1、浙江省衢州市 2019 年中考数学试卷（解析版）一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.在 ，0，1，-9 四个数中，负数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. -9【答案】 D 【考点】正数和负数的认识及应用 【解析】【解答】解：-9 0 1， 负数是-9.故答案为：D.【分析】负数：任何正数前加上负号都等于负数；负数比零、正数小， 在数轴线上，负数都在 0 的左侧.2.浙江省陆域面积为 101800 平方千米，其中数据 101800 用科学记数法表示为（ ） A. 0.1018105 B. 1.018105 C. 0.1018105 D. 1.018106【答案
2、】 B 【考点】科学记数法表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：101800=1.01810 5. 故答案为：B.【分析】科学记数法：将一个数字表示成 a10 的 n 次幂的形式，其中 1|a|10，n 为整数，由此即可得出答案.3.如图是由 4 个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A B C D【答案】 A 【考点】简单组合体的三视图 【解析】【解答】解：从物体正面观察可得， 左边第一列有 2 个小正方体，第二列有 1 个小正方体.故答案为：A.【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案.4.下列计算正确的是（ ） A. a6+a6=a12 B
3、. a6a2=a8 C. a6a2=a3 D. （a 6） 2=a8【答案】 B 【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方 【解析】【解答】解：A.a 6+a6=2a6 ， 故错误，A 不符合题意； B.a 6a2=a6+2=a8 ， 故正确，B 符合题意；C.a 6a2=a6-2=a4 ， 故错误，C 不符合题意；D.（a 6） 2=a26=a12 ， 故错误， D 不符合题意；故答案为：B.【分析】A.根据合并同类项法则计算即可判断错误； B.根据同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，依此计算即可判断正确；C.根据同底数幂的除法：底数不变，指数相减，依此计算即可
4、判断错误；D.根据幂的乘方：底数不变，指数相乘，依此计算即可判断错误.5.在一个箱子里放有 1 个自球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出 1 个球，摸到白球的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】 C 【考点】等可能事件的概率 【解析】【解答】解：依题可得， 箱子中一共有球：1+2=3（个），从箱子中任意摸出一个球，是白球的概率 P= .故答案为：C.【分析】结合题意求得箱子中球的总个数，再根据概率公式即可求得答案.6.二次函数 y=（x-1） 2+3 图象的顶点坐标是（ ） A. (1，3) B. （1，-3) C. （-1，3） D. （-1，-3 ）【答
5、案】 A 【考点】二次函数 y=a（x-h） 2+k 的性质 【解析】【解答】解：y=（x-1 ） 2+3， 二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动，若BDE=75，则CDE 的度数是（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80【答案】 D 【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角
6、形的性质 【解析】【解答】解：OC=CD=DE， O= ODC ，DCE=DEC，设O= ODC=x，DCE=DEC=2x，CDE=180- DCE-DEC=180-4x，BDE=75，ODC+CDE+BDE=180，即 x+180-4x+75=180，解得：x=25 ，CDE=180-4x=80.故答案为：D.【分析】由等腰三角形性质得O=ODC，DCE=DEC，设O=ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得DCE=DEC=2x，CDE=180-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得 x 值，再由CDE=180-4x=80即可求得答案.8.一块圆形宣传标志牌如图所示，点 A，B，
7、C 在O 上，CD 垂直平分 AB 于点 D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（ ） A. 6dm B. 5dm C. 4dm D. 3dm【答案】 B 【考点】垂径定理的应用 【解析】解：连结 OD，OA，如图，设半径为 r， AB=8，CDAB，AD=4, 点 O、D、C 三点共线,CD=2，OD=r-2，在 Rt ADO 中，AO 2=AD2+OD2 ， ,即 r2=42+（r-2） 2 ， 解得：r=5，故答案为：B.【分析】连结 OD，OA，设半径为 r，根据垂径定理得 AD=4,OD=r-2，在 RtADO 中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.9.如图，
8、取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 的正六边形。则原来的纸带宽为（ ） A. 1 B. C. D. 2【答案】 C 【考点】等边三角形的性质 【解析】解：如图，作 BGAC， 依题可得：ABC 是边长为 2 的等边三角形，在 Rt BGA 中，AB=2，AG=1,BG= ，即原来的纸宽为 .故答案为：C.【分析】结合题意标上字母，作 BGAC，根据题意可得：ABC 是边长为 2 的等边三角形，在RtBGA 中，根据勾股定理即可求得答案.10.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 AB 的中点，点 P 从点 E 出发，沿 EADC 移动至终点 C，设 P 点经过的路径长为
9、 x，CPE 的面积为 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 函数关系的是（ ） A B C D【答案】 C 【考点】动点问题的函数图象 【解析】【解答】解：当点 P 在 AE 上时， 正方形边长为 4，E 为 AB 中点，AE=2，P 点经过的路径长为 x，PE=x，y=S CPE = PEBC= x4=2x，当点 P 在 AD 上时，正方形边长为 4，E 为 AB 中点，AE=2，P 点经过的路径长为 x，AP=x-2，DP=6-x，y=S CPE =S 正方形 ABCD-SBEC -SAPE -SPDC ， =44- 24- 2（x-2 ） - 4（6-x），=16-4-x+2-12+2
10、x，=x+2，当点 P 在 DC 上时，正方形边长为 4，E 为 AB 中点，AE=2，P 点经过的路径长为 x，PD=x-6，PC=10-x ，y=S CPE = PCBC= （10-x ）4=-2x+20，综上所述：y 与 x 的函数表达式为：y= .故答案为：C.【分析】结合题意分情况讨论：当点 P 在 AE 上时，当点 P 在 AD 上时，当点 P 在 DC 上时，根据三角形面积公式即可得出每段的 y 与 x 的函数表达式.二、填空题（本题共有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11.计算： =_。 【答案】 【考点】分式的加减法 【解析】【解答】解：原式= . 故答案为： .【
11、分析】根据分式加减法法则：同分母相加，分母不变，分子相加减，依此计算即可得出答案.12.数据 2，7，5，7，9 的众数是_ 。 【答案】 7 【考点】众数 【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：2，5，7，7，9， 这组数据的众数为：7.故答案为：7.【分析】众数：一组数据中出现次数最多的数，由此即可得出答案.13.已知实数 m，n 满足 ，则代数式 m2-n2 的值为_ 。 【答案】 3 【考点】代数式求值 【解析】【解答】解：m-n=1 ，m+n=3， m 2-n2=（m+n）（m-n ）=31=3.故答案为：3.【分析】先利用平方差公式因式分解，再将 m+n、m-n 的值代入、
12、计算即可得出答案.14.如图，人字梯 AB，AC 的长都为 2 米。当 a=50时，人字梯顶端高地面的高度 AD 是_米（结果精确到 0.1m。参考依据： sin500.77，cos500.64，tan501.19） 【答案】 1.5 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：在 RtADC 中， AC=2，ACD=50,sin50= ，AD=ACsin50=20.771.5.故答案为：1.5.【分析】在 RtADC 中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.15.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第
13、一象限，将 AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点 B 恰好为 OE的中点，DE 与 BC 交于点 F。若 y= （k0）图象经过点 C，且 SBEF=1 ，则 k 的值为_ 。 【答案】 24 【考点】相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】解：作 FGBE，作 FHCD，如图，设 A（-2a，0），D（0，4b）， 依题可得：ADOEDO，OA=OE，E（2a ，0），B 为 OE 中点，B（a ，0）,BE=a,四边形 ABCD 是平行四边形，AECD,AB=CD=3a，C（3a，4b），BEFCDF, ,又D（0，4b），OD=4b,FG
14、=b,又S BEF = BEFG=1，即 ab=1,ab=2,C（3a ，4b）在反比例函数 y= 上，k=3a4b=12ab=122=24.故答案为：24.【分析】作 FGBE，作 FHCD，设 A（-2a ，0），D （ 0，4b），由翻折的性质得：ADOEDO，根据全等三角形性质得 OA=OE，结合题意可得 E（2a，0），B（a，0）,由平行四边形性质得 AECD,AB=CD=3a，C（3a，4b），根据相似三角形判定和性质得 ,从而得 FG=b,由三角形面积公式得 ab=1,即 ab=2,将点 C 坐标代入反比例函数解析式即可求得 k 值.16.如图，由两个长为 2，宽为 1 的长方
15、形组成“7”字图形。 （1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为 “7”字图形 ABCDEF，其中顶点 A 位于 x 轴上，顶点 B，D 位于 y 轴上，O 为坐标原点，则 的值为_ . （2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点 F1 ， 摆放第三个“7” 字图形得顶点 F2 ， 依此类推，摆放第 a 个“7”字图形得顶点 Fn-1 ， ，则顶点 F2019 的坐标为_ . 【答案】 （1）（2）（ , ） 【考点】探索图形规律 【解析】（1）依题可得，CD=1，CB=2 ， BDC+DBC=90，OBA+DBC=90，BDC=OBA，又DCB=BOA=90，D
16、CBBOA， ；（ 2 ）根据题意标好字母，如图，依题可得：CD=1,CB=2， BA=1，BD= ，由（1）知 ，OB= ，OA= ，易得：OABGFA HCB ，BH= ，CH= ，AG= ，FG= ，OH= + = ，OG= + = ，C（ ， ），F （ ， ），由点 C 到点 F 横坐标增加了 ，纵坐标增加了 ，F n 的坐标为：（ + n， + n），F 2019 的坐标为：（ + 2019， + 2019）=（ ，405 ），故答案为： ，（ ，405 ）.【分析】（1）根据题意可得 CD=1，CB=2 ，由同角的余角相等得BDC=OBA，根据相似三角形判定得DCBBOA ，由相
17、似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得CD=1,CB=2， BA=1，在 Rt DCB 中，由勾股定理求得BD= ，由（ 1）知 ，从而可得 OB= ，OA= ，结合题意易得：OABGFA HCB ，根据相似三角形性质可得 BH= ，CH= ，AG= ，FG= ，从而可得C（ ， ），F （ ， ），观察这两点坐标知由点 C 到点 F 横坐标增加了 ，纵坐标增加了 ，依此可得出规律：F n 的坐标为：（ + n， + n），将 n=2019 代入即可求得答案.三、解答题（本题共有 8 小题，第 1719 小题每小题 6 分，第 20-21 小题每小题 8 分，第 222
18、3 小题每小题 10 分，第 24 小题 12 分，共 66 分。请务必写出解答过程）17.计算：|-3|+（-3） 0- +tan45 【答案】 解：原式=3+1-2+1 =3【考点】算术平方根，实数的运算，0 指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值，实数的绝对值 【解析】【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案.18.已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 BE=DF，连结 AE，AF.求证：AE=AF. 【答案】 证明：四边形 ABCD 是菱形， AB=AD， B=D，BE=DFABEADFAE=CF【考
19、点】菱形的性质 【解析】【分析】由菱形性质得 AB=AD，B=D，根据全等三角形判定 SAS 可得ABEADF，由全等三角形性质即可得证.19.如图，在 44 的方格子中，ABC 的三个顶点都在格点上， （1）在图 1 中画出线段 CD，使 CDCB，其中 D 是格点， （2）在图 2 中画出平行四边形 ABEC，其中 E 是格点. 【答案】 （1）解：如图， 线段 CD 就是所求作的图形（2）解：如图， ABEC 就是所求作的图形【考点】作图复杂作图 【解析】【分析】（1）过点 C 作 CDCB ，且点 D 是格点即可 .（2）作一个BEC 与BAC 全等即可得出图形.20.某校为积极响应“
20、南孔圣地，衢州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动。其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“ 礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程。为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图。 （1）请问被随机抽取的学生共有多少名?并补全条形统计图。 （2）在扇形统计图中，求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数。 （3）若该校共有学生 1200 人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？ 【答案】 （1）解：学生共有 40 人 条形统计图如图所示（2）
21、解：选“礼行” 课程的学生所对应的扇形圆心角的度数为 360=36（3）解：参与“礼源” 课程的学生约有 1200 =240（人） 【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图 【解析】【分析】（1）根据统计表和扇形统计图中的数据，由总数=频数频率，频数=总数频率即可得答案.（2）由条形统计图中可得“礼行”学生人数，由 360，计算即可求得答案.（3）由条形统计图知“礼源”的学生人数，根据 全校总人数，计算即可求得答案.21.如图，在等腰ABC 中，AB=AC ，以 AC 为直径作 O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAB，垂足为 E. （1）求证：DE 是O 的切线. （2）若 DE
22、= ，C=30，求 的长。 【答案】 （1）证明：如图，连结 OD OC=OD，AB=AC，1=C，C= B，1=B,DEAB，2+B=90 ，2+1=90，ODE=90，DE 为O 的切线（2）解：连结 AD，AC 为O 的直径 ADC=90AB=AC,B=C=30 ，BD=CD ，AOD=60DE= ，BD=CD=2 ，OC=2，6 分AD= 2= 【考点】圆周角定理，切线的判定，弧长的计算 【解析】【分析】（1）连结 OD，根据等腰三角形性质和等量代换得 1= B，由垂直定义和三角形内角和定理得2+B=90 ，等量代换得2+1=90，由平角定义得DOE=90，从而可得证.（2）连结 AD
23、，由圆周角定理得ADC=90，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得AOD=60,在 RtDEB 中，由直角三角形性质得 BD=CD=2 ，在 RtADC 中，由直角三角形性质得 OA=OC=2，再由弧长公式计算即可求得答案.22.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为 200 元时，每天入住的房间数为 60 间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在 170240 元之间（含 170 元，240 元）浮动时，每天入住的房间数 y（间）与每间标准房的价格 x（元）的数据如下表： x（元） 190 200 210 220 y(间) 65 60 55 50 （1）根据所给数据在坐标系中描出相应的
24、点，并画出图象。 （2）求 y 关于 x 的函数表达式、并写出自变量 x 的取值范围. （3）设客房的日营业额为 w（元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日营业额最大?最大为多少元？ 【答案】 （1）解：如图所示： （2）解：设 y=kx+b(k0)， 把（200，60)和（220，50)代入，得 ，解得 y= x+160（170x240）（3）解：w=xy=x（ x+160)= x2+160x 对称轴为直线 x= =160，a= 0，在 170x240 范围内，w 随 x 的增大而减小故当 x=170 时，w 有最大值，最大值为 12750 元【考点】二次函数与一次
25、函数的综合应用 【解析】【分析】（1）根据表中数据再平面直角坐标系中先描点、连线即可画出图像.（2）设 y 与x 的函数表达式为 y=kx+b，再从表中选两个点（200，60 ），（220，50）代入函数解析式，得到一个关于 k、b 的二元一次方程组，解之即可得出答案，由题意即可求得自变量取值范围.（3）设日营业额为 w，由 w=xy=- x2+160x，再由二次函数图像性质即可求得答案.23.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 A（a，b）， B(c，d) ，若点 T（x，y)满足 x= ，y= ，那么称点 T 是点 A，B 的融合点。 例如：A（-1，8），B（4， -2），当点 T（
26、x，y）满是 x= =1,y= =2 时，则点 T（1，2）是点 A，B 的融合点，（1）已知点 A（-1，5），B(7，7)，C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点。 （2）如图，点 D（3，0），点 E（t，2t+3）是直线 l 上任意一点，点 T（x，y) 是点 D，E 的融合点。试确定 y 与 x 的关系式。若直线 ET 交 x 轴于点 H，当 DTH 为直角三角形时，求点 E 的坐标。【答案】 （1）解： =2， =4 点 C（2，4）是点 A，B 的融合点（2）解：由融合点定义知 x= ，得 t=3x-3 又y= ，得 t= 3x-3= ，化简得 y=2x-1要使DTH
27、 为直角三角形，可分三种情况讨论：（i）当THD=90 时，如图 1 所示，设 T（m，2m-1），则点 E 为（m ，2m+3 ）由点 T 是点 E，D 的融合点，可得 m= 或 2m-1= ，解得 m= , 点 E1( ,6)（ii）当TDH=90时，如图 2 所示，则点 T 为（3，5）由点 T 是点 E，D 的融合点，可得点 E2（6，15）（iii ）当HTD=90 时，该情况不存在综上所述，符合题意的点为 E1（ ，6），E 2(6，15）【考点】定义新运算 【解析】【分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案.（2）由题中融合点的定义可得 y=2x-1，. 结合题意分三种情况讨论
28、：（）THD=90时，画出图形，由融合点的定义求得点 E 坐标；（）TDH=90时，画出图形，由融合点的定义求得点 E 坐标；（）HTD=90 时，由题意知此种情况不存在.24.如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=6 ，BAC=60，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，过点 D作 DEAC 交 AB 于点 E，点 M 是线段 AD 上的动点，连结 BM 并延长分别交 DE，AC 于点F、G。 （1）求 CD 的长。 （2）若点 M 是线段 AD 的中点，求 的值。 （3）请问当 DM 的长满足什么条件时，在线段 DE 上恰好只有一点 P，使得CPG=60? 【答案】 （1）解：AD
29、平分BAC，BAC=60， DAC= BAC=30在 Rt ADC 中，DC=ACtan30=2 （2）解：易得，BC=6 ， BD=4 由 DEAC，得EDA=DAC,DFM= AGMAM=DM，DFM AGM，AG=DF由 DEAC，得BFEBGA， （3）解：CPG=60 ，过 C，P ，G 作外接圆，圆心为 Q， CQG 是顶角为 120的等腰三角形。 当Q 与 DE 相切时，如图 1，过 Q 点作 QHAC，并延长 HQ 与 DE 交于点 P，连结 QC，QG设Q 的半径 QP=r 则 QH= r，r+ r=2 ，解得 r= CG= =4，AG=2易知DFM AGM，可得 ，则 DM
30、= 当Q 经过点 E 时，如图 2，过 C 点作 CK AB，垂足为 K设Q 的半径 QC=QE=r，则 QK=3 -r在 Rt EQK 中，1 2+（ -r） 2=r2 ， 解得 r= ，CG= = 易知DFM AGM，可得 DM= 当Q 经过点 D 时，如图 3，此时点 M 与点 G 重合，且恰好在点 A 处，可得 DM=4 综上所述，当 DM= 或 DM4 时，满足条件的点 P 只有一个。【考点】圆的综合题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用 【解析】【分析】（1）由角平分线定义得DAC=30 ，在 RtADC 中，根据锐角三角函数正切定义即可求得 DC 长.（2）由题意易求得
31、BC=6 ，BD=4 ，由全等三角形判定 ASA 得DFM AGM，根据全等三角形性质得 DF=AG，根据相似三角形判定得BFE BGA ，由相似三角形性质得 ，将 DF=AG 代入即可求得答案.（3）由圆周角定理可得CQG是顶角为 120的等腰三角形，再分情况讨论：当Q 与 DE 相切时，结合题意画出图形，过点 Q作 QHAC，并延长 HQ 与 DE 交于点 P，连结 QC，QG ，设Q 半径为 r，由相似三角形的判定和性质即可求得 DM 长；当Q 经过点 E 时，结合题意画出图形，过点 C 作 CKAB，设Q 半径为 r，在 RtEQK 中，根据勾股定理求得 r，再由相似三角形的判定和性质即可求得 DM 长；当Q 经过点 D 时，结合题意画出图形，此时点 M 与点 G 重合，且恰好在点 A 处，由此可得 DM 长.
