1、题型三 几何应用题类型一 以三角形为背景1. 如图是景德镇市白鹭大桥，此桥为独斜塔无背索斜拉桥，是高度科学性和艺术性的完美结合如图是主桥段 ANNOOB 的一部分，其中 NO 部分是一段水平路段，西侧 AN 是落差高度约为 1.2米的小斜坡(图中 AH1.2 米) ，斜塔 MN 与水平线夹角为 58，为了测量斜塔，如图，小敏在桥底河堤西岸上取点 P 处并测得点 A 与塔顶 M 的仰角分别为 45与 76，已知 PQ24.4 米(点 Q 为 M 在桥底的投影，且点 M、A、Q 在同一条直线上)(1)斜塔 MN 的顶部点 M 距离水平线的高度 MH 为多少？(2)斜塔 MN 的长度约为多少？( 精
2、确到 0.1 米)(参考数据：sin760.97，cos760.24，tan764.0，sin580.85，cos580.53，tan581.6)第 1 题图解：(1) 依题意可知 PQ24.4，APQ45，MPQ 76，AQ 24.4，MQ PQtan76 24.4497.6 m，AMMQAQ24.4 373.2 m，MHAMAH73.2 1.272 m，即斜塔 MN 的顶部点 M 距离水平线的高度 MH 为 72 m；(2)MN 84.7 m，MHsin58即斜塔 MN 的长度约为 84.7 m.2. 如图所示旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，图中四边形 ABCD 为形如矩形的旅行箱一侧
3、的示意图，F 为 AD 的中点，EFCD ，现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端靠在墙上点D 处，点 O 为墙角，图为箱子打开后的示意图，若箱子厚度AD 30 cm，宽度 AB50 cm.(1)图 中， EC 的长为多少？当点 D 与点 O 重合时，求 AO 的长；(2)若 CDO60，求 AO 的长(结果取整数值)(参考数据：sin600.87，cos600.5，tan60 1.73)3第 2 题图解：(1) EFABCD，DFAF，ECEB BC AD15 cm ，12 12当点 D 与点 O 重合时，ABBO 50 cm，AO 5050100 cm；第 2 题解图(2)如解图，过点
4、C 作 OA 的平行线，分别交 BE 和 OD 于点 H，G，EBOA，ODOA，HGHCCGOB ，ECD90，ECH60，又CD 50 cm，EC15 cm，HC ECcos60 EC7.5 cm，12CG CDsin60500.8743.5 cm，AO ABOBABHCCG101 cm，即 AO 的长约为 101 cm.3. 如图，小华家阳台上放置了一个有 6 级踏板的人字梯，如图是人字梯的侧面示意图，梯梁 AB 与 CD 相交于点 C，现将人字梯完全稳固张开，B，D 两点立于水平地面，从下至上，HK 是第 1 级，EF 是第 6 级，每级踏板均与水平地面平行，相邻两级踏板间的距离相等，
5、最上面的踏板 EF 恰好横于 AB，CD 之间，经测量：AB2 m，CD 1.75 m，EF0.2 m，ACCEEGHBCF0.25 m (1)求人字梯完全稳固张开时，梯子下端 B，D 间的距离；(2)小华家天花板距离地面 3 m，小华静止站立时伸直手臂摸到的最大高度为 2 m，那么，小华要摸到天花板，至少要站在人字梯的第几级踏板上？(参考数据：sin66.40.92，cos66.40.40，tan23.60.44)第 3 题图解：(1) 由题意得 CE CF0.25，CBAB ACCD1.75 m ， 1，ECF BCD，CECF CBCDECFBCD， ，即 ，CECB EFBD 0.25
6、1.75 0.2BDBD 1.4 m，人字梯完全稳固张开时，梯子下端 B、D 间的距离为 1.4 m；第 3 题解图(2)如解图，过点 C 作 CMBD 于点 M，由(1)中 ECFBCD 得CEFCBD，BD 1.4 m ，BM BD0.7 m，12cos CEFcosCBD 0.4，BMCB 0.71.75CEF66.4；设小华摸到天花板至少要站在人字梯的第 x 级踏板上，得0.25xsin66.423，x4.35，x 取整数，且 5x 6，x 可取 5， 6.小华要摸到天花板，至少要站在人字梯的第 5 级踏板上4. 如图，某利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯的灯杆顶端装有风力发电机，
7、中间装有太阳能板，下端装有路灯该系统工作过程中某一时刻的截面图如图，已知太阳能板的支架 BC 垂直于灯杆 OF，路灯顶端 E 距离地面 6 米，DE1.8 米，CDE60，且根据我市的地理位置设定太阳能板 AB 的倾斜角为 43，AB1.5米，CD 1 米为保证长为 1 米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，叶片与太阳能板顶端 A 的最近距离不少于 0.5 米，求灯杆 OF 至少要多高？(参考数据：sin430.6820，cos430.7314，tan430.9325，结果精确到 0.01 米)第 4 题图解：如解图，过点 E 作 EG地面于点 G，过点 D 作 DHEG 于点 H，第 4 题解图
8、DF HG ，在 RtABC 中，AC ABsinABC 1.5sin43 1.50.68201.023 米，CDE60，EDH30，EH DE0.9 米，12DF GH EG EH60.95.1 米，由题意得，OA1.5，OF OAACCDDF1.51.02315.18.6238.62 米答：灯杆 OF 至少要 8.62 米高5. 夏季为了防晒，居民常常在户外修建防晒棚，如图，从房子顶部伸出的防晒棚与墙面的夹角为 60，房子的高 AB 为 3 米(1)如图 ，防晒棚伸出的长度 AC 为 2 米，太阳光线 DC 与地面的夹角为 60，问太阳光是否会照进大门内，若不会，则求出光线 DC差多远会照
9、射到墙脚 B 点处？(2)如图 ，太阳光线 DC 与地面的夹角为 30时，太阳光线 DC 恰好照进大门内 1 米处，求此时防晒棚 AC 应为多长(注：AB 为房子的高度也是大门所在的位置)第 5 题图解：(1) 如解图 ，过点 C 作 CFBE 于点 F，CHAB 于点 H，在 RtAHC 中，HAC60，则 AH1 米，CF HB312 米，BFHC 米，22 12 3在 RtCEF 中，EF 米，BE 米CFtan60 233 3 233 33答：光线 DC 差 米会照射到墙角 B 点处；33(2)设 AC x 米，则BFCH x 米，EF(1 x)米32 32在 RtAHC 中，AH x
10、 米，12CFBH (3 x)米，12在 RtEFC 中， tan30，CFEF即 ，3 12x1 32x 33解得 x(3 )米33答：防晒棚 AC 应为(3 )米33第 5 题解图类型二 以特殊四边形为背景6. 如图所示的是一种置于桌面上的简易台灯，将其结构简化成图，灯杆 AB 与 CD 交于点 O(点 O 固定) ，灯罩连杆 CE 始终保持与AB 平行，灯罩下方 FG 处于水平位置，测得 OC20 cm，COB 70 ，F40，EF EG，点 G 到 OB 的距离为 12 cm.(1)求 CEG 的度数； (2)求灯罩的宽度 FG 的长(结果精确到 0.1 cm.参考数据：sin400.
11、643，cos400.766，sin700.940，cos70 0.342)第 6 题图解：(1) EFEG ，F40，G40，FEG 180FG 100，灯罩连杆 CE 始终保持与 AB 平行，灯罩下方 FG 处于水平位置，CEGCEF 130；360 FEG2第 6 题解图(2)如解图，延长 FG 交 AB 于点 N，过点 C 作 CMAB 于点 M，延长 CE 交 FG 于点 H，如解图所示，CEAB，FG 处于水平位置，CMAB ，四边形 CHNM 为矩形，CHFG，CMNH.在 RtOMC 中，OC 20 cm，COM70，OMC 90，CMOCsinCOM200.94018.8 c
12、m，GN 12 cm，HNCM，HGCMGN6.8 cm ，EFEG，CHFG ，FH HG FG，12FG 26.813.6 cm.答：灯罩的宽度 FG 长为 13.6 cm.7. 现有一张宽为 12 cm 的练习纸，相邻两条格线间的距离均为 0.8 cm.调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上(如图)，测得32.(1)求矩形卡通图案的长和宽；(2)若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印(如图) ，最多能印几个完整的矩形卡通图案？(参考数据：sin320.5，cos320.8，tan32 0.6)第 7 题图解：(1) 在 RtBCE 中，sin
13、，CEBCBC 1.6 cm，CEsin 0.80.5在矩形 ABCD 中，BCD90，BCEFCD90 ，在 RtBCE 中，EBCBCE90，FCD32，在 RtFCD 中，cos FCD ，FCCDCD 2 cm，FCcos32 1.60.8矩形卡通图案的长和宽分别为2 cm 和 1.6 cm；(2)在 RtADH 中，DAH 32 ，cos DAH ，ADAHAH 2 cm ，ADcos32 1.60.8在 RtCGH 中，GCH 32 ，tanGCH ，GHCGGHCGtan320.8 0.60.48 cm，设能印 x 个完整的矩形卡通图案，根据题意得 2x0.48 12，解得 x5
14、.76，最多能印 5 个完整的矩形卡通图案类型三 以圆为背景8. 图是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切将这个游戏抽象为数学问题，如图，已知铁环的半径为 25 cm，设铁环中心为点 O，铁环钩与铁环相切点为点 M，铁环与地面接触点为点 A，MOA，且sin .35第 8 题图(1)求点 M 离地面 AC 的高度 BM；(2)设人站立点 C 与点 A 的水平距离 AC55 cm，求铁环钩 MF 的长度解：(1) 如解图，过点 M 作 MDOA 交 OA 于点 D，第 8 题解图在 RtODM 中，sin ，DMOM35DM15 cm ，OD20 cm
15、，AD BM5 cm ；(2)如解图，延长 DM 交 CF 于点 E，易得：FMEAOM，MEAC DM 551540 cm ，cos ，MEMF 45MF50 cm，铁环钩 MF 的长为 50 cm.9. 某市在一次检查中发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，政府现准备制作一批新的公交车候车亭，设计师画了两幅侧面示意图，AB、FG 均为水平线段， CDAB ，PQFG，E，H 为垂足，且AEFH，AB FG 2 m，图中 tanA ，tanB ，图点 P 在25 35上，且 所在圆的圆心点 O 到 FG，PQ 的距离之比为 52.FG FG (1)求图 中的 CE 长；(2)求图 中的 PH
16、长第 9 题图解：(1) tanA ，tanB ，CEAE 25 CEBE 35CE AE，CE BE，25 35 AE BE，25 35又ABAEBE2 m，AE1.2 m，CE1.2 0.48 m；25第 9 题解图(2)如解图，过点 O 作 FG 的垂线，垂足为点 M，过点 O 作 PQ 的垂线，垂足为点 N，则 FM1，MHON1.210.2 m ，点 O 到 FG，PQ 的距离之比为 52，OMNH0.5 m，连接 OF 和 OP，在 RtOFM 中，OF OP，12 0.5252在 RtOPN 中，PN 1.1 m，OP2 ON2PH PNHN1.10.50.6 m.10. 如图是
17、一个创意半圆桌柜实物图，图是其正面示意图，桌柜的上部是一个半圆，桌面 AB 是半圆的直径，隔层 CD 是半圆的弦，柜脚 EG、FH 所在的直线经过圆心，EG FH ，且 AB、CD 均平行于水平地面 GH，测得 AB100 cm，CD11. 80 cm.(1)隔层 CD 上能竖直放入高度为32 cm 的酒瓶吗？请说明理由；(2)若半圆桌柜的底部 长度为 15 cm，柜脚 EG 长为 20 cm，求柜EF 脚支点 G，H 之间的距离(精确到 0.1 cm，参考数据：sin270.454，cos270.891)第 10 题图解：(1) 不能竖直放入高度为 32 cm 的酒瓶；理由如下：如解图，延长
18、 GE，HF 交 AB 于点 O，点 O 即为圆心，过点 O 作 OMGH ，垂足为 M，交 CD 于点 N.第 10 题解图OA OB AB 10050 cm，即O 的半径为 50 cm，12 12CD GH ，OM CD，CN DN CD 8040 cm ，12 12在 RtOCN 中，ON OC2 CN2 502 40230 cm，3230，不能竖直放入高度为 32 cm 的酒瓶；(2)半圆桌柜的底部 长度为 15 cm，半圆的半径为 50 cm，EF l 15，EF 50n180n54，即EOF 54，OE OF，EGFH，OGOH502070 cm，OMGH，GOM EOF 5427，GM MH GH，12 12 12在 RtOMG 中，GMOGsinGOM 70sin27700.45431.78 cm ，GH2GM231.7863.5663.6 cm，即柜脚支点 G，H 之间的距离约为 63.6 cm.
