1、浙江省乐清市七校 2019 年中考适应性联考(一)数学试题一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1在 ，3， 这四个数中，最小的数是（ ）A B C3 D2如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（ ）A B C D3计算 3x2+2x2的结果（ ）A5 B5 x2 C5 x4 D6 x24七一华源中学读书兴趣小组有 10 名成员，他们每星期课外阅读的时间情况如表根据表中信息，求出该兴趣小组成员每个星期阅读时间的中位数和众数分别是（ ） 读书时间 4 小时 5 小时 6 小时 7 小时人数 1 3 4 2A3、4 B5、6 C6、6 D4、45在 Rt ABC 中， C90， AC3，
2、 BC4，tan B（ ）A B C D6不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D7从长度分别为 1、3、5、7 的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ）A B C D8已知，如图等边三角形 ABC 中， D， E 分别为 AB， BC 边上的点，且 AD BE， AE 与 CD 交于点 F AG CD 于 G，则 的值是（ ）A ：2 B ：3 C ：2 D1：29如图，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 AB、 CD 的中点， EG AF， FH CE，垂足分别为G， H，设 AG x，图中阴影部分面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是 （ ）A
3、y3 x2 B y4 x2 C y8 x2 D y9 x210如图，在直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，1） ， B（1，1） ，C（1，1） ， D（1，1） 曲线 AA1A2A3叫做“正方形的渐开线” ，其中AA1、 A1A2、 A2A3、 A3A4的圆心依次是 B、 C、 D、 A 循环，则点 A18的坐标是（ ）A （35，1） B （37，1） C （39，1） D （37，1）二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）11因式分解： x26 x+9 12已知圆锥的底面半径是 3cm，母线长是 5cm，则圆锥的侧面积为 cm2 （结果保留 ）13甲超市为了促销
4、一种单价为 m 元的商品，在四月份连续两次都降价 20%后，该商品现单价是 元14如图，把菱形 ABCD 沿折痕 AH 翻折，使 B 点落在 BC 延长线上的点 E 处，连结 DE，若 B30，则 CDE 15如图，在 OAB 中， AO AB， S AOB36，反比例函数 y （ x0）的图象与 OA 交于点 C，点 D 是函数 y （ x0）的图象一点，且 CD x 轴，若 ADC90，则 k 的值是 16如图 1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图 2，是其衣架侧面示意图 MN 为衣架的墙体固定端， A 为固定支点， B 为滑动支点，四边形 DFGI 和四边形 EIJH 是菱形，且AF BF
5、 CH DF EH点 B 在 AN 上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点 A 和点 C 间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为 42cm当点 B 向点 A 移动 8cm 时，外延长度为 90cm如图 3，当外延长度为 120cm 时，则 BD 和 GE 的间距 PQ 长为 cm三、解答题17 （10 分） （1）计算： +（ ） 1 + cos30（2）化简：（ x+2） （ x2）（ x4） 218 （8 分）如图， ABC 为直角三角形， B90， AC 边上取一点 D，使 CD AB，分别过点 C 作 CE BC，过 D 作 DE AC，
6、 CE， DE 相交于 E连结 AE（1）求证： ABC CDE；（2）若 AED20， ACE 的度数19 （8 分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法学校采取 随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门） 对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中， m 的值是 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）在被调查的学生中，选修书法的有 2 名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取 2 名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写
7、出所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的概率20 （8 分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，小正方形的顶点叫做格点， A， B是网格中的两个格点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图：（1）如图，请在网格中找出格点 P， Q，连结 AP， BQ，使得 AP BQ，并且满足 ；（2）如图，请在线 段 AB 上找出点 P，使得 21 （10 分）如图，Rt ABC 中， ACB90，以 AC 为直径作 O， D 为 O 上一点，连接AD、 BD、 CD， OB，且 BD AB（1）求证： OB CD；（2）若 D 为弧 AC 的中点，求 tan BDC22 （10
8、分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2+bx+3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B 和点 C（3，0） ，且图象过 D（2，3） ，连结 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点，过点P 作 y 轴平行线分别交抛物线和 x 轴于点 E， F，连结 AE，过点 F 作 FG AE 交 AD 的延长线于点 G（1）求抛物线的解析式；（2）若 tanG ，求点 E 的坐标；（3）当 AFG 是直角三角形时，求 DG 的长度23 （12 分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）餐桌 a 270餐椅 a110 7
9、0500 元已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同（1）求表中 a 的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张 餐桌和餐椅的进价都上涨了 10 元，但销售价格保持不变商场购进了餐桌和餐椅共 200 张，应怎样安排成套销售的销售量（至少 10 套以上） ，使得实际全部售出后，最大利润与（2）中相同？请求出进货方案和销售方案24 （14 分
10、）已知点 P 为 MAN 边 AM 上一动点， P 切 AN 于点 C，与 AM 交于点 D（点 D 在点 P 的右侧） ，作 DF AN 于 F，交 O 于点 E（1）连接 PE，求证： PC 平分 APE；（2）若 DE2 EF，求 A 的度数；（3）点 B 为射线 AN 上一点，且 AB8，射线 BD 交 P 于点 Q，sin A 在 P 点运动过程中，是否存在某个位置，使得 DQE 为等腰三角形？若存在，求出此时 AP 的长；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题1在 ，3， 这四个数中，最小的数是（ ）A B C3 D【分析】先估算出 的值，再根据实数比较大小的法则进行比较即可【解答
11、 】解：| | | | ， ，则 3 ，故最小的数是： 故选： D【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键2如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（ ）A B C D【分析】找到从左面看所得到的图 形即可，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中【解答】解：从物体左面看，左边 2 列，右边是 1 列故选： A【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项3计算 3x2+2x2的结果（ ）A5 B5 x2 C5 x4 D6 x2【分析】根据合并同类项法则进行计算即可得解【解答】解：3 x2+2x2
12、，（3+2） x2，5 x2故选： B【点评】本题主要考查合并同类项的法则即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变4七一华源中学读书兴趣小组有 10 名成员，他们每星期课外阅读的时间情况如表根据表中信息，求出该兴趣小组成员每个星期阅读时间的中位数和众数分别是（ ） 读书时间 4 小时 5 小时 6 小时 7 小时人数 1 3 4 2A3、4 B5、6 C6、6 D4、4【分析】根据中位数和众数的概念分别进行求解即可【解答】解：把这些数从小到大排列为：4，5，5，5，6，6，6，6，7，7，最中间两个数的平均数是： 6 小时，则该兴趣小组成员每个星期阅读时间的中位数是 6 小时，6 小时出现了
13、4 次，出现的次数最多，该兴趣小组成员每个星期阅读时间的众数是 6 小时；故选： C【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数5在 Rt ABC 中， C90， AC3， BC4，tan B（ ）A B C D【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可【解答】解：如图所示：在 Rt ABC 中， C90， AC3， BC4，tan B 故选： A【点评】此题主要考查了锐
14、角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键6不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】先求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出来，其公共部分即为不等式组的解集【解答】解：由（1）得， x1，由（2）得， x2，故原不等式组的解集为：1 x2故选： D【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“” ， “”要用实心圆点表示；“” ， “”要用空心圆点表示7从长度分别为 1、3、5、7 的四条线段中任选三条作边，能构成
15、三角形的概率为（ ）A B C D【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7 共 4 种，其中构成三角形的有 3，5，7 共 1 种，则 P（构成三角形） 故选： C【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比8已知，如图等边三角形 ABC 中， D， E 分别为 AB， BC 边上的点，且 AD BE， AE 与 CD 交于点 F AG CD 于 G，则 的值是（ ）A ：2 B ：3
16、C ：2 D1：2【分析】首先证明 CAD ABE，得出 ACD BAE，证明 AFG60即可解决问题【解答】解：在 CAD 与 ABE 中，AC AB， CAD ABE60， AD BE， CAD ABE ACD BAE BAE+ CAE60， ACD+ CAE60 AFG ACD+ CAE60在直角 AFG 中，sin AFG ， 故选： A【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质、三角形的外角的性质，特殊角的三角函数值及三角函数的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题9如图，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 AB、 CD 的中点， EG AF，
17、 FH CE，垂足分别为G， H，设 AG x，图中阴影部分面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ）A y3 x2 B y4 x2 C y8 x2 D y9 x2【分析】设正方形的边长为 a，易证四边形 AFCE 是平行四边形，所以四边形 EHFG 是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用 x 表示出 EG，从而可求出 y 与 x 之间的关系式；【解答】解：设正方形的边长为 2a， BC2 a， BE a， E、 F 分别是 AB、 CD 的中点， AE CF， AE CF，四边形 AFCE 是平行四边形， AF CE， EG AF， FH CE，四边形 EHFG 是矩形， AEG+
18、BEC BCE+ BEC90， AEG BCE，tan AEGtan BCE， ， EG2 x，由勾股定理可知： AE x， AB BC2 x， CE5 x，易证： AEG CFH， AG CH， EH EC CH4 x， y EGEH8 x2，故选： C【点评】本题考查矩形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，属于中等题型10如图，在直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（1，1） ， B（1，1） ，C（1，1） ， D（1，1） 曲线 AA1A2A3叫做“正方形的渐开线” ，其中AA1、 A1A2
19、、 A2A3、 A3A4的圆心依次是 B、 C、 D、 A 循环，则点 A18的坐标是（ ）A （35，1） B （37，1） C （39，1） D （37，1）【分析】先分别求出 A1的坐标是（1，3） ， A2的坐标是（5，1） ， A3的坐标是（1，7） ， A4的坐标是（9，1） ，从中找出规律，依规律计算即可【解答】解：从图中可以看出 A1的坐标是（1，3）A2的坐标是（5，1）A3的坐标是（1，7）A4的坐标是（9，1）18442点 A18的坐标是 A2的坐标循环后的点依次循环则 A18的坐标在 y 轴上的是 1，x 轴上的坐标是可以用 n（1+2 n） （ n 为自然数）表示那么
20、 A18实际上是当 n18 时的数，所以（1+218）37A18的坐标是（37，1） ，故选： B【点评】本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键二、填空题（本题有 6 题，每小题 5 分，共 30 分）11因式分解： x26 x+9 （ x3） 2 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可【解答】解： x26 x+9（ x3） 2【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键12已知圆锥的底面半径是 3cm，母线长是 5cm，则圆锥的侧面积为 15 cm2 （结果保留 ）【分析】圆锥的侧面积底
21、面周长母线长2【解答】解：底面圆的半径为 3cm，则底面周长6 c，侧面面积 6515 cm2【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解13甲超市为了促销一种单价为 m 元的商品，在四月份连续两次都降价 20%后，该商品现单价是 0.64 m 元【分析】先求出第一次降价后的价格，在第一次降价的基础上再求出第二次降价后的价格即可【解答】解：由题意，可得第一次降价后的价格为（120%） m 元，则第二次降价后的价格为（120%）（120%） m0.64 m 元，故答案为 0.64m【点评】本题考查了列代数式，理解第二次降价是把第一次降价后的价格当作单位“1”14如图，把菱形 ABCD 沿折痕
22、 AH 翻折，使 B 点落在 BC 延长线上的点 E 处，连结 DE，若 B30，则 CDE 45 【分析】由菱形性质可知 BAD150，由折叠 AB AE AD， BAE120，则 DAE30，由等腰三角形性质，可求 ADE 从而求 CDE【解答】解：由折叠， BA EA B30 BAC120四边形 ABCD 为菱形 BAD150 EAD30 AD AB AE ADE75 ADC B30 CDE45故答案为：45【点评】本题为图形折叠问题，考查了菱形性质和图形折叠的相关性质，解答时注意数形结合15如图，在 OAB 中， AO AB， S AOB36，反比例函数 y （ x0）的图象与 OA
23、交于点 C，点 D 是函数 y （ x0）的图象一点，且 CD x 轴，若 ADC90，则 k 的值是 12 【分析】过点 C 作 CE x 轴于点 E，延长 AD，交 x 轴于点 F，连接 OD，由等腰三角形的性质可得出 S AOF S AOB18，利用反比例函数系数 k 的几何意义可得出 SOCE2、 S ODF k，再利用相似三角形的判定与性质可得出 ，即可得出 ，进而即可求出 k 值，此题得解【解答】解：过点 C 作 CE x 轴于点 E，延长 AD，交 x 轴于点 F，连接 OD，如图所示 AO AB， CD x 轴， ADC90， AF OB， S AOF S AOB18反比例函数
24、 y （ x0）的图象与 OA 交于点 C，点 D 是函数 y （ x0）的图象一点， S OCE2， S ODF k， CE x 轴， AF x 轴， CD x 轴， OCE OAF，（ ） 2 DF CE， ， k12故答案为：12【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出 S OCE的值是解题的关键16如图 1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图 2，是其衣架侧面示意图 MN 为衣架的墙体固定端， A 为固定支点， B 为滑动支点，四边形 DFGI 和四边形 EIJH 是菱形，且AF BF CH DF EH点 B 在
25、 AN 上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点 A 和点 C 间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为 42cm当点 B 向点 A 移动 8cm 时，外延长度为 90cm如图 3，当外延长度为 120cm 时，则 BD 和 GE 的间距 PQ 长为 cm【分析】三节段式伸缩晾衣架，相当于三个菱形构成，前半个和后半个组成一个整体，中间共有两个本题需用到菱形的性质和勾股定理，根据横向对角线的长度等先计算出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式容易求出结果【解答】解：如图，作 FK AB 于 K，设 AB2 x cm，由题意， FK7 cm，当AB（2 x8
26、） cm 时， FK15 cm则有 AF2 x2+72（ x4） 2+152， x24（ cm） ， AF 25（ cm） ，如图，当 OF20 时，在 Rt DFO 中， OD 12（ cm） ， PQ GI， FIDG DFPQ， PQ （ cm） 故答案为： 【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17 （10 分） （1）计算： +（ ） 1 + cos30（2）化简：（ x+2） （ x2）（ x4） 2【分析】 （1）首先
27、计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可（2）应用平方差公式和完全平方公式化简即可【解答】解：（1） +（ ） 1 + cos3042+ 2+1.53.5（2） （ x+2） （ x2）（ x4） 2 x24 x2+8x168 x20【点评】此题主要考查了平方差公式的应用，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用18 （8 分）如图， ABC 为直角三角形， B
28、90， AC 边上取一点 D，使 CD AB， 分别过点 C 作 CE BC，过 D 作 DE AC， CE， DE 相交于 E连结 AE（1）求证： ABC CDE；（2）若 AED20， ACE 的度数【分析】 （1）根据同角的余角相等求出 BAC DCE，再利用“角边角”证明 ABC 和 CDE 全等；（2）根据直角三角形两锐角互余求出 DAE，根据全等三角形对应边相等可得 AC CE，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解【解答】 （1）证明： B90， BAC+ ACB90， CE BC， DCE+ ACB90， BAC DCE， DE AC， CDE90， B CDE，在 AB
29、C 和 CDE 中， ， ABC CDE（ ASA） ；（2）解： DE AC， ADE90， DAE90 AED902070， ABC CDE， AC CE， ACE1802 CAE18070240【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键19 （8 分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门） 对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学
30、生共有 50 人，在扇形统计图中， m 的值是 30% ；（2）将条形统计图补充完整；（3）在被调查的学生中，选修书法的有 2 名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取 2 名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和 1 名女同学的概率【分析】 （1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中 m的值；（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率【解答】解：（1）2040%50（人） ，155030%；故答案为：50；30%；（2）5020%10
31、（人） ，5010%5（人） ，如图所示：（3）523（名） ，选修书法的 5 名同学中，有 3 名男同学，2 名女同学，男 1 男 2 男 3 女 1 女 2男 1 男 2 男 1 男 3 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1男 2 （男 1 男 2） 男 3 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2男 3 （男 1 男 3） 男 2 男 3 女 1 男 3 女 2 男 3女 1 （男 1，女1）男 2 女 1 男 3 女 1 女 2 女 1女 2 （男 1 女 2） 男 2 女 2 男 3 女 2 女 1 女 2 所有等可能的情况有 20 种，其中抽取的 2 名同学恰好是 1 名男同学和
32、1 名女同学的情况有 12 种，则 P（一男一女） 【点评】此题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键20 （8 分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，小正方形的顶点叫做格点， A， B是网格中的两个格点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图：（1）如图，请在网格中找出格点 P， Q，连结 AP， BQ，使得 AP BQ，并且满足 ；（2）如图，请在线段 AB 上找出点 P，使得 【分析】 （1）线段 PA， BQ 如图所示（答案不唯一） （2）取格点 E， F，连接 EF 交 ABY 点 P，点 P 即为所求【解答】解：（1）线段 PA， BQ
33、 如图所示（答案不唯一） （2）取格点 E， F，连接 EF 交 ABY 点 P，点 P 即为所求【点评】本题考查作图应用与设计，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型21 （10 分）如图，Rt ABC 中， ACB90，以 AC 为直径作 O， D 为 O 上一点，连接AD、 BD、 CD， OB，且 BD AB（1）求证： OB CD；（2）若 D 为弧 AC 的中点，求 tan BDC【分析】 （1）连结 OD，延长 BO 交 AD 于点 E，先证明 ABO DBO，得 ABO DBO，由 AC 是 O 的直径， 得 A
34、DC90，则 AEB ADC，根据同位角相等得出两直线平行， 即 OB CD；（2）由 D 为弧 AC 的中点，得 DOC DOA90，则 AD CD，即可证明， OB CD，四边形 ODCB 平行四边形，设 OE x，则 DE x，求得 OD， CD， BE，根据 BDC DBE 得出答案【解答】解：（1）证明：连结 OD，延长 BO 交 AD 于点 E AO OD， AB BD， OB OB ABO DBO ABO DBO AEB90 AC 是 O 的直径 ADC90 AEB ADC OB CD；（2） D 为弧 AC 的中点 DOC DOA90， DCO DAO45， AD CD ACB
35、90 OD BC OB CD四边形 ODCB 平行四边形， OB CD， BDC DBE，设 OE x，则 DE x， OD x， CD2 x BE x+2x3 xtan BDCtan DBE 【点评】本题考查了圆周角定理以及弧、弦、圆心角的关系，解直角三角形，掌握圆周角定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键22 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2+bx+3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B 和点 C（3，0） ，且图象过 D（2，3） ，连结 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点，过点P 作 y 轴平行线分别交抛物线和 x 轴于点 E， F，连结 AE，过点
36、 F 作 FG AE 交 AD 的延长线于点 G（1）求抛物线的解析式；（2）若 tanG ，求点 E 的坐标；（3）当 AFG 是直角三角形时，求 DG 的长度【分析】 （1） C、 D 两点代入求出抛物线解析式；（2）等角的三角函数关系也相等， G EAP，所以根据比例关系建立方程求解即可；（3）直角三角形存在类问题，由题意可以只存在以点 F 为直角顶点的情况，所以根据相似关系建立方程，求出 PG，可得 DG【解答】解：（1）将 C（3，0） ， D（2，3）代入得，解得抛物线解析式为 y x2+2x+3（2）设点 F（ m，0）则 P（ m，3） E（ m， m2+2m+3） FG AE
37、 G EAPAP m， EP m2+2m在 Rt AEP 中tan EAP m E（ ， ）（3）若 AFG 为直角三角形，则 PAF+ PGF90设点 F（ m，0） ，则 P（ m，3） E（ m， m2+2m+3） AE FG EAP G EAP+ FAP90 APE FPA 则 ，解得 m 或 0（舍去） 则 ，解得 PG6 DG PG PD6 【点评】此题为直角三角形与二次函数的存在性问题，题目比较常见，考查了三角函数，直角三角形，解题时注意以直角端点为标准分类讨论，并根据三角函数比例关系建立方程，是解题的关键23 （12 分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销 售，有关信息如表
38、：原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套）餐桌 a 270餐椅 a110 70500 元已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同（1）求表中 a 的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了 10 元，但销售价格保持不变商场购进了餐桌和餐椅共 200 张，应怎样安排成套销售的销售量（至少 10 套以上）
39、 ，使得实际全部售出后，最大利润与（2）中相同？请求出进货方案和销售方案【分析】 （1）根据用 600 元购进的餐桌数量用 160 元购进的餐椅数量列方程求解可得；（2）设购进的餐桌为 x 张，则餐椅为（5 x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过 200张求出 x 的范围，再设利润为为 w 元，列出利润关于 x 的函数解析式，利用一次函数性质求解可得；（3）设成套销售 n 套，零售桌子 y 张，零售椅子 z 张，由题意得出，由 n、 y、 z 均为整数求解可得【解答】解：（1）根据题意，得： ，解得： a150，经检验 a150 符合实际且有意义；（2）设购进的餐桌为 x 张，则餐椅为（5
40、x+20）张，x+5x+20200，解得： x30，设利润为为 w 元，则：w50 x+270 x+70（5 x+202 x）150 x40（5 x+20）245 x+600，当 x30 时， w 最大值7950；（3）设成套销售 n 套，零售桌子 y 张，零售椅子 z 张，由题意得： ，化简得： ，4 n+9y395，则 y 43+ ， ， ， ， 【点评】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系和不等关系，并据此列出方程和不等式24 （14 分）已知点 P 为 MAN 边 AM 上一动点， P 切 AN 于点 C，与 AM 交于点 D（点 D
41、 在点 P 的右侧） ，作 DF AN 于 F，交 O 于点 E（1）连接 PE，求证： PC 平分 APE；（2）若 DE2 EF，求 A 的度数；（3）点 B 为射线 AN 上一点，且 AB8，射线 BD 交 P 于点 Q，sin A 在 P 点运动过程中，是否存在某个位置，使得 DQE 为等腰三角形？若存在，求出此时 AP 的长；若不存在，请说明理由【分析】 （1） AN 切 O 于点 C，则 PC AN， DF AN，即PC DF， APC PDE， EPC PED，可推出 APC EPC，即 PC 平分 APE（2） PD PE，则 DH HE EF HF PC PD，sin DPH
42、 ，则 DPH30，根据 PH AF，则 PAC DPH30（3）分三种情况讨论， DQ QE、 DE QE、 DQ DE【解答】解：（1）证明： AN 切 O 于点 C， PC AN， DF AN， PC DF， APC PDE， EPC PED， PD PE， PED PDE， APC EPC，即 PC 平分 APE（2）如图 1 所示，作 PH DE 于 H PD PE， DH HE EF HF PC PD，sin DPH ， DPH30， PH AF， PAC DPH30（3）当 DQ QE 时，如图 2 所示，连接 PQ，可证得 PQ AB， PDQ DQP DBA， AD AB8，
43、设 PC r， AP3 r，则 AD4 r，4r8， r2， AP3 r6当 DE QE 时，如图 3 所示，记 P 与 AD 的另一交点为 K，连接 KE，则 QDE EQD DKE DAF，在 Rt ADF 中， DF AD r，AF2 DF r，在 Rt DBF 中， BF DF r，AB AF BF r8，r ， AP3 r 当 DQ DE 时，如图 4，连接 QK，连接 QE 交 AD 于 I，作 QG KE 于点 G，则 GQE IKE A，在 Rt QGE 中，设 GE2 x，则 QE3 GE6 x， IE3 x，QG2 GE4 x，则 KG KE EG7 x，tan QKG ， BDF QKE，tan BDFtan QKE， BF DF rAB AF+BF r+ r8，r ，AP3 r 综上所述： AP 的长为 6 或 或 【点评】此题考查了圆的性质及与圆有关的计算，根据已知条件添加适当的辅助线为解题关键
