2019年数学中考考前冲刺提分专项训练:反比例函数(含答案)

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1、2019年数学中考考前冲刺提分专项训练:反比例函数1如图,已知点 D在反比例函数 的图象上,过点 D作 x轴的平行线交 y轴于点B(0,2) ,过点 A 的直线 y kx+b与 y轴于点 C,且BD2 OC,tan OAC (1)求反比例函数 的解析式;(2)连接 CD,试判断线段 AC与线段 CD的关系,并说明理由;(3)点 E为 x轴上点 A左侧的一点,且 AE BD,连接 BE交直线 CA于点 M,求tan BMC的值解:(1) A( ,0) , B(0,2) , OA , OB2,tan OAC , OC1, BC3, BD2 OC, BD2, BD BC, B(2,2) ,把 B(2

2、,2)代入 y 中,得到 m4,反比例函数的解析式为 y (2)如图,设 CD交 x轴于 K OK BD, , , OK , OC1, OA , OC2 OAOK, , AOC COK, AOC COK, OAC OCK, OAC+ OCA90, OCA+ OCK90, ACK90, AC CD(3)如图,作 BH CM于 H A( ,0) , C(0,1) ,直线 AC的解析式为 y x1, AE BD2, OA2+ , E( ,0) , B(0,2) ,直线 BE的解析式为 y x+2,由 解得 , M( , ) , CM , BM , S BCM 3 BH, BH , MH ,tan B

3、MC 22如图,双曲线 y ( x0)的图象经过点 A( ,4) ,直线 y x与双曲线交于 B点,过 A, B分别作 y轴、 x轴的垂线,两线交于 P点,垂足分别为 C, D(1)求双曲线的解析式;(2)求证: ABP BOD解:(1)点 A( ,4)在双曲线 y 上, k 42,双曲线的解析式为 ;(2)如图,由(1)知,双曲线的解析式为 y ,直线 OB的解析式为 y x,连接解得, 或 (舍去) , B(2,1) , BD1, OD2, CP y轴, PD x轴, OCP ODP90 COD,四边形 OCPD是矩形, ODB P90,CP OD2, PD OC, A( ,4) , OC

4、4, CA , AP CP AC , BP PD13, , , , P ODB90, ABP BOD3如图,反比例函数 y 的图象与一次函数 y x的图 象交于点 A、 B,点 B的横坐标是 4点 P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线 AB的上方(1)若点 P的坐标是(1,4) ,直接写出 k的值和 PAB的面积;(2)设直线 PA、 PB与 x轴分别交于点 M、 N,求证: PMN是等腰三角形;(3)设点 Q是反比例函数图象上位于 P、 B之间的动点(与点 P、 B不重合) ,连接AQ、 BQ,比较 PAQ与 PBQ的大小,并说明理由解:(1) k4, S PAB15提示:过点 A

5、作 AR y轴于 R,过点 P作 PS y轴于 S,连接 PO,设 AP与 y轴 交于点 C,如图 1,把 x4 代入 y x,得到点 B的坐标为(4,1) ,把点 B(4,1)代入 y ,得 k4解方程组 ,得到点 A的坐标为(4,1) ,则点 A与点 B关于原点对称, OA OB, S AOP S BOP, S PAB2 S AOP设直线 AP的解析式为 y mx+n,把点 A(4,1) 、 P(1,4)代入 y mx+n,求得直线 AP的解析式为 y x+3,则点 C的坐标(0,3) , OC3, S AOP S AOC+S POC OCAR+ OCPS 34+ 31 , S PAB2

6、S AOP15;(2)过点 P作 PH x轴于 H,如图 2B(4,1) ,则反比例函数解析式为 y ,设 P( m, ) ,直线 PA的方程为 y ax+b,直线 PB的方程为 y px+q,联立 ,解得直线 PA的方程为 y x+ 1,联立 ,解得直线 PB的方程为 y x+ +1, M( m4,0) , N( m+4,0) , H( m,0) , MH m( m4)4, NH m+4 m4, MH NH, PH垂直平分 MN, PM PN, PMN是等腰三角形;(3) PAQ PBQ理由如下:过点 Q作 QT x轴于 T,设 AQ交 x轴于 D, QB的延长线交 x轴于 E,如图 3可设

7、点 Q为( c, ) ,直线 AQ的解析式为 y px+q,则有,解得: ,直线 AQ的解析式为 y x+ 1当 y0 时, x+ 10,解得: x c4, D( c4,0) 同理可得 E( c+4,0) , DT c( c4)4, ET c+4 c4, DT ET, QT垂直平分 DE, QD QE, QDE QED MDA QDE, MDA QED PM PN, PMN PNM PAQ PMN MDA, PBQ NBE PNM QED, PAQ PBQ4如图 1,已知点 A( a,0) , B(0, b) ,且 a、 b满足 , ABCD的边AD与 y轴交于点 E,且 E为 AD中点,双曲

8、线 经过 C、 D两点(1)求 k的值;(2)点 P在双曲线 上,点 Q在 y轴上,若以点 A、 B、 P、 Q为顶点的四边形是平行四边形,试求满足要求的所有点 P、 Q的坐标;(3)以线段 AB为对角线作正方形 AFBH(如图 3) ,点 T是边 AF上一动点, M是 HT的中点, MN HT,交 AB于 N,当 T在 AF上运动时, 的值是否发生改变?若改变,求出其变化范围;若不改变,请求出其值,并给出你的证明解:(1) +( a+b+ 3)20,且 0, ( a+b+3) 20, ,解得: , A(1,0) , B(0,2) , E为 AD中点, xD1,设 D(1, t) ,又四边形

9、ABCD是平行四边形, C(2, t2) , t2 t4, t4, k4;(2)由(1)知 k4,反比例函数的解析式为 y ,点 P在双曲线 上,点 Q在 y轴上,设 Q(0, y) , P( x, ) ,当 AB为边时:如图 1所示:若 ABPQ为平行四边形,则 0,解得 x1,此时 P1(1,4) ,Q1(0,6) ;如图 2所示;若 ABQP为平行四边形,则 ,解得 x1,此时 P2(1,4) ,Q2(0,6) ;如图 3所示;当 AB为对角线时: AP BQ,且 AP BQ; ,解得 x1, P3(1,4) , Q3(0,2) ;故 P1(1,4) , Q1(0,6) ; P2(1,4

10、) , Q2(0,6) ; P3(1,4) , Q3(0,2) ;(3)连 NH、 NT、 NF, MN是线段 HT的垂直平分线, NT NH,四边形 AFBH是正方形, AB F ABH,在 BFN与 BHN中, BFN BHN, NF NH NT, NTF NFT AHN,四边形 ATNH中, ATN+ NTF18 0,而 NTF NFT AHN,所以, ATN+ AHN180,所以,四边形 ATNH内角和为 360,所以 TNH3601809090 MN HT, 5如图,直线 y ax+1与 x轴、 y轴分别相交于 A、 B两点,与双曲线 y ( x0)相交于点 P, PC x轴于点 C

11、,且 PC2,点 A的坐标为(2,0) (1)求双曲线的解析式;(2)若点 Q为双曲线上点 P右侧的一点,且 QH x轴于 H,当以点 Q、 C、 H为顶点的三角形与 AOB相似时,求点 Q的坐标解:(1)把 A(2,0)代入 y ax+1中,求得 a , y x+1,由 PC2,把 y2 代入 y x+1中,得 x2,即 P(2,2) ,把 P代入 y 得: k4,则双曲线解析式为 y ;(2)设 Q( m, n) , Q( m, n)在 y 上, n ,当 QCH BAO时,可得 ,即 ,2 m4 mn,即 m22,解得: m4, Q(4,1) ;当 QCH ABO时,可得 ,即 ,整理得

12、:2 a4 ,解得: a1+ 或 a1 (舍) , Q(1+ ,2 2) 综上, Q(4,1)或 Q(1+ ,2 2) 6如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(8,1) , B(0,3) ,反比例函数y ( x0)的图象经过点 A,动直线 x t(0 t 8)与反比例函数的图象交于点M,与直线 AB交于点 N(1)求 k的值;(2)求 BMN面积的最大值;(3)若 MA AB,求 t的值解:(1)把点 A(8,1)代入反比例函数 y ( x0)得:k188, y , k8;(2)设直线 AB的解析式为: y kx+b,根据题意得: ,解得: k , b3,直线 AB的解析式为: y x3;设

13、M( t, ) , N( t, t3) ,则 MN t+3, BMN的面积 S ( t+3) t t2+ t+4 ( t3) 2+ , BMN的面积 S是 t的二次函数, 0, S有最大值,当 t3 时, BMN的面积的最大值为 ;(3) MA AB,设直线 MA的解析式为: y2 x+c,把点 A(8,1)代入得: c17,直线 AM的解析式为: y2 x+17,解方程组 得: 或 (舍去) , M的坐标为( ,16) , t 7如图 1所示,已知 y ( x0)图象上一点 P, PA x轴于点 A( a,0) ,点 B坐标为(0, b) ( b0) ,动点 M是 y轴正半轴上 B点上方的点

14、,动点 N在射线 AP上,过点 B作 AB的垂线,交射线 AP于点 D,交直线 MN于点 Q,连接 AQ,取 AQ的中点为 C(1)如图 2,连接 BP,求 PAB的面积;(2)当点 Q在线段 BD上时,若四边形 BQNC是菱形,面积为 2 ,求此时 P点的坐标;(3)当点 Q 在射线 BD上时,且 a3, b1,若以点 B, C, N, Q为顶点的四边形是平行四边形,求这个平行四边形的周长解:(1)如图 2,连接 OPS PAB S PAO xy 63;(2)如图 1,四边形 BQNC是菱形, BQ BC NQ, BQC NQC, AB BQ, C是 AQ的中点, BC CQ AQ, BQC

15、60, BAQ30,在 ABQ和 ANQ中, ABQ ANQ( SAS) , BAQ NAQ30, BAO30, S 菱形 BQNC2 CQBN,令 CQ2 t BQ,则 BN2(2 t )2 t, t1 BQ2,在 Rt AQB中, BAQ30, AB BQ2 , BAO30 OA AB3,又 P点在反比例函数 y 的图象上, P点坐标为(3,2) ;(3) OB1, OA3, AB ,易得 AOB DBA, , BD3 ,如图 3,当点 Q在线段 BD上, AB BD, C为 AQ的中点, BC AQ,四边形 BQNC是平行四边形, QN BC, CN BQ, CN BD, , BQ CN

16、 BD , AQ 2 , C 四边形 BQNC2 +2 ;如图 4,当点 Q在射线 BD的延长线上, AB BD, C为 AQ的中点, BC CQ AQ,平行四边形 BNQC是菱形, BN CQ, BN CQ, BND QAD , BQ3 BD9 , AQ 2 , C 四边形 BNQC2 AQ4 8如图, O为坐标原点,点 B在 x轴的正半轴上,四边形 OACB是平行四边形,sin AOB ,反比例函数 y ( k0)在第一象限内的图象经过点 A,与 BC交于点F(1)若 OA10,求反比例函数解析式;(2)若点 F为 BC的中点,且 AOF的面积 S12,求 OA的长和点 C的坐标;(3)在

17、(2)中的条件下,过点 F作 EF OB,交 OA于点 E(如图) ,点 P为直线 EF上的一个动点,连接 PA, PO是否存在这样的点 P,使以 P、 O、 A为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有点 P的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)过点 A作 AH OB于 H,sin AOB , OA10, AH8, OH6, A点坐标为(6,8) ,根据题意得:8 ,可得: k48,反比例函数解析式: y ( x0) ;(2)设 OA a( a0) ,过点 F作 FM x轴于 M,过点 C作 CN x轴于点 N,由平行四边形性质可证得 OH BN,sin AOB , AH a, OH

18、 a, S AOH a a a2, S AOF12, S 平行四边形 AOBC24, F为 BC的中点, S OBF6, BF a, FBM AOB, FM a, BM a, S BMF BMFM a a a2, S FOM S OBF+S BMF6+ a2,点 A, F都在 y 的图象上, S AOH S FOM k, a26+ a2, a , OA , AH , OH2 , S 平行四边形 AOBC OBAH24, OB AC3 , ON OB+OH5 , C(5 ,) ;(3)存在三种情况:当 APO90时,在 OA的两侧各有一点 P,分别为: P1( ,) , P2(,) ,当 PAO

19、90时, P3( ,) ,当 POA90时, P4( ,) 9如图,直线 y x+1与 x, y轴分别交于 A、 B两点, P( a, b)为双曲线y ( x0)上的一动点, PM x轴与 M,交线段 AB 于 F, PN y轴于 N,交线段 AB于 E(1)求 E、 F两点的坐标(用 a, b的式子表示) ;(2)当 a 时,求 EOF的面积(3)当 P运动且线段 PM、 PN均与线段 AB有交点时,探究: BE、 EF、 FA这三条线段是否能组成一个直角三角形?说明理由; EOF的大小是否会改变?若不变,求出 EOF的度数,若会改变,请说明理由解:(1)如图 1, PM x轴与 M,交线段

20、 AB于 F, xF xM xP a PN y轴于 N,交线段 AB于 E, yE yN yP b点 E、 F 在直线 AB上, yE xE+1 b yF xF+1 a+1 xE1 b, yF1 a点 E的坐标为(1 b, b) ,点 F的坐标为( a,1 a) (2)当 a 时, P( a, b)在双曲线 y ( x0)上, b 点 P的坐标为( , ) ,点 E的坐标为( , ) ,点 F的坐标为( , ) ON , NE , OM , FM 直线 y x+1与 x, y轴分别交于 A、 B两点,当 x0 时, y1,则点 B的坐标为(0,1) ;当 y0 时, x1,则点 A的坐标为(1

21、,0) OA OB1 PN OB, PM OA, OA OB, PNO NOM OMP90四边形 OMPN是矩形 PM ON , NP OM BN1 , PE , PF S OEF S 矩形 OMPN S ONE S OMF S PEF OMON ONNE OMFM PEPF OEF的面积为 (3)当 P运动且线段 PM、 PN均与线段 AB有交点时, BE、 EF、 FA这三条线段总能组成一个直角三角形证明:如图 1, PM x轴, FM1 a, AM1 a, FA2 FM2+MA2(1 a) 2+(1 a) 22(1 a) 2同理可得: BE22(1 b) 2,EF2 a(1 b) 2+b

22、(1 a) 22( a+b1) 2 P( a, b)在双曲线 y ( x0)上,2 ab1, a0, b0 EF22( a2+b2+1+2ab2 a2 b)2( a2+b2+1+12 a2 b)2( a22 a+1)+( b22 b+1)2(1 a) 2+2(1 b) 2 FA2+BE2 BE、 EF、 FA这三条线段总能组成一个直角三角形 EOF的大小不变证明:过点 E作 EH OM,垂足为 H,如图 2, EN ON, OE2 ON2+EN2 b2+(1 b) 22 b2+12 b EH OM, EH b, AH1(1 b) b, EA b同理可得: FA (1 a) EF EA FA b

23、 (1 a) ( b+a1) 2 ab1, EFEA ( b+a1) b2( b2+ab b)2 b2+2ab2 b2 b2+12 b OE2 EFEA OEF AEO, OEF AEO EOF EAO OA OB1, AOB90, OAB OBA45 EOF45 EOF的大小不变,始终等于 4510如图,在矩形 OABC中, OA3, OC5,分别以 OA、 OC所在直线为 x轴、 y轴,建立平面直角坐标系, D是边 CB上的一个动点(不与 C、 B重合) ,反比例函数y ( k0)的图象经过点 D且与边 BA交于点 E,连接 DE(1)连接 OE,若 EOA的面积为 2,则 k 4 ;(2

24、)连接 CA、 DE与 CA是否平行?请说明理由;(3)是否存在点 D,使得点 B关于 DE的对称点在 OC上?若存在,求出点 D的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)连接 OE,如,图 1,Rt AOE的面积为 2, k224(2)连接 AC,如图 1,设 D( x,5) , E(3, ) ,则 BD3 x, BE5 , , ,又 B B, BDE BCA, BED BAC, DE AC(3)假设存在点 D满足条件设 D( x,5) , E(3, ) ,则 CD x,BD3 x, BE5 , AE 作 EF OC,垂足为 F,如图 2,易证 B CD EFB, ,即 , B F , OB B

25、 F+OF B F+AE + , CB OC OB5 ,在 Rt B CD中, CB5 , CD x, B D BD3 x,由勾股定理得, CB 2+CD2 B D2,(5 ) 2+x2(3 x) 2,解这个方程得, x11.5(舍去) , x20.96,满足条件的点 D存在, D的坐标为 D(0.96,5) 11如图,已知一次函数 y x3 与反比例函数 y 的图象相交于点 A(4, n) ,与 x轴相交于点 B(1)填空: n的值为 3 , k的值为 12 ;(2)以 AB为边作菱形 ABCD,使点 C在 x轴正半轴上,点 D在第一象限,求点 D的坐标;(3)观察反比例函数 y 的图象,当

26、 y2 时,请直接写出自变量 x的取值范围解:(1)把点 A(4, n)代入一次函数 y x3,可得 n 433;把点 A(4,3)代入反比例函数 y ,可得 3 ,解得 k12(2)一次函数 y x3 与 x轴相交于点 B, x30,解得 x2,点 B的坐标为(2,0) ,如图,过点 A作 AE x轴,垂足为 E,过点 D作 DF x轴,垂足为 F, A(4,3) , B(2,0) , OE4, AE3, OB2, BE OE OB422,在 Rt ABE中,AB ,四边形 ABCD是菱形, AB CD BC , AB CD, ABE DCF, AE x轴, DF x轴, AEB DFC90

27、,在 ABE与 DCF中, ABE DCF( ASA) , CF BE2, DF AE3, OF OB+BC+CF2+ +24+ ,点 D的坐标为(4+ ,3) (3)当 y2 时,2 ,解得 x6故当 y2 时,自变量 x的取值范围是 x6 或 x0故答案为:3,1212如图,直线 y x+2与反比例函数 y ( k0)的图象交于 A( a,3) , B(3, b)两点,过点 A作 AC x轴于点 C,过点 B作 BD x轴于点 D(1)求 a, b的值及反比例函数的解析式;(2) 若点 P在直线 y x+2上,且 S ACP S BDP,请求出此时点 P的坐标;(3)在 x轴正半轴上是否存

28、在点 M,使得 MAB为等腰三角形?若存在,请直接写出 M点的坐标;若不存在,说明理由解:(1)直线 y x+2与反比例函数 y ( k0)的图象交于 A( a,3) ,B(3, b)两点, a+23,3+2 b, a1, b1, A(1,3) , B(3,1) ,点 A(1,3)在反比例函数 y 上, k133,反比例函数解析式为 y ;(2)设点 P( n, n+2) , A(1,3) , C(1,0) , B(3,1) , D(3,0) , S ACP AC|xP xA| 3|n+1|, S BDP BD|xB xP| 1|3 n|, S ACP S BDP, 3|n+1| 1|3 n|

29、, n0 或 n3, P(0,2)或(3,5) ;(3)设 M( m,0) ( m0) , A(1,3) , B(3,1) , MA2( m+1) 2+9, MB2( m3) 2+1, AB2(3+1) 2+(13) 232, MAB是等腰三角形,当 MA MB时,( m+1) 2+9( m3) 2+1, m0, (舍)当 MA AB时,( m+1) 2+932, m1+ 或 m1 (舍) , M(1+ ,0)当 MB AB时, ( m3) 2+132, m3+ 或 m3 (舍) , M(3+ ,0)即:满足条件的 M(1+ ,0)或(3+ ,0) 13已知双曲线 y ( x0) ,直线 l1

30、: y k( x ) ( k0)过定点 F且与双曲线交于 A, B两点,设 A( x1, y1) , B( x2, y2) ( x1 x2) ,直线 l2: y x+ (1)若 k1,求 OAB的面积 S;(2)若 AB ,求 k的值;(3)设 N(0,2 ) , P在双曲线上, M在直线 l2上且 PM x轴,求 PM+PN最小值,并求 PM+PN取得最小值时 P的坐标 (参考公式:在平面直角坐标系中,若 A( x1, y1) ,B( x2, y2)则 A, B两点间的距离为 AB )解:(1)当 k1 时, l1: y x+2 ,联立得, ,化简得 x22 x+10,解得: x1 1, x

31、2 +1,设直线 l1与 y轴交于点 C,则 C(0,2 ) S OAB S AOC S BOC 2 ( x2 x1)2 ;(2)根据题意得: 整理得: kx2+ (1 k) x10( k0) , (1 k) 24 k(1)2(1+ k2)0, x1、 x2 是方程的两根, , AB2( x1 x2) 2+( ) 2( x1 x2) 2+( ) 2( x1 x2) 21+( ) 2 , AB ,即 ,整理得,2 k2+5k+20,即(2 k+1) ( k+2)0,解得 k2 或 k (3) F( , ) ,如图:设 P( x, ) ,则 M( + , ) ,则 PM x+ , PF , PM

32、PF PM+PN PF+PN NF2,当点 P在 NF上时等号成立,此时 NF的方程为 y x+2 ,由(1)知 P( 1, +1) ,当 P( 1, +1)时, PM+PN最小值是 214如图,将边长为 4的等边三角形 AOB放置于平面直角坐标系 xoy中, F是 AB边上的动点(不与端点 A、 B重合) ,过点 F的反比例函数 y ( k0, x0)与 OA边交于点E,过点 F作 FC x轴于点 C,连结 EF、 OF(1)若 S OCF ,求反比例函数的解析式;(2)在(1)的条件下,试判 断以点 E为圆心, EA长为半径的圆与 y轴的位置关系,并说明理由;(3) AB边上是否存在点 F,使得 EF AE?若存在,请求出 BF: FA的值;若不存在,请说明理由解:(1)设 F( x, y) , ( x0, y0) ,则 OC x, CF y, S OCF xy , xy2 , k2 ,反比例函数解析式为 y ( x0) ;(2)该圆与 y轴相离,理由为:过点 E作 EH x轴,垂足为 H,过点 E作 EG y轴,垂足为 G,在 AOB中, OA AB4, AOB ABO A60,设 OH m,则 tan AOB , EH m, OE2 m, E坐标为( m, m) ,

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