1、2019年数学中考考前冲刺提分专项训练：反比例函数1如图，已知点 D在反比例函数 的图象上，过点 D作 x轴的平行线交 y轴于点B（0，2） ，过点 A 的直线 y kx+b与 y轴于点 C，且BD2 OC，tan OAC （1）求反比例函数 的解析式；（2）连接 CD，试判断线段 AC与线段 CD的关系，并说明理由；（3）点 E为 x轴上点 A左侧的一点，且 AE BD，连接 BE交直线 CA于点 M，求tan BMC的值解：（1） A（ ，0） ， B（0，2） ， OA ， OB2，tan OAC ， OC1， BC3， BD2 OC， BD2， BD BC， B（2，2） ，把 B（2
2、，2）代入 y 中，得到 m4，反比例函数的解析式为 y （2）如图，设 CD交 x轴于 K OK BD， ， ， OK ， OC1， OA ， OC2 OAOK， ， AOC COK， AOC COK， OAC OCK， OAC+ OCA90， OCA+ OCK90， ACK90， AC CD（3）如图，作 BH CM于 H A（ ，0） ， C（0，1） ，直线 AC的解析式为 y x1， AE BD2， OA2+ ， E（ ，0） ， B（0，2） ，直线 BE的解析式为 y x+2，由 解得 ， M（ ， ） ， CM ， BM ， S BCM 3 BH， BH ， MH ，tan B
3、MC 22如图，双曲线 y （ x0）的图象经过点 A（ ，4） ，直线 y x与双曲线交于 B点，过 A， B分别作 y轴、 x轴的垂线，两线交于 P点，垂足分别为 C， D（1）求双曲线的解析式；（2）求证： ABP BOD解：（1）点 A（ ，4）在双曲线 y 上， k 42，双曲线的解析式为 ；（2）如图，由（1）知，双曲线的解析式为 y ，直线 OB的解析式为 y x，连接解得， 或 （舍去） ， B（2，1） ， BD1， OD2， CP y轴， PD x轴， OCP ODP90 COD，四边形 OCPD是矩形， ODB P90，CP OD2， PD OC， A（ ，4） ， OC
4、4， CA ， AP CP AC ， BP PD13， ， ， ， P ODB90， ABP BOD3如图，反比例函数 y 的图象与一次函数 y x的图 象交于点 A、 B，点 B的横坐标是 4点 P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线 AB的上方（1）若点 P的坐标是（1，4） ，直接写出 k的值和 PAB的面积；（2）设直线 PA、 PB与 x轴分别交于点 M、 N，求证： PMN是等腰三角形；（3）设点 Q是反比例函数图象上位于 P、 B之间的动点（与点 P、 B不重合） ，连接AQ、 BQ，比较 PAQ与 PBQ的大小，并说明理由解：（1） k4， S PAB15提示：过点 A
5、作 AR y轴于 R，过点 P作 PS y轴于 S，连接 PO，设 AP与 y轴 交于点 C，如图 1，把 x4 代入 y x，得到点 B的坐标为（4，1） ，把点 B（4，1）代入 y ，得 k4解方程组 ，得到点 A的坐标为（4，1） ，则点 A与点 B关于原点对称， OA OB， S AOP S BOP， S PAB2 S AOP设直线 AP的解析式为 y mx+n，把点 A（4，1） 、 P（1，4）代入 y mx+n，求得直线 AP的解析式为 y x+3，则点 C的坐标（0，3） ， OC3， S AOP S AOC+S POC OCAR+ OCPS 34+ 31 ， S PAB2
6、S AOP15；（2）过点 P作 PH x轴于 H，如图 2B（4，1） ，则反比例函数解析式为 y ，设 P（ m， ） ，直线 PA的方程为 y ax+b，直线 PB的方程为 y px+q，联立 ，解得直线 PA的方程为 y x+ 1，联立 ，解得直线 PB的方程为 y x+ +1， M（ m4，0） ， N（ m+4，0） ， H（ m，0） ， MH m（ m4）4， NH m+4 m4， MH NH， PH垂直平分 MN， PM PN， PMN是等腰三角形；（3） PAQ PBQ理由如下：过点 Q作 QT x轴于 T，设 AQ交 x轴于 D， QB的延长线交 x轴于 E，如图 3可设
7、点 Q为（ c， ） ，直线 AQ的解析式为 y px+q，则有，解得： ，直线 AQ的解析式为 y x+ 1当 y0 时， x+ 10，解得： x c4， D（ c4，0） 同理可得 E（ c+4，0） ， DT c（ c4）4， ET c+4 c4， DT ET， QT垂直平分 DE， QD QE， QDE QED MDA QDE， MDA QED PM PN， PMN PNM PAQ PMN MDA， PBQ NBE PNM QED， PAQ PBQ4如图 1，已知点 A（ a，0） ， B（0， b） ，且 a、 b满足 ， ABCD的边AD与 y轴交于点 E，且 E为 AD中点，双曲
8、线 经过 C、 D两点（1）求 k的值；（2）点 P在双曲线 上，点 Q在 y轴上，若以点 A、 B、 P、 Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点 P、 Q的坐标；（3）以线段 AB为对角线作正方形 AFBH（如图 3） ，点 T是边 AF上一动点， M是 HT的中点， MN HT，交 AB于 N，当 T在 AF上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明解：（1） +（ a+b+ 3）20，且 0， （ a+b+3） 20， ，解得： ， A（1，0） ， B（0，2） ， E为 AD中点， xD1，设 D（1， t） ，又四边形
9、ABCD是平行四边形， C（2， t2） ， t2 t4， t4， k4；（2）由（1）知 k4，反比例函数的解析式为 y ，点 P在双曲线 上，点 Q在 y轴上，设 Q（0， y） ， P（ x， ） ，当 AB为边时：如图 1所示：若 ABPQ为平行四边形，则 0，解得 x1，此时 P1（1，4） ，Q1（0，6） ；如图 2所示；若 ABQP为平行四边形，则 ，解得 x1，此时 P2（1，4） ，Q2（0，6） ；如图 3所示；当 AB为对角线时： AP BQ，且 AP BQ； ，解得 x1， P3（1，4） ， Q3（0，2） ；故 P1（1，4） ， Q1（0，6） ； P2（1，4
10、） ， Q2（0，6） ； P3（1，4） ， Q3（0，2） ；（3）连 NH、 NT、 NF， MN是线段 HT的垂直平分线， NT NH，四边形 AFBH是正方形， AB F ABH，在 BFN与 BHN中， BFN BHN， NF NH NT， NTF NFT AHN，四边形 ATNH中， ATN+ NTF18 0，而 NTF NFT AHN，所以， ATN+ AHN180，所以，四边形 ATNH内角和为 360，所以 TNH3601809090 MN HT， 5如图，直线 y ax+1与 x轴、 y轴分别相交于 A、 B两点，与双曲线 y （ x0）相交于点 P， PC x轴于点 C
11、，且 PC2，点 A的坐标为（2，0） （1）求双曲线的解析式；（2）若点 Q为双曲线上点 P右侧的一点，且 QH x轴于 H，当以点 Q、 C、 H为顶点的三角形与 AOB相似时，求点 Q的坐标解：（1）把 A（2，0）代入 y ax+1中，求得 a ， y x+1，由 PC2，把 y2 代入 y x+1中，得 x2，即 P（2，2） ，把 P代入 y 得： k4，则双曲线解析式为 y ；（2）设 Q（ m， n） ， Q（ m， n）在 y 上， n ，当 QCH BAO时，可得 ，即 ，2 m4 mn，即 m22，解得： m4， Q（4，1） ；当 QCH ABO时，可得 ，即 ，整理得
12、：2 a4 ，解得： a1+ 或 a1 （舍） ， Q（1+ ，2 2） 综上， Q（4，1）或 Q（1+ ，2 2） 6如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（8，1） ， B（0，3） ，反比例函数y （ x0）的图象经过点 A，动直线 x t（0 t 8）与反比例函数的图象交于点M，与直线 AB交于点 N（1）求 k的值；（2）求 BMN面积的最大值；（3）若 MA AB，求 t的值解：（1）把点 A（8，1）代入反比例函数 y （ x0）得：k188， y ， k8；（2）设直线 AB的解析式为： y kx+b，根据题意得： ，解得： k ， b3，直线 AB的解析式为： y x3；设
13、M（ t， ） ， N（ t， t3） ，则 MN t+3， BMN的面积 S （ t+3） t t2+ t+4 （ t3） 2+ ， BMN的面积 S是 t的二次函数， 0， S有最大值，当 t3 时， BMN的面积的最大值为 ；（3） MA AB，设直线 MA的解析式为： y2 x+c，把点 A（8，1）代入得： c17，直线 AM的解析式为： y2 x+17，解方程组 得： 或 （舍去） ， M的坐标为（ ，16） ， t 7如图 1所示，已知 y （ x0）图象上一点 P， PA x轴于点 A（ a，0） ，点 B坐标为（0， b） （ b0） ，动点 M是 y轴正半轴上 B点上方的点
14、，动点 N在射线 AP上，过点 B作 AB的垂线，交射线 AP于点 D，交直线 MN于点 Q，连接 AQ，取 AQ的中点为 C（1）如图 2，连接 BP，求 PAB的面积；（2）当点 Q在线段 BD上时，若四边形 BQNC是菱形，面积为 2 ，求此时 P点的坐标；（3）当点 Q 在射线 BD上时，且 a3， b1，若以点 B， C， N， Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长解：（1）如图 2，连接 OPS PAB S PAO xy 63；（2）如图 1，四边形 BQNC是菱形， BQ BC NQ， BQC NQC， AB BQ， C是 AQ的中点， BC CQ AQ， BQC
15、60， BAQ30，在 ABQ和 ANQ中， ABQ ANQ（ SAS） ， BAQ NAQ30， BAO30， S 菱形 BQNC2 CQBN，令 CQ2 t BQ，则 BN2（2 t ）2 t， t1 BQ2，在 Rt AQB中， BAQ30， AB BQ2 ， BAO30 OA AB3，又 P点在反比例函数 y 的图象上， P点坐标为（3，2） ；（3） OB1， OA3， AB ，易得 AOB DBA， ， BD3 ，如图 3，当点 Q在线段 BD上， AB BD， C为 AQ的中点， BC AQ，四边形 BQNC是平行四边形， QN BC， CN BQ， CN BD， ， BQ CN
16、 BD ， AQ 2 ， C 四边形 BQNC2 +2 ；如图 4，当点 Q在射线 BD的延长线上， AB BD， C为 AQ的中点， BC CQ AQ，平行四边形 BNQC是菱形， BN CQ， BN CQ， BND QAD ， BQ3 BD9 ， AQ 2 ， C 四边形 BNQC2 AQ4 8如图， O为坐标原点，点 B在 x轴的正半轴上，四边形 OACB是平行四边形，sin AOB ，反比例函数 y （ k0）在第一象限内的图象经过点 A，与 BC交于点F（1）若 OA10，求反比例函数解析式；（2）若点 F为 BC的中点，且 AOF的面积 S12，求 OA的长和点 C的坐标；（3）在
17、（2）中的条件下，过点 F作 EF OB，交 OA于点 E（如图） ，点 P为直线 EF上的一个动点，连接 PA， PO是否存在这样的点 P，使以 P、 O、 A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点 P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）过点 A作 AH OB于 H，sin AOB ， OA10， AH8， OH6， A点坐标为（6，8） ，根据题意得：8 ，可得： k48，反比例函数解析式： y （ x0） ；（2）设 OA a（ a0） ，过点 F作 FM x轴于 M，过点 C作 CN x轴于点 N，由平行四边形性质可证得 OH BN，sin AOB ， AH a， OH
18、 a， S AOH a a a2， S AOF12， S 平行四边形 AOBC24， F为 BC的中点， S OBF6， BF a， FBM AOB， FM a， BM a， S BMF BMFM a a a2， S FOM S OBF+S BMF6+ a2，点 A， F都在 y 的图象上， S AOH S FOM k， a26+ a2， a ， OA ， AH ， OH2 ， S 平行四边形 AOBC OBAH24， OB AC3 ， ON OB+OH5 ， C（5 ，） ；（3）存在三种情况：当 APO90时，在 OA的两侧各有一点 P，分别为： P1（ ，） ， P2（，） ，当 PAO
19、90时， P3（ ，） ，当 POA90时， P4（ ，） 9如图，直线 y x+1与 x， y轴分别交于 A、 B两点， P（ a， b）为双曲线y （ x0）上的一动点， PM x轴与 M，交线段 AB 于 F， PN y轴于 N，交线段 AB于 E（1）求 E、 F两点的坐标（用 a， b的式子表示） ；（2）当 a 时，求 EOF的面积（3）当 P运动且线段 PM、 PN均与线段 AB有交点时，探究： BE、 EF、 FA这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由； EOF的大小是否会改变？若不变，求出 EOF的度数，若会改变，请说明理由解：（1）如图 1， PM x轴与 M，交线段
20、 AB于 F， xF xM xP a PN y轴于 N，交线段 AB于 E， yE yN yP b点 E、 F 在直线 AB上， yE xE+1 b yF xF+1 a+1 xE1 b， yF1 a点 E的坐标为（1 b， b） ，点 F的坐标为（ a，1 a） （2）当 a 时， P（ a， b）在双曲线 y （ x0）上， b 点 P的坐标为（ ， ） ，点 E的坐标为（ ， ） ，点 F的坐标为（ ， ） ON ， NE ， OM ， FM 直线 y x+1与 x， y轴分别交于 A、 B两点，当 x0 时， y1，则点 B的坐标为（0，1） ；当 y0 时， x1，则点 A的坐标为（1
21、，0） OA OB1 PN OB， PM OA， OA OB， PNO NOM OMP90四边形 OMPN是矩形 PM ON ， NP OM BN1 ， PE ， PF S OEF S 矩形 OMPN S ONE S OMF S PEF OMON ONNE OMFM PEPF OEF的面积为 （3）当 P运动且线段 PM、 PN均与线段 AB有交点时， BE、 EF、 FA这三条线段总能组成一个直角三角形证明：如图 1， PM x轴， FM1 a， AM1 a， FA2 FM2+MA2（1 a） 2+（1 a） 22（1 a） 2同理可得： BE22（1 b） 2，EF2 a（1 b） 2+b
22、（1 a） 22（ a+b1） 2 P（ a， b）在双曲线 y （ x0）上，2 ab1， a0， b0 EF22（ a2+b2+1+2ab2 a2 b）2（ a2+b2+1+12 a2 b）2（ a22 a+1）+（ b22 b+1）2（1 a） 2+2（1 b） 2 FA2+BE2 BE、 EF、 FA这三条线段总能组成一个直角三角形 EOF的大小不变证明：过点 E作 EH OM，垂足为 H，如图 2， EN ON， OE2 ON2+EN2 b2+（1 b） 22 b2+12 b EH OM， EH b， AH1（1 b） b， EA b同理可得： FA （1 a） EF EA FA b
23、 （1 a） （ b+a1） 2 ab1， EFEA （ b+a1） b2（ b2+ab b）2 b2+2ab2 b2 b2+12 b OE2 EFEA OEF AEO， OEF AEO EOF EAO OA OB1， AOB90， OAB OBA45 EOF45 EOF的大小不变，始终等于 4510如图，在矩形 OABC中， OA3， OC5，分别以 OA、 OC所在直线为 x轴、 y轴，建立平面直角坐标系， D是边 CB上的一个动点（不与 C、 B重合） ，反比例函数y （ k0）的图象经过点 D且与边 BA交于点 E，连接 DE（1）连接 OE，若 EOA的面积为 2，则 k 4 ；（2
24、）连接 CA、 DE与 CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点 D，使得点 B关于 DE的对称点在 OC上？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）连接 OE，如，图 1，Rt AOE的面积为 2， k224（2）连接 AC，如图 1，设 D（ x，5） ， E（3， ） ，则 BD3 x， BE5 ， ， ，又 B B， BDE BCA， BED BAC， DE AC（3）假设存在点 D满足条件设 D（ x，5） ， E（3， ） ，则 CD x，BD3 x， BE5 ， AE 作 EF OC，垂足为 F，如图 2，易证 B CD EFB， ，即 ， B F ， OB B
25、 F+OF B F+AE + ， CB OC OB5 ，在 Rt B CD中， CB5 ， CD x， B D BD3 x，由勾股定理得， CB 2+CD2 B D2，（5 ） 2+x2（3 x） 2，解这个方程得， x11.5（舍去） ， x20.96，满足条件的点 D存在， D的坐标为 D（0.96，5） 11如图，已知一次函数 y x3 与反比例函数 y 的图象相交于点 A（4， n） ，与 x轴相交于点 B（1）填空： n的值为 3 ， k的值为 12 ；（2）以 AB为边作菱形 ABCD，使点 C在 x轴正半轴上，点 D在第一象限，求点 D的坐标；（3）观察反比例函数 y 的图象，当
26、 y2 时，请直接写出自变量 x的取值范围解：（1）把点 A（4， n）代入一次函数 y x3，可得 n 433；把点 A（4，3）代入反比例函数 y ，可得 3 ，解得 k12（2）一次函数 y x3 与 x轴相交于点 B， x30，解得 x2，点 B的坐标为（2，0） ，如图，过点 A作 AE x轴，垂足为 E，过点 D作 DF x轴，垂足为 F， A（4，3） ， B（2，0） ， OE4， AE3， OB2， BE OE OB422，在 Rt ABE中，AB ，四边形 ABCD是菱形， AB CD BC ， AB CD， ABE DCF， AE x轴， DF x轴， AEB DFC90
27、，在 ABE与 DCF中， ABE DCF（ ASA） ， CF BE2， DF AE3， OF OB+BC+CF2+ +24+ ，点 D的坐标为（4+ ，3） （3）当 y2 时，2 ，解得 x6故当 y2 时，自变量 x的取值范围是 x6 或 x0故答案为：3，1212如图，直线 y x+2与反比例函数 y （ k0）的图象交于 A（ a，3） ， B（3， b）两点，过点 A作 AC x轴于点 C，过点 B作 BD x轴于点 D（1）求 a， b的值及反比例函数的解析式；（2） 若点 P在直线 y x+2上，且 S ACP S BDP，请求出此时点 P的坐标；（3）在 x轴正半轴上是否存
28、在点 M，使得 MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出 M点的坐标；若不存在，说明理由解：（1）直线 y x+2与反比例函数 y （ k0）的图象交于 A（ a，3） ，B（3， b）两点， a+23，3+2 b， a1， b1， A（1，3） ， B（3，1） ，点 A（1，3）在反比例函数 y 上， k133，反比例函数解析式为 y ；（2）设点 P（ n， n+2） ， A（1，3） ， C（1，0） ， B（3，1） ， D（3，0） ， S ACP AC|xP xA| 3|n+1|， S BDP BD|xB xP| 1|3 n|， S ACP S BDP， 3|n+1| 1|3 n|
29、， n0 或 n3， P（0，2）或（3，5） ；（3）设 M（ m，0） （ m0） ， A（1，3） ， B（3，1） ， MA2（ m+1） 2+9， MB2（ m3） 2+1， AB2（3+1） 2+（13） 232， MAB是等腰三角形，当 MA MB时，（ m+1） 2+9（ m3） 2+1， m0， （舍）当 MA AB时，（ m+1） 2+932， m1+ 或 m1 （舍） ， M（1+ ，0）当 MB AB时， （ m3） 2+132， m3+ 或 m3 （舍） ， M（3+ ，0）即：满足条件的 M（1+ ，0）或（3+ ，0） 13已知双曲线 y （ x0） ，直线 l1
30、： y k（ x ） （ k0）过定点 F且与双曲线交于 A， B两点，设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） （ x1 x2） ，直线 l2： y x+ （1）若 k1，求 OAB的面积 S；（2）若 AB ，求 k的值；（3）设 N（0，2 ） ， P在双曲线上， M在直线 l2上且 PM x轴，求 PM+PN最小值，并求 PM+PN取得最小值时 P的坐标 （参考公式：在平面直角坐标系中，若 A（ x1， y1） ，B（ x2， y2）则 A， B两点间的距离为 AB ）解：（1）当 k1 时， l1： y x+2 ，联立得， ，化简得 x22 x+10，解得： x1 1， x
31、2 +1，设直线 l1与 y轴交于点 C，则 C（0，2 ） S OAB S AOC S BOC 2 （ x2 x1）2 ；（2）根据题意得： 整理得： kx2+ （1 k） x10（ k0） ， （1 k） 24 k（1）2（1+ k2）0， x1、 x2 是方程的两根， ， AB2（ x1 x2） 2+（ ） 2（ x1 x2） 2+（ ） 2（ x1 x2） 21+（ ） 2 ， AB ，即 ，整理得，2 k2+5k+20，即（2 k+1） （ k+2）0，解得 k2 或 k （3） F（ ， ） ，如图：设 P（ x， ） ，则 M（ + ， ） ，则 PM x+ ， PF ， PM
32、PF PM+PN PF+PN NF2，当点 P在 NF上时等号成立，此时 NF的方程为 y x+2 ，由（1）知 P（ 1， +1） ，当 P（ 1， +1）时， PM+PN最小值是 214如图，将边长为 4的等边三角形 AOB放置于平面直角坐标系 xoy中， F是 AB边上的动点（不与端点 A、 B重合） ，过点 F的反比例函数 y （ k0， x0）与 OA边交于点E，过点 F作 FC x轴于点 C，连结 EF、 OF（1）若 S OCF ，求反比例函数的解析式；（2）在（1）的条件下，试判 断以点 E为圆心， EA长为半径的圆与 y轴的位置关系，并说明理由；（3） AB边上是否存在点 F，使得 EF AE？若存在，请求出 BF： FA的值；若不存在，请说明理由解：（1）设 F（ x， y） ， （ x0， y0） ，则 OC x， CF y， S OCF xy ， xy2 ， k2 ，反比例函数解析式为 y （ x0） ；（2）该圆与 y轴相离，理由为：过点 E作 EH x轴，垂足为 H，过点 E作 EG y轴，垂足为 G，在 AOB中， OA AB4， AOB ABO A60，设 OH m，则 tan AOB ， EH m， OE2 m， E坐标为（ m， m） ，
