）已知函数 f（x ）ln （e x+k） （k 为常数）是实数集 R 上的奇函数，其中 e 为自然对数的底数
32、（）求 k 的值；（）讨论关于 x 的方程 x 22ex+m 的根的个数第 21 页（共 22 页）【分析】 （）由函数奇偶性求参数的值得：f（0）0，则 ln（e 0+k）0，解得k0，显然 k0 时，f（x）x 是实数集 R 上的奇函数；（）利用导数研究函数的图象、最值得：令 （x0，因为，得 xe ， 在（0，e ）上为增函数，在（ e，+）上为减函数，当 xe 时， ，由函数图象的交点个数分情况讨论得：当 时，方程无解，当 时，方程有一个根，当 时，方程有两个根，得解【解答】解：（） 因为函数 f（x ）ln （e x+k） （k 为常数）是实数集 R 上的奇函数，所以 f（x） f（
33、x ） ，即 f（0）0，则 ln（e 0+k）0，解得 k0，显然 k0 时，f（x）x 是实数集 R 上的奇函数；（）由（）得 f（x ）x，方程可转化为 ，令 （x0） ，g（x）x 22ex+ m（x0） ，因为 ，令 h'（x）0，得 xe ，当 x（0，e）时，h'（x）0，所以 在（0，e）上为增函数，当 x（e，+）时，h' （x）0，所以 在（e，+）上为减函数，当 xe 时， ，又 g（x）（x e ） 2e 2+m所以 g（x）（x e ） 2e 2+m 在（0，e ）上为减函数，在（e，+）上为增函数，当 xe 时， ，所以当 ，即 时，方程无解，当 ，即 时，方程有一个根，第 22 页（共 22 页）当 ，即 时，方程有两个根，综上得：当 时，方程无解，当 时，方程有一个根，当 时，方程有两个根【点评】本题考查了由函数奇偶性求参数的值、利用导数研究函数的图象、最值及函数图象的交点个数，属难度较大的题型
