1、2019 年山东省菏泽市郓城县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置）1（3 分）点 A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是 a，b，下列结论错误的是（ ）A|b| 2|a| B12a12b Cab2 Da2b2（3 分）2018 年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶国内生产总值从 54 万亿元增加到 82.7 万亿元，稳居世界第二.82.7 万亿用科学记数法表示为（ ）A0.82710 14 B82.710 12 C8.271
2、0 13 D8.2710 143（3 分）如图，直线 ab，直线 c 分别交 a，b 于点 A，C，BAC 的平分线交直线 b于点 D，若150，则 2 的度数是（ ）A50 B70 C80 D1104（3 分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A B C D5（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m20 有两个实数根， m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为（ ）A6 B5 C4 D36（3 分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 上的点，若BOC40，则D 的度数为（ ）A100 B110 C120 D1307（3
3、 分）一般地，当 、 为任意角时，sin （+ ）与 sin（）的值可以用下面的公式求得：sin（+ ）sin cos+cossin；sin（ ）sincoscos sin例如sin90sin（60+30） sin60cos30+cos60sin30 1 类似地，可以求得 sin15的值是（ ）A B C D8（3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 ybx +a 与反比例函数 在同一坐标系内的图象可能是（ ）A BC D二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）9（3 分）不等式组 的所有整数解
4、的积为 10（3 分）已知 aba+b+1，则（a1）（b1） 11（3 分）一个正多边形的内角和为 720，则这个正多边形的每一个内角等于 12（3 分）汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 13（3 分）如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EFBC，且 EF 与 AB 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，3AE 2EB，连接 DF若 SAEF 1，则 SADF 的值为 14（3 分）如图，一段抛物线：yx（x 2）（0x 2）
5、，记为 C1，它与 x 轴交于点O，A 1；将 C1 绕点 A1 旋转 180得 C2，交 x 轴于点 A2；将 C2 绕点 A2 旋转 180得C3，交 x 轴于点 A3；，如此进行下去，直至得 C2019若 P（4037，a）在第 2019 段抛物线 C2019 上，则 a 三、解答题（本题共 78 分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内）15（6 分）计算：3 2+（ ） 1 | 7| cos4516（6 分）先化简，再求值：（ y） （x2y）（x+y），其中x1，y217（6 分）如图，ABCD，且 ABCDE、F 是 AD 上两点，CEAD ，BFAD若CEa，BF b ，EF
6、 c ，则 AD 的长为多少？18（6 分）从一幢建筑大楼的两个观察点 A，B 观察地面的花坛（点 C），测得俯角分别为 15和 60，如图，直线 AB 与地面垂直，AB50 米，试求出点 B 到点 C 的距离（结果保留根号）19（7 分）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院 1200m 和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是 3：4，结果小明比小刚提前 4min 到达剧院求两人的速度20（7 分）如图，一次函数 ykx+b（k、b 为常数，k 0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，且与反比例函数 y （n 为常数，且 n0）的图象在第
7、二象限交于点CCDx 轴，垂足为 D，若 OB2OA 3OD12（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为 E，求CDE 的面积；（3）直接写出不等式 kx+b 的解集21（10 分）如图，在ABC 中，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D，DACB（1）求证：AC 是O 的切线；（2）点 E 是 AB 上一点，若BCEB，tanB ， O 的半径是 4，求 EC 的长22（10 分）某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为 A、B、C、D、E、F）六门选修学科中任选三门，现对该校某班
8、选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统计，并制作了两幅不完整的统计图请根据以上信息，完成下列问题：（1）该班共有学生 人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学、历史两科的概率23（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 是 BC 边上的高，点 F 是 DE 的中点，AB 与 AG 关于 AE 对称，AE 与 AF 关于 AG 对称（1）求证：AEF 是等边三角形；（2）若 AB2，求AFD 的面积24（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
9、将抛物线 yx 2 的对称轴绕着点P（0， 2）顺时针旋转 45后与该抛物线交于 A、B 两点，点 Q 是该抛物线上一点（1）求直线 AB 的函数表达式；（2）如图 ，若点 Q 在直线 AB 的下方，求点 Q 到直线 AB 的距离的最大值；（3）如图 ，若点 Q 在 y 轴左侧，且点 T（0，t ）（t2）是射线 PO 上一点，当以P、B、Q 为顶点的三角形与PAT 相似时，求所有满足条件的 t 的值2019 年山东省菏泽市郓城县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正
10、确的选项涂在答题卡的相应位置）1（3 分）点 A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是 a，b，下列结论错误的是（ ）A|b| 2|a| B12a12b Cab2 Da2b【分析】根据图示可以得到 a、b 的取值范围，结合绝对值的含义推知|b| 、|a|的数量关系【解答】解：A、如图所示，|b| 2|a|，故本选项不符合题意；B、如图所示，ab，则 2a2b，由不等式的性质知 12a12b，故本选项不符合题意；C、如图所示，a2b2 ，则a2b，故本选项符合题意；D、如图所示，a2b 2 且|a|2，|b| 2则 a2b，故本选项不符合题意；故选：C【点评】此题考查了绝对值意义，比较
11、两个负数大小的方法，有理数的运算，解本题的关键是掌握有理数的运算2（3 分）2018 年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶国内生产总值从 54 万亿元增加到 82.7 万亿元，稳居世界第二.82.7 万亿用科学记数法表示为（ ）A0.82710 14 B82.710 12 C8.2710 13 D8.2710 14【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：82.7 万亿
12、8.2710 13，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）如图，直线 ab，直线 c 分别交 a，b 于点 A，C，BAC 的平分线交直线 b于点 D，若150，则 2 的度数是（ ）A50 B70 C80 D110【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出BADCAD50，进而得出答案【解答】解：BAC 的平分线交直线 b 于点 D，BADCAD，直线 ab，150，BADCAD50，2180505080故选：C【点评】此题主要考查了平行线的性质
13、，正确得出BADCAD50是解题关键4（3 分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）A B C D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图5（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m20 有两个实数根， m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为（ ）A6 B5 C4 D3【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出 m3，由 m 为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出 m 的值
14、，将其相加即可得出结论【解答】解：a1，b2，cm 2，关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m20 有实数根b 24ac2 24（m 2）124m 0，m3m 为正整数，且该方程的根都是整数，m2 或 32+35故选：B【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的整数解，牢记“当0 时，方程有实数根”是解题的关键6（3 分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 上的点，若BOC40，则D 的度数为（ ）A100 B110 C120 D130【分析】根据互补得出AOC 的度数，再利用圆周角定理解答即可【解答】解：BOC40，AOC18040140，D ，故选：B【点
15、评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出AOC 的度数7（3 分）一般地，当 、 为任意角时，sin （+ ）与 sin（）的值可以用下面的公式求得：sin（+ ）sin cos+cossin；sin（ ）sincoscos sin例如sin90sin（60+30） sin60cos30+cos60sin30 1 类似地，可以求得 sin15的值是（ ）A B C D【分析】根据题意给出公式即可求出答案【解答】解：sin15sin（4530）sin45cos30cos45sin30 ，故选：A【点评】本题考查实数运算，解题的关键是熟练运用特殊角锐角三角函数的值，本题属于基础题型8（3 分）已
16、知二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 ybx +a 与反比例函数 在同一坐标系内的图象可能是（ ）A BC D【分析】根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出 a、b 的正负情况，再根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系，判断出两图象的大致情况即可得解【解答】解：二次函数图象开口向下，a0，对称轴 x 0，b0，一次函数 ybx +a 过第二三四象限，反比例函数 y 位于第二四象限，只有 B 选项符合题意故选：B【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出 a、b 的符号情况是解题的关键二、填空题（本大题共 6
17、个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）9（3 分）不等式组 的所有整数解的积为 0 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的 x 的所有整数解相乘即可求解【解答】解： ，解不等式 得： x ，解不等式 得： x50，不等式组的整数解为1，0，150，所以所有整数解的积为 0，故答案为：0【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了10（3 分）已知 aba+b+1，则（a1）（b1） 2 【分析】将 a
18、ba+b+1 代入原式abab+1 合并即可得【解答】解：当 aba+b+1 时，原式abab+1a+b+1ab+12，故答案为：2【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用11（3 分）一个正多边形的内角和为 720，则这个正多边形的每一个内角等于 120 【分析】根据正多边形的内角和定义（n2）180，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角【解答】解：（n2）180720，n24，n6则这个正多边形的每一个内角为 7206120【点评】解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n2）18012（3 分）汉代数学家赵爽
19、在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比【解答】解：设两直角边分别是 2x，3x，则斜边即大正方形的边长为 x，小正方形边长为 x，所以 S 大正方形 13x 2，S 小正方形 x 2，S 阴影 12x 2，则针尖落在阴影区域的概率为 故答案为： 【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比13（3 分）如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，
20、EFBC，且 EF 与 AB 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，3AE 2EB，连接 DF若 SAEF 1，则 SADF 的值为 【分析】由 3AE2EB 可设 AE2a、BE3a，根据 EFBC 得 （ ） 2，结合 SAEF 1 知 SADC S ABC ，再由 知 ，继而根据 SADF SADC 可得答案【解答】解：3AE2EB ，可设 AE2a、BE 3a，EFBC，AEF ABC， （ ） 2（ ） 2 ，S AEF 1，S ABC ，四边形 ABCD 是平行四边形，S ADC S ABC ，EFBC， ， ，S ADF SADC ，故答案为： 【点评】本题主要考查相似三角形的判
21、定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质14（3 分）如图，一段抛物线：yx（x 2）（0x 2），记为 C1，它与 x 轴交于点O，A 1；将 C1 绕点 A1 旋转 180得 C2，交 x 轴于点 A2；将 C2 绕点 A2 旋转 180得C3，交 x 轴于点 A3；，如此进行下去，直至得 C2019若 P（4037，a）在第 2019 段抛物线 C2019 上，则 a 1 【分析】求出抛物线 C1 与 x 轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在 x 轴下方，然后求出到抛物线 C15 平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线 C
22、2019的解析式，然后把点 P 的坐标代入计算即可得解【解答】解：令 y0，则x（x 2）0，解得 x10，x 22，A 1（2，0），由图可知，抛物线 C2018 在 x 轴下方，相当于抛物线 C1 向右平移 410094036 个单位得到 C2018，再将 C2018 绕点 A2018 旋转180得 C2019，抛物线 C2019 解析式为 y（x4036）（x4038），P（4037，a）在第 2019 段抛物线 C2019 上，a（40374036）（50374038）1故答案为：1【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点坐标，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减
23、，上加下减三、解答题（本题共 78 分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内）15（6 分）计算：3 2+（ ） 1 | 7| cos45【分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简求出答案【解答】解：原式9+2（74 ） 14+4 14+3 【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键16（6 分）先化简，再求值：（ y） （x2y）（x+y），其中x1，y 2【分析】原式利用分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将 x、y 的值代入计算可得【解答】解：原式（ ） （x 2+xy2xy2y 2） （x+y）x
24、2+xy+2y2xyx 2+xy+2y2x 2+2y2，当 x1、y2 时，原式（1） 2+2221+87【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则17（6 分）如图，ABCD，且 ABCDE、F 是 AD 上两点，CEAD ，BFAD若CEa，BFb ，EF c，则 AD 的长为多少？【分析】由余角的性质可得AC，由“AAS ”可证ABFCDE，可得AFCEa，BFDEb，可得 AD 的长【解答】解：ABCD，CEAD ，BFAD，AFB CED90，A+D90，C +D90，AC，ABCD，AC，CEDAFB 90ABF CDE（AAS）AFCEa，
25、 BFDEb，EFc，ADAF+DFa+（bc ） a+bc【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键18（6 分）从一幢建筑大楼的两个观察点 A，B 观察地面的花坛（点 C），测得俯角分别为 15和 60，如图，直线 AB 与地面垂直，AB50 米，试求出点 B 到点 C 的距离（结果保留根号）【分析】作 ADBC 于点 D，根据正切的定义求出 BD，根据正弦的定义求出 AD，根据等腰直角三角形的性质求出 CD，计算即可【解答】解：作 ADBC 于点 D，MBC60，ABC30，ABAN，BAN90，BAC105，则ACB45，在 Rt ADB 中，AB
26、50，则 AD25，BD25 ，在 Rt ADC 中， AD25，CD25，则 BC25+25 答：观察点 B 到花坛 C 的距离为（ 25+25 ）米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键19（7 分）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院 1200m 和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是 3：4，结果小明比小刚提前 4min 到达剧院求两人的速度【分析】设小明的速度为 3x 米/ 分，则小刚的速度为 4x 米/分，根据时间路程速度结合小明比小刚提前 4min 到达剧院，即可得出
27、关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：设小明的速度为 3x 米/ 分，则小刚的速度为 4x 米/分，根据题意得： 4，解得：x25，经检验，x25 是分式方程的根，且符合题意，3x75，4x100答：小明的速度是 75 米/分，小刚的速度是 100 米/ 分【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键20（7 分）如图，一次函数 ykx+b（k、b 为常数，k 0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，且与反比例函数 y （n 为常数，且 n0）的图象在第二象限交于点CCDx 轴，垂足为 D，若 OB2OA 3OD12（1）求一次函数
28、与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为 E，求CDE 的面积；（3）直接写出不等式 kx+b 的解集【分析】（1）根据三角形相似，可求出点 C 坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系【解答】解：（1）由已知，OA6，OB 12，OD4CDx 轴OBCDABOACDCD20点 C 坐标为（4，20）nxy80反比例函数解析式为：y把点 A（6，0），B（0，12）代入 ykx+b 得：解得：一次函数解析式为：y2x+12（2）当 2x+12 时，解得x110，x 24当 x10 时，y8
29、点 E 坐标为（10，8）S CDE S CDA +SEDA （3）不等式 kx+b ，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象由图象得，x10，或4x0【点评】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式21（10 分）如图，在ABC 中，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D，DACB（1）求证：AC 是O 的切线；（2）点 E 是 AB 上一点，若BCEB，tanB ， O 的半径是 4，求 EC 的长【分析】（1）欲证明 AC 是切线，只要证明 ABAC 即可；（2）设 ECEBx，在 Rt AEC 中，利用勾股定理构建方程即可
30、解决问题；【解答】（1）证明：AB 是直径，ADB90，B+BAD90，DACB，DAC+BAD90，BAC90，BAAC，AC 是O 的切线（2）解：BCEB，ECEB，设 ECEB x ，在 Rt ABC 中，tanB ，AB8，AC4，在 Rt AEC 中，EC 2AE 2+AC2，x 2（8x） 2+42，解得 x5，CE5【点评】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题22（10 分）某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为 A、B、C
31、、D、E、F）六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统计，并制作了两幅不完整的统计图请根据以上信息，完成下列问题：（1）该班共有学生 50 人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学、历史两科的概率【分析】（1）根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数，再利用概率公式计算可得【解答】解：（1）该班学生总数
32、为 1020%50 人；（2）历史学科的人数为 50（5+10+15+6+6）8 人，补全图形如下：（3）列表如下：化学 生物 政治 历史 地理化学 生物、化学 政治、化学 历史、化学 地理、化学生物 化学、生物 政治、生物 历史、生物 地理、生物政治 化学、政治 生物、政治 历史、政治 地理、政治历史 化学、历史 生物、历史 政治、历史 地理、历史地理 化学、地理 生物、地理 政治、地理 历史、地理由表可知，共有 20 种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有 2 种结果，所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可
33、能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率23（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 是 BC 边上的高，点 F 是 DE 的中点，AB 与 AG 关于 AE 对称， AE 与 AF 关于 AG 对称（1）求证：AEF 是等边三角形；（2）若 AB2，求AFD 的面积【分析】（1）先根据轴对称性质及 BCAD 证ADE 为直角三角形，由 F 是 AD 中点知 AFEF，再结合 AE 与 AF 关于 AG 对称知 AEAF，即可得证；（2）由AEF 是等边三角形且 AB 与 AG 关于 AE 对称、 AE 与 AF 关于 A
34、G 对称知EAG30，据此由 AB2 知 AEAFDF 、AH ，从而得出答案【解答】解：（1）AE 是 BC 边上的高，AEBC，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AEAD ，即DAE90，点 F 是 DE 的中点，即 AF 是 RtADE 的中线，AFEFDF，AE 与 AF 关于 AG 对称，AEAF，则 AEAFEF，AEF 是等边三角形；（2）记 AG、EF 交点为 H，AEF 是等边三角形，且 AE 与 AF 关于 AG 对称，EAG30，AG EF，AB 与 AG 关于 AE 对称，BAE GAE30，AEB90，AB2，BE1、DF AFAE ，则 EH AE 、AH
35、，S ADF 【点评】本题主要考查含 30角的直角三角形，解题的关键是掌握直角三角形有关的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质及平行四边形的性质等知识点24（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 yx 2 的对称轴绕着点P（0， 2）顺时针旋转 45后与该抛物线交于 A、B 两点，点 Q 是该抛物线上一点（1）求直线 AB 的函数表达式；（2）如图 ，若点 Q 在直线 AB 的下方，求点 Q 到直线 AB 的距离的最大值；（3）如图 ，若点 Q 在 y 轴左侧，且点 T（0，t ）（t2）是射线 PO 上一点，当以P、B、Q 为顶点的三角形与PAT 相似时，求所有满足条
36、件的 t 的值【分析】（1）根据题意易得点 M、P 的坐标，利用待定系数法来求直线 AB 的解析式；（2）如图 ，过点 Q 作 x 轴的垂线 QC，交 AB 于点 C，再过点 Q 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，构建等腰直角QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：PBQ 中必有一个内角为 45；需要分类讨论：PBQ45和PQB 45；然后对这两种情况下的PAT 是否是直角三角形分别进行解答另外，以 P、B、Q 为顶点的三角形与PAT 相似也有两种情况：QPBPAT、QBP PAT【解答】解：（1）如图，设直线 AB 与 x 轴
37、的交点为 MOPA45，OM OP2 ，即 M（2，0）设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0），将 M（2，0），P（0，2）两点坐标代入，得，解得 故直线 AB 的解析式为 yx +2；（2）如图 ，过点 Q 作 x 轴的垂线 QC，交 AB 于点 C，再过点 Q 作直线 AB 的垂线，垂足为 D，根据条件可知QDC 为等腰直角三角形，则 QD QC设 Q（m，m 2），则 C（m， m+2）QCm+2m 2（m ） 2+ ，QD QC （m ） 2+ 故当 m 时，点 Q 到直线 AB 的距离最大，最大值为 ；（3）APT45，PBQ 中必有一个内角为 45，由图知，BPQ45不合题
38、意如图 ，若 PBQ 45，过点 B 作 x 轴的平行线，与抛物线和 y 轴分别交于点Q、F此时满足PBQ45Q（2，4），F（0，4 ），此时BPQ是等腰直角三角形，由题意知PAT 也是等腰直角三角形（i）当PTA90时，得到：PTAT 1，此时 t1；（ii）当PAT90时，得到：PT 2，此时 t0如图 ，若 PQB 45， 中是情况之一，答案同上；先以点 F 为圆心，FB 为半径作圆，则 P、B、Q 都在圆 F 上，设圆 F 与 y 轴左侧的抛物线交于另一点 Q则PQB PQB45 （同弧所对的圆周角相等），即这里的交点 Q也是符合要求设 Q（n，n 2）（2n 0），由 FQ2，得n
39、2+（4n 2） 22 2，即 n47n 2+120解得 n23 或 n24，而2n0，故 n ，即 Q （ ，3）可证PFQ为等边三角形，所以PFQ60，又 PQPQ ，所以PBQ PFQ 30则在PQB 中，PQ B 45，PBQ 30（i）若QPBPAT，则过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为 E则 ET AE ，OE 1，所以 OT 1，解得 t1 ；（ii）若QBPPAT，则过点 T 作直线 AB 垂线，垂足为 G设 TGa，则 PGTG a，AG TG a，AP ， a+a ，解得 PT a 1，OTOPPT3 ，t3 综上所述，所求的 t 的值为 t1 或 t0 或 t1 或 t3 【点评】本题考查了二次函数综合题其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值的求法以及相似三角形的判定与性质，难度比较大另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏
