1、2019 年广东省中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D2 （3 分）初步核算并经国家统计局核定，2017 年广东全省实现地区生产总值约 90000 亿元，比上年增长 7.5%将 90000 亿元用科学记数法表示应为（ ）元A910 11 B910 4 C910 12 D910 103 （3 分）下列说法正确的是（ ）A2 的相反数是 2 B2 的绝对值是 2C2 的倒数是 2 D2 的平方根是 24 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa 2+a3a 5 B （a 2） 3a 5Ca 3
2、a2a D （ab） 2a 2b 25 （3 分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）A B C D6 （3 分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含 30角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，2115，则1 的度数是（ ）A75 B85 C60 D657 （3 分）如图，在O 中，OCAB，A20，则1 等于（ ）A40 B45 C50 D608 （3 分）有三张正面分别写有数字1，2，2 的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为 a 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为
3、b 的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）A B C D9 （3 分）点 A（t，2）在第二象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 ，tan ，则 t 的值为（ ）A B2 C2 D310 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB5，BC3，点 E 在 AD 上，且 AE1，点 P是线段 AB 上一动点，折叠纸片，使点 P 与点 E 重合，展开纸片得折痕 MN，过点 P 作PQAB，交 MN 所在的直线于点 Q设 xAP，yPQ，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）A BC D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）方程 x2x 的解是 12 （
4、4 分）因式分解：3x 2+6x+3 13 （4 分）把抛物线 y2x 21 向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为 14 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O，AC14cm ，BD8cm，AD6cm ，则OBC 的周长是 15 （4 分）在ABC 中 BC2，AB2 ，AC b，且关于 x 的方程 x24x+b0 有两个相等的实数根，则 AC 边上的中线长为 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，Rt OA 1C1，RtOA 2C2，RtOA 3C3，的斜边都在坐标轴上，A 1OC1A 2OC2A 3OC3A 4OC430若点 A1 的
5、坐标为（3，0） ，OA 1OC 2， OA2OC 3，OA 3OC 4，则依此规律， 的值为 三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）17 （6 分）计算： | 3|+ 4cos3018 （6 分）先化简，后求值：（x ） ，其中 x2 19 （6 分）已知等腰ABC 的顶角A36（如图） （1）请用尺规作图法作底角ABC 的平分线 BD，交 AC 于点 D（保留作图痕迹，不要求写作法） ；（2）证明：ABCBDC四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）20 （7 分）在国务院办公厅发布中国足球发展改革总体方案之后，某校为了调查本校
6、学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是 ；（2）补全折线统计图（3）扇形统计图中， “了解”所对应扇形的圆心角的度数为 ，m 的值为 ；（4）若该校共有学生 3000 名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数21 （7 分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多 5 个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的 6 倍（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为 100
7、 万元，乙队每月的施工费比甲队多 50 万元在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的 2 倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过 1500 万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）22 （7 分）如图，在正方形 ABCD 中，边长 AB3，点 E（与 B，C 不重合）是 BC 边上任意一点，把 EA 绕点 E 顺时针方向旋转 90到 EF，连接 CF（1）求证：CF 是正方形 ABCD 的外角平分线；（2）当BAE30时，求 CF 的长五、解答题（三） （本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）2
8、3 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB：ykx +b（b 为常数）与反比例函数y （x 0）交于点 B，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，且 OBAB（1）如图 ，若点 A 的坐标为（6，0）时，求点 B 的坐标及直线 AB 的解析式；（2）如图 ，若 OBA90，求点 A 的坐标；（3）在（2）的条件下中，如图，PA 1A 是等腰直角三角形，点 P 在反比例函数y （x0）的图象上，斜边 A1A 都在 x 轴上，求点 A1 的坐标24 （9 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，以点 D 为圆心的 D 与边 AB 相切于点E（1）求证：BC 是D 的切线；（2）设D
9、与 BD 相交于点 H，与边 CD 相交于点 F，连接 HF，若 AB2 ，求图中阴影部分的面积；（3）假设圆的半径为 r， D 上一动点 M 从点 F 出发，按逆时针方向运动，且FDM90，连接 DM，MF，当 S 四边形 DFHM：S 四边形 ABCD3：4 时，求动点 M 经过的弧长25 （9 分）如图，已知抛物线 yax 2+ x+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，点 A 坐标为（1，0） ，点 C 坐标为（0， ） ，点D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，连接 CD，过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 A作 AEAC 交
10、 DH 的延长线于点 E（1）求 a，c 的值；（2）求线段 DE 的长度；（3）如图 ，试在线段 AE 上找一点 F，在线段 DE 上找一点 P，且点 M 为直线 PF 上方抛物线上的一点，求当CPF 的周长最小时，MPF 面积的最大值是多少？2019 年广东省中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答【解答】解：只有选项 C 连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转 180 度后所得的图形与原图形不会重合故选：C【点评】本题考
11、查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转 180 度后所得的图形与原图形完全重合，和正奇边形有关的一定不是中心对称图形2 （3 分）初步核算并经国家统计局核定，2017 年广东全省实现地区生产总值约 90000 亿元，比上年增长 7.5%将 90000 亿元用科学记数法表示应为（ ）元A910 11 B910 4 C910 12 D910 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：900
12、00 亿910 12，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分）下列说法正确的是（ ）A2 的相反数是 2 B2 的绝对值是 2C2 的倒数是 2 D2 的平方根是 2【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可【解答】解：A、2 的相反数是2，错误；B、2 的绝对值是 2，正确；C、2 的倒数是 ，错误；D、2 的平方根是 ，错误；故选：B【点评】此题考查了实数的性质，关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答4 （3 分）下列运算正确
13、的是（ ）Aa 2+a3a 5 B （a 2） 3a 5Ca 3a2a D （ab） 2a 2b 2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式a 6，不符合题意；C、原式a，符合题意；D、原式a 22ab+b 2，不符合题意，故选：C【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键5 （3 分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）A B C D【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据数轴判断即可【解答】解：由数轴可得：2x1，故选：D【点评】本
14、题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键6 （3 分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含 30角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，2115，则1 的度数是（ ）A75 B85 C60 D65【分析】先根据平行线的性质，得出3 的度数，再根据三角形外角性质进行计算即可【解答】解：如图所示，DEBC，23115，又3 是ABC 的外角，13A1153085，故选：B【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等7 （3 分）如图，在O 中，OCA
15、B，A20，则1 等于（ ）A40 B45 C50 D60【分析】利用平行线的性质即可求得C 的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得O 的度数，再利用三角形的外角的性质即可求解【解答】解：OCAB，CA20，又O2A40，1O+ C20+40 60故选：D【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质定理，正确利用圆周角定理求得O 的度数是关键8 （3 分）有三张正面分别写有数字1，2，2 的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为 a 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为 b 的值，则点（a，b）在第二象限的概
16、率为（ ）A B C D【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有 6 种等可能结果，其中点（a，b）在第二象限的有 2 种结果，所以点（a，b）在第二象限的概率为 ，故选：B【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图9 （3 分）点 A（t，2）在第二象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 ，tan ，则 t 的值为（ ）A B2 C2 D3【分析】如图，作 AEx
17、 轴于 E根据 tanAOE ，构建方程即可解决问题【解答】解：如图，作 AEx 轴于 E由题意：tanAOE ，A（t，2） ，AE2，OE t， ，t ，故选：A【点评】本题考查解直角三角形的应用，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB5，BC3，点 E 在 AD 上，且 AE1，点 P是线段 AB 上一动点，折叠纸片，使点 P 与点 E 重合，展开纸片得折痕 MN，过点 P 作PQAB，交 MN 所在的直线于点 Q设 xAP，yPQ，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）A BC D【分析】过点 E 作
18、EFQP，垂足为 F，连接 EQ由翻折的性质可知 QEQP，从而可表示出 QF、EF 、EQ 的长度，然后在 EFQ 中利用勾股定理可得到函数的关系式【解答】解：如图所示，过点 E 作 EFQP，垂足为 F，连接 EQ由翻折的性质可知：EQQPyEAP APFPFE 90，四边形 EAPF 是矩形EFAPx ，PF EA1QFQP PFy 1在 Rt EFQ 中，由勾股定理可知：EQ 2QF 2+EF2，即 y2（y1） 2+x2整理得：y 故选：D【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质和判定、勾股定理的应用，表示出QF、EF、EQ 的长度，在EFQ 中利用勾股定理列出函数关系式是解题
19、的关键二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）方程 x2x 的解是 x 10，x 21 【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解【解答】解：x 2x ，移项得：x 2x0，分解因式得：x（x 1）0，可得 x0 或 x10，解得：x 10，x 21故答案为：x 10，x 21【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为 0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0转化为两个一元
20、一次方程来求解12 （4 分）因式分解：3x 2+6x+3 3（x+1） 2 【分析】原式提取 3，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式3（x 2+2x+1）3（x+1） 2，故答案为：3（x+1） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键13 （4 分）把抛物线 y2x 21 向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为 y2x 2 【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减” ，在原式上加 1 即可得新函数解析式 y2x 2【解答】解：抛物线 y2x 21 向上平移一个单位长度，新抛物线为 y2x 2故答案为 y2x 2【点评】此题比较容
21、易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式14 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O，AC14cm ，BD8cm，AD6cm ，则OBC 的周长是 17cm 【分析】根据平行四边形的对边相等以及对角线互相平分进而求出即可【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，AC14cm ，BD8cm ，AD6cm ，CO AC7cm，BO BD4cm，BCAD 6cm，OBC 的周长BC+BO+ CO6+7+417（cm） 故答案为：17cm【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练根据平行四边形的性质得出BO，BC，
22、CO 的长是解题关键15 （4 分）在ABC 中 BC2，AB2 ，AC b，且关于 x 的方程 x24x+b0 有两个相等的实数根，则 AC 边上的中线长为 2 【分析】由根的判别式求出 ACb4，由勾股定理的逆定理证出ABC 是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论【解答】解：关于 x 的方程 x24x +b0 有两个相等的实数根，164b0，ACb4，BC2，AB 2 ，BC 2+AB2AC 2，ABC 是直角三角形，AC 是斜边，AC 边上的中线长 AC2；故答案为：2【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明ABC 是直角三角形是
23、解决问题的关键16 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，Rt OA 1C1，RtOA 2C2，RtOA 3C3，的斜边都在坐标轴上，A 1OC1A 2OC2A 3OC3A 4OC430若点 A1 的坐标为（3，0） ，OA 1OC 2， OA2OC 3，OA 3OC 4，则依此规律， 的值为 【分析】根据含 30 度的直角三角形三边的关系得OA2 3 ；OA 3 3（） 2；OA 4 3（ ） 3，于是可得到OA20163（ ） 2015， OA20183（ ） 2017，代入 ，化简即可【解答】解：A 2OC230，OA 1OC 23，OA 2 3 ；OA3 3（ ） 2；OA4
24、3（ ） 3，OA 20163（ ） 2015，OA 20183（ ） 2017， （ ） 2 故答案为 【点评】本题考查了规律型，点的坐标，坐标与图形性质，通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系及三角函数三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）17 （6 分）计算： | 3|+ 4cos30【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式4 3+201844 3+201822015+2 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解
25、题关键18 （6 分）先化简，后求值：（x ） ，其中 x2 【分析】先计算括号内减法、同时将除法转化为乘法，再约分即可化简，最后代入求值即可【解答】解：原式 ，当 x2+ 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的混合运算顺序是解题的关键19 （6 分）已知等腰ABC 的顶角A36（如图） （1）请用尺规作图法作底角ABC 的平分线 BD，交 AC 于点 D（保留作图痕迹，不要求写作法） ；（2）证明：ABCBDC【分析】 （1）利用角平分线的作法作出线段 BD 即可；（2）先根据等腰三角形的性质得出ABCC72，再由角平分线的性质得出ABD 的度数，故可得出ACBD3
26、6，C C，据此可得出结论【解答】解：（1）如图，线段 BD 为所求出；（2）A36，AB AC，ABCC （18036）72BD 平分ABC，ABDDBC72236ACBD36，CC ，ABDBDC【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）20 （7 分）在国务院办公厅发布中国足球发展改革总体方案之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是 120 人
27、；（2）补全折线统计图（3）扇形统计图中， “了解”所对应扇形的圆心角的度数为 30 ，m 的值为 25 ；（4）若该校共有学生 3000 名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数【分析】 （1）根据了解很少的人数以及百分比，求出总人数即可（2）求出不了解的人数，画出折线图即可（3）根据圆心角360百分比计算即可（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可【解答】解：（1）总人数6050%120（人） （2）不了解的人数12060301020（人） ，折线图如图所示：（3）了解的圆心角 36030，基本了解的百分比 25%，m25故答案为：30，25（4）3000 50
28、0（人） ，答：估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数为 500 人【点评】本题考查折线统计图，样本估计总体，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型21 （7 分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多 5 个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的 6 倍（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为 100 万元，乙队每月的施工费比甲队多 50 万元在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的 2 倍，那么，甲队
29、最多施工几个月才能使工程款不超过 1500 万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）【分析】 （1）设甲队单独完成需要 x 个月，则乙队单独完成需要 x5 个月，根据题意列出关系式，求出 x 的值即可；（2）设甲队施工 y 个月，则乙队施工 y 个月，根据工程款不超过 1500 万元，列出一元一次不等式，解不等式求最大值即可【解答】解：（1）设甲队单独完成需要 x 个月，则乙队单独完成需要（x5）个月，由题意得，x（x 5）6（x+x5） ，解得 x115，x 22（不合题意，舍去） ，则 x510答：甲队单独完成这项工程需要 15 个月，则乙队单独完成这项工程需要 10 个月；（2）设甲队施
30、工 y 个月，则乙队施工 y 个月，由题意得，100y+（100+50） 1500，解不等式得 y8.57，施工时间按月取整数，y8，答：完成这项工程，甲队最多施工 8 个月才能使工程款不超过 1500 万元【点评】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解22 （7 分）如图，在正方形 ABCD 中，边长 AB3，点 E（与 B，C 不重合）是 BC 边上任意一点，把 EA 绕点 E 顺时针方向旋转 90到 EF，连接 CF（1）求证：CF 是正方形 ABCD 的外角平分线；（2）当BAE30时，求 CF 的长【分析】
31、（1）过点 F 作 FG BC 于点 G，易证ABE EGF，所以可得到ABEG ，BEFG，由此可得到FCG45，即 CF 平分DCG，所以 CF 是正方形 ABCD 外角的平分线；（2）首先可求出 BE 的长，即 FG 的长，再在 RtCFG 中，利用 cos45即可求出 CF的长【解答】 （1）证明：过点 F 作 FGBC 于点 GAEF B90，12在ABE 和EGF 中，ABE EGF（AAS ） ABEG ，BEFG又ABBC，BECG，FGCG，FCG45，即 CF 平分DCG，CF 是正方形 ABCD 外角的平分线（2）AB3，BAE30，tan30 ，BEABtan30 3
32、，即 CG 在 Rt CFG 中， cos45 ，CF 【点评】主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题目的综合性较强，难度中等五、解答题（三） （本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）23 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB：ykx +b（b 为常数）与反比例函数y （x 0）交于点 B，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，且 OBAB（1）如图 ，若点 A 的坐标为（6，0）时，求点 B 的坐标及直线 AB 的解析式；（2）如图 ，若 OBA90，求点 A 的坐标；（3）在（2）的条件下中，如图，PA 1A 是等腰直角
33、三角形，点 P 在反比例函数y （x0）的图象上，斜边 A1A 都在 x 轴上，求点 A1 的坐标【分析】 （1）如图，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：OCAC OA，所以OCAC3，根据点 B 在反比例函数 y （x0）的图象上，代入解析式可得 B 的坐标，再利用待定系数法可得直线 AB 的解析式；（2）如图 ，根据 AOB 是等腰直角三角形，得 BC OC OA，设点 B（a，a）（a0） ，列方程可得 a 的值，从而得 A 的坐标；（3）如图 ，作辅助线，根据PA 1A 是等腰直角三角形，得 PDAD ，设ADm（m 0 ） ，则点 P 的坐标为（4 +m，m ） ，列方程可得结论【
34、解答】解：（1）如图，过 B 作 BCx 轴于 C，OBAB，BC x 轴，OCAC OA，点 A 的坐标为（6，0） ，OA6，OCAC3，点 B 在反比例函数 y （x 0）的图象上，y 4，B（3，4） ，点 A（6，0） ，点 B（3，4）在 ykx+b 的图象上， ，解得： ，直线 AB 的解析式为：y x+8；（2）如图 ， OBA90，OB AB ，AOB 是等腰直角三角形，BCOC OA，设点 B（a，a） （a0） ，顶点 B 在反比例函数 y （x 0）的图象上，a ，解得：a （负值舍） ，OC2 ，OA2OC4 ，A（4 ，0） ；（3）如图 ，过 P 作 PDx 轴于
35、点 D，PA 1A 是等腰直角三角形，PDAD ，设 ADm（m 0） ，则点 P 的坐标为（4 +m，m ） ，m（4 +m）12，解得：x 12 2 ，m 22 2 （负值舍去） ，A 1A2m4 4 ，OA 1OA +AA14 ，点 A1 的坐标是（4 ，0） 【点评】此题是反比例函数与一次函数的综合题，难度适中，解题的关键是：（1）求出点 B 的坐标；（2）根据点 B 在反比例函数图象上列方程；（3）设 ADm ，表示 P的坐标并列方程解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数解析式列方程是关键24 （9 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，以点 D 为圆心的 D 与边 AB
36、 相切于点E（1）求证：BC 是D 的切线；（2）设D 与 BD 相交于点 H，与边 CD 相交于点 F，连接 HF，若 AB2 ，求图中阴影部分的面积；（3）假设圆的半径为 r， D 上一动点 M 从点 F 出发，按逆时针方向运动，且FDM90，连接 DM，MF，当 S 四边形 DFHM：S 四边形 ABCD3：4 时，求动点 M 经过的弧长【分析】 （1）过 D 作 DQBC 于 Q，连接 DE证明 DEDQ ，即 BC 是D 的切线；（2）过 F 作 FNDH 于 N先证明ABD 为等边三角形，所以DAB60，ADBDAB，再证明DHF 为等边三角形，在 RtDFN 中，FNDH，BDC
37、60，sinBDCsin60 ，FN ，S 阴影 S扇形 FDHS FDH ；（3）假设点 M 运动到某个位置时，符合题意，连接 DM、DF，过 M 作 NZDF 于 Z，当 M 运动到离弧最近时，DEDHDFDMr ，证明 MDC60，此时，动点 M经过的弧长为 r【解答】解：（1）证明：过 D 作 DQBC 于 Q，连接 DE D 且 AB 于 E，DEAB，四边形 ABCD 是菱形，BD 平分ABC，DEDQ ，BC 是D 的切线；（2）过 F 作 FNDH 于 N四边形 ABCD 是菱形，AB2 ，ADAB2 ，DC AB ，在 RtADE 中，DEAB ，A60，sinAsin60
38、，DE3，DHDFDE 3ADAB2 ，A60，ABD 为等边三角形，DAB60，AD BD AB，DCAB ，BDCDBA60，DHDF 3 ，DHF 为等边三角形，在 Rt DFN 中， FNDH，BDC60，sinBDCsin60 ，FN ，S 阴影 S 扇形 FDHS FDH ；（3）假设点 M 运动到某个位置时，符合题意，连接 DM、DF，过 M 作 NZDF 于 Z，当 M 运动到离弧最近时，DEDH DF DM r，由（2）在 Rt DFN 中，sin BDCsin60 ，FN ，SHDF ，在 Rt ADE 中，sinAsin60 ，AD r，ABAD r，S 菱形 ABCDA
39、B DE ，当 S 四边形 DFHM：S 四边形 ABCD3：4，S 四边形 DFHM ，S DFM S 四边形 DFHMS HDF DFMZ rMZ，MZ ，在 Rt DMF 中，MF CD ，sinMDC ，MDC60，此时，动点 M 经过的弧长为 r【点评】本题考查了圆综合知识，熟练掌握圆的相关知识与菱形的性质以及特殊三角函数值是解题的关键25 （9 分）如图，已知抛物线 yax 2+ x+c（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，点 A 坐标为（1，0） ，点 C 坐标为（0， ） ，点D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，连接 CD，
40、过点 D 作 DHx 轴于点 H，过点 A作 AEAC 交 DH 的延长线于点 E（1）求 a，c 的值；（2）求线段 DE 的长度；（3）如图 ，试在线段 AE 上找一点 F，在线段 DE 上找一点 P，且点 M 为直线 PF 上方抛物线上的一点，求当CPF 的周长最小时，MPF 面积的最大值是多少？【分析】 （1）：（1）将 A（1，0） ，C（0， ）代入抛物线yax 2+ x+c（a0） ，求出 a、c 的值；（2）由（1）得抛物线解析式：y ，点 D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，C（0， ） ，所以 D（2， ） ，DH ，再证明ACOEAH，于是 即 ，解得：EH2 ，则
41、DE 2 ；（3）找点 C 关于 DE 的对称点 N（4， ） ，找点 C 关于 AE 的对称点 G（2， ） ，连接 GN，交 AE 于点 F，交 DE 于点 P，即 G、F 、P、N 四点共线时，CPF 周长CF+PF+CPGF+ PF+PN 最小，根据 SMFP ，m 时，MPF 面积有最大值 【解答】解：（1）将 A（1，0） ，C（0， ）代入抛物线 yax 2+ x+c（a0） ，a ，c（2）由（1）得抛物线解析式：y点 D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，C（0， ）D（2， ） ，DH ，令 y0，即 x2+ x+ 0，得 x11，x 23，A（1，0） ，B（3，0）
42、，AEAC，EHAH，ACOEAH， 即 ，解得：EH2 ，则 DE2 ；（3）找点 C 关于 DE 的对称点 N（4， ） ，找点 C 关于 AE 的对称点 G（2， ） ，连接 GN，交 AE 于点 F，交 DE 于点 P，即 G、F 、P、N 四点共线时，CPF 周长CF+PF+CPGF+ PF+PN 最小，直线 GN 的解析式：y x ，由（2）得 E（2， ） ，A（1，0） ，直线 AE 的解析式：y x ，联立解得F （0， ） ，DHx 轴，将 x2 代入直线 AE 的解析式：y x ，P（2， ）F （0， ）与 P（2， ）的水平距离为 2过点 M 作 y 轴的平行线交 FH 于点 Q，设点 M（m， m2+ m+ ） ，则 Q（m ， m ）（ m ） ；S MFP S MQF +SMQP MQ2MQ（ m2+ m+ ）（ m ） ，SMFP 对称轴为：直线 m ，开口向下， m ，m 时，MPF 面积有最大值为 【点评】本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键
