1、2018-2019 学年度第二学期初三第二次模拟考试数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1 （3 分）2019 的倒数是（ ）A2019 B C D20192 （3 分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）A BC D3 （3 分）湖南铁路“五纵五横”的干线网、以长沙为中心的“一环八射”快速网将在2020 年初步完成，届时长沙铁路总里程将达到 6800 公里左右，数据 6800 用科学记数法表示为（ ）A0.6810 4 B6.810 3 C6810 2 D68010 14 （3 分）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，则 的值为（
2、 ）A1 B C D5 （3 分）下列命题是真命题的是（ ）A对角线相等的平行四边形是矩形B菱形的对角线相等C四边都相等的四边形是矩形D对角线互相垂直的平行四边形是正方形6 （3 分）估计 的值在（ ）A0 到 1 之间 B1 到 2 之间 C2 到 3 之间 D3 到 4 之间7 （3 分）如图，ADBC，AC 平分BAD，若B40，则C 的度数是（ ）A40 B65 C70 D808 （3 分）如图，O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC若A60，ADC90，则C 的度数是（ ）A25 B27.5 C30 D359 （3 分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）A科学
3、实验，前 500 次实验都失败了，第 501 次实验会成功B投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是 7 点C天空出现两个太阳D用长度分别是 6cm，8cm，10cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形10 （3 分）被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作 九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻一雀一燕交而处，衡适平并燕、雀重一斤问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有 5 只雀、6 只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5 只雀、6 只燕重量为 1 斤问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重 x 斤，每只燕
4、重 y 斤，可列方程组为（ ）A BC D11 （3 分）如图是一个圆锥体的三视图，则这个圆锥体的全面积为（ ）A20 B30 C36 D4012 （3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c+2 的图象如右图所示，顶点为（1，0） ，下列结论：abc0；b 24ac0； 2ab0；4a2b+c 0其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分，每题 2 分）13 （3 分）分解因式：3x 36x 2+3x 14 （3 分）一个正多边形的每个内角等于 108，则它的边数是 15 （3 分）抛物线 y2x 2+8x+5 的顶点坐标为 16 （3
5、分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，BFAE 交 DC 于点 F，若AB 5，BE2，则 AF 17 （3 分）如图，在正方形网格中，cosACB 18 （3 分）如图，在ABC 中，A60，BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC边的中点，连接 PM，PN，则下列结论： PMPN ；ABM ACN； ；PMN 为等边三角形； 当ABC45时，BN PC其中正确的是 （请填序号）三、解答题（本大题共 8 题，第 19、20 每小题 6 分，第 21、22 每小题 6 分，第 23、24 每小题 6 分，第 25、26 每小题 6 分，共 66 分）解答时写出
6、必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19 （6 分）计算：（ ） 2 （2019） 02sin45 +| 1|20 （6 分）先化简，再求值 x2（x y2）+（ x+ y2） ，其中 x2，y 21 （8 分）如图，点 B 是O 上一点，弦 CDOB 于点 E，过点 C 的切线交 OB 的延长线于点 F，连接 DF，（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，CFD60，求 CD 的长22 （8 分）第十二届校园艺术节正在如火如荼的进行，我校九年级组织 1500 名学生参加了一次“湘一情校园知识”大赛赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 60 分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布
7、情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，成绩如下：90，92，81，82，78，95，86，88，72，66，62，68，89，86，93，97，100，73，76，80，77，81，86，89，82，85，71，68，74，98，90，97，100，84，87，73，65，92，96，60对上述成绩进行了整理，得到下列不完整的统计图表：成绩 x/分 频数 频率60x70 6 0.1570x80 8 0.280x90 a b90x100 c d请根据所给信息，解答下列问题：（1）a ，b ，c ，d ；（2）请补全频数分布直方图；（3）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等
8、，请你估计参加这次比赛的 1500名学生中成绩“优”等的约有多少人？23 （9 分）马上开学，益文超市王老板购进了一批笔和作业本，已知每本作业本的进价比每个笔的进价少 10 元，且用 480 元购进作业本的数目是用同样金额购进笔的支数的 6倍（1）求每支笔和每个作业本的进价分别是多少元？（2）由于销售火爆，第一批销售完了以后，该商店用相同的价格再购进 300 支作业本和 200 本笔，已知作业本售价为 6 元一本，笔售价为 24 元一支，销售一段时间后，作业本卖出了总数的 ，笔售出了总数的 ，为了清仓，该店老板对剩下的笔和作业本以相同的折扣数进行打折销售，并很快全部售出求商店最低打几折可以使得
9、第二次购进的这批作业本和笔的总利润率不低于 90%？24 （9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，CEBC 交 AD 于点 E，连接 BE，点 F 是 BE上一点，连接 CF（1）如图 1，若ECD30，BC 4，DC2，求 tanCBE 的值；（2）如图 2，若 BCEC，过点 E 作 EMCF ，交 CF 延长线于点 M，延长 ME、CD相交于点 G，连接 BG 交CM 于点 N 且 CMMG，在射线 GM 上是否存在一点 P，使得BCPECG？若存在，请指出点 P 的位置并证明这对全等三角形；若没有，请说明理由求证： EG 2MN25 （10 分）定义：点 P（a，b）关于原点的对称
10、点为 P，以 PP为边作等边PP C，则称点 C 为 P 的 “等边对称点” ；（1）若 P（1，3） ，求点 P 的“等边对称点”的坐标（2）平面内有一点 P（1，2） ，若它其中的一个“等边对称点”C 在第四象限时，请求此 C 点的坐标；（3）若 P 点是双曲线 y （x 0）上一动点，当点 P 的“等边对称点”点 C 在第四象限时，如图（ 1） ，请问点 C 是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由如图（ 2） ，已知点 A （1，2） ，B （2，1） ，点 G 是线段 AB 上的动点，点 F 在 y 轴上，若以 A、G、F、C 这四个点为顶点的
11、四边形是平行四边形时，求点 C 的纵坐标 yc的取值范围26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax 2+bx+c 与 x 轴相交于点A（1 ，0）和 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，连接 AC、BC，且ACB90（1）求二次函数的解析式；（2）如图（1） ，若 N 是 AC 的中点，M 是 BC 上一点，且满足 CM2BM ，连 AM、BN相交于点 E，求点 M 的坐标和 EMB 的面积；（3）如图（2） ，将AOC 沿直线 BC 平移得到A OC，再将AOC沿AC翻折得到AOC，连接AO，AC，请问AOC能否构成等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点C 的坐标；若不
12、能，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1 （3 分）2019 的倒数是（ ）A2019 B C D2019【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案【解答】解：2019 的倒数是： 故选：C【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键2 （3 分）下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形的概念判断即可【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不 是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：C【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3 （3 分
13、）湖南铁路“五纵五横”的干线网、以长沙为中心的“一环八射”快速网将在2020 年初步完成，届时长沙铁路总里程将达到 6800 公里左右，数据 6800 用科学记数法表示为（ ）A0.6810 4 B6.810 3 C6810 2 D68010 1【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：68006.810 3，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n
14、的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4 （3 分）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）A1 B C D【分析】由平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，可知ADE 与ABC 相似，且面积比为 ，则相似比为 ， 的值为 【解答】解：DEBC，ADEABC，DE 把ABC 分成面积相等的两部分，S ADE S 四边形 DBCE， ， ，故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等5 （3 分）下列命题是真命题的是（ ）A对角线相等的平
15、行四边形是矩形B菱形的对角线相等C四边都相等的四边形是矩形D对角线互相垂直的平行四边形是正方形【分析】根据矩形的判定定理、菱形的性质定理、正方形的判定定理判断即可【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，A 是真命题；B、菱形的对角线互相垂直，B 是假命题；C、四边都相等的平行四边形是矩形，C 是假命题；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， D 是假命题；故选：A【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理6 （3 分）估计 的值在（ ）A0 到 1 之间 B1 到 2 之间 C2 到 3 之间 D3 到
16、4 之间【分析】估算确定出所求即可【解答】解：91316，3 4， 3，0 1，故选：A【点评】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键7 （3 分）如图，ADBC，AC 平分BAD，若B40，则C 的度数是（ ）A40 B65 C70 D80【分析】根据平行线性质得出B+BAD180，C DAC，求出BAD，求出DAC，即可得出C 的度数【解答】解：ADBC，B+BAD180，B40，BAD140，AC 平分DAB ，DAC BAD70，ABC，CDAC70，故选：C【点评】本题考查了平行线性质和角平分线定义，关键是求出DAC 或BAC 的度数8 （3 分）如图，O 中，弦
17、BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC若A60，ADC90，则C 的度数是（ ）A25 B27.5 C30 D35【分析】由ADCA+B，A60，ADC90，推出B30，两点AOC2B60，再根据ADCAOC+C，即可求出C 【解答】解：ADCA+B，A60，ADC90，B30，AOC2B60，ADCAOC+C ，C906030，故选：C【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9 （3 分）下列事件中，属于随机事件的是（ ）A科学实验，前 500 次实验都失败了，第 501 次实验会成功B投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是
18、7 点C天空出现两个太阳D用长度分别是 6cm，8cm，10cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可【解答】解：A、科学实验，前 500 次实验都失败了，第 501 次实验会成功是随机事件；B、投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是 7 点是不可能事件；C、天空出现两个太阳是不可能事件；D、用长度分别是 6cm，8cm，10cm 的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形是必然事件；故选：A【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随
19、机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件10 （3 分）被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作 九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻一雀一燕交而处，衡适平并燕、雀重一斤问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有 5 只雀、6 只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5 只雀、6 只燕重量为 1 斤问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重 x 斤，每只燕重 y 斤，可列方程组为（ ）A BC D【分析】设每只雀有 x 两，每只燕有 y 两，根据五只雀、六只燕，共重 1 斤（等于 16两） ，雀重燕轻，
20、互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可【解答】解：设每只雀有 x 两，每只燕有 y 两，由题意得， 故选：C【点评】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组11 （3 分）如图是一个圆锥体的三视图，则这个圆锥体的全面积为（ ）A20 B30 C36 D40【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为 4，圆锥的高为 3，再根据勾股定理计算出母线长 l 为 5，然后根据圆锥的侧面积公式： S 侧 rl 代入计算即可【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为 8，即底面圆的半径 r 为 4，圆锥的高为 3，所以圆锥的母线长 l 5，
21、所以这个圆锥的全面积是 45+4220+1636 故选：C【点评】本题考查了圆锥的计算，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长掌握圆锥的侧面积公式：S 侧 2rl rl 是解题的关键也考查了三视图12 （3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c+2 的图象如右图所示，顶点为（1，0） ，下列结论：abc0；b 24ac0； 2ab0；4a2b+c 0其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出 a、b、c 之
22、间的关系，对照 4 条结论判断其正确与否，由此即可得出结论【解答】解：抛物线开口向上，则 a0，抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c+22，即 c0对称轴在 y 轴的左侧，则 b0，abc0，错误；抛物线与 x 轴只有一个交点，则 b24a（c+2）0，b 24ac8a0，b 24ac0， 错误；抛物线的顶点坐标为（1，0） ， ，b2a，即 2ab0，正确；b 2a，c0，4a2b+cc 0，正确故选：B【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数 yax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定是解题的关键二、填空题（
23、本大题共 6 小题，共 18.0 分，每题 2 分）13 （3 分）分解因式：3x 36x 2+3x 3x（x1） 2 【分析】此题是分解因式中综合性题目，应从提出 3x 这个公因式后，再利用完全平方公式进一步因式分解【解答】解：3x 36x 2+3x，3xx 23x2 x+3x，3x（x 22x+1） ，3x（x1） 2【点评】本题考查了提取公因式法与公式法因式分解，应注意找准公因式，提取公因式后因注意能否继续因式分解，此题容易分解因式不彻底14 （3 分）一个正多边形的每个内角等于 108，则它的边数是 5 【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为 72，再用外角和36
24、0除以 72，计算即可得解【解答】解：正多边形的每个内角等于 108，每一个外角的度数为 18010872，边数360725，这个正多边形是正五边形故答案为：5【点评】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便15 （3 分）抛物线 y2x 2+8x+5 的顶点坐标为 （2，3） 【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题【解答】解：y2x 2+8x+52（x +2） 23，该抛物线的顶点坐标为（2，3） ，故答案为：（2，3） 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答16 （3 分）如图，在正
25、方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，BFAE 交 DC 于点 F，若AB 5，BE2，则 AF 【分析】根据正方形的性质得到 ABBC，ABEBCF90，推出BAE EBH，根据全等三角形的性质得到 CFBE2，求得 DF523，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，ABBC， ABEBCF90，BAE +AEB90，BHAE，BHE90，AEB +EBH90，BAE EBH，在ABE 和BCF 中， ，ABE BCF（ASA ） ，CFBE2，DF523，四边形 ABCD 是正方形，ABAD 5，ADF90，由勾股定理得：AF 故答案为： 【点评】此题考查
26、了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明ABE BCF 是解本题的关键17 （3 分）如图，在正方形网格中，cosACB 【分析】过点 B 作 BDAC，垂足为点 D，在 RtBCD 中，利用勾股定理可求出 BC 的长，结合余弦的定义可求出 cosACB 的值，此题得解【解答】解：过点 B 作 BD AC，垂足为点 D，如图所示在 Rt BCD 中， CD1，BD2，BC ，cosACB 故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形，牢记余弦的定义是解题的关键18 （3 分）如图，在ABC 中，A60，BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC边的中点，连接 PM，P
27、N，则下列结论： PMPN ；ABM ACN； ；PMN 为等边三角形； 当ABC45时，BN PC其中正确的是 （请填序号）【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确；先证明ABM ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断 正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABMACN30，再根据三角形的内角和定理求出BCN+ CBM60，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出BPN+CPM 120，从而得到MPN 60，又由得 PMPN ，根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形可判断正确；当ABC45时，BCN45，由 P 为 BC 边的中点，得出 BN
28、 PB PC，判断 正确【解答】解：BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC 边的中点，PM BC， PN BC，PMPN，正确；在ABM 与ACN 中，AA ，AMBANC90，ABM ACN， ； 正确； A60 ，BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，ABM ACN30，在ABC 中，BCN+ CBM1806030260，点 P 是 BC 的中点，BMAC ，CN AB，PMPNPBPC，BPN2BCN，CPM2CBM，BPN+ CPM2（BCN+CBM）260120，MPN60，PMN 是等边三角形，正确；当 ABC45时，CNAB 于点 N，BNC 90 ，BCN 45
29、 ，BNCN，P 为 BC 边的中点，PNBC，BPN 为等腰直角三角形BN PB PC，正确故答案为： 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键三、解答题（本大题共 8 题，第 19、20 每小题 6 分，第 21、22 每小题 6 分，第 23、24 每小题 6 分，第 25、26 每小题 6 分，共 66 分）解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19 （6 分）计算：（ ） 2 （2019） 02sin45 +| 1|
30、【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式412 + 141 + 12【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20 （6 分）先化简，再求值 x2（x y2）+（ x+ y2） ，其中 x2，y 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式 x2x+ y2 x+ y23x+y 2，当 x2，y 时，原式6 【点评】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键21 （8 分）如图，点 B 是O 上一点，弦 CDOB 于点 E，过点 C 的切线交 OB
31、 的延长线于点 F，连接 DF，（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，CFD60，求 CD 的长【分析】 （1）连接 OD，如图，利用切线的性质得OCD+DCF90，再利用垂径定理得到 OF 为 CD 的垂直平分线，则 CFDF，所以CDFDCF，加上CDOOCD，则CDO+CDB90，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）根据切线的性质得到CFO30，求得COF60，根据直角三角形的性质和垂径定理即可得到结论【解答】 （1）证明：连接 OD，如图，CF 是O 的切线OCF90，OCD+DCF90直径 AB弦 CD，CEED，即 OF 为 CD 的垂直平分线CFDF，CDF
32、DCF，OCOD，CDOOCDCDO+CDBOCD+DCF90，ODDF ，DF 是 O 的切线；（2）解：FC，FD 是O 的切线，CFD60，CFO30，COF60，CDOB，OCE30，OC2，CE OC ，CD2CE2 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线” ；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径” 也考查了圆周角定理和垂径定理22 （8 分）第十二届校园艺术节正在如火如荼的进行，我校九年级组织 1500 名学生参加了一次“湘一情校园知识”大赛赛后
33、发现所有参赛学生的成绩均不低于 60 分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，成绩如下：90，92，81，82，78，95，86，88，72，66，62，68，89，86，93，97，100，73，76，80，77，81，86，89，82，85，71，68，74，98，90，97，100，84，87，73，65，92，96，60对上述成绩进行了整理，得到下列不完整的统计图表：成绩 x/分 频数 频率60x70 6 0.1570x80 8 0.280x90 a b90x100 c d请根据所给信息，解答下列问题：（1）a 14 ，b 12 ，c 0.35
34、 ，d 0.3 ；（2）请补全频数分布直方图；（3）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，请你估计参加这次比赛的 1500名学生中成绩“优”等的约有多少人？【分析】 （1）根据成绩样本，80x90 共 14 人，即 a14，频数b14400.35；90x100 共 12 人，即 c12，频数 d12400.3；（2）根据（1）补全频数分布直方图即可；（3）参加这次比赛的 1500 名学生中成绩“优”等的人数：15000.3500（人） 【解答】解：（1）根据成绩样本，80x90 共 14 人，即 a14，频数 b14400.35；90x100 共 12 人，即 c12，频数 d
35、12400.3；故答案为 14，12，0.35，0.3（2）补全频数分布直方图如下：（3）参加这次比赛的 1500 名学生中成绩“优”等的人数：15000.3500（人） ，答：参加这次比赛的 1500 名学生中成绩“优”等的约有 500 人【点评】本题考查的是条形统计图读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键23 （9 分）马上开学，益文超市王老板购进了一批笔和作业本，已知每本作业本的进价比每个笔的进价少 10 元，且用 480 元购进作业本的数目是用同样金额购进笔的支数的 6倍（1）求每支笔和每个作业本的进价分别是多少元？（2）由于销售火爆，第一批销售完了以后，该商店用相
36、同的价格再购进 300 支作业本和 200 本笔，已知作业本售价为 6 元一本，笔售价为 24 元一支，销售一段时间后，作业本卖出了总数的 ，笔售出了总数的 ，为了清仓，该店老板对剩下的笔和作业本以相同的折扣数进行打折销售，并很快全部售出求商店最低打几折可以使得第二次购进的这批作业本和笔的总利润率不低于 90%？【分析】 （1）设每支笔的进价为 x 元，则每个作业本的进价为（x10）元，根据数量总价单价结合用 480 元购进作业本的数目是用同样金额购进笔的支数的 6 倍，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设剩下的笔和作业本打 y 折销售，根据总利润销售收入成本结合总
37、利润率不低于 90%，即可得出关于 y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论【解答】解：（1）设每支笔的进价为 x 元，则每个作业本的进价为（x10）元，依题意，得：6 ，解得：x12，经检验，x2 是原分式方程的解，且符合题意，x102答：每支笔的进价为 12 元，则每个作业本的进价为 2 元（2）设剩下的笔和作业本打 y 折销售，依题意，得：300 （62）+200 （2412）+300 （6 2）+200（1 ）（24 12）300090% ，解得：y5答：商店最低打 5 折可以使得这批货的总利润率不低于 90%【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键
38、是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式24 （9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，CEBC 交 AD 于点 E，连接 BE，点 F 是 BE上一点，连接 CF（1）如图 1，若ECD30，BC 4，DC2，求 tanCBE 的值；（2）如图 2，若 BCEC，过点 E 作 EMCF ，交 CF 延长线于点 M，延长 ME、CD相交于点 G，连接 BG 交CM 于点 N 且 CMMG，在射线 GM 上是否存在一点 P，使得BCPECG？若存在，请指出点 P 的位置并证明这对全等三角形；若没有，请说明理由求证： EG 2MN【分析】 （1
39、）由平行四边形的性质和已知条件得出BCECED90，由直角三角形的性质得出 DE CD1 ，CE ，由三角函数定义即可得出结果；（2） 由等腰直角三角形的性质得出MCGMGC 45，由线段垂直平分线的性质得出 CPCG，得出CPM CGM45，求出PCG90，得出BCPECG，由 SAS 证明BCP ECG 即可；由全等三角形的性质得出 BPEG ，BPCEGC45，得出BPG90，证出 BPMN，得出 BNGN，MN 是PBG 的中位线，由三角形中位线定理得出BP2MN，即可得出结论【解答】 （1）解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，CEBC，CEAD，BCECED90，ECD30
40、，DC2，DE CD1，CE ，tanCBE ；（2） 解：在射线 GM 上存在一点 P，MP MG 时，BCP ECG；理由如下：如图 2 所示：CMMG ，CMG 是等腰直角三角形，MCGMGC45，MPMG，EMCF，CPCG，CPMCGM45，PCG90，CPCG，BCEPCG90，BCPECG，在BCP 和ECG 中， ，BCPECG（SAS） ；证明：由 得：BCPECG，BPEG ，BPCEGC45，BPG90，BPMN，PMGM，BNGN，MN 是PBG 的中位线，BP2MN，EG2MN【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形
41、的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键25 （10 分）定义：点 P（a，b）关于原点的对称点为 P，以 PP为边作等边PP C，则称点 C 为 P 的 “等边对称点” ；（1）若 P（1，3） ，求点 P 的“等边对称点”的坐标（2）平面内有一点 P（1，2） ，若它其中的一个“等边对称点”C 在第四象限时，请求此 C 点的坐标；（3）若 P 点是双曲线 y （x 0）上一动点，当点 P 的“等边对称点”点 C 在第四象限时，如图（ 1） ，请问点 C 是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；
42、如果不是，请说明理由如图（ 2） ，已知点 A （1，2） ，B （2，1） ，点 G 是线段 AB 上的动点，点 F 在 y 轴上，若以 A、G、F、C 这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点 C 的纵坐标 yc的取值范围【分析】 （1）P（1，3）则 P（1，3） ，可求 PP2 ；设 C（m，n） ，有PCPC 2 ，通过解方程可得 m3n，再进行运算即可；（2）P（1，2）则 P（1，2） ，可求 PP2 ；设 C（m，n） ，有PCPC 2 ，通过解方程可得 m2n，再进行运算即可；（3）3） 设 P（c， ）则 P（c， ） ，可求 PP2 ；设 C（s，t） ，有PCPC 2
43、 ，通过解方程可得 s ，t c，令 ，消元 c即可得 xy6；当 AG 为平行四边形的边时，G 与 B 重合时，为一临界点通过平移可求得C（1，6） ，y c6；当 AG 为平行四边形的对角线时，G 与 B 重合时，求得 C（3，2） ，G 与 A 重合时，C（2，3） ，此时3y c 2；【解答】解：（1）P（1，3） ，P（1，3） ，PP2 ，设 C（m，n） ，等边PPC，PCPC 2 ， 2 ，m3n，n ，C（3 ， ）或 C（3 ， ） ；（2） ）P（1，2） ，P（1，2） ，PP2 ，设 C（a，b） ，等边PPC，PCPC 2 ， 2 ，a2b，b ，C（2 ， ）或
44、C（2 ， ） ，C 在第四象限，C（2 ， ） ；（3） 设 P（ c， ） ，P（c， ） ，PP2 ，设 C（s，t） ，PCPC 2 ， 2 ，s ，t 23c 2，t c，C（ ， c）或 C（ ， c） ，点 C 在第四象限，c 0，C（ ， c） ，令 ，xy6，即 y （x 0） ；当 AG 为平行四边形的边时，G 与 B 重合时，为一临界点通过平移可求得C（1，6） ，y c6；当 AG 为平行四边形的对角线时，G 与 B 重合时，求得 C（3，2） ，G 与 A 重合时，C（2，3） ，此时3y c2，综上所述：y c6 或3y c2；【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，等边三角形的性质，新定义；理解题意，利用等边三角形的性质结合勾股定理求点 C 的坐标是关键，数形结合解题是求 yc 范围的关键26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax 2+bx+c 与 x 轴相交于点A（1 ，0）和 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，连接 AC、BC
