1、2018-2019 学年湖北省黄石十四中九年级（下）月考数学试卷（3 月份）一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）12 的相反数是（ ）A2 B C2 D2下列图形是中心对称图形的是（ ）A BC D3太阳半径约为 69.6 万 km，将数据 69.6 万用科学记数法表示是（ ）A69610 3 B69.610 4 C6.9610 5 D0.69610 64下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是（ ）A B C D5下列运算正确的是（ ）Aa 2a3a 6 B（ab） 2a 2b2 C（a 3） 2a 5 Da 8a2a 46一个三角形的两边分
2、别是 2 和 7，则它的第三边可能是（ ）A3 B4 C5 D67如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置，若四边形 AECF 的面积为 25，DE 2，则 AE 的长为（ ）A5 B C7 D8如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，若O 的半径为 5，AB8，则 CD 的长是（ ）A2 B3 C4 D59如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y 的图象上，对角线 AC 与 BD 的交点恰好是坐标原点 O，已知点 A（ 1，1），ABC 60，则 k 的值是（ ）A5 B4 C3 D210如图，正方
3、形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BCCDDA运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动设 P 点运动时间为 x（s），BPQ 的面积为 y（cm 2），则 y 关于 x 的函数图象是（ ）A BC D二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）11在函数 中，自变量 x 的取值范围是 12分式方程 + 1 的解是 13某车间 20 名工人日加工零件数如下表所示，这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是 日加工零件数 4 5 6 7
4、8人数 2 6 5 4 314如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30，测得底部 C 的俯角为 60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 60 米，那么该建筑物的高度 BC 约为 米15如图，正十二边形 A1A2A12，连接 A3A7，A 7A10，则A 3A7A10 16正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2，按如图的方式放置，点 A1，A 2，A 3和点C1，C 2，C 3分别在直线 yx +1 和 x 轴上，则点 Bn 的坐标为 （n 为正整数）三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分）17（7 分）计算： 18（7 分）先化
5、简：（1 ） ，然后 a 在1，0，1 三个数中选一个你认为合适的数代入求值19（7 分）解不等式组 ，并写出它的所有整数解20（8 分）关于 x 的一元二次方程 x2（2k 1）x+k 2+10 有两个不相等的实数根 x1，x 2（1）求实数 k 的取值范围；（2）若方程的两实数根 x1，x 2 满足| x1|+|x2|x 1x2，求 k 的值21（8 分）如图，在ABCD 中，分别以边 BC，CD 作等腰BCF，CDE，使BCBF ，CD DE，CBF CDE，连接 AF，AE（1）求证ABFEDA；（2）延长 AB 与 CF 相交于 G若 AFAE ，求证 BFBC22（8 分）央视“经
6、典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，某校就“中华文化我传承地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图：请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：（1）本次调查的总人数为 ，扇形统计图中 C 类所在扇形的圆心角度数为 ；（2）若该校共有学生 1200 人，请根据上述调查结果，估计该校学生选择 D 类的大约有多少人？（3）在调查的 A 类 4 人中，刚好有 2 名男生 2 名女生，从中随机抽取两名同学担任两个角色，用画树形图或列表的方法求出抽到的两名学生性别相同的概率23（8 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A、B 两种型号的空调，已知采购 3 台 A
7、型空调和2 台 B 型空调，需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用多 6000 元（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于 B 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？24（9 分）如图，AB 为 O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点，过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD，连接 AD，作 BEAB，OEAD 交 BE 于
8、 E 点，连接 AE、DE 、AE 交 CD于 F 点（1）求证：DE 为O 切线；（2）若O 的半径为 3，sinADP ，求 AD；（3）请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明25（10 分）如图，已知抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中 A（1，0），C（0 ，3）（1）若直线 ymx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P 为抛物线的对称轴 x
9、1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标2018-2019 学年湖北省黄石十四中九年级（下）月考数学试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）12 的相反数是（ ）A2 B C2 D【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案【解答】解：2 的相反数是 2，故选：C【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数2下列图形是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案【解答】解：A、不是
10、中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3太阳半径约为 69.6 万 km，将数据 69.6 万用科学记数法表示是（ ）A69610 3 B69.610 4 C6.9610 5 D0.69610 6【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原
11、数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将数据 69.6 万用科学记数法表示是 6.96105故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是（ ）A B C D【分析】首先判断几何体的三视图，然后找到答案即可【解答】解：几何体的主视图为选项 D，俯视图为选项 B，左视图为选项 C故选：A【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟知这些简单几何体的三视图是解决此类问题的关键5下列运算正确的是（ ）Aa 2a3a 6 B（
12、ab） 2a 2b2 C（a 3） 2a 5 Da 8a2a 4【分析】依据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方、同底数幂的除法法则进行计算即可【解答】解：Aa 2a3a 5，故 A 错误；B（ab） 2a 2b2，故 B 正确；C（a 3） 2a 6，故 C 错误；Da 8a2a 6，故 D 错误故选：B【点评】本题主要考查的是幂的运算性质，熟练掌握同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方、同底数幂的除法法则是解题的关键6一个三角形的两边分别是 2 和 7，则它的第三边可能是（ ）A3 B4 C5 D6【分析】从边的方面考查三角形形成的条件，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围
13、，进而就可以求出第三边的长【解答】解：设第三边为 a，根据三角形的三边关系可得：72a7+2即：5a9故选：D【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边7如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置，若四边形 AECF 的面积为 25，DE 2，则 AE 的长为（ ）A5 B C7 D【分析】利用旋转的性质得出四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案【解答】解：把ADE 顺时针旋转ABF 的位置，四边形 AE
14、CF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 25，ADDC5，DE2，RtADE 中，AE 故选：D【点评】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键8如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，若O 的半径为 5，AB8，则 CD 的长是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据垂径定理由 OCAB 得到 AD AB4，再根据勾股定理可求出 OD，然后用OCOD 即可得到 DC【解答】解：OCAB，ADBD AB 84，在 Rt OAD 中，OA5，AD4，OD 3，CDOC OD532故选：A【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
15、并且平分弦所对的两条弧，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念解决问题，属于基础题9如图，菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y 的图象上，对角线 AC 与 BD 的交点恰好是坐标原点 O，已知点 A（ 1，1），ABC 60，则 k 的值是（ ）A5 B4 C3 D2【分析】根据题意可以求得点 B 的坐标，从而可以求得 k 的值【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，BABC，ACBD ，ABC60，ABC 是等边三角形，点 A（1，1），OA ，BO ，直线 AC 的解析式为 yx，直线 BD 的解析式为 yx，OB ，点 B 的坐标为（ ， ），点 B 在反比例函数 y
16、 的图象上， ，解得，k3，故选：C【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答10如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BCCDDA运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动设 P 点运动时间为 x（s），BPQ 的面积为 y（cm 2），则 y 关于 x 的函数图象是（ ）A BC D【分析】首先根据正方形的边长与动点 P、Q 的速度可知动点 Q 始终在 AB 边上，而动点 P
17、可以在 BC 边、CD 边、AD 边上，再分三种情况进行讨论：0x1；1x2；2x3；分别求出 y 关于 x 的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解【解答】解：由题意可得 BQx0x1 时，P 点在 BC 边上， BP3x，则BPQ 的面积 BPBQ，解 y 3xx x2；故 A 选项错误；1x2 时，P 点在 CD 边上，则BPQ 的面积 BQBC，解 y x3 x；故 B 选项错误；2x3 时，P 点在 AD 边上， AP93x，则BPQ 的面积 APBQ，解 y （93x ）x x x2；故 D 选项错误故选：C【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利
18、用数形结合、分类讨论是解题的关键二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）11在函数 中，自变量 x 的取值范围是 x2 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0；分析原函数式可得关系式 x20，解可得自变量 x 的取值范围【解答】解：根据题意，有 x20，解可得 x2；故自变量 x 的取值范围是 x2故答案为 x2【点评】本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于 012分式方程 + 1 的解是 x 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：4（x+2）（x+1）x 2+1，整理得：4x 23x
19、 2x 2+1，解得：x ，经检验 x 是分式方程的解故答案为：x【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验13某车间 20 名工人日加工零件数如下表所示，这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是 5 和 6 日加工零件数 4 5 6 7 8人数 2 6 5 4 3【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可【解答】解：5 出现了 6 次，出现的次数最多，这些工人日加工零件数的众数是 5；把这些数从小到大排列，则中位数是 6；故答案为：5 和 6【点评】本题考查了众数与中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平
20、均数），叫做这组数据的中位数如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错14如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30，测得底部 C 的俯角为 60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 60 米，那么该建筑物的高度 BC 约为 80 米【分析】分别利用锐角三角函数关系得出 BD，DC 的长，进而求出该建筑物的高度【解答】解：由题意可得：tan30 ，解得：BD20 （米），tan60 ，解得：DC60 （米），故该建筑物的高度为：BC BD+DC80 （米）故答案为 80 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关
21、键15如图，正十二边形 A1A2A12，连接 A3A7，A 7A10，则A 3A7A10 75 【分析】如图，作辅助线，首先证得 O 的周长，进而求得A3OA 10150，运用圆周角定理问题即可解决【解答】解：设该正十二边形的中心为 O，如图，连接 A10O 和 A3O，由题意知， O 的周长，A3OA 10 150，A 3A7A10 75，故答案为：75【点评】此题主要考查了正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理，作出恰当的辅助线，灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键16正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2，按如图的方式放置，点 A1，A 2，A 3和点C1，C 2
22、，C 3分别在直线 yx +1 和 x 轴上，则点 Bn 的坐标为 （2 n1，2 n1 ） （n 为正整数）【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点 A1 的坐标，结合正方形的性质可得出点 B1的坐标，同理可得出点 B2、B 3、B 4、的坐标，再根据点的坐标的变化即可找出点 Bn 的坐标【解答】解：当 x0 时，y x +11，点 A1 的坐标为（0，1）四边形 A1B1C1O 为正方形，点 B1 的坐标为（1，1）当 x1 时，yx +12，点 A2 的坐标为（1，2）四边形 A2B2C2C1 为正方形，点 B2 的坐标为（3，2）同理可得：点 A3 的坐标为（3，4），点 B3
23、的坐标为（7，4），点 A4 的坐标为（7，8），点 B4的坐标为（15，8），点 Bn 的坐标为（2 n1，2 n1 ）故答案为：（2 n1，2 n1 ）【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质找出点 Bn 的坐标是解题的关键三、解答题（本题有 9 个小题，共 72 分）17（7 分）计算： 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解：1+ 3+21+13+21【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运
24、算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a0 1（a0 ）； 001（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a p （a0，p 为正整数）； 计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记 30、45、60角的各种三角函数值18（7 分）先化简：（
25、1 ） ，然后 a 在1，0，1 三个数中选一个你认为合适的数代入求值【分析】先化简，然后将 a 的值代入即可【解答】解：原式（ ）a+1，a0，a+10，a0 且 a1，当 a1 时，原式1+12【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键19（7 分）解不等式组 ，并写出它的所有整数解【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 5x13x+3 得 x2，解不等式 3x+15x +7，得：x4，则不等式组的解集为4x2，整数解是：3，2，1，0，1，2【点评】本题考查的是解一元
26、一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键20（8 分）关于 x 的一元二次方程 x2（2k 1）x+k 2+10 有两个不相等的实数根 x1，x 2（1）求实数 k 的取值范围；（2）若方程的两实数根 x1，x 2 满足| x1|+|x2|x 1x2，求 k 的值【分析】（1）利用判别式的意义得到（2k1） 24（k 2+1）0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到 x1+x22k 1，x 1x2k 2+1，则判断 x10，x 20，则由|x1|+|x2|x 1x2 得到（x 1+x2）x 1x2，
27、所以（2k1） k2+1，然后解关于 k 的方程即可得到满足条件的 k 的值【解答】解：（1）根据题意得（2k1） 24（k 2+1）0，解得 k ；（2）x 1+x22 k1，x 1x2k 2+1，k ，x 1+x22k10，而 x1x2k 2+10，x 10，x 20，|x 1|+|x2|x 1x2，（x 1+x2） x1x2，即（2k1）k 2+1，整理得 k2+2k 0，解得 k10 ，k 22，而 k ，k2【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2 ，x 1x2 也考查了判别式的值21（8 分）如图，在ABCD
28、 中，分别以边 BC，CD 作等腰BCF，CDE，使BCBF ，CD DE，CBF CDE，连接 AF，AE（1）求证ABFEDA；（2）延长 AB 与 CF 相交于 G若 AFAE ，求证 BFBC【分析】（1）想办法证明：ABDE，FBAD，ABFADE 即可解决问题；（2）只要证明 FBAD 即可解决问题；【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，ABCADC，BCBF，CDDE，BFAD ，ABDE，ADE+ADC+EDC360，ABF+ ABC+CBF360，EDCCBF，ADEABF，ABF EDA（2）证明：延长 FB 交 AD 于 HAEAF，EA
29、F 90，ABF EDA，EADAFB，EAD+FAH 90，FAH+AFB90，AHF90，即 FBAD，ADBC，FBBC【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型22（8 分）央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，某校就“中华文化我传承地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图：请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：（1）本次调查的总人数为 40 ，扇形统计图中 C 类所在扇形的圆心角度数为 108 ；（2）若该校共有学生 1
30、200 人，请根据上述调查结果，估计该校学生选择 D 类的大约有多少人？（3）在调查的 A 类 4 人中，刚好有 2 名男生 2 名女生，从中随机抽取两名同学担任两个角色，用画树形图或列表的方法求出抽到的两名学生性别相同的概率【分析】（1）根据 A 的人数和所占的百分比求出总人数，用 360乘以 C 类所占的百分比即可求出 C 类所在扇形的圆心角度数；（2）用该校的总人数乘以 D 类所占的百分比即可得出答案；（3）根据题意画出图形得出所有等情况数和抽到的两名学生性别相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）被调查的总人数为：410%40 人，扇形统计图中 C 部分所对应的扇形
31、圆心角的度数为 360 108，故答案为：40，108；（2）D 类的人数有：404 4045%126（人），估计该校学生中 D 类有 1200 180（人），故答案为：180；（3）根据题意画图如下：所有等可能的结果为 12 种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为 4，则抽到的两名学生性别相同的概率为： 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比23（8 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A、B 两
32、种型号的空调，已知采购 3 台 A 型空调和2 台 B 型空调，需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用多 6000 元（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于 B 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；（3）根据题意和（2
33、）中的结果，可以解答本题【解答】解：（1）设 A 型空调和 B 型空调每台各需 x 元、y 元，解得， ，答：A 型空调和 B 型空调每台各需 9000 元、6000 元；（2）设购买 A 型空调 a 台，则购买 B 型空调（30a）台，解得，10a12 ，a10、11、12，共有三种采购方案，方案一：采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台，方案二：采购 A 型空调 11 台，B 型空调 19 台，方案三：采购 A 型空调 12 台，B 型空调 18 台；（3）设总费用为 w 元，w9000a+6000（30a）3000a+180000，当 a10 时，w 取得最小值，此时 w210
34、000，即采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台可使总费用最低，最低费用是 210000 元【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答24（9 分）如图，AB 为 O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点，过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD，连接 AD，作 BEAB，OEAD 交 BE 于 E 点，连接 AE、DE 、AE 交 CD于 F 点（1）求证：DE 为O 切线；（2）若O 的半径为 3，sinADP ，求 AD；（3）请猜想 PF 与
35、FD 的数量关系，并加以证明【分析】（1）如图 1，连接 OD、BD，根据圆周角定理得：ADB90，则ADBD，OE BD，由垂径定理得：BM DM ，证明BOEDOE，则ODE OBE90，可得结论；（2）解法一：连接 BD，因为 OP 垂直于 CD，由垂径定理可证得弧 AC 等于弧 AD，ABD 等于ADP，由直角三角形 ADB 中 sinABDADP 可得，AD AB，可得 AD 的长；解法二：设 APa，根据三角函数得：AD3a，由勾股定理得：PD 2 a，在直角OPD 中，根据勾股定理列方程可得：3 2（3a） 2+（2 a） 2，解出 a 的值可得 AD 的值；（3）先证明APFA
36、BE ，得 ，由ADP OEB，得 ，可得 PD2PF，可得结论【解答】证明：（1）如图 1，连接 OD、BD，BD 交 OE 于 M，AB 是O 的直径，ADB90，AD BD，OEAD ，OEBD ，BMDM，OBOD ，BOMDOM，OEOE ，BOEDOE（SAS），ODE OBE90，DE 为 O 切线；（2）解法一：如图 1，OACD， ，ABDADP，sinABD sinADP ，AB6，AD AB2；解法二：设 APa，sinADP ，AD3a，PD 2 a，OP3a，OD 2OP 2+PD2，3 2（3a） 2+（2 a） 2，996a+a 2+8a2，a1 ，a 20（舍）
37、，当 a 时，AD3a2，AD2；（3）PFFD ，理由是：APDABE90，PAFBAE，APF ABE， ，PF ，OEAD ，BOEPAD，OBEAPD90，ADPOEB， ，PD ，AB2OB ，PD2PF，PFFD 【点评】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，难度适中，连接 BD 构造直角三角形是解题的关键25（10 分）如图，已知抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中 A（1，0），C （0 ，3）（1）若直线 ymx+n 经过 B、C 两
38、点，求直线 BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标【分析】（1）先把点 A，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到 a 和 b，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得 a 和 b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出 a，b，c 的值即可得到抛物线解析式；把 B、C 两点的坐标代入直线 ymx +n，解方程组求出 m 和 n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为
39、M，则此时 MA+MC 的值最小把 x1 代入直线yx+3 得 y 的值，即可求出点 M 坐标；（3）设 P（1，t），又因为 B（3，0），C（0，3），所以可得 BC218，PB 2（1+3）2+t24+t 2，PC 2（1） 2+（t3） 2t 26t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意 t 值即可求出点 P 的坐标【解答】解：（1）依题意得： ，解之得： ，抛物线解析式为 yx 22x +3对称轴为 x1，且抛物线经过 A（1，0），把 B（3，0）、C（0，3 ）分别代入直线 ymx +n，得 ，解之得： ，直线 ymx+n 的解析式为 yx+3；（2）设直线 BC 与对称轴 x
40、1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小把 x1 代入直线 yx +3 得， y2，M（1，2），即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为（1，2）；（3）设 P（1，t），又B（3，0），C（0，3 ），BC 218，PB 2（1+3 ） 2+t24+t 2，PC 2（1） 2+（t 3） 2t 26t+10，若点 B 为直角顶点，则 BC2+PB2PC 2 即：18+4+t 2t 26t+10 解之得：t2；若点 C 为直角顶点，则 BC2+PC2PB 2 即：18+t 26t +104+t 2 解之得：t4，若点 P 为直角顶点，则 PB2+PC2BC 2 即：4+t 2+t26 t+1018 解之得：t 1 ，t 2；综上所述 P 的坐标为（1，2）或（1，4）或（1， ） 或（1， ）【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题
