1、2019 年北京市海淀区清华大学附中中考数学调研试卷（3 月份）一、选择题1计算（ +1） 2019（ 1） 2018的结果是（ ）A +1 B 1 C D12阅读材料：设一元二次方程 ax2+bx+c0（ a0）的两根为 x1， x2，则两根与方程系数之间有如下关系： x1+x2 ， x1x2 根据该材料填空：已知 x1， x2是方程 x2+6x+30 的两实数根，则 + 的值为（ ）A4 B6 C8 D103在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y ax2+bx+c 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A abc0， b24 ac0 B abc0， b24 ac0C abc0， b24
2、 ac0 D abc0， b24 ac04如图所示，四边形 ABCD 是边长为 4cm 的正方形，动点 P 在正方形 ABCD 的边上沿着 A B C D的路径以 1cm/s 的速度运动，在这个运动过程中 APD 的面积 s（ cm2）随时间 t（ s）的变化关系用图象表示，正确的是 （ ）A BC D5如图所示， ABC 中， AB AC，过 AC 上一点作 DE AC， EF BC，若 BDE140，则 DEF（ ）A55 B60 C65 D706如图，水平地面上有一面积为 30cm2的扇形 AOB，半径 OA6 cm，且 OA 与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至 OB 与地
3、面垂直为止，则点 O 移动的距离为（ ）A20 cm B24 cm C10 cm D30 cm7在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）A小明的影子比小强的影子长B小明的影子比小强的影子短C小明的影子和小强的影子一样长D无法判断谁的影子长8如图，将两张长为 5，宽为 1 的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是 4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（ ）A8 B10 C10.4 D129如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区
4、域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）A B C D10现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列 S0，将其中的每个数换成该数在 S0中出现的次数，可得到一个新序列 S1，例如序列 S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若 S0可以为任意序列，则下面的序列可作为 S1的是（ ）A（1，2，1，2，2） B（2，2，2，3，3）C（1，1，2，2，3） D（1，2，1，1，2）二、填空题11若 x4+6 x2，则 x 的取值范围为 12关于 x 的分式方程 的解是 13如图，把“ QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼 A 的坐
5、标是（2，3），嘴唇 C 的坐标为（1，1），若把此“ QQ”笑脸向右平移 3 个单位长度后，则与右眼 B 对应的点的坐标是 14如图，是由四个直角边分别为 3 和 4 的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，小亮随机的往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率是 15如图，在 ABC 中， BC6，以点 A 为圆心，2 为半径的 A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，点 P 是优弧 EF 上的一点，且 EPF50，则图中阴影部分的面积是 16如图，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，点 G 在 CD 上， DE2，将正方形 DEFG 绕点 D 顺时针
6、旋转 60，得到正方形 DEFG，此时点 G在 AC 上，连接 CE，则 CE+CG 三、解答题17先化简，再求值：（ + ） ，其中 x + ， y 18解不等式组 ，把不等式组的解集在数轴上表示出来19如图，已知 Rt ABCRt ADE， ABC ADE90， BC 与 DE 相交于点 F，连接 CD， EB（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证： CF EF20如图，在 Rt ACB 中， C90， AC3 cm， BC4 cm，以 BC 为直径作 O 交 AB 于点 D（1）求线段 AD 的长度；（2）点 E 是线段 AC 上的一点，试问：当点 E 在什么位置时，直线
7、 ED 与 O 相切？请说明理由21（10 分）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知 B.E两组发言人数的比为 5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：发言次数 nA 0 n3B 3 n6C 6 n9D 9 n12E 12 n15F 15 n18（1）求出样本容量，并补全直方图；（2）该年级共有学生 500 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 12 次的人数；（3）已知 A 组发言的学生中恰有 1 位女生， E 组发言的学生中有 2 位男生现从 A 组与 E 组中分别抽一位
8、学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率22已知顶点为 P 的抛物线 C1的解析式是 y a（ x3） 2（ a0），且经过点（0，1）（1）求 a 的值；（2）如图将抛物线 C1向下平移 h（ h0）个单位得到抛物线 C2，过点 K（0， m2）（ m0）作直线 l 平行于 x 轴，与两抛物线从左到右分别相交于 A.B.C.D 四点，且 A.C 两点关于 y 轴对称点 G 在抛物线 C1上，当 m 为何值时，四边形 APCG 是平行四边形？若抛物线 C1的对称轴与直线 l 交于点 E，与抛物线 C2交于点 F，试探究：在 K 点运动过程中，的值是否会改变？
9、若会，请说明理由；若不会，请求出这个值23如图，在 ABC 中， ACB90， CD AB，（1）图 1 中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）；（2）已知 AB10， AC8，请你求出 CD 的长；（3）在（2）的情况下，如果以 AB 为 x 轴， CD 为 y 轴，点 D 为坐标原点 O，建立直角坐标系（如图 2），若点 P 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 CB 运动，点 Q 出 B 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为 t 秒是否存在点 P，使以点 B.P、 Q 为顶点的三角形与 A
10、BC 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年北京市海淀区清华大学附中中考数学调研试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题1【分析】先利用积的乘方得到原式（ +1）（ 1） 2018（ +1），然后利用平方差公式计算【解答】解：原式（ +1）（ 1） 2018（ +1）（21） 2018（ +1） +1故选： A【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍2【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根
11、之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值【解答】解： x1， x2是方程 x2+6x+30 的两实数根， x1+x2 6，x1x2 3，则 + 10故选： D【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系解此类题目要会将代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可一元二次方程 ax2+bx+c0（ a0）的根与系数的关系为： x1+x2 ， x1x2 3【分析】首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与 y 轴交点的位置来判断出A.B.c 的位置，进而判断各结论是否正确【解答】解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则 a0；抛
12、物线的对称轴在 y 轴右侧，则 x 0，即 b0；抛物线交 y 轴于负半轴，则 c0； abc0，抛物线与 x 轴有两个不同的交点， b24 ac0，故选： B【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关 a， b， c 的相关信息以及抛物线与 x 轴交点情况，是解题的关键4【分析】分别判断点 P 在 AB.在 BC 上分别运动时， APD 的面积 s（ cm2）的变化情况进行求解即可【解答】解：点 P 在 AB 上运动时， APD 的面积 S 将随着时间的增多而不断增大，排除 B点 P 在 BC 上运动时， APD 的面积 s 随着时间的增多而不再变化，应排除 A 和 C故选：
13、 D【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况进行求解，注意排除法在本题中的灵活运用5【分析】由 DE AC， BDE140，可计算出 A，再利用等腰三角形的性质求出 C，最后利用 EF BC 及同角的余角相等得到 DEF 的度数【解答】解： DE AC， BDE140， A50，又 AB AC， C 65， EF BC， DEF C65所以 A 错， B 错， C 对， D 错故选 C【点评】考查了垂直的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角性质6【分析】结合图形，则 O 点移动的距离即为优弧 AB 的长，根据扇形面积公式进行计算【解答】解
14、：由题意可得出：点 O 移动的距离为扇形的弧长，面积为 30cm2的扇形 AOB，半径 OA6 cm，30 l6，扇形弧长为： l10（ cm）故选： C【点评】此题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，利用 S 扇形 弧长圆的半径求出弧长是解题关键7【分析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长故选： D【点评】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远
15、的物体它的影子长等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短8【分析】由矩形和菱形的性质可得 AE EC， B90，由勾股定理可求 AE 的长，即可求四边形 AECF 的周长【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，四边形 AECF 是菱形 AE CF EC AF，在 Rt ABE 中， AE2 AB2+BE2， AE21+（5 AE） 2， AE2.6菱形 AECF 的周长2.6410.4故选： C【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键9【分析】算出阴影部分的
16、面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率【解答】解：设小正方形的边长为 1，则其面积为 1圆的直径正好是大正方形边长，根据勾股定理，其小正方形对角线为 ，即圆的直径为 ，大正方形的边长为 ，则大正方形的面积为 2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为 故选： C【点评】用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比；难点是得到两个正方形的边长的关系10【分析】根据题意可知， S1中 2 有 2 的倍数个，3 有 3 的倍数个，据此即可作出选择【解答】解： A.2 有 3 个，不可以作为 S1，故 A 选项错误；B.2 有 3 个，不可以作为 S1，故 B 选项错误；C.3 只有 1 个，
17、不可以作为 S1，故 C 选项错误；D.符合定义的一种变换，故 D 选项正确故选： D【点评】考查了规律型：数字的变化类，探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律二、填空题11【分析】直接利用二次根式的性质得出关于 x 的不等关系进而得出答案【解答】解： x4+6 x2， x40， x60，解得：4 x6故答案为：4 x6【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键12【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题【解答】解：两边乘（ x+1）（ x1）得到，2 x+2（ x1）（
18、 x+1），解得 x2，经检验， x2 是分式方程的解 x2故答案为 x2【点评】本题考查分式方程的解，记住即为分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验13【分析】根据点 A 的坐标，在点 A 的右侧 2 个单位作 y 轴，点 A 的下方 3 个单位作 x 轴，建立平面直角坐标系，然后根据右眼的坐标，求得向右平移 3 个单位长度后的对应点的坐标即可【解答】解：如图，根据左眼 A 的坐标是（2，3），建立直角坐标系，右眼 B 的坐标为（0，3），向右平移 3 个单位后，右眼的坐标为（3，3）故答案为：（3，3）【点评】本题以平移变换为背景，考查了坐标系中点的平移规律在平面直角坐标系中，平移点的变化
19、规律是：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减确定出直角坐标系的位置是解题的关键14【分析】根据几何概率的求法：针扎在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面面积的比值【解答】解：根据勾股定理可知正方形的边长为 5，面积为 25，阴影部分的面积正方形的面积4 个三角形的面积254 3425241，故针扎在阴影部分的概率 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（ A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（ A）发生的概率关键是得到大正方形的边长15【分析】由于 BC 切 A 于 D，连接 AD 可知 AD BC
20、，从而可求出 ABC 的面积；根据圆周角定理，易求得 EAF2 EPF100，圆的半径为 2，可求出扇形 AEF 的面积；图中阴影部分的面积 ABC 的面积扇形 AEF 的面积【解答】解：连接 AD， BC 是切线，点 D 是切点， AD BC， EAF2 EPF100， S 扇形 AEF ，S ABC ADBC 266， S 阴影部分 S ABC S 扇形 AEF6 故答案为：6 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角和圆心角的关系，扇形的面积等，求得 EAF100是关键16【分析】过 G点作 G M AD， G N CD 垂足分别为 M、 N 点，通过证明 DAG DCE，得到 CE+CG
21、AC，在等腰直角 AMG和 G NC 中，分别求出 AG和 CG长度即可解决问题【解答】解：过 G点作 G M AD， G N CD 垂足分别为 M、 N 点在 DAG和 DCE中所以 DAG DCE（ SAS） AG CE CE+CG AC在 Rt DMG中， DG2， MDG30， MG1， DM AMG是等腰直角三角形，所以 AG 在 Rt G NC 中， G N DM ， G CN45， G C AC + ，即 CE+CG + 故答案为 + 【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形进行线段的转化三、解答题
22、17【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案【解答】解：当 x + ， y 时， xy1，原式 xy（ x y）3 xy3【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型18【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【解答】解：解不等式 2x+53（ x+2），得： x1，解不等式 2x 1，得： x3，则不等式组的解集为1 x3，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的
23、原则是解答此题的关键19【分析】（1）根据 Rt ABCRt ADE，得出AC AE， BC DE， AB AD， ACB AED， BAC DAE，从而推出 CAD EAB， ACDAEB， CDF EBF；（2）由 CDF EBF，得到 CF EF【解答】（1）解： ADC ABE， CDF EBF；（2）证法一：连接 CE，Rt ABCRt ADE， AC AE ACE AEC（等边对等角）又Rt ABCRt ADE， ACB AED ACE ACB AEC AED即 BCE DEC CF EF证法二：Rt ABCRt ADE， AC AE， AD AB， CAB EAD， CAB DA
24、B EAD DAB即 CAD EAB CAD EAB， CD EB， ADC ABE又 ADE ABC， CDF EBF又 DFC BFE， CDF EBF（ AAS） CF EF证法三：连接 AF，Rt ABCRt ADE， AB AD又 AF AF，Rt ABFRt ADF（ HL） BF DF又 BC DE， BC BF DE DF即 CF EF【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、 ASA.AAS、 HL注意： AAA.SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角20【
25、分析】（1）由勾股定理易求得 AB 的长；可连接 CD，由圆周角定理知 CD AB，易知ACD ABC，可得关于 AC.AD.AB 的比例关系式，即可求出 AD 的长（2）当 ED 与 O 相切时，由切线长定理知 EC ED，则 ECD EDC，那么 A 和 DEC 就是等角的余角，由此可证得 AE DE，即 E 是 AC 的中点在证明时，可连接 OD，证 OD DE 即可【解答】解：（1）在 Rt ACB 中， AC3 cm， BC4 cm， ACB90， AB5 cm；连接 CD， BC 为直径， ADC BDC90； A A， ADC ACB，Rt ADCRt ACB； ， ；（2）当点
26、 E 是 AC 的中点时， ED 与 O 相切；证明：连接 OD， DE 是 Rt ADC 的中线； ED EC， EDC ECD； OC OD， ODC OCD； EDO EDC+ ODC ECD+ OCD ACB90； ED OD， ED 与 O 相切【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识21【分析】（1）根据 B.E 两组的发言人数的比求出 B 组发言人数所占的百分比，再根据条形统计图中 B 组的人数为 10，列式计算即可求出被抽取的学生人数，然后求出 C 组、 F 组的人数，补全直方图即可；（2）根据扇形统计图求出 F 组人数所占的
27、百分比，再用总人数乘以 E.F 两组人数所占的百分比，计算即可得解；（3）分别求出 A.E 两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可得解【解答】解：（1） B.E 两组发言人数的比为 5：2， E 组发言人数占 8%， B 组发言的人数占 20%，由直方图可知 B 组人数为 10 人，所以，被抽查的学生人数为：1020%50 人，C 组人数为：5030%15 人，B 组人数所占的百分比为： 100%20%，F 组的人数为：50（16%20%30%26%8%），50（190%），5010%，5，样本容量为 50 人补全直方图如图；（2） F 组发言的人数所占
28、的百分比为：10%，所以，估计全年级在这天里发言次数不少于 12 次的人数为：500（8%+10%）90 人；（3） A 组发言的学生：506%3 人，所以有 1 位女生，2 位男生，E 组发言的学生：508%4 人，所以有 2 位女生，2 位男生，列表如下：画树状图如下：共 12 种情况，其中一男一女的情况有 6 种，所以 P（一男一女） 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，本题根据 B 组的人数与所占的百分比求解是解题的关键，也是本题的突破口22【分析】（1）直接利用待定系数法
29、求二次函数解析式得出即可；（2）首先得出 GQK POK（ ASA），进而得出顶点 G 在抛物线 C1上，得出 2m2 （33）2，进而得出答案；（3）利用函数对称性表示出 A 点坐标，再表示出 KC， PF 的长，进而得出其比值【解答】解：（1）抛物线 C1的解析式是 y a（ x3） 2（ a0），经过点（0，1），1 a（03） 2，解得： a ，（2） A.C 两点关于 y 轴对称，点 K 为 AC 的中点，若四边形 APCG 是平行四边形，则必有点 K 是 PG 的中点，过点 G 作 GQ y 轴于点 Q，在 GQK 和 POK 中， GQK POK（ ASA）， GQ PO3， K
30、Q OK m2， OQ2 m2，点 G（3，2 m2），顶点 G 在抛物线 C1上，2 m2 （33） 2，解得： m ，又 m0， m ，当 m 时，四边形 APCG 是平行四边形； 的值不会改变；理由：在抛物线 y （ x3） 2中，令 y m2，解得： x33 m，又 m0，且点 C 在点 B 的右侧， C（3+3 m， m2）， KC3+3 m， A.C 两点关于 y 轴对称， A（33 m， m2），将抛物线 C1向下平移 h（ h0）个单位得到抛物线 C2，抛物线 C2的解析式为： y （ x3） 2 h， m2 （33 m3） 2 h，解得： h4 m+4， PF4+4 m， 【
31、点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，利用二次函数对称性得出 A 点坐标是解题关键23【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到 3 对相似三角形，分别为：ABC ACD， ABC CBD， ACD CBD；（2）先在 ABC 中由勾股定理求出 BC 的长，再根据 ABC 的面积不变得到 ABCD ACBC，即可求出 CD 的长；（3）由于 B 公共，所以以点 B.P、 Q 为顶点的三角形与 ABC 相似时，分两种情况进行讨论： PQB ACB； QPB ACB【解答】解：（1）图 1 中共有 3 对相似三角形，
32、分别为： ABC ACD， ABC CBD，ACD CBD故答案为 3， ABC ACD， ABC CBD， ACD CBD；（2）如图 1，在 ABC 中， ACB90， AB10， AC8， BC 6 ABC 的面积 ABCD ACBC， CD 4.8；（3）存在点 P，使以点 B.P、 Q 为顶点的三角形与 ABC 相似，理由如下：在 BOC 中， COB90， BC6， OC4.8， OB 3.6分两种情况：当 BQP90时，如图 2，此时 PQB ACB， ， ，解得 t2.25，即 BQ CP2.25， BP BC CP62.253.75在 BPQ 中，由勾股定理，得 PQ 3，点 P 的坐标为（1.35，3）；当 BPQ90时，如图 2，此时 QPB ACB， ， ，解得 t3.75，即 BQ CP3.75， BP BC CP63.752.25过点 P 作 PE x 轴于点 E QPB ACB， ，即 ， PE1.8在 BPE 中， BE 1.35， OE OB BE3.61.352.25，点 P 的坐标为（2.25，1.8）综上可得，点 P 的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）【点评】本题结合动点问题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度适中利用数形结合、分类讨论是解题的关键
