1、2019 年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 M0，1，2，Nx|1x1，xZ ，则（ ）AMN BN M CM N 0，1 DM NN2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 则 z2x+y 的最大值为（ ）A1 B6 C5 D43 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A20 B30 C40 D504 （5 分）在ABC 中，若 a2b 2+c2bc，bc4，则ABC 的面积为（ ）A B1 C D25 （5 分）不等式 成立的充分不必
2、要条件是（ ）Ax1 Bx1 或 0x1Cx 1 D1x 0 或 x16 （5 分）已知 log2alog 2b，则下列不等式一定成立的是（ ）A Blog 2（a b）0C2 ab 1 D7 （5 分）设双曲线 mx2+ny21 的一个焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）A2 B C D第 2 页（共 20 页）8 （5 分）已知函数 f（x ）|lnx| ， 若关于 x 的方程 f（x）+mg（x ）恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ）A0，ln2 B （2ln 2，0）
3、C （2ln2，0 D0 ，2+ln 2）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷上.9 （5 分）已知 aR，且复数 是纯虚数，则 a 10 （5 分） 的展开式中 x4 的系数为 （用数字作答）11 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为 cm312 （5 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线 （t 为参数）被曲线 4cos 截得的弦长为 ，则 a 的值为
4、 13 （5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， ，ABAD2若 M、N 分别是边AD、BC 上的动点，满足 ， ，其中 （0，1） ，若 ，则 的值为 14 （5 分）已知 a，b 为正数，若直线 2ax+by20 被圆 x2+y24 截得的弦长为 ，则 的最大值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且b3，c 1，A2B第 3 页（共 20 页）（）求 a 的值；（）求 的值16 （13 分）
5、点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠 10 元或者 16 元代金券一张，中奖率分别为 和 ，每人限点一餐，且 100%中奖现有 A 公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃（）求这四人中至多一人抽到 16 元代金券的概率；（）这四人中抽到 10 元、16 元代金券的人数分别用 X、Y 表示，记 XY，求随机变量 的分布列和数学期望17 （13 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是菱形，PO底面 ABCD，O 、E 分别是AD、AB 的中点，AB6， AP5，BAD60（）证明：ACPE；（）求直线 PB
6、与平面 POE 所成角的正弦值；（）在 DC 边上是否存在点 F，使 BF 与 PA 所成角的余弦值为 ，若存在，确定点 F 位置；若不存在，说明理由18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn3n 2+8n， bn是等差数列，且 anb n+bn+1（）求数列b n的通项公式；（）令 cn ，求数列c n的前 n 项和 Tn19 （14 分）已知椭圆 （ab0）经过点 ，左、右焦点分别F1、F 2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为 （）求椭圆 C 的标准方程；第 4 页（共 20 页）（）设 Q 是椭圆 C 上不在 x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点 F2 作 OQ 的平行线交椭
7、圆于 M、N 两个不同的点，求 的值20 （14 分）设函数 f（x ）xe kx（k0） ，（1）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）讨论函数 f（x ）的单调性；（3）设 g（x）x 22bx +4，当 k1 时，若对任意 x1R，存在 x21，2，使 f（x 1）g（x 2） ，求实数 b 取值范围第 5 页（共 20 页）2019 年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 M0，1，2，Nx|1x1，xZ ，则（ ）AMN BN M CM N 0，1
8、 DM NN【分析】列举出 N 中元素确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可【解答】解：M0，1，2，Nx|1x1，x Z1，0，1，MN0 ， 1，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 则 z2x+y 的最大值为（ ）A1 B6 C5 D4【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线 z2x+y 过点 A 时，z 最大值即可【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设 z2x+y，直线 z2x+y 过可行域内 A（2，1）的时候 z 最大，最大值为 5，故选：C第 6 页（共
9、20 页）【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解3 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A20 B30 C40 D50【分析】根据程序框图，列出每次执行循环体后的 S，i，T 的值，当满足条件 TS 时，退出循环体，输出 T 的值【解答】解：根据程序框图，第一次执行循环体后 S7，i3，T3；第二次执行循环体后 S13，i6，T9；第三次执行循环体后 S19，i9，T18；第四次执行循环体后 S25，i12，T30
10、；满足条件 TS，退出循环体，输出T30第 7 页（共 20 页）故选：B【点评】本题通过程序框图考查了算法的三种结构，解决题目的关键是正确列出每次执行循环体后得到的 S，i，T 的值4 （5 分）在ABC 中，若 a2b 2+c2bc，bc4，则ABC 的面积为（ ）A B1 C D2【分析】利用余弦定理表示出 cosA，将已知等式变形后代入求出 cosA 的值，确定出 A的度数，再由 bc 的值，利用三角形面积公式求出三角形 ABC 面积即可【解答】解：ABC 中，a 2b 2+c2bc，即 b2+c2a 2bc，cosA ，A60，bc4，S ABC bcsinA ，故选：C
11、【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题5 （5 分）不等式 成立的充分不必要条件是（ ）Ax1 Bx1 或 0x1Cx 1 D1x 0 或 x1【分析】先求出不等式的解集，然后根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则进行逐一进行判定【解答】解：不等式 ，解得 x1 或 x0x1x1 或 x0，符合题意，故正确；x1 或 0x1x 1 或 x0 是假命题，故不正确；x1x1 或 x0 是假命题，故不正确；1x0 或 x1x 1 或 x0 是假命题，故不正确；故选：A【点评】判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小
12、谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系，属于基础题第 8 页（共 20 页）6 （5 分）已知 log2alog 2b，则下列不等式一定成立的是（ ）A Blog 2（a b）0C2 ab 1 D【分析】由题意可得 ab0，依次比较即可【解答】解：log 2alog 2b，ab0，所以 0 ，2 ab 2 01，故 A、C 不正确；当 ab1 时，log 2（ab） 0，当 0ab1 时，log 2（a b）0，故 B 不正确； ，选项 D 正确；故选：D【点评】本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题7 （5 分）设双曲线 mx2+ny21 的一个焦点与抛物线
13、的焦点相同，离心率为 2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）A2 B C D【分析】利用抛物线的方程先求出抛物线的焦点即双曲线的焦点，利用双曲线的方程与系数的关系求出 a2，b 2，利用双曲线的三个系数的关系列出 m，n 的一个关系，再利用双曲线的离心率的公式列出关于 m，n 的另一个等式，解方程组求出 m，n 的值，求出双曲线的渐近线方程，然后求解焦点到渐近线的距离【解答】解：抛物线 x28y 的焦点为（0，2）mx 2+ny21 的一个焦点为（0，2）焦点在 y 轴上a 2 ，b 2 ，c2根据双曲线三个参数的关系得到 4a2+b2 又离心率为 2 即 4解得 n
14、1，m第 9 页（共 20 页）此双曲线的方程为 b ，渐近线方程：x+ 0抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离： 故选：B【点评】解决双曲线、椭圆的三参数有关的问题，有定注意三参数的关系：c 2a 2+b2而椭圆中三参数的关系为 a2c 2+b28 （5 分）已知函数 f（x ）|lnx| ， 若关于 x 的方程 f（x）+mg（x ）恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是（ ）A0，ln2 B （2ln 2，0） C （2ln2，0 D0 ，2+ln 2）【分析】设 h（x）f（x）+m，则 h（x ）是 f（x）的图象沿着 x1 上下平移得到，作出函数 h（x）与
15、g（x ）的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可【解答】解：设 h（x）f（x）+m，作出函数 f（x）和 g（x）的图象如图则 h（x）是 f（ x）的图象沿着 x1 上下平移得到，由图象知 B 点的纵坐标为 h（1）f （1）+ mln 1+mm，A 点的纵坐标为 g（2）2，当 x2 时，h（2）ln2+m，g（1）0，要使方程 f（x） +mg（x ）恰有三个不相等的实数解，则等价为 h（x）与 g（x ）的图象有三个不同的交点，则满足 ，即 得 ，即2ln2m0，即实数 m 的取值范围是（ 2ln2，0，故选：C第 10 页（共 20 页）【点评】本题主要考查分段函数
16、的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷上.9 （5 分）已知 aR，且复数 是纯虚数，则 a 2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解： 是纯虚数， ，即 a2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分） 的展开式中 x4 的系数为 80 （用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 4，求出 r 的值，即可求得展开式中 x4 的系数【解答】解： 的展
17、开式的通项公式为 Tr+1 （1） r25r x103r ，令 103r4，求得 r2，故展开式中 x4 的系数为 2380，故答案为：80【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11 （5 分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积为 第 11 页（共 20 页）cm3【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：几何体的直观图如图是一个棱柱挖去一个圆柱的几何体，几何体的体积为：36 故答案为：36 【点评】本题考查空间几何体的三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及计算能力12 （5 分
18、）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，若直线 （t 为参数）被曲线 4cos 截得的弦长为 ，则 a 的值为 1 或5 【分析】将直线和圆化成直角坐标方程后利用勾股定理列方程可解得【解答】解：由 消去 t 得 x+y1a0，由 4cos 得 24 cos，得（x+2） 2+y24，因此（ ） 2+（ ） 24，解得 a5 或 a1故答案为：1，或5【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题第 12 页（共 20 页）13 （5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， ，ABAD2若 M、N 分别是边AD、BC 上的动点，满足 ， ，其中
19、（0，1） ，若 ，则 的值为 【分析】由平面向量的线性运算得： + +（1） ， ，由平面向量数量积的性质及其运算得： +（1） （ ）2，所以2+（1） 2，又 2 ， | |23，可得：325+20，又 01，所以 ，得解【解答】解：由图可知： + +（1 ） ， ，又 ，所以 +（1） （ ）2，所以 2+（1） 2，又 2， | |23，可得：3 25+20，又 01，所以 ，故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题14 （5 分）已知 a，b 为正数，若直线 2ax+by20 被圆 x2+y2
20、4 截得的弦长为 ，第 13 页（共 20 页）则 的最大值是 【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线 2ax+by20 的距离 d1，由点到直线的距离公式可得 1，即4a2+b24，又由 ，结合基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，圆 x2+y24 的圆心为（0，0） ，半径 r2，若直线 2ax+by20 被圆 x2+y24 截得的弦长为 ，则圆心到直线 2ax+by20的距离 d1，又由圆心到直线 2ax+by20 的距离 d ，则有1，即 4a2+b24，则 ；则 的最大值是 ；故答案为： 【点评】此题
21、考查直线与圆相交的性质，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 （13 分）设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且b3，c 1，A2B（）求 a 的值；（）求 的值【分析】 （）利用正弦定理和余弦定理建立方程关系进行求解空间（）利用两角和差的余弦公式进行求解【解答】 （） 解：由 A2B，知 sinAsin2B2sin BcosB，（1 分）第 14 页（共 20 页）由正、余弦定理得 （3 分）因为 b3，c1，所以 a212，则 （5 分）（） 解：由余弦定理得 （6 分）由
22、于 0A，所以 （8 分）故 （11 分）（13 分）【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的余弦公式是解决本题的关键考查学生的计算能力16 （13 分）点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠 10 元或者 16 元代金券一张，中奖率分别为 和 ，每人限点一餐，且 100%中奖现有 A 公司甲、乙、丙、丁四位员工决定点餐试吃（）求这四人中至多一人抽到 16 元代金券的概率；（）这四人中抽到 10 元、16 元代金券的人数分别用 X、Y 表示，记 XY，求随机变量 的分布列和数学
23、期望【分析】 （）设“这 4 人中恰有 i 人抽到 16 元代金券”为事件 Ai，由此利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式能求出这 4 人中恰有 1 人抽到 500 元代金券的概率（）由已知 可取 0，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 的分布列与数学期望【解答】 （本题 13 分）（） 解：设 “四人中恰有 i 人获赠 16 元代金券”为事件 Ai，其中i0，1，2，3，4则 由 P（A i） （2 分）得 （5 分）（） 解：随机变量 的所有可能取值为 0，3，4（6 分）第 15 页（共 20 页）， （8 分），（10 分），（11 分）随机变
24、量 的分布列为： 0 3 4P（12 分） 的数学期望 （13 分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用17 （13 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是菱形，PO底面 ABCD，O 、E 分别是AD、AB 的中点，AB6， AP5，BAD60（）证明：ACPE；（）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值；（）在 DC 边上是否存在点 F，使 BF 与 PA 所成角的余弦值为 ，若存在，确定点 F 位置；若不存在，说明理由【分析】 （I）建立坐标系，求出 的坐标，计算 0 得出结论；（II）求出平
25、面 POE 的法向量 ，计算 与 的夹角得出结论；（III）设 ，计算 与 的夹角，解方程求出 的值得出结论【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，BAD60，ABD 是等边三角形，又 OP底面 ABCD，OA ， OB，OP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系 O xyz，第 16 页（共 20 页）依题意可得 O（0，0，0） ，A（3，0，0） ， ，D （3，0，0） ，P（0，0，4） （） 证明： ， ， ，因此 ACPE（） 解：设平面 POE 的法向量为 ，则 ， ， ， 令 y1，得 ，又 设 PB 与平面 POE 所成角为 ，则（） 解：假设存在 FDC，使 ，计算得 ，则 又
26、 ，由异面直线 PA 与 BF 所成角的余弦值为 ，得 ，解得 满足条件 0，1 ，因此，存在点 F 在 DC 的中点处【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角的计算，属于中档题第 17 页（共 20 页）18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn3n 2+8n， bn是等差数列，且 anb n+bn+1（）求数列b n的通项公式；（）令 cn ，求数列c n的前 n 项和 Tn【分析】 （）求出数列a n的通项公式，再求数列b n的通项公式；（）求出数列c n的通项，利用错位相减法求数列 cn的前 n 项和 Tn【解答】解：（）S n3n 2+8n，n2 时，a nS nS
27、n1 6n+5，n1 时，a 1S 111，a n6n+5；a nb n+bn+1，a n1 b n1 +bn，a na n1 b n+1b n1 2d6，d3，a 1b 1+b2，112b 1+3，b 14，b n4+3（n1）3n+1 ；（）c n 6（n+1）2 n，T n62 2+322+（n+1）2 n，2T n62 22+323+n2n+（n+1 ）2 n+1，可得T n62 2+22+23+2n（n+1 ）2 n+112+6 6（n+1）2 n+1（6n）2 n+13n2 n+2，第 18 页（共 20 页）T n3n2 n+2【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的
28、通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题19 （14 分）已知椭圆 （ab0）经过点 ，左、右焦点分别F1、F 2，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为 （）求椭圆 C 的标准方程；（）设 Q 是椭圆 C 上不在 x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过点 F2 作 OQ 的平行线交椭圆于 M、N 两个不同的点，求 的值【分析】 （） 由题知 求出 a，b 即可得到椭圆方程（） 设直线 OQ：xmy，则直线 与椭圆联立，求出 OQ，MN，然后求解比值即可【解答】 （本题 14 分）（） 解：由题知 （2 分）解得 （3 分）则椭圆 C 的标准方程为 （4 分）（） 解：由（）知， ，（5
29、 分）设直线 OQ：x my，则直线 （6 分）联立 得 ，所以 （8 分）第 19 页（共 20 页）由 得 （9 分）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 （10 分）所以 （11 分） （13 分）所以 （14 分）【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力20 （14 分）设函数 f（x ）xe kx（k0） ，（1）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（2）讨论函数 f（x ）的单调性；（3）设 g（x）x 22bx +4，当 k1 时，若对任意 x1R，存在 x21，2，使 f（x 1）
30、g（x 2） ，求实数 b 取值范围【分析】 （1）f（x ）（1+ kx）e kx，由 f（0）0，且 f（0）1，能求出曲线yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程（2）令 f（x ）（1+kx）e kx0，所以 1+kx0，由此利用 k 的符号进行分类讨论，能求出 f（x）的单调性（3）当 k1 时，f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以对任意 x1R，有 f（x 1）f（1） ，已知存在 x21，2，使 f（x 1）g（x 2） ，所以 g（x 2） ，x 21，2，由此能求出实数 b 取值范围【解答】解：（1）f（x ）（1+kx ）e kx，因为 f（0）0
31、，且 f（0）1，所以曲线 yf（ x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为：yx （4 分）第 20 页（共 20 页）（2）令 f（x ）（1+kx）e kx0，所以 1+kx0，当 k0 时，x ，此时 f（x）在（ ， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增；当 k0 时，x ，此时 f（x）在（ ， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减 （8 分）（3）当 k1 时，f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以对任意 x1R，有 f（x 1）f（1） ，又已知存在 x21，2，使 f（x 1）g（ x2） ，所以 g（x 2） ，x 21，2 ，即存在 x1， 2，使 g（x）x 22bx +4 ，即 2bx+ ，即因为当 x1，2，x+ 4+ ，5+ ，所以 2b4+ ，即实数 b 取值范围是 b2+ （14 分）【点评】本题考查切线方程的求法，考查函数单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法解题时要认真审题，仔细解答
