1、2019 年山东省德州市乐陵市中考数学一模试卷一、选择题（每小题 4 分，满分 48 分）1|2|的倒数是（ ）A2 B C D22某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）A圆锥 B圆柱 C长方体 D四棱柱3我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为（ ）A4410 8 B4.410 8 C4.410 9 D4.410 104下面是某同学在一次作业中的计算摘录：3 a+2b5 ab4 m3n5 mn3 m3n4 x3（2 x2）6 x54 a3b（2 a2b）2 a（ a3）
2、 2 a5（ a） 3（ a） a2其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5某校在体育健康测试中，有 8 名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12，8，9，16，12，7，10，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A10，12 B12，11 C11，12 D12，126一副三角板按如图所示的方式摆放，且1 比2 大 50，则2 的度数为（ ）A20 B50 C70 D307如图， ABC 的面积等于 6，边 AC3，现将 ABC 沿 AB 所在直线翻折，使点 C 落在直线 AD 上的 C处，点 P 在直线 AD 上，则线段 BP 的长不可能是（ ）A3 B4
3、C5 D68如图，在四边形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点，连接 DE 并延长，交 AB 的延长线于点F， AB BF添加一个条件使四边形 ABCD 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）A AD BC B CD BF C A C D F CDF9两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距 7500 米，第一组的步行速度是第二组的 1.2 倍，并且比第二组早 15 分钟到达乙地设第二组的步行速度为 x 千米/小时，根据题意可列方程是（ ）A 15 B C 15 D 10一次函数 y1 k1x+b 和反比例函数 y2 （ k1k20）的图象如图所示，若 y1 y2，
4、则 x 的取值范围是（ ）A2 x0 或 x1 B2 x1C x2 或 x1 D x2 或 0 x111如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形 铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心， AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所得扇形 DAB 的面积为（ ）A6 B7 C8 D912如图 1， E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线 BE ED DC 运动到点 C 时停止，点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，它们运动的速度都是 1cm/s若 P， Q 同时开始运动，设运动时间为 t（ s） ， BPQ 的面积为 y（ cm2） 已知 y 与 t 的
5、函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A AE6 cmBsin EBCC当 0 t10 时， y t2D当 t12 s 时， PBQ 是等腰三角形二、填空题（本大题共 6 小题，共 24 分，只要求填写最后的结果，每小题填对得 4 分）1316 的算术平方根是 14当 x 时 x2+x 的值为 1215如图，在 ABC 中， C90， B30， AD 是 BAC 的角平分线， DE AB，垂足为 E， DE1，则 BC 16在 Rt ABC 中， ACB90， CD AB 于点 D已知 AC ， BC2，那么sin ACD 17 a 是不为 1 的有理数，我们把 称为的差倒数如：2 的差倒数
6、是 1，1的差倒数是 已知 a1 ， a2是 a1的差倒数， a3是 a2的差倒数，是 a4是 a3的差倒数，依此类推，则 a2019 18对于二次函数 y ax2（2 a1） x+a1（ a0） ，有下列结论：其图象与 x 轴一定相交；若 a0，函数在 x1 时， y 随 x 的增大而减小； 无论 a 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；无论 a 取何值，函数图象都经过同一个点其中所有正确的结论是 （填写正确结论的序号）三、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分解答要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19 （8 分）先化简，再求值： ，其中 x 的值从不等式组的整数解中选取20
7、 （10 分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我市 50 名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：步数 频数 频率0 x4000 8 a4000 x8000 15 0.38000 x12000 12 b12000 x16000 c 0.216000 x20000 3 0.0620000 x24000 d 0.04请根据以上信息，解答下列问题：（1）写出 a， b， c， d 的值并补全频数分布直方图；（2）我市约有 5000 名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000 步（包含12000 步）的教师有多少名？
8、（3）若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步的两名教师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含20000 步）以上的概率21 （10 分）如图 1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角” 约为 20，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角” 约为 100图 2 是其侧面简化示意图，其中视线 AB 水平，且与屏幕 BC 垂直（1）若屏幕上下宽 BC20 cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离 AB 的长；（2）若肩膀到水平地面的距离 DG100 c m，上臂 DE30 cm，下臂 EF
9、水平放置在键盘上，其到地面的距离 FH72 cm请判断此时 是否符合科学要求的 100？（参考数据：sin69 ，cos21 ，tan20 ，tan43 ，所有结果精确到个位）22 （12 分）如图，在 ABC 中， AB AC，以 AB 为直径的 O 分别交 AC、 BC 于点 D、 E，点F 在 AC 的延长线上，且 CBF CAB（1）求证：直线 BF 是 O 的切线；（2）若 AB5，sin BAD ，求 AD 的长；（3）试探究 FB、 FD、 FA 之间的关系，并证明23 （12 分）我市某特产专卖店销售一种蜜枣，每千克的进价为 10 元，销售过程中发现，每天销量 y（ kg）与销
10、售单价 x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y x+50 （利润售价进价）（1）写出每天的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，这 种蜜枣每天能够获得最大利润？最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种蜜枣的销售单价不得高于 30 元若商店想要这种蜜枣每天获得 300 元的利润，则销售单价应定为多少元？24 （12 分）正方形 ABCD 中， E 是 CD 边上一点，（1）将 ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，使 AD、 AB 重合，得到 ABF，如图 1 所示观察可知：与 DE 相等的线段是 ， AFB （2）如图 2，正方形 ABCD 中， P
11、、 Q 分别是 BC、 CD 边上的点，且 PAQ45，试通过旋转的方式说明： DQ+BP PQ（3）在（2）题中，连接 BD 分别交 AP、 AQ 于 M、 N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2 MN225 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 分别与 x 轴， y 轴交于过点 A， B，点 C 是第一象限内的一点，且 AB AC， AB AC，抛物线 经过 A， C 两点，与 x 轴的另一交点为 D（1）求此抛物线的解析式；（2）判断直线 AB 与 CD 的位置关系，并证明你的结论；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A， B， M， N 四点
12、构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年山东省德州市乐陵市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分）1|2|的倒数是（ ）A2 B C D2【分析】先根据绝对值的性质计算出|2|的值，再根据倒数的定义求解即可【解答】解：因为|2|2， （2）（ ）1，所以|2|的倒数是 故选： C【点评】此题主要考查了倒数的定义及绝对值的性质：（1）若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（
13、 ）A圆锥 B圆柱 C长方体 D四棱柱【分析】根据三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析可知几何体的名称【解答】解：主视图和左视图都是长方形，此几何体为柱体，俯视图是一个圆，此几何体为圆柱，故选： B【点评】此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，椎体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状3我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为（ ）A4410 8 B4.410 8 C4.410 9 D4.
14、410 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时， n 是非负数；当原数的绝对值1 时， n 是负数【解答】解：将 4400000000 用科学记数法表示为：4.410 9故选： C【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1| a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4下面是某同学在一次作业中的计算摘录：3 a+2b5 ab4 m3n5 m n3 m3n4 x3（2
15、 x2）6 x54 a3b（2 a2b）2 a（ a3） 2 a5（ a） 3（ a） a2其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：3 a+2b 不能合并，不正确；4 m3n5 mn3不能合并，不正确；4 x3（2 x2）8 x5，不正确；4 a3b（2 a2b）2 a，正确；（ a3） 2 a6，不正确；（ a） 3（ a） a2，正确，其中正确的个数有 2 个，故选： B【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法 则是解本题的关键5某校在体育健康测试中，有 8 名男生“引体向上”的成绩（单位：次）分别是：14，12
16、，8，9，16，12，7，10，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A10，12 B12，11 C11，12 D12，12【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据中位数和众数的定义求解【解答】解：原数据按由小到大排列为：7，8，9，10，12，12，14，16，所以这组数据的中位数 （10+12）11，众数为 12故选： C【点评】本题考查了众数以及中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位 置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数6一副三角板按如图所示的方
17、式摆放，且1 比2 大 50，则2 的度数为（ ）A20 B50 C70 D30【分析】根据图形得出1+290，然后根据1 的度数比2 的度数大 50列出方程求解即可【解答】解：由图可知1+21809090，所以2901，又因为121（901）50，解得170故选： A【点评】本题考查了余角和补角，准确识图，用1 表示出2，然后列出方程是解题的关键7如图， ABC 的面积等于 6，边 AC3，现将 ABC 沿 AB 所在直线翻折，使点 C 落在直线 AD 上的 C处，点 P 在直线 AD 上，则线段 BP 的长不可能是（ ）A3 B4 C5 D6【分析】过 B 作 BN AC 于 N， BM
18、AD 于 M，根据折叠得出 C AB CAB，根据角平分线性质得出 BN BM，根据三角形的面积求出 BN，即可得出点 B 到 AD 的最短距离是 4，得出选项即可【解答】解：如图：过 B 作 BN AC 于 N， BM AD 于 M，将 ABC 沿 AB 所在直线翻折，使点 C 落在直线 AD 上的 C处， C AB CAB， BN BM， ABC 的面积等于 6，边 AC3， ACBN6， BN4， BM4，即点 B 到 AD 的最短距离是 4， BP 的长不小于 4，即只有选项 A 的 3 不正确，故选： A【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解此题的关键是求
19、出 B 到 AD 的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等8如图，在四边形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点，连接 DE 并延长，交 AB 的延长线于点F， AB BF添加一个条件使四边形 ABCD 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）A AD BC B CD BF C A C D F CDF【分析】正确选项是 D想办法证明 CD AB， CD AB 即可解决问题；【解答】解：正确选项是 D理由： F CDF， CED BEF， EC BE， CDE BFE， CD AF， CD BF， BF AB， CD AB，四边形 ABCD 是平行四边形故选： D【点评】
20、本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型9两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距 7500 米，第一组的步行速度是第二组的 1.2 倍，并且比第二组早 15 分钟到达乙地设第二组的步行速度为 x 千米/小时，根据题意可列方程是（ ）A 15 B C 15 D 【分析】根据第二组的速度可得出第一组的速度，依据“时间路程速度”即可找出第一、二组分别到达的时间，再根据第一组比第二组早 15 分钟（ 小时）到达乙地即可列出分式方程，由此即可得出结论【解答】解：设第二组的步行速度为 x 千米/小时，则第一组的步行
21、速度为 1.2x 千米/小时，第一组到达乙地的时间为：7.51.2 x；第二组到达乙地的时间为：7.5 x；第一组比第二组早 15 分钟（ 小时）到达乙地，列出方程为： 故选： D【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出分式方程本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键10一次函数 y1 k1x+b 和反比例函数 y2 （ k1k20）的图象如图所示，若 y1 y2，则 x 的取值范围是（ ）A2 x0 或 x1 B2 x1C x2 或 x1 D x2 或 0 x1【分析】直接利用两函数图象的交点横坐标得出 y1 y2时，
22、 x 的取值范围【解答】解：如图所示：若 y1 y2，则 x 的取值范围是： x2 或 0 x1故选： D【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确利用函数图象分析是解题关键11如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心， AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所得扇形 DAB 的面积为（ ）A6 B7 C8 D9【分析】由正方形的边长为 3，可得弧 BD 的弧长为 6，然后利用扇形的面积公式： S 扇形 DAB ，计算即可【解答】解：正方形的边长为 3，弧 BD 的弧长6， S 扇形 DAB 639故选： D【点评】此题考查了扇形的面积公
23、式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式 S 扇形 DAB12如图 1， E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线 BE ED DC 运动到点 C 时停止，点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，它们运动的速度都是 1cm/s若 P， Q 同时开始运动，设运动时间为 t（ s） ， BPQ 的面 积为 y（ cm2） 已知 y 与 t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A AE6 cmBsin EBCC当 0 t10 时， y t2D当 t12 s 时， PBQ 是等腰三角形【分析】由图 2 可知，在点（10，40）至点（14，40）区间， BPQ 的面积
24、不变，因此可推论 BC BE，由此分析动点 P 的运动过程如下：（1）在 BE 段， BP BQ；持续时间 10s，则 BE BC10； y 是 t 的二次函数；（2）在 ED 段， y40 是定值，持续时间 4s，则 ED4；（3）在 DC 段， y 持续减小直至为 0， y 是 t 的一次函数【解答】解：（1）结论 A 正确理由如下：分析函数图象可知， BC10 cm， ED4 cm，故 AE AD ED BC ED1046 cm；（2）结论 B 正确理由如下：如答图 1 所示，连接 EC，过点 E 作 EF BC 于点 F，由函数图象可知， BC BE10 cm， S BEC40 BCE
25、F 10EF， EF8，sin EBC ；（3）结论 C 正确理由如下：如答图 2 所示，过点 P 作 PG BQ 于点 G， BQ BP t， y S BPQ BQPG BQBPsin EBC tt t2（4）结论 D 错误理由如下：当 t12 s 时，点 Q 与点 C 重合，点 P 运动到 ED 的中点，设为 N，如答图 3 所示，连接NB， NC此时 AN8， ND2，由勾股定理求得： NB ， NC ， BC10， BCN 不是等腰三角形，即此时 PBQ 不是等腰三角形【点评】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程突破点在于正确判断出 BC BE
26、10 cm二、填空题（本大题共 6 小题，共 24 分，只要求填写最后的结果，每小题填对得 4 分）1316 的算术平方根是 4 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果【解答】解：4 216， 4故答案为：4【点评】此题主要考查了算术平方根的定义一个正数的算术平方根就是其正的平方根14当 x 4 或 3 时 x2+x 的值为 12【分析】根据题意列出方程 x2+x12，然后将其转化为一般式方程，利用因式分解法解方程即可【解答】解：依题意得： x2+x12，整理，得（ x+4） （ x3）0所以 x+40 或 x30，解得 x4 或 x3故答案是：4 或 3【点评】考查了解一元二次方程因式分解
27、法因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数学转化思想） 15如图，在 ABC 中， C90， B30， AD 是 BAC 的角平分线， DE AB，垂足为 E， DE1，则 BC 3 【分析】根据角平分线的性质即可求得 CD 的长，然后在直角 BDE 中，根据 30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得 BD 长，则 BC 即可求得【解答】解： AD 是 ABC 的角平分线， DE AB， C90， C
28、D DE1，又直角 BDE 中， B30， BD2 DE2， BC CD+BD1+23故答案 为：3【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键16在 Rt ABC 中， ACB90， CD AB 于点 D已知 AC ， BC2，那么sin ACD 【分析】在直角 ABC 中，根据勾股定理即可求得 AB，而 B ACD，即可把求sin ACD 转化为求 sinB【解答】解：在直角 ABC 中，根据勾股定理可得：AB 3 B+ BCD90， ACD+ BCD90， B ACDsin ACDsin B 【点评】本题考查了解直角三角
29、形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系17 a 是不为 1 的有理数，我们把 称为的差倒数如：2 的差倒数是 1，1的差倒数是 已知 a1 ， a2是 a1的差倒数， a3是 a2的差倒数，是 a4是 a3的差倒数，依此类推，则 a2019 4 【分析】根据差倒数定义，经过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律答题即可【解答】解：根据差倒数定义，a1 ， a2 ， a3 ， a4 ，可知 3 个数为一循环，20193 余数为 0，则 a2019 a34，故答案为 4【点评】本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键18对于二
30、次函数 y ax2（2 a1） x+a1（ a0） ，有下列结论：其图象与 x 轴一定相交；若 a0，函数在 x1 时， y 随 x 的增大而减小；无论 a 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；无论 a 取何值，函数图象都经过同一个点其中所有正确的结论是 （填写正确结论的序号）【分析】令 y0，解方程求出抛物线与 x 轴的两个交点坐标，从而判断出正确，利用抛物线的顶点坐标列式整理，再根据二次函数的增减性判断出错误；消掉 a 即可得到顶点所在的直线，判断出正确【解答】解：令 y0，则 ax2（2 a1） x+a10，解得 x11， x2 ，所以，函数图象与 x 轴的交点为（1，0） ， （
31、，0） ，故正确；当 a0 时， 1，所以，函数在 x1 时， y 先随 x 的增大而增大，然后再减小，故错误； x 1 ，y ， y x ，即无论 a 取何值，抛物线的顶点始终在直线 y x 上，故正确；综上所述，正确的结论是故答案为：【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的与 x 轴的交点，二次函数的增减性，顶点坐标，难点在于利用 a 表示出顶点的横坐标与纵坐标，然后消掉 a 得到顶点所在的直线三、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分解答要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19 （8 分）先化简，再求值： ，其中 x 的值从不等式组的整数解中选取【分析】先根据分式
32、混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求得符合条件的整数 x 的值，继而代入计算可得【解答】解：原式 ，解不等式组 得 1 x3，其整数解为 2 和 3，由于 x3，所以当 x2 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则20 （10 分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我市 50 名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：步数 频数 频率0 x4000 8 a4000 x8000 15 0.38000 x12000 12 b12000 x1600
33、0 c 0.216000 x20000 3 0.0620000 x24000 d 0.04请根据以上信息，解答下列问题：（1）写出 a， b， c， d 的值并补全频数分布直方图；（2）我市约有 5000 名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000 步（包含12000 步）的教师有多少名？（3）若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步的两名教师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含20000 步）以上的概率【分析】 （1）用 8、12 分别除以 50 得到 a、 b 的值，用 0.2、0.04
34、分别乘以 50 得到 c和 d 的值，然后补全频数分布直方图；（2）用 5000 乘以后面三组的频率和即可；（3）步数超过 16000 步（包含 16000 步）的三名教师用 A、 B、 C 表示，步数超过 20000步（包含 20000 步）的两名教师用 a、 b 表示，画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，找出被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1） a 0.16；b 0.24；c500.210；d500.042；如图，（2）5000（0.2+0.06+0.04）1500，所以估计日行走步数超过 12000 步
35、（包含 12000 步）的教师有 1500 名；（3）步数超过 16000 步（包含 16000 步）的三名教师用 A、 B、 C 表示，步数超过 20000步（包含 20000 步）的两名教师用 a、 b 表示，画树状图为：共有 20 种等可能的结果数，其中被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的结果数为 2，所以被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件B 的概
36、率也考查了统计图21 （10 分）如图 1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角” 约为 20，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角” 约为 100图 2 是其侧面简化示意图，其中视线 AB 水平，且与屏幕 BC 垂直（1）若屏幕上下宽 BC20 cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离 AB 的长；（2）若肩膀到水平地面的距离 DG100 cm，上臂 DE30 cm，下臂 EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离 FH72 cm请判断此时 是否符合科学要求的 100？（参考数据：sin69 ，cos21 ，tan20 ，tan43 ，所有结果精确到个位）【分析】 （1）R
37、t ABC 中利用三角函数即可直接求解；（2）延长 FE 交 DG 于点 I，利用三角函数求得 DEI 即可求得 的值，从而作出判断【解答】解：（1）Rt ABC 中，tan A ， AB 55（ cm） ；（2）延长 FE 交 DG 于点 I则 DI DG FH1007228（ cm） 在 Rt DEI 中，sin DEI ， DEI69，18069111100，此时 不是符合科学要求的 100【点评】此题综合性比较强，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到几何图形中来考虑，就能迎刃 而解22 （12 分）如图，在 ABC 中， AB AC，以 AB 为直径的 O
38、分别交 AC、 BC 于点 D、 E，点F 在 AC 的延长线上，且 CBF CAB（1）求证：直线 BF 是 O 的切线；（2）若 AB5，sin BAD ，求 AD 的长；（3）试探究 FB、 FD、 FA 之间的关系，并证明【分析】 （1）连接 AE，根据圆周角定理得到 AEB90，根据题意得到 CBF+ CBA90 ，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接 BD，根据圆周角定理得到 ADB90，根据正弦的定义、勾股定理计算，得到答案；（3）根据射影定理解答【解答】 （1）证明：如图 1，连接 AE， AB 为 O 的直径， AEB90， AB AC， BAE CAE CAB， CBF
39、CAB ， BAE CBF， BAE+ CBA90， CBF+ CBA90，即 AB BF，直线 BF 是 O 的切线；（2）解：如图 2，连接 BD， AB 为 O 的直径， ADB90，sin BAD ，即 ，解得， BD4，由勾股定理得， AD 3；（3）解： FB2 FDFA，理由如下：如图 2， ABF90， BD AF，由射影定理得， FB2 FDFA【点评】本题考查的是圆的知识的综合运用，掌握圆周角定理、切线的判定定理、射影定理是解题的关键23 （12 分）我市某特产专卖店销售一种蜜枣，每千克的进价为 10 元，销售过程中发现，每天销量 y（ kg）与销售单价 x（元）之间关系可
40、以近似地看作一次函数y x+50 （利润售价进价）（1）写出每天的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，这种蜜枣每天能够获得最大利润？最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种蜜枣的销售单价不得高于 30 元若商店想要这种蜜枣每天获得 300 元的利润，则销售单价应定为多少元？【分析】 （1）根据每轴的利润 w（ x10） y，再把 y x+50 代入即可求出 z 与 x 之间的函数解析式，（2）根据利润的表达式，利用配方法可得出利润的最大值；（3）先得出销售利润的表达式，然后建立方程，解出即可得出销售单价；【解答】解：（1） w（ x10） y（ x
41、10） （ x+50） x2+60x500， w 与 x 之间的函数解析式为 w x2+60x500（ x10） ；（2） w x2+60x500（ x30） 2+400，当 x30 时， w 取得最大，最大利润为 400 元答：当销售单价为 30 元时，厂商能获得最大利润，最大利润是 400 元（3） ，由题意得， x2+60x500300，解得： x120， x240，销售单价不得高于 30 元， x 取 20，答：销售单价定为 20 元时厂商每周能获得 300 元的利润；【点评】本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法
42、求二次函数最值的应用24 （12 分）正方形 ABCD 中， E 是 CD 边上一点，（1）将 ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，使 AD、 AB 重合，得到 ABF，如图 1 所示观察可知：与 DE 相等的线段是 BF ， AFB AED （2）如图 2，正方形 ABCD 中， P、 Q 分别是 BC、 CD 边上的点，且 PAQ45，试通过旋转的方式说明： DQ+BP PQ（3）在（2）题中，连接 BD 分别交 AP、 AQ 于 M、 N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2 MN2【分析】 （1）如图 1，直接根据旋转的性质得到 DE BF， AFB AED；（2）将 ADQ 绕点 A
43、 按顺时针方向旋转 90，则 AD 与 AB 重合，得到 ABE，根据旋转的性质得 EAQ BAD90， AE AQ， BE DQ，而 PAQ45，则 PAE45，再根据全等三角形的判定方法得到 APE APQ，则 PE PQ，于是 PE PB+BE PB+DQ，即可得到 DQ+BP PQ；（3）根据正方形的性质有 ABD ADB45，将 ADN 绕点 A 按顺时针方向旋转90，则 AD 与 AB 重合，得到 ABK，根据旋转的性质得 ABK ADN45，BK DN， AK AN，与（2）一样可证明 AMN AMK 得到 MN MK，由于 MBA+ KBA45+4590，得到 BMK 为直角三
44、角形，根据勾股定理得BK2+BM2 MK2，然后利用等相等代换即可得到 BM2+DN2 MN2【解答】解：（1）如图 1， ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，使 AD、 AB 重合，得到 ABF， DE BF， AFB AED故答案为： BF， AED；（2）将 ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，则 AD 与 AB 重合，得到 ABE，如图 2，则 D ABE90，即点 E、 B、 P 共线， EAQ BAD90， AE AQ， BE DQ， PAQ45， PAE45， PAQ PAE，在 APE 和 APQ 中 ， APE APQ（ SAS） ， PE PQ，而 PE PB+BE
45、PB+DQ， DQ+BP PQ；（3）如图 3，四边形 ABCD 为正方形， ABD ADB45，如图，将 ADN 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，则 AD 与 AB 重合，得到 ABK，则 ABK ADN45， BK DN， AK AN，与（2）一样可证明 AMN AMK，得到 MN MK， MBA+ KBA45+4590， BMK 为直角三角形， BK2+BM2 MK2， BM2+DN2 MN2【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理25 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 分别与 x 轴， y 轴交于过点 A， B，点 C 是第一象限内的一点，且 AB AC， A
