1、2019 年山东省泰安市教科研中心高考数学考前试卷（理科） （5月份）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 Ax| x2x 20 ，Bx|0log 2x 2，则 AB（ ）A （2，4） B （1，1） C （1，4） D （1，4）2 （5 分）已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足 ，则复数 z 在复平面内的点到原点的距离为（ ）A B C D3 （5 分）抛掷红、蓝两颗骰子，当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于 9 的概率是（ ）A B C D4 （5 分）已知a n是等差数列，满足：对
2、nN*，a n+an+12n，则数列a n的通项公式an（ ）An Bn1 Cn Dn+5 （5 分）在ABC 中，M 为 AC 中点， ， x +y ，则 x+y（ ）A1 B C D6 （5 分）已知 F 为抛物线 y24x 的焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，则| FA| FB|的值等于（ ）A B8 C D47 （5 分）已知如图所示的程序框图是为了求出使 n!5000 的 n 最大值，那么在和处可以分别填入（ ）AS5000？；Sn（n+1） BS5000？；SSnCS5000？；SSn DS5000 ？；Sn（n+1）8 （5 分）如图所示，边长为 a
3、的空间四边形 ABCD 中，BCD90，平面 ABCD平面 BCD，则异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为（ ）A30 B45 C60 D909 （5 分）优题速享如图是函数 的部分图象，将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度得到 g（x）的图象，给出下列四个命题：函数 f（x）的表达式为 ；g（x）的一条对称轴的方程可以为 ；对于实数 m，恒有 ；f（x）+g（x）的最大值为 2其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10 （5 分）如图所示是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A B C D11 （5 分）过双曲线 1（ab0）右焦点 F 的直线交两渐近
4、线于 A，B 两点，OAB90， O 为坐标原点，且 OAB 内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D12 （5 分）若函数 存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知 14 （5 分） （1+ + ） （1+x 2） 5 展开式中 x2 的系数为 15 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 其中的最大值是 16 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样
5、的一列数所组成的数列a n称为“斐波那契数列” 那么是斐波那契数列中的第 项三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 ccosA4，asinC5（1）求边长 c；（2）著ABC 的面积 S20求ABC 的周长18 （12 分）某中学高一期中考试结束后，从高一年级 1000 名学生中任意抽取 50 名学生，将这 50 名学生的某一科的考试成绩（满分 150 分）作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图） （1）由于工作疏忽，将成绩130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（
6、结果保留两位小数）（2）若规定考试分数不小于 120 分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出 3 名学生，参加学习经验交流会设 X 表示参加学习经验交流会的学生分数不小于 130 分的学生人数，求 X 的分布列及期望；（3）视样本频率为概率由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱）中，CACB，CACBCC 1 2，动点 D 在线段 AB 上（1）求证：当点 D 为 AB 的中点时，平
7、面 B1CD上平面 ABB1A1；（2）当 AB3AD 时，求平面 B1CD 与平面 BB1C1C 所成的锐二面角的余弦值20 （12 分）圆 O：x 2+y29 上的动点 P 在 x 轴、y 轴上的射影分别是 P1，P 2，点 M 满足 + （1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）点 A（0，1） ，B（0，3） ，过点 B 的直线与轨迹 C 交于点 S，N，且直线AS、AN 的斜率 kAS，k AN 存在，求证：k ASkAN 为常数21 （12 分）已知函数 f（x ）ax+lnx（a R） ，g（x）x 2emx（m R，e 为自然对数的底数） （1）讨论函数 f（x ）的单调性及最
8、值；（2）若 a0，且对x 1，x 20，2，f（x 1+1）g（x 2）+a1 恒成立，求实数 m 的取值范围请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） （1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（2）以曲线 C 上的动点 M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线 l 相切，求 r 的最小值4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +2|2 x1|（
9、1）解不等式 f（x ）5；（2）当 x1， 3，不等式 f（x ）|ax1| 恒成立，求实数 a 的取值范围2019 年山东省泰安市教科研中心高考数学考前试卷（理科） （5 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设集合 Ax| x2x 20 ，Bx|0log 2x 2，则 AB（ ）A （2，4） B （1，1） C （1，4） D （1，4）【分析】可求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax| x1，或 x2 ，Bx|1x 4 ；AB（2，4） 故选：A【点评】考查描述法、区间
10、的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及交集的运算2 （5 分）已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足 ，则复数 z 在复平面内的点到原点的距离为（ ）A B C D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 z 的坐标，则答案可求【解答】解：由 ，得 z2i+ 2i + ，复数 z 在复平面内的点的坐标为（ ， ） ，到原点的距离为 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）抛掷红、蓝两颗骰子，当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于 9 的概率是（ ）A B C D【分析】利用列举法求
11、出当红色骰子的点数为偶数时，有 18 种，其中两棵骰子点数之和不小于 9 的有 6 种，由此能求出当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于 9 的概率【解答】解：抛掷红、蓝两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表蓝色骰子，当红色骰子的点数为偶数时，有 18 种，分别为：（2，1） ， （2，2） ， （2，3） ， （2，4） ， （2，5） ， （2，6） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ，（4，4） ， （4，5） ， （4，6） ， （6，1） ， （6，2） ， （6，3） ， （6，4） ， （6，5） ， （6，6） ，其中两棵骰子点数之和不小
12、于 9 的有 6 种，分别为：（4，5） ， （4，6） ， （6，3） ， （6，4） ， （6，5） ， （6，6） ，当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于 9 的概率是 P 故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4 （5 分）已知a n是等差数列，满足：对 nN*，a n+an+12n，则数列a n的通项公式an（ ）An Bn1 Cn Dn+【分析】根据题意，设等差数列a n的公差为 d，由 an+an+12n 可得an1 +an2n2，两式相减可得 an+1a n1 2d2，解可得 d1；令 n1 分析可得a1+a22
13、，即 a1+a1+d2，解可得 a1 的值，由等差数列的通项公式分析可得答案【解答】解：根据题意，设等差数列a n的公差为 d，若a n满足 an+an+12n，则 an1 +an2n2，可得： an+1a n1 2d2，解可得 d1；当 n1 时，有 a1+a22，即 a1+a1+d2，解可得 a1 ，则 ana 1+（n1）dn ；故选：C【点评】本题考查数列的递推公式以及等差数列的性质，注意等差数列的通项公式的应用，属于基础题5 （5 分）在ABC 中，M 为 AC 中点， ， x +y ，则 x+y（ ）A1 B C D【分析】可画出图形，根据 M 为 AC 的中点， ，即可得出，然后
14、根据平面向量基本定理即可求出 x，y 的值，从而得出x+y 的值【解答】解：如图，M 为 AC 中点， ； ；又 ，且 不共线；根据平面向量基本定理得， ； 故选：B【点评】考查向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理6 （5 分）已知 F 为抛物线 y24x 的焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，则| FA| FB|的值等于（ ）A B8 C D4【分析】将直线方程 yx 1 代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出|FA |FB| 的值【解答】解：F（1，0） ，故直线 AB 的方程为 yx1，联立方程组 ，可得 x26x+
15、10，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由根与系数的关系可知 x1+x26，x 1x21由抛物线的定义可知：|FA|x 1+1，|FB| x 2+1，|FA | |FB| |x1x 2| 4 故选：C【点评】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题7 （5 分）已知如图所示的程序框图是为了求出使 n!5000 的 n 最大值，那么在和处可以分别填入（ ）AS5000？；Sn（n+1） BS5000？；SSnCS5000？；SSn DS5000 ？；Sn（n+1）【分析】根据程序框图了解程序功能进行求解【解答】解：因为要求“否”时，nn1，然后输出 n，所以处
16、应填 S5000？；又因为使 n!5000 的 n 的最大值，所以 处应该填 SSn，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，了解程序框图的功能是解决本题的关键8 （5 分）如图所示，边长为 a 的空间四边形 ABCD 中，BCD90，平面 ABCD平面 BCD，则异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为（ ）A30 B45 C60 D90【分析】由题意得 BCCD a，BCD90，从而 BD ，BAD90，取BD 中点 O，连结 AO，CO，则 AOBD，COBD ，且 AOBOOD OC ，从而 AO平面 BCD，延长 CO 至点 E，使 COOE ，连结 ED，EA，EB，则四
17、边形BCDE 为正方形，即有 BCDE ，从而ADE（或其补角）即为异面直线 AD 与 BC 所成角，由此能求出异面直线 AD 与 BC 所成角的大小【解答】解：由题意得 BC CDa，BCD90，BD ，BAD90，取 BD 中点 O，连结 AO，CO ，ABBCCDDAa，AOBD ，COBD，且 AOBOODOC ，又平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD， AOBD，AO平面 BCD，延长 CO 至点 E，使 COOE，连结 ED，EA，EB ，则四边形 BCDE 为正方形，即有 BCDE ，ADE（或其补角）即为异面直线 AD 与 BC 所成角，由题意得 AEa，ED
18、 a，AED 为正三角形，ADE60，异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为 60故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题9 （5 分）优题速享如图是函数 的部分图象，将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度得到 g（x）的图象，给出下列四个命题：函数 f（x）的表达式为 ；g（x）的一条对称轴的方程可以为 ；对于实数 m，恒有 ；f（x）+g（x）的最大值为 2其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】先根据图象确定函数的解析式，结合函数对称性和辅助角公式进行化简即可【解答
19、】解：由图象知，A2， ，即 T，则 ，得2，由五点对应法得 2 +2 ，得 ，则 f（x）2sin（2x + ） ，故正确，当 x 时，f（ ）2sin 0，则函数关于 x 不对称，故错误，将函数 f（x）的图象向右平移 个单位长度得到 g（x）的图象，即 g（x）2sin2（x ）+ 2sin2x，当 时，g（ ）2sin（ ）2 为最小值，则 是函数 g（x）的一条对称轴，故正确，f（x）+g（x）2sin （2x + ）+2sin2x2sin xcos +2cos2xsin +2sin2x3sin2x+ cos2x2 sin（2x+ ） ，则 f（x）+g（x）的最大值为 2 ，故 错
20、误，故正确的是 ，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的解析式以及三角函数的性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键10 （5 分）如图所示是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A B C D【分析】在正方体中切割三棱锥，根据各边长度计算各面面积【解答】解：由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥 PABC，故 AC1，PA2，BC ，AB2 ，PB 2 ，PC ，S ABCS PAC 1，SPAB 2 ，S PBC ，多面体的表面积为 2 + +2故选：D【点评】本题考查了棱锥的三视图与表面积计算，属于中档题11 （5 分）过双曲线
21、 1（ab0）右焦点 F 的直线交两渐近线于 A，B 两点，OAB90，O 为坐标原点，且OAB 内切圆半径为 ，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D【分析】由题意画出图形，结合图形可得四边形 MTAN 为正方形，根据点到直线的距离可得 FAb，再根据 OFc，即可求出 ，再根据 e ，即可求出【解答】解：ab0，双曲线的渐近线方程，如图所示，设内切圆圆心为 M，则在AOB 平分线 Ox 上，过点 M 分别作 MNON 于点 N，MTAB 于 T，由 FAOA 得四边形 MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为 d 得 FAb，又 OFc，OAa，| NA| MN| a，|NO| a，
22、tanAOF ，e ，故选：C【点评】本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，考查了运算求解能力，属于中档题12 （5 分）若函数 存在唯一的零点 x0，且 x00，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D【分析】由函数的零点与函数图象交点的关系得：函数 存在唯一的零点 x0，且 x00 等价于 a 有唯一正根，即函数 yg（x） 的图象与直线 ya 在 y 轴右侧有 1 个交点，由导数的应用得：g（x） ，则 yg（x）在（， ） ， （ ）为减函数，在（， （0， ）为增函数，即实数 a 的取值范围是 a，得解【解答】解：由函数 存在唯一的零点 x0，且 x00 等价于 a 有唯一正
23、根，即函数 yg（x ） 的图象与直线 ya 在 y 轴右侧有 1 个交点，又 yg（x）为奇函数且 g（x ） ，则 yg（x）在（， ） ， （ ）为减函数，在（， （0， ）为增函数，则满足题意时 yg（x ）的图象与直线 ya 的位置关系如图所示，即实数 a 的取值范围是 a ，故选：A【点评】本题考查了函数的零点与函数图象交点的关系及导数的综合应用，属综合性较强的题型二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知 【分析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果【解答】解： ，则： ，所以： ，则： ，故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系
24、式的变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型14 （5 分） （1+ + ） （1+x 2） 5 展开式中 x2 的系数为 15 【分析】 （1+ + ） （1+x 2） 5（1+ x2） 5+ （1+ x2） 5+ （1+x 2） 5，再利用二项式展开式的通项公式可得【解答】解：（1+ + ） （1+ x2） 5（1+ x2） 5+ （1+x 2） 5+ （1+x 2） 5，展开式中 x2 项的系数之和为：C +C 5+1015故答案为：15【点评】本题考查了二项式定理，属中档题15 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组 其中的最大值是 25 【分析】画出约束
25、条件的可行域，利用目标函数的几何意义求出最大值即可【解答】解：t2 2cosx 4x，y 满足不等式组 的可行域如图：x2+y2 表示可行域内的点（ x， y）与坐标原点距离的平方，由图形可知，点 A 到原点距离最大，由 ，解得 A（4，3） ，所以 x2+y2 的最大值为：25故答案为：25【点评】本题主要考查线性规划的应用，定积分的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键16 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列a n称为“斐波
26、那契数列” 那么是斐波那契数列中的第 2020 项【分析】由题设可得 an+2a n+1+an，然后利用累加法求解【解答】解：由题意，a n+2a n+1+an，a 2019a2020a 20192+a2018a2019，a2018a2019a 20182+a2017a2018，a3a2a 22+a2a1，a 2019a2020a 20192+a20182+a22+a12， a 2020，即 是斐波那契数列中的第2020 项故答案为：2020【点评】本题考查斐波那契数列，考查累加法，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，
27、A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 ccosA4，asinC5（1）求边长 c；（2）著ABC 的面积 S20求ABC 的周长【分析】 （1）由正弦定理化简已知等式可得 sinA ，又由 ccosA4，可得 cosA ，利用同角三角函数基本关系式可求 c 的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求 b 的值，由余弦定理可解得 a 的值，即可计算得解ABC 的周长【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）由正弦定理可得： ，可得：asinC c sinA，asinC5，可得：csinA5 ，可得：sinA ，又ccos A4，可得：cosA ，可得：sin 2A+cos2A + 1，解得
28、 c 6 分（2）ABC 的面积 S absinC20，asin C5，解得：b8，由余弦定理可得：a 2b 2+c22bccosA64+412 41，解得：a ，或 （舍去） ，ABC 的周长a+b+ c +8+ 8+2 12 分【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）某中学高一期中考试结束后，从高一年级 1000 名学生中任意抽取 50 名学生，将这 50 名学生的某一科的考试成绩（满分 150 分）作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图） （1）由于工作
29、疏忽，将成绩130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（结果保留两位小数）（2）若规定考试分数不小于 120 分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出 3 名学生，参加学习经验交流会设 X 表示参加学习经验交流会的学生分数不小于 130 分的学生人数，求 X 的分布列及期望；（3）视样本频率为概率由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）【分析】 （1）先求出这 50 名学生成绩在各区间的频率及人数，由此能求出130，140）的频率为 0.
30、16，人数为 8，从而能求出中位数（2）考试分数不小于 120 分的优秀学生有 23 人，X 表示参加教学交流会的不小于 130分的学生人数的取值为 0，1，2，3，分国；中求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E（X ） （3）利用频率分布直方图能求出平均分【解答】解：（1）这 50 名学生成绩在各区间的频率及人数如下：60，70）的频率为 0.02，人数为 1，70，80）的频率为 0.04，人数为 2，80，90）的频率为 0.02，人数为 1，90，100）的频率为 0.14，人数为 7，100，110）的频率为 0.18，人数为 9，110，120）的频率为 0.14，人数为
31、7，120，130）的频率为 0.2，人数为 10，140，150）的频率为 0.1，人数为 5，130，140）的频率为 0.16，人数为 8，中位数把频率分布直方图分成左右面积相等，设中位数为 m，60，110）的频率和为：0.02+0.04+0.02+0.14+0.180.4，110，120）的频率为 0.14，（m110）0.140.5 0.40.1，解得 m 117.14（2）考试分数不小于 120 分的优秀学生有 23 人，X 表示参加教学交流会的不小于 130 分的学生人数的取值为 0，1，2，3，P（X0） ，P（X1） ，P（X2） ，P（X3） ，X 的分布列为：X 0 1
32、 2 3P E（X） +1 +2 +3 （3）平均分W650.02+75 0.04+850.02+950.14+1050.18+1150.14+1250.2+1350.16+1450.1115.4，该学生可能得分为 115.4 分【点评】本题考查频率、中位数、平均数、离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱）中，CACB，CACBCC 1 2，动点 D 在线段 AB 上（1）求证：当点 D 为 AB 的中点时，平面 B1CD上平面 ABB1
33、A1；（2）当 AB3AD 时，求平面 B1CD 与平面 BB1C1C 所成的锐二面角的余弦值【分析】 （1）推导出 CDAB，B 1BCD，CD平面 ABB1A1，由此能证明平面B1CD上平面 ABB1A1（2）CA，CB，CC 1 两两垂直，以 C 为原点，CA ，CB ， CC1 所在直线分别为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 B1CD 与平面 BB1C1C 所成的锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）在等腰 RtABC 中，D 为斜边 AB 的中点，CDAB ，又在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，B 1B平面 ABC，CD平面 ABC，B 1BCD，ABB 1
34、BB，CD平面 ABB1A1，又 CD平面 B1CD，平面 B1CD上平面 ABB1A1解：（2）如图，CA，CB，CC 1 两两垂直，以 C 为原点，CA，CB，CC 1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0，0，0） ，A（2，0， 0） ，B （0，2，0） ，B 1（0，2，2） ，D（ ） ，（0，2，2） ， （ ） ，设平面 B1CD 的法向量 （x，y，z） ，则 ，令 z1，得 （ ） ，平面 BB1C1C 的法向量 （2，0，0） ，设平面 B1CD 与平面 BB1C1C 所成的锐二面角的平面角为 ，则 cos ，平面 B1CD 与平面 BB1C1
35、C 所成的锐二面角的余弦值为 【点评】本题考查面面眚垂直的证明以及二面角的求解问题，线面平行常见的证法是借助线线平行或面面平行证得，求解二面角大小时往往借助法向量的夹角来进行求解20 （12 分）圆 O：x 2+y29 上的动点 P 在 x 轴、y 轴上的射影分别是 P1，P 2，点 M 满足 + （1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）点 A（0，1） ，B（0，3） ，过点 B 的直线与轨迹 C 交于点 S，N，且直线AS、AN 的斜率 kAS，k AN 存在，求证：k ASkAN 为常数【分析】 （1）设 P（x 0，y 0） ， M（x，y ） ，根据向量关系，用 M 的坐标表示 P
36、 的坐标后，将 P 的坐标代入圆的方程可得 M 的轨迹方程；（2）设出 直线 SN 的方程 ykx3 并代入椭圆方程，利用韦达定理以及斜率公式得kASkAN 为常数【解答】解：（1）设 P（x 0，y 0） ，M （x，y ） ，则 （x 0，0） ， （0，y 0） ，由 + 得 代入 x02+y02 9 +y21（2）当 SN 的斜率不存在时， AS，AN 的斜率也不存在，故不适合题意；当 SN 的斜率存在时，设斜率为 k，则直线 SN 的方程为 ykx 3 代入椭圆方程整理得（1+4k 2）x 2 24kx+320，0k 22设 S（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 x1+
37、x2 ，x 1x2 ，则 kASkAN ，故 kASkAN 为常数【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）ax+lnx（a R） ，g（x）x 2emx（m R，e 为自然对数的底数） （1）讨论函数 f（x ）的单调性及最值；（2）若 a0，且对x 1，x 20，2，f（x 1+1）g（x 2）+a1 恒成立，求实数 m 的取值范围【分析】 （1）f（x ）a+ （x （0，+） ） 对 a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出（2）a0，且对x 1，x 20，2，f（x 1+1）g（x 2）+a1 恒成立，a0，且对x0，2，f
38、（x +1） ming（x） max+a1 恒成立由（1）可知：当 a0 时，函数f（x）在 x（0，+）单调递增，故 yf（x+1）在 x0，2上单调递增，可得f（x+1） minf（1）a对 x0，2，f（x +1） ming（x） max+a1 恒成立 对x0，2，g（x） max1 恒成立对 m 分类讨论：利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出【解答】解：（1）f（x ）a+ （x （0，+） ） 当 a0 时，f（x ）0，f（x）在 x（0，+）单调递增，无最值当 a0 时，f（x ） （x （0，+） ） 可得函数 f（x）在（ 0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减当
39、 x 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，且最大值为：f（ ）1ln（a） ，无最大值（2）a0，且对x 1，x 20，2，f（x 1+1）g（x 2）+a1 恒成立，a0，且对x0，2，f（x +1） ming（x） max+a1 恒成立由（1）可知：当 a0 时，函数 f（x ）在 x（0，+）单调递增，故 yf （x +1）在x0，2上单调递增，x0， 2，（x+1）1，3，故 f（x+1） minf（1）a对 x0，2，f（x +1） ming（x ） max+a1 恒成立对 x0，2，g（x ） max1 恒成立对 m 分类讨论：m0 时，g（x）x 2，x0，函数 g（x）取得最
40、大值，g（2）4，不满足 g（x） max1当 m0 时，g（x）2xe mx+mx2emxxe mx（mx+2） 令 g（x）0，解得x0，x 当 2，即 1m0 时，对 x0，2，g（x） 0，因此 g（x）在此区间上单调递增g（x） maxg（2）4e 2m由 4e2m1，解得 mln21m ln 2当 2 0，即 m1 时，可得函数 g（x）在 x0， ）上单调递增，在（ ，2上单调递减g（x） maxg（ ） e2 由 e2 1，解得 m m1当 0，即 m0 时，对 x0，2，g（x）0，因此 g（x）在此区间上单调递增g（x） maxg（2）4e 2m此时 4e2m1，不成立，舍
41、去综上可得：实数 m 的取值范围是（ ，ln2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） （1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（2）以曲线 C 上的动点 M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线 l 相切，求 r 的最
42、小值【分析】 （1）由 sin（+ ）2，得 sin+ cos2，将 siny ，cosx代入上式，得直线 l 的直角坐标方程为 x+ 40由曲线 C 的参数方程（ 为参数） ，得曲线 C 的普通方程为 + 1（2）利用点到直线的距离以及三角函数性质可得【解答】解：（1）由 sin（ + ）2，得 sin+ cos2，将 siny，cosx 代入上式，得直线 l 的直角坐标方程为 x+ 40由曲线 C 的参数方程 （ 为参数） ，得曲线 C 的普通方程为+ 1（2）设点 M 的坐标为（2cos ， sin） ，则点 M 到直线 l：x + 40 的距离为 d ，其中 tan 当 dr 时，圆
43、M 与直线 l 相切，故当 sin（+）1 时，取最小值，且 r 的最小值为 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x +2|2 x1|（1）解不等式 f（x ）5；（2）当 x1， 3，不等式 f（x ）|ax1| 恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）利用分类讨论法去掉绝对值，求对应不等式的解集即可；（2）x1 ，3时 f（x ）3 x，不等式 f（x ）|ax1| 化为 3x|ax1| ，去掉绝对值，得 1 a 1 对 x1，3恒成立，从而求出 a 的取值范围【解答】解：（1）由题意，函数 f（x ）|x+2|2 x1| ；则不等式 f（x） 5 等价于 或 或 ；解得 x或2x 或 x8，所求不等式的解集为2， 8；（2）当 x1， 3，f（x ） |x+2|2 x1|3x ，所以不等式 f（x ）|ax 1| 可转化为 3x|ax1| ，即 x3ax13x ，也就是 1 a 1 对 x1，3恒成立，即 a ；易知 ， ，即 a ，所以实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式应用问题，是中档题
