1、第11讲 反比例函数,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一反比例函数的概念 形如y= (k为常数,k0)的函数称为反比例函数.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点二反比例函数的图象和性质 1.图象 (1)反比例函数的图象是双曲线 ,它有两 个分支. (2)反比例函数y= (k0)中,因为x0,y0,故图象不经过原点 . (3)双曲线关于原点 对称. (4)反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形. 2.性质 当k0时,反比例函数y= (k0)的图象分别位于第一、三 象限,同一个象限内,y随x的增大而减小 ;当k0或k0,Q(b,n)在第四象限, nn,故D正确. 故选D. 方法点拨
2、本题主要考查了反比例函数的性质.有两种做法:(1)作出草图,根据图象找出正确信息;(2)直接利用反比例函数的增减性分析得出答案.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函数中系数k的几何意义 由于y= 也可变形为xy=k,由此可知,过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形的面积均为定值|k|.需要注意的是,根据相应的面积,确定反比例函数表达式时,要注意结合双曲线所在的象限,避免k的符号错误.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例4(2018湖南邵阳)如图所示,点A是反比例函数y= 图象上一点,作ABx轴,垂足为点B,若AOB的面积为2,则k的值是 . 分析
3、:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S= |k|. 答案:4 解析:点A是反比例函数y= 图象上一点,作ABx轴,垂足为点B, SAOB= |k|=2. 又函数图象位于第一、三象限,k=4, 故答案为4.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法点拨利用反比例函数y= (k0)的比例系数k的几何意义:过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线,这一点和两个垂足以及原点构成的矩形面积是|k|;这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,一次函数与反比例函数的综合应
4、用,比较反比例函数的值与一次函数值的大小时,要充分利用函数图象进行分析判断,同时,要把与双曲线的交点作为界点进行分析,且不能忽略反比例函数中的自变量x0.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例5如图所示,一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象交于A(2,4),B(-4,n)两点.(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式; (2)过点B作BCx轴,垂足为点C,连接AC,求ACB的面积. 分析:(1)将点A的坐标代入y= 可得反比例函数解析式,据此求得点B坐标,根据A,B两点坐标可得直线解析式; (2)根据点B坐标可得底边BC=2,由A,B两点的横坐标可得BC边上的高,据此可
5、得ACB的面积.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法点拨此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,坐标与图形性质以及三角形面积求法,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,反比例函数的应用 实际问题中的反比例函数,往往自变量的取值受到限制,这时,对应的函数图象是双曲线的一部分. 例6一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 km/h的平均速度用了4 h到达乙地.当他按照原路返回时,汽车的速度v km/h与时间t h的函数关系是( ),答案:B 解析:由路程=速度时间,可以得出甲、乙两地的距离为32
6、0 km,返程时路程不变,由路程=速度时间,得速度=路程时间,所以v= .,A.x-3 B.-3x-1 C.-1x0 D.x-3或-1x0 D.y10y2,x10y2.故选D.,(1)分别求出这两个函数的表达式; (2)写出点P关于原点的对称点P的坐标.,解:(1)点P在反比例函数的图象上,5.(2017甘肃兰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3交y,(2)求AOD的面积.,解:(1)直线y=-x+3交y轴于点A, A(0,3), BC=OA=3.矩形OABC的面积为4,(2)直线与反比例函数相交于点D,6.(2016甘肃武威)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原
7、点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在函数y= (k0,x0)的图象上,点D的坐标为(4,3).(1)求k的值; (2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数y= (k0,x0)的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.,解:(1)过点D作x轴的垂线,垂足为F, 点D的坐标为(4,3),OF=4,DF=3, OD=5,AD=5,点A坐标为(4,8), k=xy=48=32.,的图象D点处,过点D作x轴的垂线,垂足为F. DF=3,DF=3, 点D的纵坐标为3.,7.(2016甘肃白银)如图,函数y1=-x+4的图象与函数y2= (x0)的图象交于A(m,1),B(1,n)两点.(1)求k,m,n的值; (2)利用图象写出当x1时,y1和y2的大小关系.,解:(1)把点A(m,1)代入y1=-x+4,得m=3, 则A(3,1),k=31=3.,(2)如图,由图象可知: 当1y2; 当x=1或x=3时,y1=y2; 当x3时,y1y2.,
