1、2019 年浙江省宁波市江北区中考数学一模试卷一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1 （4 分）在下列实数中，无理数是（ ）A0 B C D92 （4 分）截止 2019 年 3 月 8 日，中国科幻电影流浪地球的票房约为 45.6 亿元，成为中国科幻电影的里程碑其中 45.6 亿用科学记数法表示为（ ）A4.5610 8 B45.610 8 C4.5610 9 D0.45610 103 （4 分）下列计算正确的是（ ）Ax 2x3x 5 Bx 6x2x 3 Cx 3+x3x 6 D2x x24 （4 分）如图所示是一个正四棱台，其俯视图正
2、确的为（ ）A B C D5 （4 分）从五个数 中任意抽取一个作为 x，则 x 满足不等式2x13 的概率是（ ）A B C D6 （4 分）将一副三角板如图放置，其中BACADE90，E45，C30，其中点 D 落在线段 BC 上，且 AEBC，则DAC 的度数为（ ）A30 B25 C20 D157 （4 分）一元二次方程 x2+6x70 的解为（ ）Ax 11，x 27 Bx 11，x 27Cx 1 1，x 27 Dx 11， x278 （4 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，A 30 ，BC2，则O 的直径长为（ ）A2 B C4 D89 （4 分）一组数 1，1，2，3，5，8
3、，13 是“斐波那契数列”的一部分，若去掉其中的两个数后这组数的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ）A2，5 B1，5 C2，3 D5，810 （4 分）如图，在边长为 的正方形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上的一点，连结 BE，将ABE 绕着点 B 顺时针旋转一定的角度，使得点 A 落在线段 BE 上，记为点 F，此时点E 恰好落在边 CD 上记为点 G，则 AE 的长为（ ）A B C D111 （4 分）下列尺规作图中，能确定圆心的是（ ）如图 1，在圆上任取三个点 A，B，C，分别作弦 AB，BC 的垂直平分线，交点 O 即为圆心如图 2，在圆上任取一点 B，以 B
4、为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于 A，C 两点连结 AB，BC，作 ABC 的平分线交圆于点 D，作弦 BD 的垂直平分线交 BD 于点 O，点 O 即为圆心如图 3，在圆上截取弦 ABCD，连结 AB，BC ，CD，分别作ABC 与DCB 的平分线，交点 O 即为圆心A B C D12 （4 分）已知点 A（t，y 1） ，B（t+2，y 2）在抛物线 的图象上，且2t 2，则线段 AB 长的最大值、最小值分别是（ ）A2 ，2 B2 ，2 C2 ，2 D2 ，2二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13 （4 分）因式分解：a 22a 14 （4 分）圆锥的底面半径为 6cm，母线长
5、为 10cm，则圆锥的侧面积为 cm 215 （4 分）等腰直角ABO 在平面直角坐标系中如圈所示，点 O 为坐标原点，直角顶点A 的坐标为（ 2，4） ，点 B 在反比例函数 y （x 0）的图象上，则 k 的值为 16 （4 分）如图，在ABC 中，点 DEF 分别在边 AB，AC，BC 上，DEBC DF AC， ，BDF 的面积为 9，则四边形 DFCE 的面积为 17 （4 分）如图，在 44 的正方形网格图中，以格点为圆心各画四条圆弧，则这四条圆弧所围成的阴影部分面积为 18 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB5，tanD ，点 E 在 BC 上运动（不与 B，C重合） ，
6、将四边形 AECD 沿直线 AE 翻折后，点 C 落在 C处，点 D落在 D 处，CD与 AB 交于点 F，当 CDAB 时，CE 长为 三、解答题（本大题有 8 小题，共 78 分）19 （6 分）先化简，再求值： 20 （8 分） “数学来源于生活，又运用于生活”曹老师为了了解所教班级学生利用数学知识解决实际问题的能力，编制若干问题对全班学生进行了一次测试，并将测试结果分成四类，A 特别强：B：强；C：一般： D 较弱以下是由调查测试结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图完成以下解答（1）曹老师的班级共有 名学生；（2）将下面条形统计图的 C 类部分补充完整；（3）扇形统计图中，D
7、类对应的圆心角为多少度21 （8 分）如图，ABC 是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上） ，请分别在图1，图 2 的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形（1）在图 1 中，以 AB 为边画直角三角形ABD（D 与 C 不重合） ，使它与ABC 全等（2）在图 2 中，以 AB 为边画直角三角形ABE，使它的一个锐角等于B，且与ABC 不全等22 （10 分）如图，二次函数图象的顶点为（1，1） ，且与反比例函数的图象交于点A（3 ，3）（1）求二次函数与反比例函数的解析式；（2）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值
8、时自变量 x 的取值范围23 （10 分）为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯如图，夜行灯 A 射出的光线 AB、AC 与地面 MN 的夹角分别为 10和 14，该夜行灯照亮地面的宽度 BC 长为 米，求该夜行灯距离地面的高度 AN 的长（参考数据： ）24 （10 分） “2019 宁波国际山地马拉松赛”于 2019 年 3 月 31 日在江北区举行，小林参加了环绕湖 8km 的迷你马拉松项目（如图 1） ，上午 8：00 起跑，赛道上距离起点 5km 处会设置饮水补给站，在比赛中，小林匀速前行，他距离终点的路程 s（km）与跑步的时间 t（h）的函数图象的一部分
9、如图 2 所示（1）求小林从起点跑向饮水补给站的过程中与 t 的函数表达式（2）求小林跑步的速度，以及图 2 中 a 的值（3）当跑到饮水补给站时，小林觉得自己跑得太悠闲了，他想挑战自己在上午 8：55之前跑到终点，那么接下来一段路程他的速度至少应为多少？25 （12 分）平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 M，ABM 的外接圆交 AD 于点 E 且圆心 O 恰好落在 AD 边上，连接 ME，若BCD45（1）求证：BC 为O 切线；（2）求ADB 的度数；（3）若 ME1，求 AC 的长26 （14 分）等边ABC 与正方形 DEFG 如图 1 放置，其中 D，E 两点分别在 AB，BC
10、 上，且 BD BE（1）求DEB 的度数；（2）当正方形 DEFG 沿着射线 BC 方向以每秒 1 个单位长度的速度平移时，CF 的长度y 随着运动时间变化的函数图象如图 2 所示，且当 时，y 有最小值 1；求等边 ABC 的边长；连结 CD，在平移的过程中，求当CEF 与CDE 同时为等腰三角形时 t 的值；从平移运动开始，到 GF 恰落在 AC 边上时，请直接写出CEF 外接圆圆心的运动路径的长度2019 年浙江省宁波市江北区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1 （4 分）在下列实数中，无理数是（
11、 ）A0 B C D9【分析】先把能化简的数化简，然后根据无理数的定义逐一判断即可得【解答】解：A、0 是有理数；B、 是无理数；C、 是分数，为有理数；D、9 是有理数；故选：B【点评】本题主要考查无理数的定义，属于简单题2 （4 分）截止 2019 年 3 月 8 日，中国科幻电影流浪地球的票房约为 45.6 亿元，成为中国科幻电影的里程碑其中 45.6 亿用科学记数法表示为（ ）A4.5610 8 B45.610 8 C4.5610 9 D0.45610 10【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a| 10，n 为整数，据此判断即可【解答】解：45.6 亿4
12、.5610 9故选：C【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，确定 a 与 n 的值是解题的关键3 （4 分）下列计算正确的是（ ）Ax 2x3x 5 Bx 6x2x 3 Cx 3+x3x 6 D2x x2【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再得出选项即可【解答】解：A、x 2x3x 5，故本选项符合题意；B、x 6x2x 4，故本选项不符合题意；C、x 3+x32x 3，故本选项不符合题意；D、2xxx，故本选项不符合题意；故选：A【点评】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等
13、知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键4 （4 分）如图所示是一个正四棱台，其俯视图正确的为（ ）A B C D【分析】由于俯视图是从物体的上面看得到的视图，所以先得出四个选项中各几何体的俯视图，再与题目图形进行比较即可【解答】解：四棱台的俯视图是两个大小相套的正方形，全部为实线故选：B【点评】本题考查由三视图判断几何体，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力5 （4 分）从五个数 中任意抽取一个作为 x，则 x 满足不等式2x13 的概率是（ ）A B C D【分析】不等式 2x13 的解集为：x2，进而利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：不等式 2x13 的解集为：x2，
14、x 满足不等式 2x13 的概率是 ，故选：A【点评】此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比6 （4 分）将一副三角板如图放置，其中BACADE90，E45，C30，其中点 D 落在线段 BC 上，且 AEBC，则DAC 的度数为（ ）A30 B25 C20 D15【分析】利用平行线性质求出EAC 的度数，再利用三角板的性质即可求解【解答】解：C30， AEBC ，EACC30，又EEAD 45DAFEADEAC453015故选：D【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是要熟练掌握平行线的性质7 （4 分）一元二次方程 x2+6x70 的解为（ ）Ax
15、 11，x 27 Bx 11，x 27Cx 1 1，x 27 Dx 11， x27【分析】利用因式分解法解方程即可【解答】解：（x+7） （x 1）0，x+70 或 x1 0，所以 x17，x 21故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 8 （4 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，A 30 ，BC2，则O 的直径长为（ ）A2 B C4
16、D8【分析】连接 OB、OC，如图，利用圆周角定理得到 BOC60，则可判断OCB 为等边三角形，从而得到 BC OB【解答】解：连接 OB、OC，如图，BOC2A23060，而 OBOC，OCB 为等边三角形，BCOB2圆的直径为 4故选：C【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理9 （4 分）一组数 1，1，2，3，5，8，13 是“斐波那契数列”的一部分，若去掉其中的两个数后这组数的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（ ）A2，5 B1，5 C2，3 D5，8【分析】根据中位数和众数的定义确定中位
17、数和众数分别是多少，然后即可确定答案【解答】解：1，1，2，3，5，8，13 的众数为 1，中位数为 3，所以应该以 3 为中心左右对称去，且不能去掉 1，所以去掉 2，5 后中位数仍为 3，众数仍为 1，故选：A【点评】本题考查了众数及中位数的定义，解题的关键是能够牢记方法并正确的计算10 （4 分）如图，在边长为 的正方形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上的一点，连结 BE，将ABE 绕着点 B 顺时针旋转一定的角度，使得点 A 落在线段 BE 上，记为点 F，此时点E 恰好落在边 CD 上记为点 G，则 AE 的长为（ ）A B C D1【分析】利用旋转不变性以及全等三角形的性质证明
18、ABECBGFGB30即可解决问题【解答】解：根据旋转不变性可知：ABEFBG，BEBG，四边形 ABCD 是正方形，BABC， AC ABC90，RtABERtCBG（HL） ，ABE CBGFGB30，在 Rt ABE 中，AE ABtan30 1，故选：D【点评】本题考查性质的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型11 （4 分）下列尺规作图中，能确定圆心的是（ ）如图 1，在圆上任取三个点 A，B，C，分别作弦 AB，BC 的垂直平分线，交点 O 即为圆心如图 2，在圆上任取一点 B，以 B 为圆心，小于
19、直径长为半径画弧交圆于 A，C 两点连结 AB，BC，作 ABC 的平分线交圆于点 D，作弦 BD 的垂直平分线交 BD 于点 O，点 O 即为圆心如图 3，在圆上截取弦 ABCD，连结 AB，BC ，CD，分别作ABC 与DCB 的平分线，交点 O 即为圆心A B C D【分析】O 的圆心在线段 AB，BC 的垂直平分线上，故点 O 即为所求由作图可知：线段 BD 是O 的直径，故点 O 即为所求无法判断点 O 是圆心【解答】解：由题意 可以判定点 O 是的圆心故选：A【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型
20、12 （4 分）已知点 A（t，y 1） ，B（t+2，y 2）在抛物线 的图象上，且2t 2，则线段 AB 长的最大值、最小值分别是（ ）A2 ，2 B2 ，2 C2 ，2 D2 ，2【分析】由点 A、B 在抛物线上，可用 t 表示 y1、y 2，根据两点间距离公式用 t 表示AB2，发现 AB2 与 t 是二次函数的关系，由抛物线性质和自变量 t 的取值范围可知：t 在对称轴上时取得最小值；观察 t 本身的取值范围，看 t 2 和 t2 哪个离对称轴更远，即对应的函数值最大【解答】解：点 A（t，y 1） ，B（t+2，y 2）在抛物线 的图象上y 1 t2，y 2 （t+2） 2 t2+
21、2t+2AB 2（t+2t） 2+（y 2y 1） 22 2+（ t2+2t+2 t2） 24+ （2t+2） 24（t+1） 2+4AB 2 与 t 是二次函数的关系，由抛物线性质可知：当 t1 时，AB 2 取得最小值，AB 24，AB2当 t2 时，AB 2 取得最大值，AB 24（2+1） 2+440，AB故选：C【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，两点间距离公式，在规定自变量范围内求二次函数最值，要考虑对称轴是否有在规定自变量范围内，两临界点哪个离对称轴越远二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13 （4 分）因式分解：a 22a a（a2） 【分析】先确定公因式是 a，然后
22、提取公因式即可【解答】解：a 22aa（a2） 故答案为：a（a2） 【点评】本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可14 （4 分）圆锥的底面半径为 6cm，母线长为 10cm，则圆锥的侧面积为 60 cm 2【分析】圆锥的侧面积 底面半径母线长，把相应数值代入即可求解【解答】解：圆锥的侧面积61060 cm2【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键15 （4 分）等腰直角ABO 在平面直角坐标系中如圈所示，点 O 为坐标原点，直角顶点A 的坐标为（ 2，4） ，点 B 在反比例函数 y （x 0）的图象上，则 k 的值为 12 【分析】过 A 作 ACx 轴于 C，过 B 作
23、 BDAC 于 D，根据全等三角形的性质，可以得到点 B 的坐标，由点 B 在反比例函数 y 的图象上，从而可以得到 k 的值【解答】解：如图，过 A 作 ACx 轴于 C，过 B 作 BDAC 于 D，则ACOBDA90，ABO 是等腰直角三角形，AOBA，BAO90，OAC+BADABD +BAD90，OACABD，AOCBAD（AAS ） ，ADOC2，BDAC4 ，点 B 的坐标为（6，2） ，2 ，解得 k12，故答案为：12【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质的运用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答16 （4 分）如图，在ABC 中，点
24、DEF 分别在边 AB，AC，BC 上，DEBC DF AC， ，BDF 的面积为 9，则四边形 DFCE 的面积为 12 【分析】先证明ADEDBF，利用相似三角形的性质得到 SADE 4，再证明ADEABC 得到 SABC 25，从而可计算出四边形 DFCE 的面积【解答】解：DEBC，ADEB，DFAC，ABDF ，ADEDBF， （ ） 2 ，而BDF 的面积为 9，S ADE 4，DEBC，ADEABC， （ ） 2（ ） 2，S ABC 25，四边形 DFCE 的面积254912故答案为 12【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公
25、共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形17 （4 分）如图，在 44 的正方形网格图中，以格点为圆心各画四条圆弧，则这四条圆弧所围成的阴影部分面积为 36 【分析】把 44 的正方形分成 a，b，c，d，e，阴影部分 6 个部分两圆分割法求解即可【解答】解：把 44 的正方形分成 a，b，c，d，e，阴影部分 6 个部分可得 S 阴 S 正方形 abcde44（44 ）（33） 1（ 22）（ 33）36，故答案为 36【点评】本题考查扇形的面积，弓形的面积，三角形的面积，正方形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法解决问题，属于
26、中考填空题中的压轴题18 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB5，tanD ，点 E 在 BC 上运动（不与 B，C重合） ，将四边形 AECD 沿直线 AE 翻折后，点 C 落在 C处，点 D落在 D 处，CD与 AB 交于点 F，当 CDAB 时，CE 长为 【分析】如图，作 AHCD 于 H，交 BC 的延长线于 G，连接 AC首先证明 EA 平分BAG，推出 ，想办法求出 AG，BG ，EG，CG 即可解决问题【解答】解：如图，作 AH CD 于 H，交 BC 的延长线于 G，连接 AC由题意：ADAD，DD，AFDAHD90，AFDAHD （AAS） ，FADHAD ，EADE
27、AD ，EAB EAG， （角平分线的性质定理，可以用面积法证明）ABCD，AHCD，AHAB，BAG90，BD，tanB tanD ， ，AG ，BG ，BE：EG AB：AG4：3，EG BG ，在 Rt ADH 中，tanD ，AD 5，AH3，CH4，CH1，CGAD， ，CG ，ECEGCG 故答案为 【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题（本大题有 8 小题，共 78 分）19 （6 分）先化简，再求值： 【分析】根据乘法分配律可以化简
28、题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（ ） （a1）a+（a1）a+a12a1，当 a 时，原式2 1110【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法20 （8 分） “数学来源于生活，又运用于生活”曹老师为了了解所教班级学生利用数学知识解决实际问题的能力，编制若干问题对全班学生进行了一次测试，并将测试结果分成四类，A 特别强：B：强；C：一般： D 较弱以下是由调查测试结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图完成以下解答（1）曹老师的班级共有 20 名学生；（2）将下面条形统计图的 C 类部分补充完整；（3）扇形统计图中，D
29、类对应的圆心角为多少度【分析】 （1）根据 A 类学生数和所占的百分比可以求得曹老师班级的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得 C 类学生中的女生人数，从而可以将统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，D 类对应的圆心角为多少度【解答】解：（1） （1+2）15% 20（名） ，故答案为：20；（2）C 类中女生有：2025%23（名） ，补充完整的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中，D 类对应的圆心角为： 360 36【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21 （8 分）如图，ABC 是正方形网格图中的格点三角形
30、（顶点在格点上） ，请分别在图1，图 2 的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形（1）在图 1 中，以 AB 为边画直角三角形ABD（D 与 C 不重合） ，使它与ABC 全等（2）在图 2 中，以 AB 为边画直角三角形ABE，使它的一个锐角等于B，且与ABC 不全等【分析】 （1）如图 1，根据三边对应相等的两三角形全等作图即可；（2）根据三组对应边成比例的两个三角形相似作图【解答】解：（1）如图 1，ACD 为所求；（2）如图 2，ABD 为所求【点评】本题考查了作图应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的
31、性质和基本作图的方法作图此题灵活应用相似三角形的判定与性质22 （10 分）如图，二次函数图象的顶点为（1，1） ，且与反比例函数的图象交于点A（3 ，3）（1）求二次函数与反比例函数的解析式；（2）判断原点（0，0）是否在二次函数的图象上，并说明理由；（3）根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时自变量 x 的取值范围【分析】 （1）设二次函数为 ya（x+1） 2+1，设反比例函数的解析式为 y ，把 A 点的坐标代入，关键待定系数法即可求得；（2）把 x0 代入求得的二次函数的解析式即可判断；（3）由两函数的图象直接写出 x 的取值范围即可【解答】解：（1）设二次函数为 ya（x
32、+1） 2+1，经过点 A（3，3）34a+1，a1，二次函数的解析式为 y（x+1） 2+1，设反比例函数的解析式为 y ，二次函数的图象与反比例函数的图象交于点 A（3，3）k3（3）9，反比例函数的解析式为 y ；（2）把 x0 代入 y（x +1） 2+1，得 y1+1 0，原点（0，0）是否在二次函数的图象上；（3）由图象可知，二次函数与反比例函数图象的交点为 A（3，3） ，当 x3 或 x0 时二次函数的值小于反比例函数的值【点评】本题是一道函数的综合试题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式和求二次函数的解析式，由图象特征确定自变量的取值范围23 （10 分）为了增强体质，小明
33、计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯如图，夜行灯 A 射出的光线 AB、AC 与地面 MN 的夹角分别为 10和 14，该夜行灯照亮地面的宽度 BC 长为 米，求该夜行灯距离地面的高度 AN 的长（参考数据： ）【分析】过点 A 作 ADMN 于点 D，在 RtADB 与 RtACD 中，由锐角三角函数的定义可知 tan10 ，tan14 ，即可得出 AD 的长【解答】解：解：过点 A 作 ADMN 于点 D，在 RtADB 与 RtACD 中，由锐角三角函数的定义可知：tan10 ，tan14 ，故 4ADDC，则 ，解得：AD1，答：该夜行灯距离地面的高度 AN 的长为 1m【点
34、评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键24 （10 分） “2019 宁波国际山地马拉松赛”于 2019 年 3 月 31 日在江北区举行，小林参加了环绕湖 8km 的迷你马拉松项目（如图 1） ，上午 8：00 起跑，赛道上距离起点 5km 处会设置饮水补给站，在比赛中，小林匀速前行，他距离终点的路程 s（km）与跑步的时间 t（h）的函数图象的一部分如图 2 所示（1）求小林从起点跑向饮水补给站的过程中与 t 的函数表达式（2）求小林跑步的速度，以及图 2 中 a 的值（3）当跑到饮水补给站时，小林觉得自己跑得太
35、悠闲了，他想挑战自己在上午 8：55之前跑到终点，那么接下来一段路程他的速度至少应为多少？【分析】 （1）根据图象可知，点（0，8）和点（ ，5）在函数图象上，利用待定系数法求解析式即可；（2）由题意，可知点（a，3）在（1）中的图象上，将其代入求解即可；（3）设接下来一段路程他的速度为 xkm/h，利用【解答】解：（1）设小林从起点跑向饮水补给站的过程中 s 与 t 的函数关系式为：skt +b，（0，8）和（ ，5）在函数 skt+b 的图象上， ，解得： ，s 与 t 的函数关系式为：s ；（2）速度为：3 （km/h） ，点（a，3）在 s 上， ，解得：a ；（3）设接下来一段路程他
36、的速度为 xkm/h，根据题意，得：（ ）x3，解得：x13.5答：接下来一段路程他的速度至少为 13.5km/h【点评】本题主要考查一次函数的应用，解决第（3）题的关键是明确，要在 8 点 55 之前到达，需满足在接下来的路程中，速度时间路程25 （12 分）平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 M，ABM 的外接圆交 AD 于点 E 且圆心 O 恰好落在 AD 边上，连接 ME，若BCD45（1）求证：BC 为O 切线；（2）求ADB 的度数；（3）若 ME1，求 AC 的长【分析】 （1）连接 OB，根据平行四边形的性质得到 BAD BCD45，根据圆周角定理得到BOD2BAD90，根
37、据平行线的性质得到 OBBC ，即可得到结论；（2）连接 OM，根据平行四边形的性质得到 BMDM，根据直角三角形的性质得到OMBM，求得OBM 60，于是得到ADB30；（3）连接 EM，过 M 作 MFAE 于 F，根据等腰三角形的性质得到MOFMDF30，设 OMOEr，解直角三角形即可得到结论【解答】 （1）证明：连接 OB，四边形 ABCD 是平行四边形，BADBCD45，BOD 2 BAD90，ADBC，DOB +OBC180，OBC90，OBBC，BC 为O 切线；（2）解：连接 OM，四边形 ABCD 是平行四边形，BMDM，BOD 90 ，OM BM，OBOM ，OBOM B
38、M，OBM60，ADB30；（3）解：连接 EM，过 M 作 MFAE 于 F，OM DM，MOFMDF 30，设 OM OE r，FM r，OF r，EFr r，EF 2+FM2EM 2，（r r） 2+（ r） 21，解得：r ，AE2r 2 ，AE 是O 的直径，AME 90 ，AM 2+ ，AC2AM 4+2 【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直径三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键26 （14 分）等边ABC 与正方形 DEFG 如图 1 放置，其中 D，E 两点分别在 AB，BC 上，且 BD BE（1）求DEB 的度数；（2）当
39、正方形 DEFG 沿着射线 BC 方向以每秒 1 个单位长度的速度平移时，CF 的长度y 随着运动时间变化的函数图象如图 2 所示，且当 时，y 有最小值 1；求等边 ABC 的边长；连结 CD，在平移的过程中，求当CEF 与CDE 同时为等腰三角形时 t 的值；从平移运动开始，到 GF 恰落在 AC 边上时，请直接写出CEF 外接圆圆心的运动路径的长度【分析】 （1）证明BDE 是等边三角形即可解决问题（2） 如图 2 中，正方形 DEFG 平移过程中，FF BC，易证四边形 EFFE是平行四边形，由题意，当 CF BC 时，CF的值最小，此时 CF1，解直角三角形求出 EF ，CE即可分两
40、种情形分别画出图象求解即可如图 5 中，设 CEF的外接圆的圆心为 I，连接 IE，CI，IF，设直线 FF交 AC 于 H，在 CB 上取一点 J，使得 CHCJ，连接 JH，IJ 证明HCFJCI（SAS ） ，推出 JIHF ，即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，ABC 是等边三角形，B60，BDBE，BDE 是等边三角形，BED60（2） 如图 2 中，如图正方形 DEFG 平移过程中，FFBC，易证四边形 EFFE是平行四边形，由题意，当 CFBC 时，CF的值最小，此时 CF1，在 Rt CEF 中，ECF 90，FEC30，CF1，EFEF 2，CE ，tEE ，EECE
41、 ，BEDE EF2，BCBE+EE+CE2+2 如图 3 中，当 ED E FCE2 时，CEF 与CDE 同时为等腰三角形，此时 tEE BCBE CE2+2 42 2如图 4 中，当 ECEDEF2 时，CEF 与CDE 同时为等腰三角形，此时 tEEBC+CEBE BC2+2 综上所述，t2 2 或 2+2 时，CEF 与CDE 同时为等腰三角形如图 5 中，设 CEF的外接圆的圆心为 I，连接 IE，CI，IF，设直线 FF交 AC 于 H，在 CB 上取一点 J，使得 CHCJ，连接 JH，IJ IEIFIC，FE C FIC，FE C 30，CJF60，CIF是等边三角形，CHCJ，HCJ60，HCJ 是等边三角形，CHCJ，CFCI，HCJFCI60，HCFJCI，HCFJCI（SAS ） ，FHIJ，CHFCJI120，点 I 的运动轨迹是线段，且 JIHF，由可知 FH ，CEF 外接圆圆心的运动路径的长度为 【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，平移变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于这里压轴题
