1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分共 40 分。参考公式：如果事件 A，
2、B 互斥，那么 .PABP圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高VShh棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高13一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 ， ， ，则1,25A2,4B|13CxR()ACBA. 2 B. 2，3 C. -1，2，3 D. 1，2，3，4【答案】D【解析】【分析】先求 ，再求 。AB()CB【详解】因为 ，1,2所以 .()1,234ACB故选 D。【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算2.设变量 满
3、足约束条件 ，则目标函数 的最大值为,xy20,1,xy4zxyA. 2 B. 3 C. 5 D. 6【答案】D【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距，4yxzy故目标函数在点 处取得最大值。A由 ，得 ，20,1xy(1,)所以 。max4)5z故选 C。【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围即：一画，二移，三求3
4、.设 ，则“ ”是“ ”的xR05x1xA. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出 的解集，根据两解集的包含关系确定.1x【详解】 等价于 ，故 推不出 ；02x05x1x由 能推出 。x5故“ ”是“ ”的必要不充分条件。05|1|x故选 B。【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据 pq，q p 进行判断；(2)集合法：根据由 p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题4.阅
5、读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为SA. 5 B. 8 C. 24 D. 29【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果。【详解】 ，1,2Si1,25,3jSi8,4Si结束循环，故输出 。8故选 B。【点睛】解决此类型问题时要注意：要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体5.已知 ， ， ，则 的大小关系为2log7a3l8b0.2c,abcA. B. cb cC. D. a ab【答案】A【解析】【分析
6、】利用利用 等中间值区分各个数值的大小。0,12【详解】 ；.031c；22log7l4。33189故 。cba故选 A。【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待。16.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若与双曲线 的两条渐近线分别交于24yxFl2(0,)xyab点 A 和点 B，且 （ 为原点） ，则双曲线的离心率为|OA. B. C. 2 D. 23 5【答案】D【解析】【分析】只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。4ABOF,abc【详解】 的方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ，l1xbyxa故得 ，(1,)(,)bABa所以 ， ， ，
7、242ba所以 。25cae故选 D。【点睛】双曲线 的离心率 .21(0,)xyab21cbea7.已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将()sin(),0|)fxAxfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图象对应的函数为 .若yf gx，则24g38fA. -2 B. C. D. 222【答案】C【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出 值即可。,A【详解】 为奇函数，可知 ，()fx(0)sin0f由 可得 ；0把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，得 ，21()sin2gxAx由 的最小正周期为 可得 ，()gx2由 ，可得 ，4A所以 ， 。()
8、2sinfx3()2sin84f故选 C。8.已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，2,01,().xfx1()()4fxaR则 的取值范围为aA. B. C. D. 59,459,459,1459,14【答案】D【解析】【分析】画出 图象及直线 ，借助图象分析。fx14yxa【详解】如图，当直线 位于 点及其上方且位于 点及其下方，BA或者直线 与曲线 相切在第一象限时符合要求。14yxa1yx即 ，即 ，2594或者 ，得 ， ，即 ，得 ，214xx12y24a1所以 的取值范围是 。a59,故选 D。【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一
9、条为直线时常用此法。绝密启用前第卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9. 是虚数单位，则 的值为_.i51i【答案】 3【解析】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。【详解】解法一： 。5()12311iii解法二： 。26ii【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR) 的形式，再根据题意求解10. 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为_.xR230xx【答案】(1,)【解析】【分析】通过因式分解，解不
10、等式。【详解】 ，230x即 ，(1)即 ，23x故 的取值范围是 。(1,)【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数； (2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集容易出现的错误有： 未将二次项系数化正，对应错标准形式；解方程出错；结果未按要求写成集合11. 曲线 在点 处的切线方程为_.cos2xy0,1【答案】 【解析】【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。【详解】 ，1sin2yx当 时其值为 ，0x故所求的切线方程为 ，即 。12yx20y【点睛】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0
11、，f(x 0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数 f(x)的导数 f(x)；求切线的斜率 f(x0)；写出切线方程 yf( x0)f( x0)(xx 0)，并化简(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组 得切点(x 0，y 0)，进而010()yfx确定切线方程12.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧25棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.【答案】 .4【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。【详解】四棱锥的高为 ，512故圆柱的高为 ，圆
12、柱的底面半径为 ，1故其体积为 。24【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。13. 设 ， ， ，则 的最小值为_.0xy24xy(1)2xy【答案】 .43【解析】【分析】把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。26xy【详解】 ，26(1)2143xyxyx等号当且仅当 ，即 时成立。3xy,故所求的最小值为 。4【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。14. 在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，ABCDB 23A5D30AECB且 ，则 _.EE【答案】 .1【解析】【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向
13、量的坐标运算求解。【详解】详解：解法一：如图，过点 作 的平行线交 于 ，BAEDF因为 ，故四边形 为菱形。AEBAEBF因为 ， ，所以 ，即 .30D2325AFD因为 ，5AEFBABD所以 .222773()() 51205ABAD解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 ， 。(23,0)B5(,)2D因为 ， ，所以 ，ADBC30ACE因为 ，所以 ，EE所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，33(2)yx直线 的斜率为 ，其方程为 。AE3由 得 ， ，3(2),yx3x1y所以 。(3,1)E所以 。35(,),12BDAEA【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便
14、于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分72,108层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况.25（）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 .享受情况如,ABCDEF右表，其中“ ”表示享受， “”表示不享受.现从这 6 人中随
15、机抽取 2 人接受采访.A员工项目A B C D E F子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同” ，求事件 发生的概率.M M【答案】 （I）6 人，9 人，10 人；（II） （i）见解析；（ ii） .15【解析】【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；（II） （I）根据 6 人中随机抽取 2 人，将所有的结果一一列出；（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公
16、式求得概率.【详解】 （I）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，6:910由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人.（II） （i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为, , ,ABCDAEF,BCDEBF,CDEF,共 15 种；EF（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , ,AA,B, ,共 11 种，,C,DE所以，时间 M 发生的概率 .1()5P【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.16. 在
17、中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .VABCBC ,abc2a3sin4sicBaC（）求 的值；cos（）求 的 值. sin26B【答案】() ；14() .35716【解析】【分析】()由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值,abc cosB()利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值.sin2oB 2a【详解】() 在 中，由正弦定理 得 ，VACsiinbcCsiinbcB又由 ，得 ，即 .3sin4sicBa3in4a34a又因为 ，得到 ， .2bb2c由余弦定理可得 .22cosacB2416943aa()由( )可得 ，2
18、15in1s4从而 ， .si2ico8B227cossin8BB故 .153135insin2in66686 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理 余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面PABCDABPCD PAC， ， ， ，PCDA2C3AD（）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；GHPBACGH PAD（）求证： 平面 ；D（）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （I）见解析；（ II）见解析；（III） .3【解析】【分析】（I）连接 ，结合平
19、行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到 ，利用线面平行的判BD GHPDA定定理证得结果；（II）取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质PCNDNPC得到 ，利用线面垂直的判定定理证得结果；A（III）利用线面角的平面角的定义得到 为直线 与平面 所成的角，放在直角三角形中求得ADA结果.【详解】 （I）证明：连接 ，易知 ， ，BDCBH又由 ，故 ，BGPHDA又因为 平面 ， 平面 ，P所以 平面 .GH PAD（II）证明：取棱 的中点 ，连接 ，依题意，得 ，CNDNPC又因为平面 平面 ，平面 平面 ，PAC所以 平面 ，又 平面 ，故 ，
20、NPAA又已知 ， ，D所以 平面 .C（III）解：连接 ，由（II）中 平面 ，ANPAC可知 为直线 与平面 所成的角.D因为 为等边三角形， 且 为 的中点，PC2CDN所以 ，又 ，3NA在 中， ，RtA3sin所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .DPAC【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.18. 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ， .nanb013ab23a243b（）求 和 的通项公式；n（）设数列 满足 求 .nc21,nb为 奇 数为 偶 数 *122naca
21、cN【答案】 （I） ， ；3an（II）2(1)69()nN【解析】【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得 ，进而求得等差3dq数列和等比数列的通项公式；（II）根据题中所给的 所满足的条件，将 表示出来，之后应用分组求和法，结合nc122nacac等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.【详解】 （I）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，ndnbq依题意，得 ，解得 ，23154qd3q故 ， ，()nan1nb所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 ；3an3nb（II） 122ncc351142632()( )nab
22、a 6382n，212()n记 3nT则 2311n 得， ，2313nnT 11()(2)33nnn所以122122 ()6nnnacacT.()369()nN【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式等基础知识，考查数列求和的基n本方法和运算求解能力，属于中档题目.19. 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为 B.已知 （ 为原21(0)xyabFA3|2|OAB点）.（）求椭圆的离心率；（）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆F34lxPCxl心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程. C4xOCAP【答案】 （I）首
23、先设椭圆的半焦距为 ，根据题意得到 ，结合椭圆中 的关系，得到c32ab,abc，化简得出 ，从而求得其离心率；223()ac12a（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程 ，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐2143xyc标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得 ，从而得到椭圆的方程.2c【解析】【分析】（I） ；12（II） .16xy【详解】 （I）解：设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，c32ab又由 ，消去 得 ，解得 ，22abcb223()a1c所以，椭圆的离心率为 .1（II）解：由（I）知， ，故椭圆方程为 ，2,3acb2143xyc由题意， ，则直线 的方程为
24、 ，(,0)Fcl()4yx点 的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，P2143()xycy2276130xc解得 ，12,7cx代入到 的方程，解得 ，l1239,14yc因为点 在 轴的上方，所以 ，Px(,)P由圆心在直线 上，可设 ，因为 ，4,CtOAP且由（I）知 ，故 ，解得 ，(2,0)Ac32ct2t因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为 2，Cx又由圆 与 相切，得 ，解得 ，l23(4)1c2c所以椭圆的方程为： .26xy【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决
25、问题的能力.20. 设函数 ，其中 .()ln(1)xfxaeaR（）若 ，讨论 的单调性；0af（）若 ，e（i）证明 恰有两个零点fx（ii）设 为 的 极值点， 为 的零点，且 ，证明 .xf1xf10x0132x【答案】 （I） 在 内单调递增.；()0,)（II） （i）见解析；（ ii）见解析 .【解析】【分析】（I） ；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；（II） （i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.【详解】 （I）解：由已知，
26、的 定义域为 ，()fx(0,)且 ，211()xxxaefae因此当 时， ，从而 ，020x()0f所以 在 内单调递增.()fx,)（II）证明：（i ）由（I）知， ，21()xaefx令 ，由 ，可知 在 内单调递减，2()1xgxae0e()g0,)又 ，且 ，()2211(ln)l(lngaa故 在 内有唯一解，0gx(,)从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，)f, 0x则 ，当 时， ，01lnxa0(,)x()()gf所以 在 内单调递增；()f0,)当 时， ，0(,)x0()(gxfx所以 在 内单调递减，()fx0,)因此 是 的唯一极值点.0令 ，则当 时， ，故 在
27、内单调递减，()ln1hxx1()0hx()hx1,)从而当 时， ，所以 ，()0hln从而 ，1l1 1(lnll)l(ln)0afaeha a又因为 ，所以 在 内有唯一零点，0)(fxf()fx0,)又 在 内有唯一零点 1，从而， 在 内恰有两个零点.(f, (f,（ii）由题意， ，即 ，01()fx0112ln()xxae从而 ，即 ，1012lnxe1021x以内当 时， ，又 ，故 ，xlx10x102210()xex两边取对数，得 ，102nle于是 ，整理得 ，1002l()xx0132x【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.
