1、倒倒计计时时1133天天 22001199高高考考终终极极猜猜押押之之三三(理理)命题角度1解析几何一、选择、填空押题1 已知P(x,y)是直线kx+y+ 4 = 0 (k 0 )上一动点,PA是圆C:x2 +y2 - 2y= 0的一条切线,A是切点,若线段PA长度的最小值为2 ,则k的值为( )A . 3 B . 2 12 C . 2 2 D . 2押题2 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB| = 4 2 , |DE| =2 5 ,则C的焦点到准线的距离为( )A . 2 B . 4 C . 6 D . 8押题3 设直线l过双曲线C的一个焦点,且与
2、C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点, |AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )A . 2 B . 3 C . 2 D . 3押题4 在平面直角坐标系xOy中,P是椭圆y24 +x23 = 1上的一个动点,点A( 1 , 1 ) ,B( 0 , - 1 ) ,则|PA| + |PB|的最大值为( )A . 5 B . 4 C . 3 D . 2押题5 一个圆经过椭圆x21 6 +y24 = 1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .押题6 已知双曲线x2 -y23 = 1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y2 = 1 8x上,则实数m的值
3、为 .二、解答押题1 已知椭圆C:x2a2 +y2b2 = 1 (ab 0 )的离心率为32 ,右顶点A是抛物线y2 = 8x的焦点,直线l:y=k(x- 1 )与椭圆C相交于P,Q两点.( 1 )求椭圆C的方程.( 2 )如果AM =AP +AQ ,点M关于直线l的对称点N在y轴上,求k的值.押题2 对于椭圆x2a2 +y2b2 = 1 (ab 0 ) ,有如下性质:若点(x0 ,y0 )是椭圆上的点,则椭圆在该点处的切线方程为x0xa2 +y0yb2 = 1.利用此结论解答下列问题.点Q1 ,32( )是椭圆C:x2a2 +y2b2 = 1 (ab 0 )上的点,并且椭圆在点Q处的切线斜率
4、为- 12.( 1 )求椭圆C的标准方程.( 2 )若动点P在直线x+y= 3上,经过点P的直线m,n与椭圆C相切,切点分别为点M,N.求证:直线MN必经过一定点.押题3 如图,椭圆E:x2a2 +y2b2 = 1 (ab 0 )的左焦点为F1 ,右焦点为F2 ,离心率e= 12 ,过F1的直线交椭圆于A,B两点,且ABF2的周长为8.( 1 )求椭圆E的方程.( 2 )设动直线l,y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P,且与直线x= 4相交于点Q.试探究在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由.押题4 已知直线l:y=kx+m与椭圆
5、C:x2a2 +y2b2 = 1 (ab 0 )相交于A,P两点,与x轴,y轴分别交于点N和点M,且PM=MN,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1 ,B1.若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D1 , 32( )在椭圆C上.( 1 )求椭圆C的方程.( 2 )过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点,在x轴上是否存在点P(m, 0 ) ,使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.命题角度2函数与导数一、选择、填空押题1 如图,y=f(x)是可导
6、函数,直线l:y=kx+ 2是曲线y=f(x)在x= 3处的切线,令g(x) =xf(x) ,g(x)是g(x)的导函数,则g( 3 ) =( )A . - 1 B . 0C . 2 D . 4押题2 函数f(x) = 2x+ 12x- 1 c o sx的图象大致是( )押题3 已知函数fx( ) = ex-a2x+ 1( )在0 , + ( )上有两个零点,则实数a的取值范围是( )A . e2 , + B . e2 , 1 C.e2 , 1 D . ( 1 , + )押题4 方程l o g 13 (a- 3x) = 2 +x有解,则a的最小值为.押题5 已知函数g(x)为奇函数,f(x)
7、-g(x) = 4 ,若f(x)的最大值为M,最小值为m,则M+m等于 .押题6 已知函数fx( )=kx-xl nx.若fx( ) 2恒成立,则整数k的最大值为 .1二、解答押题1 设函数f(x) =xea-x+bx,曲线y=f(x)在点( 2 ,f( 2 ) )处的切线方程为y= ( e - 1 )x+ 4.( 1 )求a,b的值.( 2 )求f(x)的单调区间.押题2 已知函数f(x) = ex-ax(aR, e为自然对数的底数).( 1 )讨论函数f(x)的单调性.( 2 )若a= 1 ,函数g(x) = (x-m)f(x) - ex+x2 +x在( 2 ,+ )上为增函数,求实数m的
8、取值范围.押题3 已知f(x)为函数f(x)的导函数,f(x) = e 2x+ 2f( 0 ) ex-f( 0 )x.( 1 )求f(x)的单调区间.( 2 )当x 0时,af(x) 0 ) ,圆的方程为x2 +y2 =r2 (r 0 ) ,因为|AB| = 4 2 , |DE| = 2 5 ,抛物线的准线方程为x=-p2 ,所以不妨设A4p, 2 2( ),D-p2 , 5( ),因为点A4p, 2 2( ),D-p2 , 5( )在圆x2 +y2 =r2上,所以1 6p2 + 8 =p24 + 5 ,解得p= 4 (负值舍去) ,故C的焦点到准线的距离为4.押题3.【解析】选B .设双曲线
9、C的方程为x2a2 -y2b2 = 1 ,焦点F( -c, 0 ) ,将x= -c代入x2a2 -y2b2 = 1可得y2 =b4a2 ,所以|AB| = 2 b2a= 2 2a,所以b2 = 2a2 ,c2 =a2 +b2 = 3a2 ,所以e=ca= 3.押题4.【解析】选A .因为椭圆方程为x23 +y24 = 1 ,所以焦点为B( 0 , - 1 )和B( 0 , 1 ) ,连接PB,AB,根据椭圆的定义,得|PB| + |PB| = 2a= 4 ,可得|PB| = 4 - |PB| ,因此|PA|+ |PB| = |PA| + ( 4 - |PB| ) = 4 + ( |PA| -
10、|PB| ).因为|PA| - |PB| |AB| ,所以|PA| + |PB| 4 + |AB|= 4 + 1 = 5 ,当且仅当P在AB延长线上时,等号成立.故|PA| + |PB|的最大值为5.押题5.【解析】方法一:由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A( 4 , 0 ) 、B( 0 , 2 ) 、C( 0 , - 2 ).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-y- 3 = 0.令y= 0 ,得x= 32 ,所以圆心坐标为32 , 0( ),则半径r= 4 -32 =52.故该圆的标准方程为x- 32( )2+y2 = 2 54.方法二:如图,设圆心M(a, 0 ) ,则r2 = 2 2 +
11、a2 = ( 4 -a) 2 ,所以a= 32 ,所以r= 4 - 32 = 52 ,所以圆的方程为x- 32( )2+y2 = 2 54.答案:x- 32( )2+y2 = 2 54押题6.【解析】设M(x1 ,y1 ) ,N(x2 ,y2 ) ,MN的中点P(x0 ,y0 ) ,则x21 -y213 = 1 , x22 -y223 = 1 , x1 +x2 = 2x0 , y1 +y2 = 2y0 , 由 - 得(x2 -x1 ) (x2 +x1 ) = 13 (y2 -y1 ) (y2 +y1 ) ,显然x1 x2.所以y2 -y1x2 -x1y2 +y1x2 +x1= 3 ,即kMNy
12、0x0= 3.因为M,N关于直线y=x+m对称,所以kMN= - 1 ,所以y0 = - 3x0.又因为y0 =x0 +m,所以P-m4 , 3m4( ),代入抛物线方程,得91 6m2 = 1 8 -m4( ).解得m= 0或- 8 ,经检验都符合.答案:0或- 8二、解答押题1.【解析】( 1 )由抛物线y2 = 8x,可得其焦点坐标为( 2 ,0 ) ,即点A( 2 , 0 ) ,所以a= 2.又因为e=ca= 32 ,所以c= 3 ,所以b2 =a2 -c2 = 1 ,所以椭圆C的方程为x24 +y2 = 1.( 2 )设点P(x1 ,y1 ) ,点Q(x2 ,y2 ) ,又因为点A(
13、 2 , 0 ) ,可得AP = (x1 - 2 ,y1 ) ,AQ = (x2 - 2 ,y2 ) ,所以AM =AP +AQ = (x1 +x2 - 4 ,y1 +y2 ) ,所以点M(x1 +x2 - 2 ,y1 +y2 ).由x24 +y2 = 1 ,y=k(x- 1 ) ,得( 4k2 + 1 )x2 - 8k2x+ 4k2 - 4 = 0 (判别式 0 ) ,则x1 +x2 - 2 = 8k24k2 + 1 - 2 =- 24k2 + 1 ,y1 +y2 =k(x1 +x2 -22 ) = - 2k4k2 + 1 ,即点M- 24k2 + 1 , - 2k4k2 + 1( ).设点
14、N(0 ,y3 ) ,则线段MN的中点坐标为- 14k2 + 1 , -k4k2 + 1 +y32 .因为点M,N关于直线l对称,所以线段MN的中点在直线l上,所以-k4k2 + 1 +y32 =k- 14k2 + 1 - 1( ),解得y3 = - 2k,即点N( 0 , - 2k).由于点M,N关于直线l对称,所以点M,N所在直线与直线l垂直,所以- 2k4k2 + 1 - ( - 2k)- 24k2 + 1 - 0k= - 1 ,解得k= 22.押题2.【解析】( 1 )因为椭圆C在点Q处的切线方程为xa2 +3y2b2 = 1 ,其斜率为- 2b23a2 = -12 ,所以3a2 =
15、4b2.又因为点Q在椭圆上,所以1a2 + 94b2 = 1.解得a2 = 4 ,b2 = 3.所以椭圆C的方程为x24 +y23 = 1.( 2 )设点P(x0 ,y0 ) ,点M(x1 ,y1 ) ,点N(x2 ,y2 ) ,则切线m:x1x4 +y1y3 = 1 ,切线n:x2x4 +y2y3 = 1.因为m,n都经过点P,所以x1x04 +y1y03 = 1 ,x2x04 +y2y03 = 1.即直线MN的方程为x0x4 +y0y3 = 1 ,又因为x0 +y0 = 3 ,所以x0x4 + ( 3 -x0 )y3 = 1 ,即( 3x- 4y)x0 + 1 2y- 1 2 = 0.令3
16、x- 4y= 0 ,1 2y- 1 2 = 0 ,得x=43 ,y= 1 ,所以直线MN必经过一定点43 , 1( ).押题3.【解析】( 1 )因为|AB| + |AF2 | + |BF2 | = 8.即|AF1 | + |F1B| + |AF2 | + |BF2 | = 8 ,又|AF1 | + |AF2 | = |BF1 | + |BF2 | = 2a,所以4a= 8 ,a= 2.又因为e= 12 ,即ca= 12 ,所以c= 1 ,所以b=a2 -c2 =3 ,所以椭圆E的方程为x24 +y23 = 1.( 2 )由y=kx+mx24 +y23 = 1 ( 3 + 4k2 )x2 +
17、8mkx+ 4m2 - 1 2 = 0 ,= 6 4m2k2 - 1 6 (m2 - 3 ) ( 3 + 4k2 ) = 0 m2 = 3 + 4k2.x1 = - 4mk3 + 4k2y1 = 3m3 + 4k2 P- 4mk3 + 4k2 ,3m3 + 4k2( ),设Q4 , 4k+m( )由对称性知,若点M存在,则必在x轴上,不妨设为t, 0( ),MP= - 4mk3 + 4k2 -t, 3m3 + 4k2( ),MQ = ( 4 -t, 4k+m) ,又3 + 4k2 =m2 ,所以MP = - 4km-t, 3m( ),MQ = ( 4 -t, 4k+m) ,MP MQ = -
18、4km-t( )( 4 -t) + 3m( 4k+m)= 4km+t( )(t- 4 ) + 3m( 4k+m)= 4ktm- 1 6km+t2 - 4t+ 1 2km+ 3= 4ktm- 4km+t2 - 4t+ 3= 4t- 1( )km+t2 - 4t+ 3( )= 0t- 1 = 0t2 - 4t+ 3 = 0 t= 1故存在M1 , 0( )满足题意.押题4.【解析】( 1 )由题意得b= 3c,1a2 +94b2 = 1 ,a2 =b2 +c2 ,所以b2 = 3 ,a2 = 4 ,所以椭圆C的方程为x24 +y23 = 1.( 2 )由( 1 )知F2 ( 1 , 0 ) ,l:
19、y=k(x- 1 ) ,联立y=k(x- 1 ) ,x24 +y23 = 1 ,化简得( 3 + 4k2 )x2 - 8k2x+ 4k2 - 1 2 = 0 ,设M(x1 ,y1 ) ,N(x2 ,y2 ) ,则x1 +x2 = 8k23 + 4k2 ,y1 +y2 =k(x1 +x2 - 2 ) ,PM +PN = (x1 -m,y1 ) + (x2 -m,y2 ) = (x1 +x2 - 2m,y1+y2 ) ,由于菱形对角线互相垂直,则(PM +PN ) MN = 0 ,因为直线MN的方向向量是( 1 ,k) ,故k(y1 +y2 ) +x1 +x2 - 2m= 0 ,则k2 (x1 +
20、x2 - 2 ) +x1 +x2 - 2m= 0 ,即k2 8k23 + 4k2 - 2( )+8k23 + 4k2 - 2m= 0.由已知条件知k 0且kR,所以m=k23 + 4k2 =13k2 + 4,所以0 0 ,所以排除D.押题3.【解析】选B .函数fx( ) = ex-a2x+ 1( )在0 , + ( )上有两个零点,即方程a= ex2x+ 1有两个正根.令gx( )= ex2x+ 1 ,gx( )=ex2x- 1( )2x+ 1( )2 ,当0 12时,gx( ) 0 ,所以gx( )在0 , 12( )上是减函数,在12 , + ( )上是增函数.gx( )m i n =g
21、12( )= e2 ,又g0( )= 1 ,所以a的取值范围是e2 , 1 .押题4.【解析】若方程l o g 13(a- 3x) = 2 +x有解,则13( )2 +x=a- 3x有解,即19 13( )x+ 3x=a有解,因为19 13( )x+ 3x 23 ,故a的最小值为23.答案:23押题5.【解析】f(x) =g(x) + 4 ,因为g(x)为奇函数,最大值与最小值互为相反数,因此M+m= 8.答案:8押题6.【解析】由已知得k 2( ),则gx( )= - 2 l nx+x- 4x- 2( )2 ,令hx( )= - 2 l nx+x- 4x 2( ),则hx( )=x- 2x
22、0.所以hx( )在2 , + ( )上是增函数.又h8( )= 4 - 2 l n 8 0 ,所以存在x0 8 , 9( ),使hx0( )= 0 ,当2 x0时,hx( ) 0 ,gx( ) 0.所以gx( )在2 ,x0( )上是减函数,在x0 , + ( )上是增函数.又hx0( )= - 2 l nx0 +x0 - 4 = 0 ,所以gx( )m i n =gx0( )=x0 +x0 l nx0x0 - 2= 12x0 4 , 92( ),所以k 4 ,即整数k的最大值为4.答案:4二、解答押题1.【解析】( 1 )因为f(x) =xea-x+bx,所以f(x) = ( 1 -x)
23、ea-x+b.依题设,得f( 2 ) = 2 e + 2 ,f( 2 ) = e - 1 ,即2 ea- 2 + 2b= 2 e + 2 ,- ea- 2 +b= e - 1 ,解得a= 2 ,b= e.( 2 )由( 1 )知f(x) =xe 2 -x+ ex.由f(x) = e 2 -x( 1 -x+ ex- 1 )及e 2 -x 0知,f(x)与1 -x+ ex- 1同号.令g(x) = 1 -x+ ex- 1 ,则g(x) = - 1 + ex- 1.所以,当x ( - , 1 )时,g(x) 0 ,g(x)在区间( 1 , + )上单调递增.故g( 1 ) = 1是g(x)在区间(
24、- , + )上的最小值,从而g(x) 0 ,x ( - , + ).综上可知,f(x) 0 ,x ( - , + ) ,故f(x)的单调递增区间为( - , + ).押题2.【解析】( 1 )函数f(x)的定义域为R,f(x) = ex-a.当a 0时,f(x) 0 ,所以f(x)在R上为增函数;当a 0时,由f(x) = 0得x= l na,则当x ( - ,l na)时,f(x) 0 ,所以函数f(x)在(l na, + )上为增函数.( 2 )当a= 1时,g(x) = (x-m) ( ex-x) - ex+x2 +x.因为g(x)在( 2 , + )上为增函数,所以g(x) =xex
25、-mex+m+ 1 0在( 2 , + )上恒成立,即mxex+ 1ex- 1在( 2 , + )上恒成立.令h(x) =xex+ 1ex- 1 ,x ( 2 , + ) ,则h(x) = ( ex) 2 -xex- 2 ex( ex- 1 ) 2 =ex( ex-x- 2 )( ex- 1 ) 2.令L(x) = ex-x- 2 ,L(x) = ex- 1 0在( 2 , + )上恒成立,即L(x) = ex-x- 2在( 2 , + )上为增函数,即L(x) L( 2 ) = e 2 - 4 0 ,所以h(x) 0在( 2 , + )上成立,即h(x) =xex+ 1ex- 1在( 2 ,
26、 + )上为增函数,所以h(x) h( 2 ) = 2 e2 + 1e 2 - 1 ,所以m2 e 2 + 1e 2 - 1.所以实数m的取值范围是- , 2 e2 + 1e 2 - 1( .押题3.【解析】( 1 )由f( 0 ) = 1 + 2f( 0 ) ,得f( 0 ) = - 1.因为f(x) = 2 e 2x- 2 ex-f( 0 ) ,所以f( 0 ) = 2 - 2 -f( 0 ) ,解得f( 0 ) = 0.所以f(x) = e 2x- 2 ex,f(x) = 2 e 2x- 2 ex= 2 ex( ex- 1 ) ,当x ( - , 0 )时,f(x) 0 ,则函数f(x)
27、在( 0 , + )上单调递增.( 2 )令g(x) =af(x) - ex+x=ae 2x- ( 2a+ 1 ) ex+x,根据题意,当x ( 0 , + )时,g(x) 0恒成立,所以g(x)在( - l n 2a, + )上是增函数,且g(x) (g( - l n 2a) , + ) ,所以不符合题意;当a 12 ,x ( 0 , + )时,g(x) 0恒成立,所以g(x)在( 0 , + )上是增函数,且g(x) (g( 0 ) , + ) ,所以不符合题意;当a 0时,因为x ( 0 , + ) ,所以恒有g(x) 0 ).当a 0时,f(x) 0在( 0 , + )上恒成立,所以函
28、数f(x)的单调递增区间为( 0 , + ) ,此时f(x)无单调递减区间.当a 0时,由f(x) 0 ,得x 2a2 ,由f(x) 0 ).因为函数F(x)有两个零点,所以a 0 ,此时函数F(x)在a2 , + ( )上单调递增,在0 ,a2( )上单调递减.所以F(x)的最小值Fa2( ) 0 ,所以a+ 4 l na2 - 4 0.令h(a) =a+ 4 l na2 - 4 ,显然h(a)在( 0 , + )上为增函数,且h( 2 ) = - 2 0 ,所以存在a0 ( 2 , 3 ) ,h(a0 ) = 0.当aa0时,h(a) 0 ;当0 0 ,F( 1 ) = 0 ,所以a= 3时,f(x)有两个零点.综上所述,满足条件的最小正整数a的值为3.5
