1、2019 年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1 （2 分）计算（a 2） 3（a 2） 2 的结果是（ ）Aa Ba 2 Ca 3 Da 42 （2 分）2018 年南京市地区生产总值，连跨 4 个千亿台阶、达到 1 171 500 000 000 元，成为全国第 11 个突破万亿规模的城市用科学记数法表示 1 171 500 000 000 是（ ）A0.1171510 13 B1.171510 11C1.171510 12 D1
2、.1715 10133 （2 分）小明参加射击比赛，10 次射击的成绩如表：环数 6 7 8 9 10次数 3 1 2 1 3若小明再射击 2 次，分别命中 7 环、9 环，与前 10 次相比，小明 12 次射击的成绩（ ）A平均数变大，方差不变 B平均数不变，方差不变C平均数不变，方差变大 D平均数不变，方差变小4 （2 分）数轴上的 A、B、C 三点所表示的数分别为 a、b、1，且| a1|+| b1| |ab|，则下列选项中，满足 A、B、C 三点位置关系的数轴为（ ）A BC D5 （2 分）已知 RtABC，C90，若AB ，则下列选项正确的是（ ）AsinAsinB Bcos Ac
3、osB CtanAtanB DsinAcos A6 （2 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、C、 F 在坐标轴上，E 是 OA 的中点，四边形 AOCB 是矩形，四边形 BDEF 是正方形，若点 C 的坐标为（3，0） ，则点 D 的坐标为（ ）A （1，2.5） B （1，1+ ） C （1，3）D （ 1，1+ ）二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7 （2 分）2 的相反数是 ，2 的绝对值是 8 （2 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 9 （2 分）计算 的结果是 10
4、（2 分）分解因式 6a2b9ab 2a 3 的结果是 11 （2 分）已知反比例函数 y 的图象经过点（3，1） ，则 k 12 （2 分）设 x1、x 2 是方程 x2mx +30 的两个根，且 x11，则 mx 2 13 （2 分）如图，O 的半径为 6，AB 是O 的弦，半径 OCAB，D 是O 上一点，CDB22.5，则 AB 14 （2 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于O ，顺次连接正六边形 ABCDEF 各边的中点 G、H、I 、J 、K、L ，则 15 （2 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，以 DC 为边在菱形的外部作正三角形 CDE，连接AE 与 BD 相交于点
5、F，则AFB 16 （2 分）如图，矩形 ABCD 中，AB5，BC8，点 P 在 AB 上，AP1将矩形 ABCD沿 CP 折叠，点 B 落在点 B处 BP、BC 分别与 AD 交于点 E、F，则 EF 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （6 分）解不等式组： 18 （6 分）化简：19 （8 分）已知二次函数 y（xm ） 2+2（xm） （m 为常数）（1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的公共点；（2）当 m 取什么值时，该函数的图象关于 y 轴对称？20 （8 分）如图，在
6、“飞镖形”ABCD 中，E、F、G 、H 分别是 AB、BC 、CD、DA 的中点（1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形；（2） “飞镖形”ABCD 满足条件 时，四边形 EFGH 是菱形21 （8 分）某中学九年级男生共 250 人，现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试，相关数据的统计图如下设学生引体向上测试成绩为 x（单位：个） 学校规定：当0x2 时成绩等级为不及格，当 2x4 时成绩等级为及格，当 4x6 时成绩等级为良好，当 x6 时成绩等级为优秀样本中引体向上成绩优秀的人数占 30%，成绩为1 个和 2 个的人数相同（1）补全统计图；（2）估计全校九年级男生引体向上测试不
7、及格的人数22 （8 分）把 3 颗算珠放在计数器的 3 根插棒上构成一个数字，例如，如图摆放的算珠表示数 300现将 3 颗算珠任意摆放在这 3 根插棒上（1）若构成的数是两位数，则十位数字为 1 的概率为 ；（2）求构成的数是三位数的概率23 （8 分）如图，一辆轿车在经过某路口的感应线 B 和 C 处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离 BC 为 6m，在感应线 B、C 两处测得电子警察 A 的仰角分别为ABD 18，ACD14求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度 AD 的长（参考数据：sin140.242 ，cos140.97，tan140.25，sin180.309，
8、cos180.951，tan180.325）24 （8 分）某校为迎接市中学生田径运动会，计划由八年级（1）班的 3 个小组制作 240面彩旗，后因 1 个小组另有任务，其余 2 个小组的每名学生要比原计划多做 4 面彩旗才能完成任务如果这 3 个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？25 （8 分）如图，在ABCD 中，过 A、B、C 三点的O 交 AD 于点 E，连接BE、 CE，BEBC（1）求证：BECCED；（2）若 BC10，DE3.6，求O 的半径26 （9 分）换个角度看问题【原题重现】一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为
9、 x（h） ，两车之间的距离为 y（km） ，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇 30 分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？【问题再研】若设慢车行驶的时间为 x（h） ，慢车与甲地的距离为 s1（km） ，第一列快车与甲地的距离为 s2（km） ，第二列快车与甲地的距离为 s3（km ） ，根据原题中所给信息解决下列问题：（1）在同一直角坐标系中，分别画出 s1、s 2 与 x 之间的函数图象；（2）求 s3 与 x 之间的函数表达式；（3）求原题的答案27 （11 分）数学概念
10、在两个等腰三角形中，如果其中一个三角形的底边长和底角的度数分别等于另一个三角形的腰长和顶角的度数，那么称这两个等腰三角形互为姊妹三角形概念理解（1）如图 ，在 ABC 中，ABAC ，请用直尺和圆规作出它的姊妹三角形（保留作图痕迹，不写作法） 特例分析（2） 在ABC 中，AB AC，A30，BC ，求它的姊妹三角形的顶角的度数和腰长；如图 ，在 ABC 中，ABAC ，D 是 AC 上一点，连接 BD若ABC 与ABD 互为姊妹三角形，且ABCBCD，则A 深入研究（3）下列关于姊妹三角形的结论：每一个等腰三角形都有姊妹三角形；等腰三角形的姊妹三角形是锐角三角形；如果两个等腰三角形互为姊妹三
11、角形，那么这两个三角形可能全等；如果一个等腰三角形存在两个不同的姊妹三角形，那么这两个三角形也一定互为姊妹三角形其中所有正确结论的序号是 2019 年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1 （2 分）计算（a 2） 3（a 2） 2 的结果是（ ）Aa Ba 2 Ca 3 Da 4【分析】根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案【解答】解：（a 2） 3（a 2） 2a 6a4a 2故
12、选：B【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键2 （2 分）2018 年南京市地区生产总值，连跨 4 个千亿台阶、达到 1 171 500 000 000 元，成为全国第 11 个突破万亿规模的城市用科学记数法表示 1 171 500 000 000 是（ ）A0.1171510 13 B1.171510 11C1.171510 12 D1.1715 1013【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数
13、；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：1 171 500 000 0001.171510 12故选：C【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （2 分）小明参加射击比赛，10 次射击的成绩如表：环数 6 7 8 9 10次数 3 1 2 1 3若小明再射击 2 次，分别命中 7 环、9 环，与前 10 次相比，小明 12 次射击的成绩（ ）A平均数变大，方差不变 B平均数不变，方差不变C平均数不变，方差变大 D平均数不变，方差变小【分析】首先利用计算出前 10 次
14、射击的平均数，再计算出方差，然后计算出再射击 2次后的平均数和方差，进而可得答案【解答】解：前 10 次平均数：（63+71+82+9 1+103）108，方差：S 2 （68） 23+（78） 2+（88） 22+（98） 2+3（108） 22.6，再射击 2 次后的平均数：（63+71+82+9 1+103+7+9）128，方差：S 2 （68） 23+（78） 22+（88） 22+（98）22+3（108） 2 ，平均数不变，方差变小，故选：D【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差计算公式：S 2 （x 1 ）2+（x 2 ） 2+（x n ） 24 （2 分）数轴上的
15、A、B、C 三点所表示的数分别为 a、b、1，且| a1|+| b1| |ab|，则下列选项中，满足 A、B、C 三点位置关系的数轴为（ ）A BC D【分析】根据绝对值的意义，在四个答案中分别去掉绝对值进行化简，等式成立的即为答案；【解答】解：A 中 a1b，|a 1|+|b1|1a+b1ba，|ab| ba，A 正确；B 中 ab1，|a 1|+|b1|1a+1b2ba，|ab| ba，B 不正确；C 中 ba1，|a 1|+|b1|1a+1b2ba，|ab| ab，C 不正确；D 中 1ab，|a 1|+|b1|a1+b12+b+a，|ab|ba，D 不正确；故选：A【点评】本题考查数轴
16、和绝对值的意义；熟练掌握绝对值的意义是解题的关键5 （2 分）已知 RtABC，C90，若AB ，则下列选项正确的是（ ）AsinAsinB Bcos AcosB CtanAtanB DsinAcos A【分析】根据大角对大边定理以及三角函数的定义即可求出答案【解答】解：设A，B，C 对应的边为 a，b，cAB ，ab，sinA ，sinB ，cosA ，cosB ，sinAsinB，cosAcos B，故选：B【点评】本题考查三角函数，解题的关键是熟练运用大角对大边定理，本题属于基础题型6 （2 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、C、 F 在坐标轴上，E 是 OA 的中点，四边
17、形 AOCB 是矩形，四边形 BDEF 是正方形，若点 C 的坐标为（3，0） ，则点 D 的坐标为（ ）A （1，2.5） B （1，1+ ） C （1，3）D （ 1，1+ ）【分析】过 D 作 DHy 轴于 H，根据矩形和正方形的性质得到AOBC，DE EFBF，AOCDEFBFEBCF90，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】解：过 D 作 DHy 轴于 H，四边形 AOCB 是矩形，四边形 BDEF 是正方形，AOBC，DEEF BF，AOCDEFBFEBCF90，OEF+EFO BFC+ EFO90，OEFBFO，EOFFCB（ASA） ，BCOF，OECF，AOOF ，E 是
18、 OA 的中点，OE OA OFCF，点 C 的坐标为（3，0） ，OC3，OFOA 2，AE OECF1，同理DHE EOF（ASA） ，DHOE 1 ，HEOF 2，OH2，点 D 的坐标为（1，3） ，故选：C【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7 （2 分）2 的相反数是 2 ，2 的绝对值是 2 【分析】根据相反数的定义和绝对值定义求解即可【解答】解：2 的相反数是 2，2 的绝对值是 2故答案
19、为：2，2【点评】主要考查了相反数的定义和绝对值的定义，要求熟练运用定义解题相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0；绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 08 （2 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解【解答】解：根据题意得：x+10，解得 x1，故答案为：x1【点评】主要考查了二次根式的意义和性质概念：式子 （a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义9 （2 分）计算 的结果是 1 【分析】直接利
20、用二次根式的运算法则以及立方根的性质分别化简得出答案【解答】解：原式32 1故答案为：1【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键10 （2 分）分解因式 6a2b9ab 2a 3 的结果是 a（a3b） 2 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式a（a 26ab+9b 2）a（a3b） 2，故答案为：a（a3b） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键11 （2 分）已知反比例函数 y 的图象经过点（3，1） ，则 k 3 【分析】根据反比例函数 y 的图象经过点（3，1） ，可以求得 k 的值【解答】解
21、：反比例函数 y 的图象经过点（3，1） ，1 ，解得，k3，故答案为：3【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答12 （2 分）设 x1、x 2 是方程 x2mx +30 的两个根，且 x11，则 mx 2 1 【分析】根据题意得到 1x23，x 1+x2m ，求得 x23 ，m4，于是得到结论【解答】解：x 1、x 2 是方程 x2mx +30 的两个根，且 x11，1x 23，x 1+x2m，x 23，m4，mx 21，故答案为：1【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只
22、含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根13 （2 分）如图，O 的半径为 6，AB 是O 的弦，半径 OCAB，D 是O 上一点，CDB22.5，则 AB 6 【分析】首先根据CDB22.5得到COB2CDB45，从而得到三角形 AOB是等腰直角三角形，然后根据半径求得斜边的长即可【解答】解：CDB22.5，COB2CDB45，OCAB ，OBACOB45，OABOBA45，半径为 6，AB OA6 ，故答案为：6 【点评】本题考查了圆周角定理及垂径定理的知识，解题的关键是能够得到直角三角形，难度不大14 （2 分）如图，正六边形 ABCDEF
23、 内接于O ，顺次连接正六边形 ABCDEF 各边的中点 G、H、I 、J 、K、L ，则 【分析】利用正六边的性质和判定得到正六边形 GHIJKL，连接 OE、OJ，如图，利用OEJ 60，OJ DE，所以 cos60，则 ，然后根据相似多边形的性质计算 的值【解答】解：顺次连接正六边形 ABCDEF 各边的中点 G、H、I 、J、K、L 得到的六边形为正六边形，正六边形 ABCDEF正六边形 GHIJKL，连接 OE、OJ，如图，OEJ 60，OJ DE，cosOEJ cos60 ， ， （ ） 2 故答案为 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形
24、中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了正六边形的性质15 （2 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，以 DC 为边在菱形的外部作正三角形 CDE，连接AE 与 BD 相交于点 F，则 AFB 60 【分析】由菱形的性质可得 ADCD，ADBBDC ADC，由等边三角形的性质可得 CDDE，CDE60 ，即可求DAE 的度数，由三角形的外角性质可求AFB 的度数【解答】解：四边形 ABCD 是菱形ADCD，ADBBDC ADC，CDE 是等边三角形CDDE，CDE60，ADDE ，ADE ADC +60DAE 60
25、 ，AFB DAE+ADBAFB +60 60，故答案为：60【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键16 （2 分）如图，矩形 ABCD 中，AB5，BC8，点 P 在 AB 上，AP1将矩形 ABCD沿 CP 折叠，点 B 落在点 B处BP、BC 分别与 AD 交于点 E、F，则 EF 【分析】过 P 作 PGCD 于 G，交 CB于 H，根据矩形的性质得到ADPGBC 8，DGAP 1，求得 CGPB4，根据折叠的性质得到BCPPCH，根据平行线的性质得到HPCPCB，等量代换得到HPCPCH，求得 HP CH，设 HGx，则 CH
26、PH8x，根据勾股定理得到CHPH5，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：过 P 作 PGCD 于 G，交 CB于 H，则四边形 ADGP 和四边形 PBCG 是矩形，ADPG BC 8，DGAP1，CGPB 4，将矩形 ABCD 沿 CP 折叠，点 B 落在点 B处，BCPPCH，PGBC，HPCPCB，HPCPCH，HPCH，设 HGx，则 CHPH 8x，HG 2+CG2 CH2，x 2+42（8x ） 2，x3，CHPH5，HGDF ，CHGCFD， ， ，CF ，DF ，BF ，BD90，EFBDFC，BEF DCF， ， ，EF 故答案为： 【点评】该题主要考查了翻折变换的
27、性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题，解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等知识点来分析、判断、解答三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （6 分）解不等式组： 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集【解答】解： ，解得： x1，解得： x2，则不等式组的解集是：1x2【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断还可以观察不等式的解，若 x较小的数、较大的数，那么解集为 x 介于两数之间18 （6 分）化简：【分析】对式子进行分
28、析，把括号内的 1+ 进行转换，可得 ，然后再除以后一项，将 x 抵消掉，然后再利用平方差公式进行化简【解答】解：（1+ ） 故答案为 【点评】本题主要考查分式的混合运算，掌握好基本的知识即可19 （8 分）已知二次函数 y（xm ） 2+2（xm） （m 为常数）（1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的公共点；（2）当 m 取什么值时，该函数的图象关于 y 轴对称？【分析】 （1）若证明二次函数与 x 轴总有两个不同的公共点，只需令 y0，得到一元二次方程（xm） 2+2（xm） 0，计算方程的判别式 b24ac0 即可；（2）若二次函数的图象关于 y 轴对称，则对
29、称轴 x 0，计算即可得到 m 的值【解答】解：（1）证明：令 y0，则（xm ） 2+2（xm）0，即 x2+（22m）x+m22m0，（22m） 241（ m22m）40，方程 x2+（22m）x+ m22m0 有两个不相等的实数根，不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的公共点；（2）二次函数 y（x m） 2+2（xm）x 2+（22m）x+m 22m ，函数的图象关于 y 轴对称，x 0，解得 m1，当 m1 时，该函数的图象关于 y 轴对称【点评】本题考查了二次函数图象与 x 轴的交点个数的判定、二次函数与一元二次方程的关系和二次函数图象的性质，熟练掌握图象的特征是解
30、题的关键20 （8 分）如图，在“飞镖形”ABCD 中，E、F、G 、H 分别是 AB、BC 、CD、DA 的中点（1）求证：四边形 EFGH 是平行四边形；（2） “飞镖形”ABCD 满足条件 ACBD 时，四边形 EFGH 是菱形【分析】 （1）连接 AC，根据三角形的中位线定理求出EH BD，HG AC，EHBD，HGAC ，FGBD，EFAC，推出平行四边形EFGH 即可；（2）根据菱形的判定定理即可得到结论【解答】 （1）证明：连接 ACE、F、G、H 分别是 AB、 BC、CD、AD 的中点EF、GH 分别是ABC 、ACD 的中位线EFAC，EF AC，GHAC，GH AC，EF
31、GH，EFGH，四边形 EFGH 是平行四边形；（2） ） “飞镖形”ABCD 满足条件 ACBD 时，四边形 EFGH 是菱形 ACBD ，故答案为：ACBD【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能求出四边形是平行四边形是解此题的关键21 （8 分）某中学九年级男生共 250 人，现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试，相关数据的统计图如下设学生引体向上测试成绩为 x（单位：个） 学校规定：当0x2 时成绩等级为不及格，当 2x4 时成绩等级为及格，当 4x6 时成绩等级为良好，当 x 6 时成绩等级为优秀样本中引体向上成绩优秀的人数
32、占 30%，成绩为1 个和 2 个的人数相同（1）补全统计图；（2）估计全校九年级男生引体向上测试不及格的人数【分析】 （1）先根据题意得出 1 个和 2 个人数，继而补全图形；（2）根据利用样本估计总体，可得答案【解答】解：（1）1 个和 2 个人数均为 4 个（2）250 25（人） 答：全校九年级男生引体向上测试不及格的人数为 25 人【点评】本题考查了统计图的选择，利用扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断是解题关键22 （8 分）把 3 颗算珠放在计数器的 3 根插棒上构成一个数字，例如，如图摆放的算珠表示数 300现将 3 颗算珠任意摆放在这 3 根插棒上（1）若构成的
33、数是两位数，则十位数字为 1 的概率为 ；（2）求构成的数是三位数的概率【分析】 （1）写出 3 颗算珠分别放在十位和个位构成的数所有可能的结果数，然后利用概率公式写出十位数字为 1 的概率；（2）画树状图展示所有 27 种等可能的结果数，找出构成的数是三位数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）构成的数是两位数有（十，十，十） 、 （十，十，个） 、 （十，个，十） 、（十，个，个） ， （个，十，十） ， （个，十，个） ， （个，个，十）所以十位数字为 1 的概率为 故答案为 ；（2）画树状图为：共有 27 种等可能的结果数，其中构成的数是三位数的结果数为 19，所以构成的数是
34、三位数的概率 挑选的两名同学恰好是一男一女的结果数为 8，所以挑选的两名同学恰好是一男一女的概率 故答案为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件B 的概率23 （8 分）如图，一辆轿车在经过某路口的感应线 B 和 C 处时，悬臂灯杆上的电子警察拍摄到两张照片，两感应线之间距离 BC 为 6m，在感应线 B、C 两处测得电子警察 A 的仰角分别为ABD 18，ACD14求电子警察安装在悬臂灯杆上的高度 AD 的长（参考数据：sin140.242 ，cos140.97
35、，tan140.25，sin180.309，cos180.951，tan180.325）【分析】设电子警察安装在悬臂灯杆上的高度 AD 的长为 xm通过解 RtADB 和 RtACD 求得 BD、CD 的长度，然后结合 BCCDBD 列出方程，并解答【解答】解：设电子警察安装在悬臂灯杆上的高度 AD 的长为 x m在 Rt ADB 中，tan ABD ，BD 在 Rt ACD 中， tanACD ，CD BCCDBD， 64x x6解这个方程，得 x6.5答：电子警察安装在悬臂灯杆上的高度 AD 的长为 6.5 m【点评】本题考查的是解直角三角形的应仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三
36、角函数的定义是解题的关键24 （8 分）某校为迎接市中学生田径运动会，计划由八年级（1）班的 3 个小组制作 240面彩旗，后因 1 个小组另有任务，其余 2 个小组的每名学生要比原计划多做 4 面彩旗才能完成任务如果这 3 个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【分析】设每个小组有学生 x 名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：设每个小组有学生 x 名，根据题意，得 4，解这个方程，得 x10，经检验，x10 是原方程的根，答：每个小组有学生 10 名【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键25 （8 分）如图，在ABCD 中，过 A、B、C 三点的
37、O 交 AD 于点 E，连接BE、 CE，BEBC（1）求证：BECCED；（2）若 BC10，DE3.6，求O 的半径【分析】 （1）证明两个等腰三角形相似，证明一个底角对应相等即可；（2）利用直径构造直角三角形，从而涉及到半径（直径） ，再利用垂径定理即可解决问题【解答】 （1）证明：BEBC，BECBCE四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AB CD BCEDEC，A+D180BECDEC四边形 ABCD 内接于O，A+BCE180BCEDBECCED即得证（2）过点 O 作 OFCE，垂足为 F，连接 OC，如下图CF CE直线 OF 垂直平分 CEBEBC，直线 OF 经过点
38、BBECCED，又由（1）可知 CECD， BC10，DE3.6，CECD6CF CE3设 O 的半径为 r可得 BF ，OF r在 Rt OCF 中， OF2+CF2OC 2，（ r） 2+9r 2r即圆的半径为 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，尤其是对两个等腰三角形的判定更为特殊，利用直径构造直角三角形是相关问题中的常用思路26 （9 分）换个角度看问题【原题重现】一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 x（h） ，两车之间的距离为 y（km） ，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与
39、第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇 30 分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？【问题再研】若设慢车行驶的时间为 x（h） ，慢车与甲地的距离为 s1（km） ，第一列快车与甲地的距离为 s2（km） ，第二列快车与甲地的距离为 s3（km ） ，根据原题中所给信息解决下列问题：（1）在同一直角坐标系中，分别画出 s1、s 2 与 x 之间的函数图象；（2）求 s3 与 x 之间的函数表达式；（3）求原题的答案【分析】 （1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得 s1、s 2 与 x 之间的函数关系式，从而可以可以画出 s1、s 2 与 x 之间的函数图象；（
40、2）根据题意和（1）中的函数关系式可以求得 s3 与 x 之间的函数表达式；（3）根据（2）中函数关系式，令 s30 求出相应的 x 的值，即可解答本题【解答】解：（1）慢车速度为：9001275km/h，则快车速度为：（900754）4150km/h，则 s190075x（0x 12） ，s 2150x （0x6） ，则 s1、s 2 与 x 之间的函数图象如右图所示；（2）由（1）知 s190075x，当 x4.5 时，s 1562.5，设 s3 与 x 之间的函数表达式为 s3150x+b，当 x4.5 时，s 3562.5，562.51504.5+b，得 b112.5，即 s3150x
41、112.5；（3）s 3150x112.5，当 s30 时，x0.75，即第二列快车比第一列快车晚出发 0.75 小时【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答27 （11 分）数学概念在两个等腰三角形中，如果其中一个三角形的底边长和底角的度数分别等于另一个三角形的腰长和顶角的度数，那么称这两个等腰三角形互为姊妹三角形概念理解（1）如图 ，在 ABC 中，ABAC ，请用直尺和圆规作出它的姊妹三角形（保留作图痕迹，不写作法） 特例分析（2） 在ABC 中，AB AC，A30，BC ，求它的姊妹三角形的顶角的度数和腰长；如图 ，在 ABC 中
42、，ABAC ，D 是 AC 上一点，连接 BD若ABC 与ABD 互为姊妹三角形，且ABCBCD，则A 36 深入研究（3）下列关于姊妹三角形的结论：每一个等腰三角形都有姊妹三角形；等腰三角形的姊妹三角形是锐角三角形；如果两个等腰三角形互为姊妹三角形，那么这两个三角形可能全等；如果一个等腰三角形存在两个不同的姊妹三角形，那么这两个三角形也一定互为姊妹三角形其中所有正确结论的序号是 【分析】 （1）根据姊妹三角形的定义画出图形即可（2） 过点 B 作 BGAC，垂足为 G设 BGx，想办法构建方程解决问题即可首先证明 AABD，BDCCABC，设Ax，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题（3
43、）根据姊妹三角形的定义一一判断即可【解答】解：（1）如图，DEF 即为所求（2） 设ABC 的姊妹三角形为DEF，且 DEDF在ABC 中，AB AC， A30，BC ，BC75，过点 B 作 BG AC，垂足为 G设 BGx ，则 ABAC2 x，AG x，CGACAG2x x（2 ）x ，在 Rt BGC 中， BG2+CG2BC 2，x 2+（2 ） 2x2（ ） 2，x1，ABAC2第一种情形：DABC75，DEDFBC 第二种情形：当EA30时，EDF120EFAB2过点 D 作 DHEF，垂足为 HDEDF ，EH EF1ED ABC 的姊妹三角形的顶角为 75时，腰长为 ；顶角为
44、 120时，腰长为如图 中，ABCBCD，ACBD，CBDC ABC，ABC 与ABD 互为姊妹三角形，BCBD，DBCA+ABD，C ABC DBC+ABD，AABD ，设Ax ，则 DBCx，BDCC2x，5x180，x36故答案为 36（3） 每一个等腰三角形都有姊妹三角形；正确等腰三角形的姊妹三角形是锐角三角形；错误如果两个等腰三角形互为姊妹三角形，那么这两个三角形可能全等；正确如果一个等腰三角形存在两个不同的姊妹三角形，那么这两个三角形也一定互为姊妹三角形错误故答案为 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，姊妹三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题
