1、2019 年山东省聊城市东阿县中考数学三模试卷一、选择题共（10 小题，每小题 2 分）1（2 分） 的相反数是（ ）A B3 C3 D2（2 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D3（2 分）下列计算正确的是（ ）A5x3x2 B3x2x6x C5x 2+x25x 4 D（x 3） 2x 64（2 分）已知在O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则O 的半径是（ ）A3 B4 C5 D85（2 分）如图，P 是 的边 OA 上一点，且点 P 的坐标为（ ，1），则 tan等于（ ）A B C D6（2 分）某校九年级开展“光盘行动”宣传
2、活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（ ）班级 1 班 2 班 3 班 4 班 5 班 6 班人数 52 60 62 54 58 62A平均数是 58 B中位数是 58 C极差是 40 D众数是 607（2 分）如图，点 A，B 在反比例函数 y （x 0）的图象上，点 A 的横坐标是2，ACy 轴于点 C，BDx 轴于点 D，AC，BD 相交于点 E，S 矩形 ODEC k，那么点B 的纵坐标是（ ）A B C k D k8（2 分）方程 x24x 40 进行配方后，得到的方程是（ ）A（x2） 28 B（x+2） 28 C（x2） 20 D（x
3、+2） 2169（2 分）如图，D，E 分别是 ABC 的边 AB，AC 的中点，H，G 是边 BC 上的点，且HG BC，S ABC 24，则图中阴影部分的面积为（ ）A4 B6 C8 D1210（2 分）二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：a0 ；c0；b 2 4ac0；4a+2b+c0其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）已知 x+y ，xy ，则 x2y+xy2 的值为 12（3 分）分解因式：a 416 13（3 分）不等式组 的解集是 14（3 分）无论 a 取何值时，点 P（a1，2a3）都在直
4、线 l 上，Q（m，n）是直线 l上的点，那么 4m2n+3 的值是 15（3 分）如图，ABC 中，ABAC ，A120，AB8，O 是 BC 的中点，O 切AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 DE，则 DE 的长为 16（3 分）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 6，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 三、解答题（共 72 分）17（5 分）计算：1 2+（ 3） 0（ ） 2 18（6 分）化简求值： （x2 ）其中 x 319（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+kxk20 （1）
5、求证：无论 k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于 3，求 k 的值以及方程的两个根20（6 分）四张卡片，除一面分别写有数字 2，2，3，6 外，其余均相同，将卡片洗匀后，写有数字的一面朝下扣在桌面上，随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后仍将写有数字的一面朝下扣在桌面上，再抽取一张（1）用列表或画树状图的方法求两次都恰好抽到 2 的概率；（2）小贝和小晶以此为游戏，游戏规则是：第一次抽取的数字作为十位，第二次抽取的数字作为个位，组成一个两位数，若组成的两位数不小于 32，小贝获胜，否则小晶获胜你认为这个游戏公平吗？请说明理由21（8 分）为了广泛开展“全民健身
6、”活动，某社区 2017 年投入维修运动场地、安置运动设施、购置运动器材及其他项目的资金共计 48.75 万元，图和图分别反映了2017 年投入资金分配和 2015 年以来购置器材投入资金的年增长率的情况（1）求扇形统计图中购置器材部分的圆心角的度数；（2）2015 年购置器材的资金投入是多少万元？（3）若 2018 年计划投入购置器材的资金为 23.4 万元，请补全统计图22（8 分）一幢楼的楼顶端挂着一幅长 10 米的宣传条幅 AB，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但被建筑物 FGHM 挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点 D 处测得条幅顶端 A 的仰角 CDA45，向后退
7、 8 米到 E 点，测得条幅底端 B的仰角CEB30（点 C，D ，E 在同一直线上，EC AC）请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高 AC（结果精确到 0.01 米，参考数据：1.732， 1.414）23（10 分）在 RtABC 中，C90，BC9，CA 12，ABC 的平分线 BD 交 AC于点 D，DEDB 交 AB 于点 E，O 是BDE 的外接圆，交 BC 于点 F（1）求证：AC 是O 的切线；（2）连接 EF，求 的值24（11 分）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边ADE 和DCF，连接AF， BE（1）BE 与 AF 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图
8、 ，若将条件 “两个等边ADE 和DCF”变成“两个等腰ADE 和DCF，且 EAED FDFC”，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）若ADE 和DCF 为一般三角形，且 AEDF，EDFC，（1）中的结论仍然成立吗？25（12 分）已知直线 ykx+b 经过点 A（0，2），B（ 4，0）和抛物线 yx 2（1）求直线的解析式；（2）将抛物线 yx 2 沿着 x 轴向右平移，平移后的抛物线对称轴左侧部分与 y 轴交于点C，对称轴右侧部分抛物线与直线 ykx+ b 交于点 D，连接 CD，当 CDx 轴时，求平移后得到的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，平移后得到的抛物线的对
9、称轴与 x 轴交于点 E，P 为该抛物线上一动点，过点 P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 Q，是否存在这样的点 P，使以点E，P，Q 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年山东省聊城市东阿县中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题共（10 小题，每小题 2 分）1（2 分） 的相反数是（ ）A B3 C3 D【分析】直接根据相反数的定义即可得出结论【解答】解： 与 只有符号不同， 的相反数是 故选：A【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键2（2 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的
10、是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3（2 分）下列计算正确的是（ ）A5x3x2 B3x2x6x C5x 2+x25x 4 D（x 3） 2x 6【分析】根据整式的运算法则即可求出答案
11、【解答】解：（A）原式2x，故 A 错误；（B）原式6x 2，故 B 错误；（C）原式6x 2，故 C 错误；故选：D【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型4（2 分）已知在O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则O 的半径是（ ）A3 B4 C5 D8【分析】根据垂径定理求出 AE，再根据勾股定理求出 OA 即可【解答】解：如图所示：OEAB，AE AB4在直角AOE 中，AE 4，OE3，根据勾股定理得到 OA 5，则 O 的半径是 5故选：C【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出 OA 是
12、解决问题的关键5（2 分）如图，P 是 的边 OA 上一点，且点 P 的坐标为（ ，1），则 tan等于（ ）A B C D【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：P（ ，1），tan ，故选：C【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型6（2 分）某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于这组统计数据，下列说法中正确的是（ ）班级 1 班 2 班 3 班 4 班 5 班 6 班人数 52 60 62 54 58 62A平均数是 58 B中位数是 58 C极差是 40 D众数是 60【分析】分别计算该
13、组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可【解答】解：A （52+60+62+54+58+62）658；故此选项正确；B6 个数据按大小排列后为：52，54，58，60，62，62；中位数为：（60+58）259；故此选项错误；C极差是 625210，故此选项错误；D.62 出现了 2 次，最多， 众数为 62，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数及极差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及极差后找到正确的选项即可7（2 分）如图，点 A，B 在反比例函数 y （x 0）的图象上，点 A 的横坐标是2，ACy 轴于点 C，BDx 轴于点 D，A
14、C，BD 相交于点 E，S 矩形 ODEC k，那么点B 的纵坐标是（ ）A B C k D k【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义求得 A 的纵坐标，即可求得 OD 的长，即 B的横坐标，然后根据 ODBDk，即可求得 B 的纵坐标【解答】解：作 AMx 轴于 M，BN y 轴于 N，点 A，B 在反比例函数 y （x 0）的图象上，点 A 的横坐标是 2，A（2， ），OC ，S 矩形 ODECODOC k，OD ，B 的横坐标为 ，S 矩形 ODBNk，ODBD k ，BD k故选：D【点评】主要考查了反比例函数 y 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，
15、所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几何意义8（2 分）方程 x24x 40 进行配方后，得到的方程是（ ）A（x2） 28 B（x+2） 28 C（x2） 20 D（x +2） 216【分析】把常数项4 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4 的一半的平方【解答】解：由原方程，得x24x4，配方，得x24x+48，即（ x2） 2 8故选：A【点评】本题考查了配方法解一元二次方程配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程
16、时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2的倍数9（2 分）如图，D，E 分别是 ABC 的边 AB，AC 的中点，H，G 是边 BC 上的点，且HG BC，S ABC 24，则图中阴影部分的面积为（ ）A4 B6 C8 D12【分析】连接 DE，作 AFBC 于 F，根据三角形中位线定理得出DE BC，DEBC，根据相似三角形的判定定理和性质定理，结合三角形面积计算即可【解答】解：连接 DE，作 AFBC 于 F，如图所示：D，E 分别是 AB，AC 的中点，DE BC，DEBC，AHFH ，ADEABC，AHDE，ADE 的面积24 6，四边形 DBCE 的面积24618，HG
17、 BC，DEHG ，DOE 的面积 +HOG 的面积2 DEAHADE 的面积6，图中阴影部分的面积18612，故选：D【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线定理，证明三角形相似是解题的关键10（2 分）二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：a0 ；c0；b 2 4ac0；4a+2b+c0其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：由抛物线开口方向
18、向下知，a0，故正确，由抛物线与 y 轴交于正半轴知，c0，故错误，由抛物线与 x 轴有两个不同的交点知，b 24ac0，故正确，如图所示，根据抛物线的对称性知，当 x2 时，二次函数的值大于 0，把 x2 代入该函数，得：4a+2b+c0，故错误，正确的是 ，共 2 个，故选：B【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握二次函数的性质是解题的关键二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）已知 x+y ，xy ，则 x2y+xy2 的值为 3 【分析】根据 x+y ，xy ，可以求得 x2y+xy2 的值【解答】解：x+y ，xy ，x 2y+xy2xy（x+y）3 ，
19、故答案为： 【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确因式分解的方法，利用题目中的已知条件解答12（3 分）分解因式：a 416 （a+2）（a2）（a 2+4） 【分析】根据平方差公式进行分解即可，注意分解因式要彻底【解答】解：a 416（a 24）（a 2+4）（a+2）（a2）（a 2+4）故答案为：（a+2）（a2）（a 2+4）【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确记忆平方差公式是解题关键13（3 分）不等式组 的解集是 3x1 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【解答】解： ，由得， x3，由得， x1，故不等式组得解集为：3x1故答案为：3x1【点
20、评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键14（3 分）无论 a 取何值时，点 P（a1，2a3）都在直线 l 上，Q（m，n）是直线 l上的点，那么 4m2n+3 的值是 5 【分析】由于 a 不论为何值此点均在直线 l 上，令 a0，则 P（1，3）；令 a1，则 P（0，1），设此直线的解析式为 ykx+b（k0），把两点代入即可得出其解析式，再把 Q（m，n）代入即可得出 m 与 n 的数量关系，进而可得出结论【解答】解：由于 a 不论为何值点 P 均在直线 l 上，当 a0，则 P（1，3）；当 a1，则 P（0，
21、1），设此直线的解析式为 ykx+b（k0）， ，解得 ，此直线的解析式为：y2x1，Q（m，n）是直线 l 上的点，2m1n，即 2mn1，4m2n+3 2（2mn）+35故答案为：5【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式15（3 分）如图，ABC 中，ABAC ，A120，AB8，O 是 BC 的中点，O 切AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 DE，则 DE 的长为 2 【分析】根据等腰三角形的性质得出BC30，解直角三角形即可求得 OB，进而求得 BD、AD，作 OEAC 于 E，根据交平分线的性质得出 ODOE，即可证得 E
22、 和 E共点，进一步证得 DEBC，根据平行线分线段成比例定理即可求得 DE【解答】解：连接 OA、OD、OE ，ABC 中，AB AC，A 120，BC30，O 是 BC 的中点，AOBC，OAB OAC，OB AB 84 ， O 切 AB 于点 D，ODAB，BD OB 4 6，ADABBD862，作 OEAC 于 E，OABOAC，OD AB ，OEAC，ODOE ，ODOE ，E 和 E共点，OEAC，同理，EC6，则 AE2， ，DEBC， ，BC2OB8 ，DE2 ，故答案为 2 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，含 30角的直角三角形的性质，证得 DEAB 是解题的
23、关键16（3 分）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 6，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 6 【分析】由于点 B 与 D 关于 AC 对称，所以连接 BD，交 AC 于 P 点此时 PD+PE 的最小值BE，而 BE 是等边ABE 的边，BEAB ，由正方形 ABCD 的边长为 6，可求出AB 的长，从而得出结果【解答】解：设 BE 与 AC 交于点 P，连接 BD，点 B 与 D 关于 AC 对称，PDPB，PD+ PEPB +PEBE 最小即 P 在 AC 与 BE 的交点上时，PD +PE 最小
24、，为 BE 的长度；正方形 ABCD 的边长为 6，AB6又ABE 是等边三角形，BEAB6故所求最小值为 6故答案为：6【点评】此题主要考查轴对称最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题三、解答题（共 72 分）17（5 分）计算：1 2+（ 3） 0（ ） 2 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式1+144【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18（6 分）化简求值： （x2 ）其中 x 3【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可【解答】解： （x2 ） ，当 x 3 时，原式 【点评】本题考查了分式
25、的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键19（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+kxk20 （1）求证：无论 k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于 3，求 k 的值以及方程的两个根【分析】（1）根据判别式公式，求出该一元二次方程的判别式，得到0 恒成立，即可得证，（2）根据根与系数的关系，结合“方程的两根之和等于 3”，列出关于 k 的一元一次方程，求出 k 值，代入原方程，解之即可【解答】（1）证明：因为k 24（k2）k 2+4k+8（k+2） 2+40，所以方程有两个不相等的实数根（2）由题意，得k3，所以 k3当 k3
26、时，方程为 x23x+10所以 x1 ，x 2 【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式20（6 分）四张卡片，除一面分别写有数字 2，2，3，6 外，其余均相同，将卡片洗匀后，写有数字的一面朝下扣在桌面上，随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后仍将写有数字的一面朝下扣在桌面上，再抽取一张（1）用列表或画树状图的方法求两次都恰好抽到 2 的概率；（2）小贝和小晶以此为游戏，游戏规则是：第一次抽取的数字作为十位，第二次抽取的数字作为个位，组成一个两位数，若组成的两位数不小于 32，小贝获胜，否则小晶获胜你认为这个游戏公平
27、吗？请说明理由【分析】（1）将所有可能的情况在图中表示出来，再根据概率公式计算可得；（2）计算出和为大于 32 和不大于 32 的概率，即可得到游戏是否公平【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图知共有 16 种等可能结果，其中两次都恰好抽到 2 的有 4 种结果，所以两次都恰好抽到 2 的概率为 （2）这个游戏公平因为 P（小贝获胜）P（小晶获胜） 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平21（8 分）为了广泛开展“全民健身”活动，某社区 2017 年投入维修运动场地、安置运动设施、购置运动器材及其他项目的资金共计 48.75 万
28、元，图和图分别反映了2017 年投入资金分配和 2015 年以来购置器材投入资金的年增长率的情况（1）求扇形统计图中购置器材部分的圆心角的度数；（2）2015 年购置器材的资金投入是多少万元？（3）若 2018 年计划投入购置器材的资金为 23.4 万元，请补全统计图【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可以求得购置器材部分的圆心角的度数；（2）根据题意和条形统计图中的数据可以求得 2015 年购置器材的资金投入是多少万元；（3）根据条形统计图中的数据可以求得 2018 年购置器材投入资金的年增长率，从而可以补全统计图【解答】解：（1）360（110%26% 24%）144，即扇形统计图中购置器
29、材部分的圆心角的度数是 144；（2）设 2015 年购置器材的资金投入是 a 万元，a（1+50%）（1+30%）48.75（110%26% 24%），解得，a10，即 2015 年购置器材的资金投入是 10 万元；（3）23.448.75（110%26%24% ）48.75（110%26%24% ）100%20%，即 2018 年购置器材投入资金的年增长率为 20%，补全的统计图如右图所示【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答22（8 分）一幢楼的楼顶端挂着一幅长 10 米的宣传条幅 AB，某数学兴趣小组在一次活动中，准备测量该楼的高度，但
30、被建筑物 FGHM 挡住，不能直接到达楼的底部，他们在点 D 处测得条幅顶端 A 的仰角 CDA45，向后退 8 米到 E 点，测得条幅底端 B的仰角CEB30（点 C，D ，E 在同一直线上，EC AC）请你根据以上数据，帮助该兴趣小组计算楼高 AC（结果精确到 0.01 米，参考数据：1.732， 1.414）【分析】设 ACx 米，根据等腰三角形的性质用 x 表示出 CD，根据正切的定义列式计算，得到答案【解答】解：设 ACx 米，则 BC（x10）米，在 Rt ACD 中， CDA CAD45，所以 CDACx ，在 Rt ECB 中，CECD+ DEx+8所以 tanCEB ，即 t
31、an30 解得，x 34.59答：楼高 AC 约为 34.59 米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键23（10 分）在 RtABC 中，C90，BC9，CA 12，ABC 的平分线 BD 交 AC于点 D，DEDB 交 AB 于点 E，O 是BDE 的外接圆，交 BC 于点 F（1）求证：AC 是O 的切线；（2）连接 EF，求 的值【分析】（1）连接 OD，证 ODAC 即可（2）可通过BEFBCA ，从而根据相似比求得 EF：AC 的值【解答】（1）证明：连接 OD，C90 oDBC+BDC90又BD 为ABC 的平分
32、线，ABDDBCOBOD ，ABDODBODB +BDC90 oODC90又OD 是O 的半径，AC 是O 的切线（2）解：DEDB，O 是 RtBDE 的外接圆，BE 是O 的直径设 O 的半径为 r，AB 2BC 2+CA29 2+122225，AB15AA ，ADO C 90 oADO ACB ，即 r BE 又BE 是O 的直径，BFE 90BEF BAC 【点评】本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，利用相似三角形得出线段间的比例关系进而求出线段的长是解题的关键24（11 分）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边ADE 和DCF，连接AF， BE（1）BE
33、与 AF 的数量关系是 AF BE ，位置关系是 AFBE ；（2）如图 ，若将条件 “两个等边ADE 和DCF”变成“两个等腰ADE 和DCF，且 EAED FDFC”，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）若ADE 和DCF 为一般三角形，且 AEDF，EDFC，（1）中的结论仍然成立吗？【分析】（1）根据正方形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理证明BAE ADF，根据全等三角形的性质得出结论；（2）根据边边边定理证明EADFDC根据边角边定理证明BAEADF则BEAF，ABE DAF ，与（1）的证明方法相似，可得结论（3）与（2）的证明方法相似，证明即可【解答】解
34、：（1）AFBE ；AF BE理由如下：如图所示：四边形 ABCD 是正方形，BADADC90，ABADCD，ADE 和DCF 是等边三角形，DAECDF60，AEAD，DFCD，AEDF ，BAE ADF150，在BAE 和ADF 中，BAE ADF（SAS），AFBE，ABE DAF，DAF+BAF90，ABE +BAF90，AMB 90 ，AFBE；故答案为：AFBE ，AFBE（2）结论成立证明：如图，四边形 ABCD 是正方形，BAAD DC，BADADC90在EAD 和FDC 中，EADFDC（SSS）EADFDCEAD+DAB FDC+ CDA，即BAE ADF在BAE 和ADF
35、 中，BAE ADF（SAS）BEAF，ABE DAFDAF+BAF90，ABE +BAF90，AMB 90 ，AFBE（3）所画图形如图，第（1）问的结论成立，理由如下：在AED 和DFC 中，AEDDFC（SSS），EADFDCBAD+EAD ADC+ FDC即BAEADF在BAE 和ADF 中，BAE ADF（SAS），AFBE，ABE DAFDAF+BAF90，ABE +BAF90，AMB 90 ，AFBE【点评】本题是四边形综合题目，考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决
36、问题的关键25（12 分）已知直线 ykx+b 经过点 A（0，2），B（ 4，0）和抛物线 yx 2（1）求直线的解析式；（2）将抛物线 yx 2 沿着 x 轴向右平移，平移后的抛物线对称轴左侧部分与 y 轴交于点C，对称轴右侧部分抛物线与直线 ykx+ b 交于点 D，连接 CD，当 CDx 轴时，求平移后得到的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，平移后得到的抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，P 为该抛物线上一动点，过点 P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为 Q，是否存在这样的点 P，使以点E，P，Q 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析
37、】（1）根据点 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线 AB 的解析式；（2）设平移后抛物线的解析式为 y（xm ） 2（m0），则平移后抛物线的对称轴为直线 xm，点 C 的坐标为（0，m 2），由 CDx 轴，可得出点 C，D 关于直线 xm 对称，进而可得出点 D 的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于 m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（3）设点 P 的坐标为（a，a 24a+4），则 PQ|a2|，EQa 24a+4，由PQE90可得出EQP AOB 或PQEAOB， 当EQP AOB 时，利用相似三角形的性质可得出关于 a 的方程，解之即可得出 a 值
38、，将其代入点 P 的坐标即可得出结论；当PQEAOB 时，利用相似三角形的性质可得出关于 a 的方程，解之即可得出 a 值，将其代入点 P 的坐标即可得出结论综上，此题得解【解答】解：（1）将 A（0，2），B（4，0）代入 ykx +b，得：，解得： ，直线 AB 的解析式为 y x+2（2）如图 1，设平移后抛物线的解析式为 y（xm ） 2（m 0），则平移后抛物线的对称轴为直线 xm ，点 C 的坐标为（0，m 2）CDx 轴，点 C，D 关于直线 xm 对称，点 D 的坐标为（2m，m 2）点 D 在直线 y x+2 上，m 2 2m+2，解得：m 11（舍去），m 22，平移后抛物
39、线的解析式为 y（x2） 2，即 yx 24x+4（3）存在这样的点 P，使以点 E，P，Q 为顶点的三角形与AOB 相似设点 P 的坐标为（a，a 24a+4），则 PQ|a2|，EQa 24a+4PQE90，分两种情况考虑，如图 2 所示当 EQPAOB 时， ，即 ，化简，得：|a 2| ，解得：a 1 ，a 2 ，点 P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）；当 PQEAOB 时， ，即 ，化简，得：|a 2|2，解得：a 10，a 24，点 P 的坐标为（0，4）或（4，4）综上所述：存在这样的点 P，使以点 E，P，Q 为顶点的三角形与AOB 相似，点 P 的坐标为（ ， ），（ ， ），（0，4）或（4，4）【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线 AB 的解析式；（2）利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，找出关于 m 的一元二次方程；（3）分EQPAOB 和PQE AOB 两种情况，利用相似三角形的性质找出关于 a 的方程
