1、第29讲 概率,考点一,考点二,考点三,考点一事件 1.确定性事件:在一定条件下,事先知道一定会发生的事件叫必然事件 ,一定不会发生的事件叫不可能事件 ,必然事件 和不可能事件 统称确定性事件. 2.随机事件:在一定条件下可能发生,也可能不会发生的事件叫 随机事件 .,考点一,考点二,考点三,考点二概率 1.概率的意义:一般地,在大量的重复试验下,事件A的发生的频率会稳定在某个数字附近,就把这个数字叫做事件A的概率,记作P(A). 2.等可能情形下概率的计算. (1)“等可能”的意义包含:一次试验的结果数有限;各种可能结果出现的机会均等. (2)一次性操作问题的概率的计算:问题情境是从若干个元
2、素中抽取一个元素(即一次性操作问题),求其概率时,直接应用公式P(A)= (其中m表示事件A发生可能出现的结果数,n表示一次操作试验中所有等可能出现的结果数). 根据概率的意义,必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件A的概率P(A)在01之间,即0P(A)1.,考点一,考点二,考点三,(3)多次操作问题概率的计算:当问题情境是从若干元素中抽取两个元素或对某次试验进行两次操作(即二次性操作问题),求其概率时,通过列表法或画树状图法来探索一次试验所包含的所有可能结果数(n)和事件A发生的可能结果数(m),再利用公式 来计算.,考点一,考点二,考点三,3.频率估计概率:在随机试验中,当试
3、验的结果不是有限个或者各种结果发生的可能性不相等时,常常用大量的重复试验,根据某个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数p,来估计这个事件发生的概率,即P(A)=p. 4.几何概率:设想一次试验中每个结果是一个点,所有结果的点组成一个图形区域G,而组成事件A的结果是G中的部分区域g.G,g可以是一条直线上的线段,也可以是平面图形或立体图形,因此这种概率可以表示为两个线段长度之比或两个平面图形面积的比或两个立体图形的体积之比.,考点一,考点二,考点三,考点三概率的应用 概率主要用于判断随机事件发生的机会的大小.常常利用概率来判断游戏是否公平.对于游戏规则是否公平问题,需要通过计算游戏双方获胜的概率
4、,通过比较双方获胜概率的大小来进行判断,若概率相等,则游戏公平,若概率不相等,则游戏不公平.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,事件的判断 常见的事件包括确定性事件(必然事件和不可能事件)及随机事件,区分这些事件就要根据实际问题背景,结合定义来判断.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,例1袋子中装有4个黑球和2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出3个球.下列事件是必然事件的是( ) A.摸出的3个球中至少有1个球是黑球 B.摸出的3个球中至少有1个球是白球 C.摸出的3个球中至少有2个球是黑球 D.摸出的3个球中至少有2个球是白球 答案
5、:A 解析:因为白球只有2个,所以,摸出的3个球中,黑球至少有1个,选A. 方法点拨解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念,根据概念区分和判断.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,概率的计算 对于随机事件,虽然它的发生与否事先不确定,但它的发生的可能性(即机会)却有一定的规律.一般地,表示一个随机事件发生可能性(机会)大小的数,叫做这个随机事件的概率,记作P(A). 例2在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球,它们除了颜色不同外,其余均相同.从中随机摸出一个球,摸到红球的概率是( ),答案D 解析根据题意可得,一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红
6、球,共8个球,从中随机摸出一个, 则摸到红球的概率P(红球)= .故选D.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,方法点拨1.在计算概率时,要正确列举一次试验的所有可能结果(m)和事件A发生的可能结果(n),才能正确计算事件A的概率. 2.概率是反映事件发生机会的大小的概念,只是表示发生的机会的大小,机会大也不一定发生,机会小也不一定不发生.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,用频率估计概率 频率是一个试验值或试验时的统计值,具有随机性,可能取多个数值,因此它只能近似地反映事件发生的可能性的大小;概率是个理论值,是由事件的本质所决定的,只能取唯一值,它能精确地反映事件发生可能性的大小.
7、但当试验的次数充分大时,事件发生的频率会稳定在某个数值(p)附近,把这个频率的稳定值p记作该事件发生的概率,即P(A)=p. 只有在大量的重复试验中,某事件发生的频率逐渐稳定在某个数字附近,才把这个数字作为该事件的概率的近似值,而有限次的试验频率与概率可能有较大的差距.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,例3在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球,它们除颜色外其他完全相同.从口袋中任意摸出1个球,通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球可能有( ) A.16个 B.15个 C.13个 D.12个 答案D 解析设白球有x个, 摸到红球的频率稳定在25%左右
8、,方法点拨由摸到红球的频率稳定在25%附近可知从口袋中任意摸出1个球,得到红球的概率为 进而利用概率的意义求出白球个数即可.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,几何概率 问题背景或设计方案时,要注意图形或材质的均匀性,试验次数要大,以保证试验的“等可能性”和“真实性”.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,例4(2018湖北随州)正方形ABCD的边长为2,以各边为直径在正方形内画半圆,得到如图所示阴影部分,若随机向正方形ABCD内投一粒米,则米粒落在阴影部分的概率为( ),考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,答案:A 解析:如图,连接PA,PB,作OPAB;,考法1,考法2,考法
9、3,考法4,考法5,概率的应用 通过计算随机事件的概率,来解决比如游戏公平性、几何图形面积的估算、种子的发芽率等实际问题. 例5小明和小刚做纸牌游戏,如图,两组相同的纸牌,每组两张,牌面数字分别是2和3,将两组牌背面朝上,洗匀后从每组牌中各抽取一张,称为一次游戏.当两张牌的牌面数字之积为奇数时,小明得2分,否则小刚得1分,这个游戏对双方公平吗?请说明理由.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,解:不公平.理由如下,根据题意,画出树状图如图:一共有4种等可能情况,积是偶数的有3种情况,积是奇数的有1种情况,这个游戏对双方不公平. 方法点拨判断游戏公平性就要计算每个人的概率,概率相等就公平,否
10、则就不公平.,1.(2017甘肃天水)下列说法正确的是( ) A.不可能事件发生的概率为0 B.随机事件发生的概率为 C.概率很小的事件不可能发生 D.投掷一枚质地均匀的硬币1 000次,正面朝上的次数一定是500次 2.(2017甘肃兰州)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,则估计盒子中小球的个数n为( ) A.20 B.24 C.28 D.30,A,D,解析 根据题意,得 =30%,解得n=30, 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色
11、外其他完全相同的小球.故选D.,3.(2017甘肃白银)在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数字).游戏规则如下:两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数之和小于12,则李燕获胜;若指针所指区域两数之和等于12,则为平局;若指针所指区域两数之和大于12,则刘凯获胜(若指针停在等分线上,重转一次,直到指针指向某一区域为止).,(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的所有可能的结果; (2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率.,解:(1)画树状图如下:,或列表如下:可见,两
12、数之和共有12种等可能的情况.,(2)由(1)可知,两数之和共有12种等可能的情况,其中和小于12的,4.(2018甘肃)如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.(1)如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上,那么米粒落在阴影部分的概率是多少? (2)现将方格内空白的小正方形(A,B,C,D,E,F)中任取2个涂黑,得到新图案,请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.,解:(1)正方形网格被等分成9等份,其中阴影部分占其中的3份,(2)列表如下:,由表可知,共有30种等可能结果,其中是轴对称图形的有10种,5.(2018甘肃兰州)在一个不透明的布袋里装有4个标有1,2,3,4的小球,它们的形状、大小完全相同,李强从布袋中随机取出一个小球,记下数字为x,王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点M的坐标(x,y). (1)画树状图,写出点M所有可能的坐标; (2)求点M(x,y)在函数y=x+1的图象上的概率.,解:(1)树状图如图所示,共有12种等可能的结果(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3). (2)在所有12种等可能结果中,在函数y=x+1的图象上的点(1,2),(2,3),(3,4)这3种结果,
