1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）文 科 数 学1. 设 ，则 （ ）312izzA.B.C. 2D.1答案：C解析：因为3()127125iiiz所以 z27()52. 已知集合 ， ， ，则 （ ）,643,1U5432，A7632，BACBUA. 6,B. 71C. ,D. 6答案：C解析：， ，则 ，又 ，则7,6543,21U5432，A761，ACU7632，B，故选 C.，B3.已知 ， ， ，则（ ）2log0.a0.2b0.3cA. bcB.C.cabD.答案：B解答：由对数函数的图像可知： ；再有指数函数的图像可知： ，2log0.a0.21b，于是可
2、得到： .0.321ccb4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（ 称为黄金分割比例） ，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最568.美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄215金分割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是（ cm105cm6）A. cm165B. 7C. 8D. 90答案：B解析：方法一：设头顶处为点 ，咽喉处为点 ，脖子下端处为点 ，肚脐处为点 ，腿根处为点 ，ABCDE足底处为 ， ， ，FtD215根据题意可知 ,故 ；又 ， ，故t tBAD)1(FA；t1所以身高 ，将 代
3、入可得 .tDFAh2)1(618.025th24根据腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 可得 ， ；cm105cmACBEFD即 ， ，将 代入可得26tt .4t所以 ，故选 B.8.7.9h方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之c比是 （ 称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为 ；215618.0 cm42将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为 ，头68顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 可计算出肚脐至足底的长度约为 ；21510将头
4、顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为 ，与答案c17更为接近，故选 B.cm1755. 函数 在 的图像大致为（ ）2sin()oxf,A.B.C.D.答案：D解答： ，2sin()coxfx2sincox()fx 为奇函数，排除 A.f又 ，排除 C，2sin4() 02cof，排除 B，故选 D.22sin()1f6.某学校为了解 名新生的身体素质，将这些学生编号为 ，从这些新生0 1,23,0中用系统抽样方法等距抽取 名学生进行体质测验，若 号学生被抽到，则下面 名学1464生中被抽到的是（ ）. A. 号学生 8B. 号学生 20C. 号学生 61D. 号学生85答案：
5、C解答：从 名学生中抽取 名，每 人抽一个， 号学生被抽到，则抽取的号数就为101046，可得出 号学生被抽到.6(9,)nnN17. （ ）ta25A. 3B. 23C.D.答案：D解析：因为 tan25t(18075)tantan45t30t(4530)1化简可得 38. 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）ab|2|bba)(aA. 6B. 3C.2D. 65答案：B解答：，且 ， ，有 ，设 与 的夹角为|2|baba)(0)(ba0|2baab，则有 ，即 ， ，0|cos|2|cos|20)1cos(|， ， ，故 与 的夹角为 ，选 .0|b13ab3B9. 右
6、图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ）2+1A.12AB.C.12AD.答案：A解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项 A 代入运算可得 ，满足条件，1=2+选项 B 代入运算可得 ,不符合条件，1=2+选项 C 代入运算可得 ,不符合条件，A选项 D 代入运算可得 ,不符合条件.1+410.双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 的离心率为)0(2bayxC： 130C（ ）A. 40sin2B. coC. 5i1D. 0cos答案：D解答：根据题意可知 ，所以 ，130tanb50cosintab离心率 . 50cos1si5cosi 2222e11. 的内角 的对边分别为 ，已知
7、 ，ABC,abcini4inAbBC，则 （ ）1cos4bcA. 6B. 5C.D. 3答案：A解答：由正弦定理可得到： ，即 ，22sini4sin4aAbBcCabc24acb又由余弦定理可得到： ，于是可得到221co612. 已知椭圆 的焦点坐标为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点，C1(,0)F2(,)2FCAB若， ，则 的方程为（ ）2AFB1ACA.xyB.213C.24xyD.2154xy答案：B解答：由 ， ，设 ，则 ， ，根据椭圆的2AF1ABF2Bx2AFx13Bx定义 ，所以 ，因此点 即为椭圆的下顶点，因12a1为 ， 所以点 坐标为 ，将坐标代入椭圆方程得
8、 ，2cB3(,)2b2914a解得，故答案选 B.23,ab13.曲线 在点 处的切线方程为 .23()xye(0,)答案： x解答： ，23(21)()xxyee23(1)xe结合导数的几何意义曲线在点 处的切线方程的斜率 ，0, 3k切线方程为 .yx14. 记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 .nSna1a34S4答案： 58解析：，1a31234Sa设等比数列公比为 q211q所以 4S5815函数 的最小值为_3()sin2)cosfxx答案： 4解答：，23()sin2)cos23cos3cos1fxxxx因为 ，知当 时 取最小值，co1,1()f则 的最小值为 3()s
9、in2)cosfxx416.已知 ， 为平面 外一点， ，点 到 两边90ACBPABC2PACB的距离均为 ，那么 到平面 的距离为 .,3答案： 2解答：如图，过 点做平面 的垂线段，垂足为 ，则 的长度即为所求，再做PABCOP，由线面的垂直判定及性质定理可得出 ，在,EF ,ECBOFA中，由 ，可得出 ，同理在 中可得出 ，Rt2,31CFRt1E结合 ， 可得出 ， ，90ACBOEBAO22P17.某商场为提高服务质量，随机调查了 名男顾客和 名女顾客，每位顾客对该商场的5050服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满 意 不 满 意 男 顾 客 41女 顾 客 3020
10、（1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2） 能否有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？95%附：22()(nadbc2(Pk0.5.01.013846382答案：(1)男顾客的的满意概率为045P女顾客的的满意概率为3(2) 有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.95%解答：（1） 男顾客的的满意概率为405P女顾客的的满意概率为 .3(2) 2210(410)4.762()32(有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.4.7623.8195%18.记 为等差数列 的前 项和，已知 ；nSna59aS（1）若 ，求 的通项公式；3（2）若 ，求使
11、得 的 的取值范围.01nS答案：（1） na（2） N,解答：（1）由 结合 可得 ，联立 得 ，所以59aS59192)(aS043a2d0)3(ndan（2）由 可得 ，故 ， .5941 dn)(2)9(nS由 知 ，故 等价于 ，解得 ，01naS01210所以 的取值范围是nN,019. 如图直四棱柱 的底面是菱形， ， ，1ABCD14,AB60AD分别是 的中点.,EMN,（1）证明： 平面/1E（2）求点 到平面 的距离 .CD答案：见解析解答：（1）连结 相交于点 ，再过点 作 交 于点 ，再连结 ，1,ACBDGM1/HCE1BHG.NG分别是 的中点.,EM1,BCAD
12、于是可得到 ， ，/GHE于是得到平面 平面 ，N1由 平面 ，于是得到 平面/MN1CDE（2） 为 中点， 为菱形且EBCAD60BA，又 为直四棱柱，D1C1DEC，又 ，12,4，设点 到平面 的距离为3,7EC1h由 得11DEV34322h解得417h所以点 到平面 的距离为C1DE41720. 已知函数 ， 是 的导数.()2sincosfxx()fxf（1）证明： 在区间 存在唯一零点；(0,)（2）若 时， ，求 的取值范围.0,xfxa答案：略解答：（1）由题意得 ()2cos(sin)1fxxcosin1x令 ，()cosin1gx)cog当 时， ， 单调递增，0,2(
13、)0gx()当 时， ， 单调递减，(,)x()()x 的最大值为 ，又 ，()g12g()2g(0) ，即 ，0()0f 在区间 存在唯一零点.()fx(,（2）令 ，)Ffxa2sincosxxa ，()xcosi1由（1）知 在 上先增后减，存在 ，使得 ，且 ，f(0,)(,)2m()0fm()0f， ，()=2f2f 在 上先增后减， ， ， ，Fx0,)(0)Fa()12a()2Fa当 时， 在 上小于 ， 单调递减，(2(x,x又 ，则 不合题意，)当 时，即 ， 时，(0F102a12若 ， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，)()()Fx,m(,)m则 解得 ，(0a而 解
14、得 ，故 ，)(2F20a20a若 ， ， 在 上单调递增，且 ，(0)F()0()Fx,(0)F故只需 解得 ；2a2a若 ， ， 在 上单调递增，且 ，(0)()0()x, (0)故存在 时， ，不合题意，,2x0F综上所述， 的取值范围为 .a,21. 已知点 关于坐标原点 对称， ， 过点 且与直线,ABO4ABMe,AB20x相切.（1）若 在直线 上，求 的半径；0xye（2）是否存在定点 ，使得当 运动时， 为定值？并说明理由.PAP答案：（1） 或 ；6（2）见解析.解答：（1） 过点 ，圆心在 的中垂线上即直线 上，设圆的方程为Me,AByx，又 ，根据 得 ；22()()x
15、ayr422AOMr24ar 与直线 相切， ，联解方程得 或 .0xar0,6（2）设 的坐标为 ，根据条件 即(,)y222rx22xy化简得 ，即 的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线，所以存在定24yxM(1,0)1点 ，使 .(1,0)P2APx22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 .以坐标原点 为极xOyC221()4txyt为 参 数 O点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为x l.2cos3in10（1）求 和 的直角坐标方程；Cl（2）求 上的点到 距离的最小值.答案：略解答：(1)曲线 :由题意得 即 ，则 ，然后代入C221txt21xt(1)y
16、x即可得到24y而直线 ：将 代入即可得到lcos,inxy2310xy（2）将曲线 化成参数方程形式为C则4sin()1cos23in1677d所以当 时，最小值为6223.已知 ， ， 为正数，且满足 ，证明：abc1abc（1） ；221（2） .4)()()(333答案：（1）见解析；（2）见解析.解析：（1） ， ， ，ab22bc22ac22，即 ，当且仅当ccba2 ba时取等号 . 且 ， ， 都为正数， ， ， ，故1abca1abc1.221cbca（2） ，33333 )()()()()( acba当且仅当 时等号成立，即 时等号成立.又cb，)()(3)()(33 cbaca acba223b4当且仅当 时等号成立， ，故 ，cba1abc 24)()(333 abccba即得 .24)()()(333
