1、高三数学试题第1页2019年全国普通高等学校招生统一考试预测卷（江苏卷）数 学 I注 ： 本 试 题 中 加 的 均 为 课 本 原 题 或 课 本 改 编 题 。一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 1. 已 知 集 合 | 0 2A x x ， 集 合 | 1B x x ， 则 A B 2. 若 (a bi)(3 4i) 25(a， b R， i 为 虚 数 单 位 )， 则 2 2a b 的 值 为 3. 根 据 如 图 所 示 的 伪 代 码 ， 可 知 输 出 的 结 果 S为 4. 在 某 频 率 分 布 直 方 图 中
2、 ， 从 左 往 右 有 10 个 小 矩 形 ， 若 第 一 个 小 矩 形 的 面 积等 于 其 余 9 个 小 矩 形 的 面 积 和 的 15， 且 第 一 组 数 据 的 频 数 为 25， 则 样 本 容 量 为 5. 甲 、 乙 两 人 赛 马 ， 两 人 各 有 三 只 马 ， 各 分 别 记 为 ABC、 abc.已 知 马 的 实 力 由 大 到 小 为 AaBbCc，若 他 们 采 用 三 局 两 胜 制 ， 每 匹 马 均 只 出 场 一 次 ， 且 事 先 不 知 道 对 方 马 的 出 场 顺 序 ， 则 乙 获 胜 的 概 率为 .6. 设 A， B， C， P分
3、 别 是 球 O表 面 上 的 四 个 点 ， PA， PB， PC两 两 垂 直 ， PA=PB=PC=1， 则 球的 表 面 积 为 .7. 等 差 数 列 na 中 ， 前 m项 （ m为 奇 数 ） 和 为 77， 其 中 偶 数 项 之 和 为 33， 且 1 18ma a ， 则 其通 项 公 式 为 .8. 已 知 函 数 2( ) | | 2xf x x ， xR ， 则 2( 2 ) (2 )f x x f x 的 解 集 是 9. 若 函 数 2sin ( )6y x 与 函 数 sin2 cos2y x a x 的 图 象 的 对 称 轴 完 全 相 同 ， 则 实 数
4、a的 值为 .10. 已 知 函 数 12131 23 xbxaxxf 在 x=1 处 的 切 线 的 斜 率 为 2， 则 ba 41 的 取 值 范 围 是 .11. 一 个 酒 杯 的 轴 截 面 时 抛 物 线 的 一 部 分 ， 它 的 方 程 为 2002 yayx ,其 中 a0.在 杯 内 放 入 一 个玻 璃 球 ， 能 够 触 及 酒 杯 的 底 部 的 球 的 最 大 半 径 为 1， 则 该 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 .12. 在 三 角 形 ABC中 ， 角 A、 B、 C所 对 的 边 分 别 为 a、 b、 c， b+c=acosC+acosB,且 a、
5、 b、 c成 等比 数 列 ， 则 sinC的 值 为 .13. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 圆 C： 211 22 yx ， Q )1,0( ， 过 Q点 作 直 线 与 圆 C交 于 A、B两 点 ， 分 别 过 A、 B两 点 作 圆 C的 切 线 相 交 于 P点 ， 则 PBPA 的 取 值 范 围 是 .14. 已 知 数 列 na 的 通 项 公 式 为 12 32 nnn qnqna ， *Nn ， 其 中 实 数 q0.若 对 一 切 *Nk 均 有S1I1While I7SS 3II 2End WhilePrint S（ 第 3 题 ）高三数学试题第2页1
6、22 kk aa ， 则 实 数 q的 取 值 范 围 是 .二 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 90 分 15.(本 题 满 分 14 分 )如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD为 梯 形 ， /CD AB ， 2AB CD ， AC 交 BD于 O， 锐 角 PAD 所 在 平 面 PAD 底 面 ABCD， PA BD ， 点 Q在 侧 棱 PC上 ， 且 2PQ QC （ 1） 求 证 ： /PA 平 面 QBD；（ 2） 求 证 ： BD AD 16. (本 题 满 分 14 分 )在 ABC中 ， sinB sinC 2si
7、nA.（ 1） 求 A的 最 大 值 ；（ 2） 若 cosB cosC 4 2， 求 A的 值 .17.(本 题 满 分 14 分 )(第 15 题 )PA BCD QO高三数学试题第3页OH GFE D CBA（ 第 17 题 ） xy B MO F2F1 A在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 1 2F F， 分 别 为 椭 圆 222 2 1yxa b （ 0a b ） 的 左 、 右焦 点 ， 且 椭 圆 经 过 点 (2 0)A ， 和 点 (1 3 )e， ， 其 中 e为 椭 圆 的 离 心 率 （ 1） 求 椭 圆 的 方 程 ；（ 2） 过 点 A的 直 线
8、 l交 椭 圆 于 另 一 点 B， 点 M 在 直 线 l上 ， 且 MAOM 若 21 BFMF ， 求 直 线 l的 斜 率 18 (本 题 满 分 16 分 )某 景 区 修 建 一 栋 复 古 建 筑 ， 其 窗 户 设 计 如 图 所 示 ， 设 菱 形 ABCD对 角 线 交 于 点 O， 以 O为圆 心 ， BD为 直 径 的 圆 与 菱 形 ABCD各 边 交 于 E， F， G， H， 图 中 阴 影 部 分 为 不 透 光 区 域 ， 其余 为 透 光 区 域 .已 知 圆 的 半 径 为 1， 且 ACBDtan38 ， 设 ABO ， 透 光 面 积 为 S.（ 1）
9、 求 S关 于 的 函 数 关 系 式 ， 并 求 定 义 域 ；（ 2） 当 Ssin取 得 最 大 值 时 ， 求 透 光 面 积 S.19.(本 题 满 分 16 分 ) （ 第 18 题 ）高三数学试题第4页设 区 间 3 3D ， ， 定 义 在 D上 的 函 数 3( ) 1f x ax bx （ 0a b R， ） ， 集 合 | ( ) 0A a x D f x ， （ 1） 若 16b ， 求 集 合 A；（ 2） 设 常 数 0b 讨 论 ( )f x 的 单 调 性 ； 若 1b ， 求 证 ： A20.(本 题 满 分 16 分 )已 知 数 列 na 的 各 项 均
10、为 正 数 ， 11 a ， 前 n项 和 为 nS ， 且 nn Sna 2122 1 ， 为正 常 数 （ 1） 求 数 列 na 的 通 项 公 式 ；（ 2） 记 nn nSb a ， 1 1n n k nc S S （ * 2 2k n k n N， ， ） 求 证 ： 1 nn bb ； 1n nc c 数 学 （ 附 加 题 ）高三数学试题第5页21 【 选 做 题 】 本 题 包 括 A、 B、 C 三 小 题 ， 请 选 定 其 中 两 题 ， 并 在 相 应 的 答 题 区 域 内 作 答 若 多 做 ， 则 按 作 答 的 前 两 题 评 分 解 答 时 应 写 出 文
11、字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 A 选 修 4-2： 矩 阵 与 变 换 （ 本 小 题 满 分 10 分 ）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 (0 0) (3 0) (2 2)A B C， ， ， ， ， 设 变 换 1T ， 2T 对 应 的 矩阵 分 别 为 1 00 2 M ， 2 00 1 N ， 求 对 ABC依 次 实 施 变 换 1T ， 2T 后 所 得 图 形 的 面 积 B 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 （ 本 小 题 满 分 10 分 ）在 极 坐 标 系 中 ， 求 以 点 2 3P ， 为 圆 心 且 与
12、直 线 l： sin 23 相 切 的 圆 的 极 坐 标方 程 C 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 （ 本 小 题 满 分 10 分 ）已 知 a， b， c为 正 实 数 ， 且 12a b c ， 求 证 ： 1 22a cc a b 22 （ 本 小 题 满 分 10 分 ） （ 选 修 2-1P121测 试 第 14 题 改 编 ）高三数学试题第6页如 图 ， 在 正 四 棱 锥 P ABCD中 ， 底 面 正 方 形 的 对 角 线 AC， BD交 于 点 O且 OP 12AB.（ 1） 求 直 线 BP与 平 面 PCD所 成 角 的 正 弦 值 ；（ 2） 求 二 面 角
13、 B PD C的 大 小 .23. （ 本 小 题 满 分 10 分 ）某 同 学 在 学 习 组 合 数 时 对 杨 辉 三 角 （ 如 下 左 图 ） 进 行 了 研 究 ， 去 除 第 一 行 后 ， 用 若 干 平 行 的 斜 线 将其 进 行 了 如 下 右 图 的 分 割 ， 并 将 从 上 到 下 各 两 个 相 邻 斜 线 间 的 数 字 进 行 求 和 ， 求 和 的 结 果 记 为 na ，如 11 a ， 2112 a ， 3213 a ， 51314 a 以 此 类 推 ， 并 且 他 发 现 当 n为 偶数 时 ， na 可 以 表 示 为 ： 222 21 10 n
14、nnnnn CCCCa 的 形 式 。 请 你 接 着 探 究 ：(1)当 n为 奇 数 时 ， 请 你 直 接 写 出 一 个 类 似 的 结 论 ； 并 证 明 ： )(12 Nnaaa nnn(2)求 证 ： 211 2 nni i aa O BPD CA （ 第 22题 ）杨辉三角图1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1 (第 23 题 )高三数学试题（参考答案）第1页共15页2019年全国普通高等学校招生统一考试预测卷（江苏卷）数 学 I注 ： 本 试 题 中 加 的 均 为 课 本 原 题 或 课 本 改 编 题
15、。一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70 分 1. 已 知 集 合 | 0 2A x x ， 集 合 | 1B x x ， 则 A B 【 答 案 】 | 0x x2. 若 (a bi)(3 4i) 25(a， b R， i 为 虚 数 单 位 )， 则 2 2a b 的 值 为 【 答 案 】 253. 根 据 如 图 所 示 的 伪 代 码 ， 可 知 输 出 的 结 果 S为 【 答 案 】 104. 在 某 频 率 分 布 直 方 图 中 ， 从 左 往 右 有 10 个 小 矩 形 ， 若 第 一 个 小 矩 形 的 面 积 等
16、 于 其 余 9 个 小 矩形 的 面 积 和 的 15， 且 第 一 组 数 据 的 频 数 为 25， 则 样 本 容 量 为 【 答 案 】 1505. 甲 、 乙 两 人 赛 马 ， 两 人 各 有 三 只 马 ， 各 分 别 记 为 ABC、 abc.已 知 马 的 实 力 由 大 到 小 为 AaBbCc，若 他 们 采 用 三 局 两 胜 制 ， 每 匹 马 均 只 出 场 一 次 ， 且 事 先 不 知 道 对 方 马 的 出 场 顺 序 ， 则 乙 获 胜 的 概 率为 .【 答 案 】 61 （ 必 修 3P.104第 14 题 改 编 ）6. 设 A， B， C， P分
17、别 是 球 O表 面 上 的 四 个 点 ， PA， PB， PC两 两 垂 直 ， PA=PB=PC=1， 则 球的 表 面 积 为 .【 答 案 】 3（ 必 修 2P.71第 20 题 改 编 ）7. 等 差 数 列 na 中 ， 前 m项 （ m为 奇 数 ） 和 为 77， 其 中 偶 数 项 之 和 为 33， 且 1 18ma a ， 则 其通 项 公 式 为 .【 答 案 】 nan 323 （ 必 修 5P.68第 15 题 改 编 ）8. 已 知 函 数 2( ) | | 2xf x x ， xR ， 则 2( 2 ) (2 )f x x f x 的 解 集 是 【 答 案
18、 】 2,09. 若 函 数 2sin ( )6y x 与 函 数 sin2 cos2y x a x 的 图 象 的 对 称 轴 完 全 相 同 ， 则 实 数 a的 值为 .S1I1While I7SS 3II 2End WhilePrint S（ 第 3 题 ）高三数学试题（参考答案）第2页共15页【 答 案 】 3310. 已 知 函 数 12131 23 xbxaxxf 在 x=1 处 的 切 线 的 斜 率 为 2， 则 ba 41 的 取 值 范 围 是 .【 答 案 】 ， 91 （ 必 修 5P.106第 16 题 改 编 ）11. 一 个 酒 杯 的 轴 截 面 时 抛 物
19、线 的 一 部 分 ， 它 的 方 程 为 2002 yayx ,其 中 a0.在 杯 内 放 入 一 个玻 璃 球 ， 能 够 触 及 酒 杯 的 底 部 的 球 的 最 大 半 径 为 1， 则 该 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 .【 答 案 】 21y （ 选 修 2-1P.68第 10 题 改 编 ）12. 在 三 角 形 ABC中 ， 角 A、 B、 C所 对 的 边 分 别 为 a、 b、 c， b+c=acosC+acosB,且 a、 b、 c成 等比 数 列 ， 则 sinC的 值 为 .【 答 案 】 2 15 （ 必 修 5P.17第 7 题 改 编 ）13. 在 平
20、 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 圆 C： 211 22 yx ， Q )1,0( ， 过 Q点 作 直 线 与 圆 C交 于 A、B两 点 ， 分 别 过 A、 B两 点 作 圆 C的 切 线 相 交 于 P点 ， 则 PBPA 的 取 值 范 围 是 .【 答 案 】 ,0 （ 必 修 2P.117第 12 题 深 刻 改 编 ）14. 已 知 数 列 na 的 通 项 公 式 为 12 32 nnn qnqna ， *Nn ， 其 中 实 数 q0.若 对 一 切 *Nk 均 有122 kk aa ， 则 实 数 q的 取 值 范 围 是 .【 答 案 】 ,14 51,- 二 、
21、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 计 90 分 15.(本 题 满 分 14 分 )如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD为 梯 形 ， /CD AB ， 2AB CD ， AC 交 BD于 O， 锐 角 PAD 所 在 平 面 PAD 底 面 ABCD， PA BD ， 点 Q在 侧 棱 PC上 ， 且 2PQ QC （ 1） 求 证 ： /PA 平 面 QBD；（ 2） 求 证 ： BD AD 【 答 案 】 证 明 ： （ 1） 如 图 ， 连 接 OQ，因 为 /AB CD ， 2AB CD ，所 2AO OC ， 2 分又 2PQ QC
22、 ， (第 15 题 )PA BCD QO高三数学试题（参考答案）第3页共15页所 以 /PA OQ， 4 分又 OQ 平 面 QBD， PA 平 面 QBD，所 以 /PA 平 面 QBD. 6 分（ 2） 在 平 面 PAD内 过 P作 PH AD 于 H ，因 为 侧 面 PAD底 面 ABCD， 平 面 PAD 平 面 ABCD AD ，PH 平 面 PAD， 所 以 PH 平 面 ABCD， 8 分又 BD平 面 ABCD， 所 以 PH BD ， 10 分因 为 PAD 是 锐 角 三 角 形 ， 所 以 PA与 PH 不 重 合 ，即 PA和 PH 是 平 面 PAD内 的 两
23、条 相 交 直 线 ，又 PA BD ， 所 以 BD平 面 PAD， 12 分又 AD 平 面 PAD， 所 以 BD AD 14 分注 ： 缺 少 划 线 部 分 则 扣 去 划 线 部 分 及 以 下 所 有 逻 辑 段 的 分 数 。16. (本 题 满 分 14 分 ) （ 必 修 4P.111第 3 题 改 编 ）在 ABC中 ， sinB sinC 2sinA.（ 1） 求 A的 最 大 值 ；（ 2） 若 cosB cosC 4 2， 求 A的 值 .【 答 案 】 解 ：（ 1） 设 角 A、 B、 C所 对 的 边 分 别 为 a、 b、 c因 为 sinB sinC 2s
24、inA，由 正 弦 定 理 sin sin sina b cA B C 得 2b c a . 2分 (缺 正 弦 定 理 扣 2 分 )来 源 :学 科网 ZXXK由 余 弦 定 理 得 2 2 22 2 2 ( )2cos 2 2 b cb cb c aA bc bc 2 23( ) 2 6 28 8b c bc bc bcbc bc 4 18 2bcbc ，所 以 1cos 2A ， 当 且 仅 当 b c 时 取 等 号 . 6 分又 因 为 在 三 角 形 ABC中 ， 0 A ， 所 以 0 A3，所 以 A的 最 大 值 为 3. 8 分 (缺 角 的 说 明 扣 2 分 )（ 2
25、） 因 为 sinB sinC 2sinA， cosB cosC 4 2， 所 以 2 2得(sin2B cos2B) (sin2C cos2C) 2(cosBcosC sinBsinC) 4sin2A 2，即 22 2cos( ) 4sin 2B C A ， 10 分高三数学试题（参考答案）第4页共15页（ 第 17 题 ） xy B MO F2F1 A又 因 为 在 三 角 形 ABC中 ， B C A， 所 以 cos(B C) cosA，所 以 22 2cos 4(1 cos ) 2A A ，所 以 24cos 2cos ( 2 2) 0A A ， 12 分所 以 (2cos 2)2c
26、os ( 2 1) 0A A ，因 为 2cos ( 2 1) 0A ， 所 以 2cos 2A ，又 因 为 0 A （ 在 三 角 形 ABC中 ， 由 （ 1） 知 ） ，所 以 A 4. 14 分 (缺 角 的 说 明 扣 2 分 )注 ： 缺 划 线 部 分 则 扣 去 本 小 题 所 有 分 数 。17.(本 题 满 分 14 分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 1 2F F， 分 别 为 椭 圆 222 2 1yxa b （ 0a b ） 的 左 、 右焦 点 ， 且 椭 圆 经 过 点 (2 0)A ， 和 点 (1 3 )e， ， 其 中 e为 椭 圆
27、 的 离 心 率 （ 1） 求 椭 圆 的 方 程 ；（ 2） 过 点 A的 直 线 l交 椭 圆 于 另 一 点 B， 点 M 在 直 线 l上 ， 且 MAOM 若 21 BFMF ， 求 直 线 l的 斜 率 【 答 案 】 解 ： （ 1） 设 椭 圆 焦 距 为 2C因 为 椭 圆 经 过 点 (2 0)A ， 和 点 (1 3 )e， ，所 以 222 2 221 9 14 4a cbb c a ， ， 2 分解 得 2 3 1a b c ， ， ， 所 以 椭 圆 的 方 程 为 134 22 yx 4 分注 ： 划 线 部 分 不 写 扣 2 分 ， 不 写 方 程 组 扣 1
28、 分 。（ 2） 解 法 一 ： 由 （ 1） 可 得 1 2( 1 0) (1 0)F F ， ， ， ，设 直 线 l的 斜 率 为 k， 则 直 线 l的 方 程 为 )2( xky 高三数学试题（参考答案）第5页共15页OH GFE D CA由 方 程 组 22 ( 2)14 3y k xyx ， 消 去 y， 整 理 得 0121616)34( 2222 kxkxk ，解 得 2x 或 34 68 22 kkx ， 所 以 B点 坐 标 为 22 28 6 124 3 4 3k kk k ， 6 分由 MAOM 知 ， 点 M 在 OA的 中 垂 线 1x 上 ，又 M 在 直 线
29、l上 ， 所 以 M 点 坐 标 为 ),1( k 8 分所 以 1 (2 )FM k ， ， 2 22 2 2 2 28 6 12 4 9 1214 3 4 3 4 3 4 3k k k kFB k k k k ， ， 若 21 BFMF ， 则 2 2 21 2 2 2 28 18 12 20 18 04 3 4 3 4 3k k kFM FB k k k 12 分解 得 1092 k ， 所 以 10103k ， 即 直 线 l的 斜 率 10103 14 分解 法 二 ： 由 （ 1） 可 得 1 2( 1 0) (1 0)F F ， ， ， ，设 ),( 00 yxB （ 20 x
30、） ， 则 1243 2020 yx ， 6 分直 线 )2(2: 0 0 xxyyl ，由 MAOM 知 ， 点 M 在 OA的 中 垂 线 1x 上 ，又 M 在 直 线 l上 ， 所 以 M 点 坐 标 为 001 2yx， 8 分所 以 01 02 2yFM x ， ， 2 0 0( 1 )FB x y ， ，若 21 BFMF ， 则 2 20 0 0 01 2 0 0 02( 1)( 2)2( 1) 02 2y x x yFM FB x x x ，所 以 )2)(1(2 0020 xxy ， 10 分由 可 得 042411 020 xx ， 即 0)2)(211( 00 xx ，
31、所 以 1120 x 或 20 x (舍 )， 111060 y 所 以 00 3 102 10l yk x ， 即 直 线 l的 斜 率 10103 14 分18 (本 题 满 分 16 分 )某 景 区 修 建 一 栋 复 古 建 筑 ， 其 窗 户 设 计 如 图 所 示 ， 设 菱 形 ABCD对 角 线 交 于 点 O， 以 O为圆 心 ， BD为 直 径 的 圆 与 菱 形 ABCD各 边 交 于 E， F， G， H， 图 中 阴 影 部 分 为 不 透 光 区 域 ， 其余 为 透 光 区 域 .已 知 圆 的 半 径 为 1， 且 ACBDtan38 ， 设 ABO ， 透
32、光 面 积 为 S.高三数学试题（参考答案）第6页共15页（ 1） 求 S关 于 的 函 数 关 系 式 ， 并 求 定 义 域 ；（ 2） 当 Ssin取 得 最 大 值 时 ， 求 透 光 面 积 S.【 解 】 （ 1） 连 OE， OH， 因 为 ABO ， ACBDtan38 ，所 以 在 Rt AOB中 3tan tan 8AO ACBO BD ，因 为 0 2， 所 以 38 2， 2 分在 三 角 形 OBE中 ， 因 为 OB OE 1， OBE ，所 以 OEB ， 从 而 EOB 2， 同 理 HOD 2，所 以 EOH EOB HOD 4 ，所 以 1 1 1sin s
33、in( 2 ) sin22 2 2BOES OB OE EOB ， 4 分21 1 11 (4 ) (4 )2 2 2OEHS OE EOH g扇 形 ， 6 分根 据 对 称 性 知 ， HOD， GOD， FOB的 面 积 均 为 12sin2，1(4 )2OGF OEHS S 扇 形 扇 形 ，所 以 12 4 (4 ) 4 sin22BOES S S 扇 形 OEH ，所 以 S关 于 的 函 数 关 系 式 2sin2 4 S ， 定 义 域 为 38,2).8 分（ 2） 因 为 2sin2 4 sin sinS 4 4cos sin ，记 4 ( ) 4cos sinu (38
34、2)，所 以 24sin (4 )cos( ) 4sin sinu 10 分3 2( 4sin 4sin ) (4 )cossin 2 24sin cos (4 )cossin 2cos (2sin2 4 )sin ，解 法 一 ： 因 为 38 2， 所 以 342 ，所 以 2sin2 (0， 2， 4 ( ， 2， 注 意 到 2 2 0，所 以 2sin2 4 0， 12 分高三数学试题（参考答案）第7页共15页因 为 38 2， 所 以 cos 0， sin2 0， 所 以 u() 0，所 以 u() 在 38,2)上 是 单 调 减 函 数 ， 14 分所 以 当 38 时 ， S
35、sin取 得 最 大 值 ， 此 时 透 光 面 积 S 2 2.16 分解 法 二 ： 设 ( ) 2sin 2 k x x x （ 34x ） ，所 以 ( ) 2cos 2 0k x x ，所 以 k(x)在 34,)上 是 单 调 减 函 数 ，所 以 k(x)k(34) 2 22 32 2 2 0，所 以 2sin2 4 0， 12 分因 为 38 2， 所 以 cos 0， sin2 0， 所 以 u() 0，所 以 u() 在 38,2)上 是 单 调 减 函 数 ， 14 分所 以 当 38 时 ， Ssin取 得 最 大 值 ， 此 时 透 光 面 积 S 2 2.16 分1
36、9.(本 题 满 分 16 分 )设 区 间 3 3D ， ， 定 义 在 D上 的 函 数 3( ) 1f x ax bx （ 0a b R， ） ， 集 合 | ( ) 0A a x D f x ， （ 1） 若 16b ， 求 集 合 A；（ 2） 设 常 数 0b 讨 论 ( )f x 的 单 调 性 ； 若 1b ， 求 证 ： A【 答 案 】 （ 1） 当 16b 时 ， 3 1( ) 16f x ax x ， 则 2 1( ) 3 6f x ax 由 0a 可 知 ( ) 0f x 恒 成 立 ， 故 函 数 ( )f x 在 3 3 ， 上 单 调 递 增 ， 2 分所 以m
37、in 1( ) ( 3) 27 02f x f a ， 解 得 10 54a ，所 以 集 合 1 |0 54A a a 4 分（ 2） 由 3( ) 1f x ax bx 得 2( ) 3f x ax b ，因 为 0 0a b ， ， 则 由 ( ) 0f x ， 得 1,2 1 2( )3bx x xa 高三数学试题（参考答案）第8页共15页在 R 上 列 表 如 下 ：x 1( , )x 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x ( )f x 0 0 ( )f x 单 调 递 增 极 大 值 单 调 递 减 极 小 值 单 调 递 增（ ） 当 2 3x ， 即 0 27ba
38、 时 ，则 1 2 3 3 x x ， ， ， 所 以 ( )f x 在 3 3 ， 上 单 调 递 减 ； 6 分（ ） 当 2 3x ， 即 27ba 时 ， 此 时 1 3x ，( )f x 在1 3 x ， 和 2 3x ， 上 单 调 递 增 ； 在 1 2( )x x， 上 单 调 递 减 综 上 ， 当 0 27ba 时 ， ( )f x 在 3 3 ， 上 单 调 递 减 ；当 27ba 时 ， ( )f x 在 3 3ba ， ， 33ba ， 上 单 调 递 增 ；在 3 3b ba a ， 上 单 调 递 减 8 分 解 法 一 ： 当 1b 时 ， 由 可 知 ，（ ）
39、 当 0 27ba 时 ， ( )f x 在 3 3 ， 上 单 调 递 减 ，所 以min( ) (3) 27 3 1 3 1 2 1 1 0f x f a b b b b ，这 与 ( ) 0x D f x ， 恒 成 立 矛 盾 ， 故 此 时 实 数 a不 存 在 ； 10 分（ ） 当 27ba 时 ， ( )f x 在 3 3ba ， ， 33ba ， 上 单 调 递 增 ；在 3 3b ba a ， 上 单 调 递 减 ，所 以 min 2( ) min ( 3) ( )f x f f x ， 12 分若 ( 3) 27 3 1 0f a b ， 这 与 ( ) 0x D f x
40、 ， 恒 成 立 矛 盾 ，故 此 时 实 数 a不 存 在 ；若 ( 3) 27 3 1 0f a b ， 此 时32 2 2( ) 1f x ax bx ，又 22 2( ) 3 0f x ax b ， 则 22 3bax ， 33 22 2 2 2 2 2 2 4( ) 1 ( ) 1 1 1 13 3 3 3 27bxb b b bf x ax bx x bx a a 14 分下 面 证 明 34 1 027ba ， 也 即 证 ： 34 27b a 高三数学试题（参考答案）第9页共15页因 为 27ba ， 且 27 3 1 0a b ， 则 27 3 1a b ，下 证 ： 34
41、3 1b b 令 3( ) 4 3 1( 1)g b b b b ， 则 2( ) 12 3 0g b b ，所 以 ( )g b 在 ( , 1 上 单 调 递 增 ， 所 以 ( ) ( 1) 0g b g ， 即 2( ) 0f x 这 与 ( ) 0x D f x ， 恒 成 立 矛 盾 ， 故 此 时 实 数 a不 存 在 综 上 所 述 ， A 16 分解 法 二 ： （ ） 当 0x 时 ， (0) 1f 0成 立 ；（ ） 当 (0,3x 时 ， 由 题 意 可 知 3 1ax bx - 恒 成 立 ， 则 2 31ba x x - ，设 2 31( ) bg x x x -
42、， 则 3 4 42 3 2 3( ) b bxg x x x x ，令 ( ) 0g x ， 解 得 32x b 因 为 1b ， 所 以 30 32b ，所 以 ( )g x 在 3(0 )2b， 上 单 调 递 增 ， 在 3( 32b ， 上 单 调 递 减 ，所 以 3 3 3max 3 4 8 4( ) ( )2 9 27 27b b bg x g b ， 所 以 3427ba - ； 12 分（ ） 当 3 0)x ， 时 ， 由 题 意 可 知 3 1ax bx - 恒 成 立 ， 则 2 31ba x x - 设 2 31( ) bg x x x - ， 则 3 4 42 3 2 3( ) b bxg x x x x ，因 为 1b ， 所 以 ( ) 0g x 恒 成 立 ， 所 以 ( )g x 在 3,0) 上 单 调 递 增 ，所 以 min 1( ) ( 3) 9 27bg x g ，所 以 19 27ba 若 A， 则 存 在 实 数 a满 足 34 127 9 27b ba - ，则 34 127 9 27b b - 成 立 ， 即 34 3 1 0b b ， 亦 即 2( 1)(2 1) 0b b
