1、2019 年江苏省连云港市海州区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（3 分）2 的倒数是（ ）A B C2 D22（3 分）下列计算正确的是（ ）A2+ 2 Ba+a 2a 3 C2a3a6a Dx 6x2x 43（3 分）下列水平放置的几何体中，俯视图是三角形的（ ）A B C D4（3 分）商店某天销售了 14 件衬衫，其领口尺寸统计如下表：领口尺寸（cm）38 39 40 41 42件数 1 5 3 3 2则这 14 件衬衫领口尺寸的众数和中位数
2、分别是（ ）A39cm、40cm B39cm、39.5cmC39cm 、39cm D40cm、40cm5（3 分）如图，过反比例函数 y （x0）的图象上一点 A 作 ABx 轴于点 B，连接AO，若 SAOB 2，则 k 的值为（ ）A2 B3 C4 D56（3 分）抛物线 y（x+1） 2+3 的顶点坐标是（ ）A（1，3） B（1，3） C（1，3） D（1，3）7（3 分）用一个直径为 10cm 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线 AB 与 O 相切于点 B，不倒翁的顶点 A 到桌面 L的最大距离是 18cm若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色
3、，则涂色部分的面积为（ ）A60cm 2 B cm2 C cm2 D72cm 28（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC7，点 E 是 AD 上一个动点，把BAE沿 BE 向矩形内部折叠，当点 A 的对应点 A恰好在BCD 的平分线上时，CA的长为（ ）A3 或 4 B3 或 4 C3 或 4 D4 或 3二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9（3 分）函数 中自变量 x 的取值范围是 10（3 分）写分解因式 a28ab+16b 2 的结果 11（3 分）长城是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，
4、长城总长约 6700000 米，将 6700000 用科学记数法表示应为 12（3 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C，D 是圆上两点， AOC100，则D 度13（3 分）如图，直线 ab，点 B 在直线上 b 上，且 ABBC，155，则2 的度数为 14（3 分）钟表的轴心到分针针端的长为 5cm，那么经过 40 分钟，分针针端转过的弧长是 cm 15（3 分）如图，在平面直角坐标系中，将两个全等的矩形 OABC 和 OABC按图示方式进行放置（其中 OA 在 x 轴正半轴上，点 B在 y 轴正半轴上）， OA与 BC 相交于点 D，若点 B 坐标为（3，1），则经过点 D 的反比例
5、函数解析式是 16（3 分）如图，O 的半径为 1，正方形 ABCD 顶点 B 坐标为（5，0），顶点 D 在O 上运动，则正方形面积最大时，正方形与 O 重叠部分的面积是 三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（6 分）计算：（2） 2 18（6 分）化简：19（6 分）解不等式组：20（8 分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受
6、问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；（2）请补全条形统计图；（3）若该中学共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数21（8 分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关第一道单选题有 3 个选项，第二道单选题有 4 个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概
7、率（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”（直接写出答案）22（10 分）已知：如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 CB、CD 上的点，BEDF（1）求证：AEAF ；（2）若 AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD，求证：AEF 为等边三角形23（10 分）一艘小船从码头 A 出发，沿北偏东 53方向航行，航行一段时间到达小岛B 处后，又沿着北偏西 22方向航行了 10 海里到达 C 处，这时从码头测得小船在码头北偏东 23的方向上，求此时小船与码头之间的距离（ 1.4， 1.7，结果保留整数）24（10 分）某店代理某品牌商品的销售已知该品牌商品进价每件 40 元，
8、日销售 y（件）与销售价 x（元 /件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天 100 元，每天还应支付其它费用 150 元（1）求日销售 y（件）与销售价 x（元/ 件）之间的函数关系式；（2）该店员工人共 3 人，若某天收支恰好平衡（收入支出），求当天的销售价是多少？25（12 分）如图，A、F、B、C 是O 上的四个点，连接 OF 交 AB 于点E，AOBC， ABOC，AOF 30，过点 C 作 CDOF 交 AB 的延长线于点 D，延长 AF 交直线 CD 于点 H（1）判断四边形 ABCO 的形状并说明理由；（2）求证：CD 是 O 的切线；（3）若 DH4，求 EF 的
9、长26（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+m 与坐标轴 y 轴交于点 A，与x 轴交于点 B，过 A，B 两点的抛物线 yx 2+nx8，点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D作 CD 垂直 x 轴于点 C，交抛物线于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）当 DE12 时，求四边形 CAEB 的面积；（3）是否存在点 D，使得 DEB 和DAC 相似？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由27（14 分）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C90，BE30 （1）操作发现：如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点
10、 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 ；设 BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 （2）猜想论证：当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC60，点 D 是角平分线上一点，BDCD6，DE AB 交 BC 于点 E（如图 4），若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF S BDE ，请求出相应的 BF 的长2019 年江苏省连云港市海州区中考数学一模试卷
11、参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（3 分）2 的倒数是（ ）A B C2 D2【分析】根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数解答【解答】解：（2）（ ）1，2 的倒数是 故选：A【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键2（3 分）下列计算正确的是（ ）A2+ 2 Ba+a 2a 3 C2a3a6a Dx 6x2x 4【分析】根据二次根式的加减，合并同类项法则、同底数幂的除法、单项式乘以单项式法则分别求出每一个式子的值，再判断即可【
12、解答】解：A、2+ 和 2 不相等，故本选项不符合题意；B、a 和 a2 不能合并，故本选项不符合题意；C、2a3a6a 2，故本选项不符合题意；D、x 6x2x 4，故本选项符合题意；故选：D【点评】本题考查了二次根式的加减，合并同类项法则、同底数幂的除法、单项式乘以单项式法则等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键3（3 分）下列水平放置的几何体中，俯视图是三角形的（ ）A B C D【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案【解答】解：俯视图是三角形的是选项 D，故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图4（3 分）商店某天销售了 14 件衬衫，
13、其领口尺寸统计如下表：领口尺寸（cm）38 39 40 41 42件数 1 5 3 3 2则这 14 件衬衫领口尺寸的众数和中位数分别是（ ）A39cm、40cm B39cm、39.5cmC39cm 、39cm D40cm、40cm【分析】根据中位数的定义与众数的定义，结合图表信息解答【解答】解：同一尺寸最多的是 39cm，共有 5 件，所以众数是 39cm，14 件衬衫按照尺寸从小到大排列，第 7，8 件的尺寸都是 40cm，所以中位数是 （40+40 ） 40cm故选：A【点评】本题考查了中位数与众数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，
14、则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数；众数是出现次数最多的数据，众数有时不止一个5（3 分）如图，过反比例函数 y （x0）的图象上一点 A 作 ABx 轴于点 B，连接AO，若 SAOB 2，则 k 的值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据点 A 在反比例函数图象上结合反比例函数系数 k 的几何意义，即可得出关于 k 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出 k 值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定 k 值【解答】解：点 A 是反比例函数 y 图象上一点，且 ABx 轴于点 B，S AOB |k|2，解得：k4反比例函数在
15、第一象限有图象，k4故选：C【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数 k 的几何意义，解题的关键是找出关于 k 的含绝对值符号的一元一次方程本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数 k 的几何意义找出关于 k 的含绝对值符号的一元一次方程是关键6（3 分）抛物线 y（x+1） 2+3 的顶点坐标是（ ）A（1，3） B（1，3） C（1，3） D（1，3）【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标【解答】解：抛物线 y（x+1） 2+3 的顶点坐标是（1，3）故选：B【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键7（3
16、分）用一个直径为 10cm 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线 AB 与 O 相切于点 B，不倒翁的顶点 A 到桌面 L的最大距离是 18cm若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ）A60cm 2 B cm2 C cm2 D72cm 2【分析】连接 OB，如图，利用切线的性质得 OBAB，在 RtAOB 中利用勾股定理得AB12，利用面积法求得 BH ，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面【解答】解：连接 OB，作 BHOA 于 H，如图，圆锥的母线 AB 与O 相切于点 B，OBAB，在 Rt AO
17、B 中，OA18513，OB5，AB 12， OABH OBAB，BH ，圆锥形纸帽的底面圆的半径为 BH ，母线长为 12，形纸帽的表面 2 12 （cm 2）故选：C【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆锥的计算8（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC7，点 E 是 AD 上一个动点，把BAE沿 BE 向矩形内部折叠，当点 A 的对应点 A恰好在BCD 的平分线上时，CA的长为（ ）A3 或 4 B3 或 4 C3 或 4 D4 或 3【分析】过点 A作 AM BC 于点 M设 CMAMx，
18、则 BM7x在直角AMB 中，由勾股定理得到：AM 2AB 2BM 225 （7x） 2由此求得 x 的值；然后在等腰 RtACM 中， CA AM 【解答】解：如图所示，过点 A作 AMBC 于点 M点 A 的对应点 A恰落在BCD 的平分线上，设 CMAMx，则 BM7x，又由折叠的性质知 ABA B 5，在直角AMB 中，由勾股定理得到：AM 2AB 2BM 225（7x） 2，25（7x） 2x 2，x3 或 x4，在等腰 Rt ACM 中，CA AM ，CA3 或 4 故选：B【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形AMB 和等腰直角A
19、CM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9（3 分）函数 中自变量 x 的取值范围是 x 2 【分析】函数关系中主要有二次根式根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解【解答】解：根据题意得：4+2x0，解得：x2故答案为：x2【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数10（3 分
20、）写分解因式 a28ab+16b 2 的结果 （a4b） 2 【分析】根据因式分解法即可求出答案【解答】解：原式（a4b） 2，故答案为：（a4b） 2【点评】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型11（3 分）长城是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约 6700000 米，将 6700000 用科学记数法表示应为 6.710 6 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a| 10，n 为整数，据此判断即可【解答】解：67000006.710 6故答案为：6.710 6【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式
21、为 a10n，其中1|a| 10，确定 a 与 n 的值是解题的关键12（3 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C，D 是圆上两点， AOC100，则D 40 度【分析】根据互补的性质可求得BOC 的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得D 的度数【解答】解：AOC100，BOC18010080，D 40【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半13（3 分）如图，直线 ab，点 B 在直线上 b 上，且 ABBC，155，则2 的度数为 35 【分析】先根据155，ABBC 求出3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论【
22、解答】解：ABBC，155，2905535ab，2335故答案为：35【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等14（3 分）钟表的轴心到分针针端的长为 5cm，那么经过 40 分钟，分针针端转过的弧长是 cm【分析】钟表的分针经过 40 分钟转过的角度是 240，即圆心角是 240，半径是5cm，弧长公式是 l ，代入就可以求出弧长【解答】解：圆心角的度数是：360 240，弧长是 cm【点评】正确记忆弧长公式是解题的关键15（3 分）如图，在平面直角坐标系中，将两个全等的矩形 OABC 和 OABC按图示方式进行放置（其中 OA 在 x 轴正半轴上，点 B在
23、y 轴正半轴上）， OA与 BC 相交于点 D，若点 B 坐标为（3，1），则经过点 D 的反比例函数解析式是 y 【分析】首先根据点 B 坐标为（3，1）可得 AO3，AB CO1，再根据矩形 OABC和 OAB C 全等，可得 OAOA 3，AB AB1，然后证明CDOABO，根据相似三角形对应边成比例得到 CD 的长，进而得到 D 点坐标，设出反比例函数解析式，代入 D 点坐标即可求出答案【解答】解：点 B 坐标为（3，1），AO3，ABCO 1，矩形 OABC 和 OAB C 全等，OAOA 3，A B AB1，ADCO90， DOCBOA，CDOABO， ，即 ，CD ，D（ ，1）
24、，设经过点 D 的反比例函数解析式为 y ，k 1 ，经过点 D 的反比例函数解析式为： y ，故答案为：y 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解决问题的关键是求出 D 点坐标16（3 分）如图，O 的半径为 1，正方形 ABCD 顶点 B 坐标为（5，0），顶点 D 在O 上运动，则正方形面积最大时，正方形与 O 重叠部分的面积是 +1 【分析】根据点 D 运动到（ 1，0）时，正方形面积最大，可得正方形与O 重叠部分的面积是DEF 的面积与半圆面积的和，据此进行计算即可【解答】解：如图所示，当点 D 运动到（1，0）时，BD 最长，此时
25、，正方形面积最大，CDO45，CDO45，又FDO 45 ，CD 经过点 F，同理可得，AD 经过点 E，正方形与O 重叠部分的面积是DEF 的面积与半圆面积的和，即 21+ 121+ ，故答案为： +1【点评】本题主要考查了扇形面积的计算以及正方形性质的运用，解题时注意：正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（6 分）计算：（2） 2 【分析】原式利用乘方的意义，算术平方根定义，以及负整数指数幂法则计算即可求出值【解答】解：原式4556【点
26、评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（6 分）化简：【分析】先把括号内的两项通分，利用同分母分式减法法则计算，再把除法转化成乘法，约分即可【解答】解：原式 【点评】本题考查的是分式的混合运算，需熟练掌握运算顺序及运算法则，也需要对通分、分解因式、约分等知识点的熟练掌握19（6 分）解不等式组：【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集【解答】解： ，解不等式 ，得 x4，解不等式 ，得 x ，故不等式的解集为 x 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键20（8 分）“校园安全”受到全
27、社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90 度；（2）请补全条形统计图；（3）若该中学共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数【分析】（1）由了解很少的有 30 人，占 50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）由（1）可求得了解的人数，继
28、而补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案【解答】解：（1）了解很少的有 30 人，占 50%，接受问卷调查的学生共有：3050%60（人）；扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为： 36090；故答案为：60，90；（2）601530105；补全条形统计图得：（3）根据题意得：900 300（人），则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 300人【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图关键是根据列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图21（8 分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利
29、通关第一道单选题有 3 个选项，第二道单选题有 4 个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”（直接写出答案）【分析】（1）由第一道单选题有 3 个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先分别用 A，B，C 表示第一道单选题的 3 个选项，a，b，c 表示剩下的第二道单选题的 3 个选项，然后画出树状图，再由树状图求
30、得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为： ；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为： ；即可求得答案【解答】解：（1）第一道单选题有 3 个选项，如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是： ；故答案为： ；（2）分别用 A，B，C 表示第一道单选题的 3 个选项，a，b，c 表示剩下的第二道单选题的 3 个选项，画树状图得：共有 9 种等可能的结果，小明顺利通关的只有 1 种情况，小明顺利通关的概率为： ；（3）如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为： ；如果在第二题使用“求助”小
31、明顺利通关的概率为： ；建议小明在第一题使用“求助”【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比22（10 分）已知：如图，菱形 ABCD 中，E、F 分别是 CB、CD 上的点，BEDF（1）求证：AEAF ；（2）若 AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD，求证：AEF 为等边三角形【分析】（1）由已知条件证明ABEADF，根据全等三角形的性质可得到AEAF；（2）连接 AC，根据有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形即可得证【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是菱形，ABAD ，BD，又BEDF ，ABE ADF，AEAF；（2）连接 AC
32、，AE 垂直平分 BC，AF 垂直平分 CD，ABACADABBCCDDA，ABC 和ACD 都是等边三角形CAEBAE30， CAFDAF30EAF CAE+ CAF 60又AEAF，AEF 是等边三角形【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质等边三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度中等23（10 分）一艘小船从码头 A 出发，沿北偏东 53方向航行，航行一段时间到达小岛B 处后，又沿着北偏西 22方向航行了 10 海里到达 C 处，这时从码头测得小船在码头北偏东 23的方向上，求此时小船与码头之间的距离（ 1.4， 1.7，结果
33、保留整数）【分析】根据题意知：在ABC 中，BAC 30，C45，BC10 海里，求 AC长，解斜三角形 ABC 需转化为解直角三角形求解，因此需作高，作 BDAC 于 D 点，分别求 AD 和 CD 长【解答】解：BAC532330，C23+2245过点 B 作 BD AC，垂足为 D，则 CDBD BC10，CDBCcos4510 7.0，AD 5 5 5 51.41.711.9ACAD+ CD11.9+7.0 18.919答：小船到码头的距离约为 19 海里【点评】“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30、45、60）24（10 分）某店代理某品牌商品
34、的销售已知该品牌商品进价每件 40 元，日销售 y（件）与销售价 x（元 /件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天 100 元，每天还应支付其它费用 150 元（1）求日销售 y（件）与销售价 x（元/ 件）之间的函数关系式；（2）该店员工人共 3 人，若某天收支恰好平衡（收入支出），求当天的销售价是多少？【分析】（1）观察函数图象，根据图象上的点的坐标，利用待定系数法即可求出日销售 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系式；（2）设当天的销售价为 x 元时，可出现收支平衡，分 40x58 和 57x71 两种情况找出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：（
35、1）当 40x58 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx +b（k0），将（40，60），（58，24）代入 ykx+b，得：，解得： ，当 40x58 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y2x+140 ；当理可得，当 58x71 时，y 与 x 之间的函数关系式为 yx +82综上所述：y 与 x 之间的函数关系式为 y （2）设当天的销售价为 x 元时，可出现收支平衡当 40x58 时，依题意，得：（x40）（2x +140）1003+150，解得：x 1x 255；当 57x71 时，依题意，得：（x40）（x +82）1003+150，此方程无解答：当天的销售价为 55 元
36、时，可出现收支平衡【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）分 40x58 和 57x71两种情况列出关于 x 的一元二次方程25（12 分）如图，A、F、B、C 是O 上的四个点，连接 OF 交 AB 于点E，AOBC， ABOC，AOF 30，过点 C 作 CDOF 交 AB 的延长线于点 D，延长 AF 交直线 CD 于点 H（1）判断四边形 ABCO 的形状并说明理由；（2）求证：CD 是 O 的切线；（3）若 DH4，求 EF 的长【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；（2）根据菱形的
37、性质得到 OCBC ，得到BOC 为等边三角形，BOA 为等边三角形，得到OCD90，根据切线的判定定理证明；（3）证明四边形 OCDE 为矩形， DEOC，AEO90，根据含 30的直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理计算即可【解答】（1）解：四边形 ABCO 是菱形，理由如下：AOBC，AB OC，四边形 ABCO 是平行四边形，OAOC，平行四边形 ABCO 是菱形；（2）证明：连接 OB，四边形 ABCO 是菱形，OCBC，OBOC，OBOCBC，BOC 为等边三角形，同理，BOA 为等边三角形，AOB60，BOC60，AOC120，AOF30，COF90，CDOF，OCD1809
38、090，CD 是O 的切线；（3）解：CDOF，AB OC，OCD90，四边形 OCDE 为矩形，DEOC，AEO90，AOF30，AE OA OC DE，CDOF， ，EF 【点评】本题考查的是切线的判定、菱形的判定、矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理、平行线分线段成比例定理是解题的关键26（12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 yx+m 与坐标轴 y 轴交于点 A，与x 轴交于点 B，过 A，B 两点的抛物线 yx 2+nx8，点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D作 CD 垂直 x 轴于点 C，交抛物线于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）当 D
39、E12 时，求四边形 CAEB 的面积；（3）是否存在点 D，使得 DEB 和DAC 相似？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）利用直线 yx+m 与抛物线 yx 2+nx8 都经过 A 点，得出 m 的值，再利用一次函数解析式得出 B 点坐标，进而得出 n 的值；（2）利用 D，E 点坐标结合 DE 的长求出 D，E 点坐标，进而求出四边形面积；（3）利用当 ACBE 时，DEBDCA，当 时，DEBDAC，分别求出符合题意的答案【解答】解：（1）直线 yx+m 与抛物线 yx 2+nx8 都经过 A 点，m8，直线 yx+m 经过 x 轴上的 B 点，点 B（8，
40、0），又抛物线 yx 2+nx8 经过 B 点，n7，抛物线为：yx 27x 8；（2）设点 C 为：（x ，0），则点 D 为（x，x 8），点 E 为（x，x 27x8），DE12，（x8）（x 27x8）12，解得：x 12，x 26，当 x2 时，x 27x 818 ，CE18，四边形 CAEB 的面积 OBCE72，当 x6 时，x 27x 814 ，CE14，四边形 CAEB 的面积 OBCE56；（3）存在，当 ACBE 时，DEBDCA，过点 A 作 AF CE 于点 F， ，即 ，x 2+x80，解得：x 1 ，x 2 （舍去），当 时，DEBDAC，即 ，x 26x0，解得
41、：x 16，x 20（舍去），综上所述：当 x 或 x6 时，DEB 和DAC 相似，则 x8 或2，此时点 D 的坐标为：（ ， ）或（6，2）【点评】此题主要考查了二次函数综合以及四边形面积求法和相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键27（14 分）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C90，BE30 （1）操作发现：如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 DE AC ；设 BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是
42、 S 1S 2 （2）猜想论证：当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC60，点 D 是角平分线上一点，BDCD6，DE AB 交 BC 于点 E（如图 4），若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF S BDE ，请求出相应的 BF 的长【分析】（1）证明EDCDCA60即可判断首先证明 ADBD，推出ADC 与BDC 的面积相等，再证明ADC 与ACE 的面积相等即可（2）作 ANEC 交 EC 的延长线于 N，DMBC 于
43、 M，证明ACNDCM（AAS）即可解决问题（3）分两种情形分别求解即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，由旋转可知：CACD，ACB90，B30，CAD60，ADC 是等边三角形，DCA60，ECD90，DEC30，CDE60，EDCDCA，DEAC，AB2AC ，ADAC，ADBD ，S BDC S ADC ，DEAC，S ADC S ACE ，S 1S 2故答案为：DEAC，S 1S 2（2）如图 3 中，DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到，BCCE，ACCD，ACN +BCN90，DCM +BCN1809090，ACN DCM，在ACN 和 DCM 中，ACN DCM（AAS），ANDM ，S BDC S AEC
