1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷1 至 2 页，第卷 3-5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件 、 互斥，那么 .
2、AB()()PABP如果事件 、 相互独立，那么 .圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高.VShh棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高.13一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，则,25,2,4|13ABCxR()ACBA. B. C. D.23,21,2342.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为,xy0,21,xy4zxyA.2 B.3 C.5 D.63.设 ，则“ ”是“ ”的xR250x|1|xA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运
3、行相应的程序，输出 的值为SA.5 B.8C.24 D.295.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别24yxFl21(0,)xyabab交于点 和点 ，且 （ 为原点） ，则双曲线的离心率为AB|OA. B. C. D.23256.已知 ， ， ，则 的大小关系为5loga0.52lb0.2c,abcA. B. C. D.cacab7.已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标()sin(),|)fxAxyfx伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且gx2，则4g38fA. B. C. D.22228.已知 ，设函数
4、 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的aR2,1,()lnxaxfx()0fxRa取值范围为A. B. C. D.0,10,20,e1,e第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 是虚数单位，则 的值为 .i51i10. 是展开式中的常数项为 .832x11.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧25棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .12.设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为
5、.aR0xy2cos,1inxya13.设 ，则 的最小值为 .0,25x()x14.在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，ABCD,23,5,30BADA ECB且 ，则 .EE三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .ABC , ,abc2a3sin4sicBaC（）求 的值；cos（）求 的值.in2616.（本小题满分 13 分）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影23响，且任一同学每天到校情况相互独立.（
6、）用 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期X X望；（）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到M校的天数恰好多 2”，求事件 发生的概率.17.（本小题满分 13 分）如图， 平面 ， ， .AEBCD,FAEBC ,1,2ADBAEBC（）求证： 平面 ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值；（）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.13F18.（本小题满分 13 分）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 .21(0)xyabFB5（）求椭圆的方程；（）设点 在椭圆
7、上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的PMPxNy负半轴上.若 （ 为原点） ，且 ，求直线 的斜率.|ONFOPNB19.（本小题满分 14 分）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .nanb1234,6,24abab，（）求 和 的通项公式；（）设数列 满足 其中 .nc11,2,kknncb*N（i）求数列 的通项公式；2na（ii）求 .*1icN20.（本小题满分 14 分）设函数 为 的导函数.()ecos,()xfgfx（）求 的单调区间；（）当 时，证明 ；,42x()02fxgx（）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明n()1uf,42mnN
8、.2002siconnxex2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分.1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分.9. 10. 11. 12. 13. 14.1328434431三.解答题15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分 13 分.（）解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，ABC sinibcBC
9、sinibcB3sin4sicaC得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得3sin4siba34a2a43a2.2224169cos 43aaacbB（）解：由（）可得 ，从而 ，215sin1cosB 15sin2icos8B，故227cosi8B，15371357insincosin666826 16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.（）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 ，23故 ，从而 .23,XB 3321(
10、),0,123kkPXkC所以，随机变量 的分布列为0 1 2 3P1272949827随机变量 的数学期望 .X()3EX（）解：设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为 ，则 ，且Y3,B.由题意知事件 与 互斥，且事件3,12,0MYY3,1X2,0与 ，事件 与 均相互独立，从而由（）知XX(),)(,)(,)PPYPY.8241203)(1(20793PY17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分.依题意，可以建立以 为原点，分别以 的方向为
11、轴， 轴， 轴正方向的空间直角AABDE， ， xyz坐标系（如图） ，可得 ， .设 ，(0,)(1,0)(,20)(,1)C(0,2)E(0)CFh则 .1,2Fh（）证明：依题意， 是平面 的法向量，又 ，可得 ，(1,0)ABADE(0,2)BFh0BFA又因为直线 平面 ，所以 平面 .DEF（）解：依题意， .(,)(1,02)(1,)C设 为平面 的法向量，则 即 不妨令 ，(,)nxyzB,nBE0,xyz1z可得 .因此有 .(2,1) 4cos,9|Cn所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .EBD（）解：设 为平面 的法向量，则 即(,)mxyzF0,mBDF0,2xyh
12、z不妨令 ，可得 .1y21,h由题意，有 ，解得 .经检验，符合题意.24|1cos, 3mnh87h所以，线段 的长为 .CF8718.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分 13 分.（）解：设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ，c524,cba22bc5a2,b.1c所以，椭圆的方程为 .2154xy（）解：由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，0,PpMxx， PB0k,2B则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可PB2yk2,154yk245x得 ，代入 得
13、 ，进而直线 的斜率 .在2045Pxkx2810PkyOP210Ppykx中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由yy2Mk,NMN，得 ，化简得 ，从而 .OMN2110k245235k所以，直线 的斜率为 或 .PB35019.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 项和公式等基础知识.考查化归与转化思n想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分 14 分.（）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 解得nadnbq26,14qd故 .3,2dq 14(1)3,623nnn n所以， 的通项公式为 的通项公式为 .na,nnab2nnb（） （
14、i）解： .221321941nxc所以，数列 的通项公式为 .n nnc（ii）解： 22221111n iiniiiiiacaa124394nnn ii21235nnn.1*7N20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）解：由已知，有 .因此，当 时，有()cosin)xfex52,4xk()kZ，得 ，则 单调递减；当 时，有sincox0ff 3,()，得 ，则 单调递增.ifxfx所以， 的单调递增区间为 的单调递减区间为f 32,(),(4kk
15、fxZ.52,()4kZ（）证明：记 .依题意及（） ，有 ，从而()()2hxfgx()cosin)xgex.当 时， ，故()2sinxge,40.()()()1()2hfgxgx因此， 在区间 上单调递减，进而 .x,42()02hf所以，当 时， .,()02fxgx（）证明：依题意， ，即 .记 ，则 ，1nnufcos1nxe2nyx,42ny且 .22ecoscosnnyxnNf 由 及（） ，得 .由（）知，当 时， ，所以201nfyefy0ny,42x0gx在 上为减函数，因此 .又由（）知，gx,404ngg，故02nnnfyy.0222002 sincosinconnn yneeefggxy所以， .200siconxx
