1、2019 年四川省成都市双流区中考数学一模试卷一、选择题：（每小题 3 分，共 30 分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求1（3 分）在3，1，2，4 这四个数中，最小的数是（ ）A3 B1 C2 D42（3 分）如图，在平行线 l1，l 2 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点 A，B 分别在直线 l1，l 2 上，若1 55，则2 的度数是（ ）A25 B30 C35 D403（3 分）下列运算中，正确的是（ ）A（x 2） 3x 5 Bx 3x3x 6C3x 2+2x35 x5 D（x+y） 2x 2+y24（3 分）3 月 30 日，我区航空经济产业功能区 2019 年
2、一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目用地举行参加此次集中开工仪式项目共计 71 个，总投资超过 249 亿元，未来随着这一波又一波项目的建成投产，必将为双流航空经济插上腾飞之翼，助力双流打造中国航空经济之都用科学记数法表示 249 亿元为（ ）A24910 8 元 B24.910 9 元C2.4910 10 元 D0.249 1011 元5（3 分）如图所示的工件，其俯视图是（ ）A B C D6（3 分）下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x3 的是（ ）Ay By Cy Dy 7（3 分）在某学校“国学经典诵读”比赛中，有 11 名同学参加某项比赛，预赛成绩各不相同，要取前
3、 5 名参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这 11 名同学成绩的（ ）A中位数 B平均数 C众数 D方差8（3 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ACB 的平分线分别交AB， BD 于 M，N 两点若 AM4 ，则线段 ON 的长为（ ）A2 B C2 D29（3 分）将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得到的抛物线为（ ）Ay3（x2） 2+4 By3（x2） 22Cy 3（x +2） 2+4 Dy3（ x+2） 2210（3 分）如图，ABCD 中，B70，BC6，以 A
4、D 为直径的O 交 CD 于点 E，则 的长为（ ）A B C D 二、填空题：（每小题 4 分，共 l6 分）11（4 分） 的相反数是 12（4 分）如图，在ABC 中，ABAC 以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点 D，连结 BD若A44，则CDB 的度数是 13（4 分）若关于 x 的分式方程 1 的解为正数，那么字母 a 的取值范围是 14（4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，ABOB ，点E，F 分别是 OA，OD 的中点，连接 EF，过点 E 作 EMBC 于点 M，EM 交 BD 于点N若 BC4，CEF45，
5、则线段 FN 的长为 三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 54 分）15（12 分）（1）计算：（ ） 1 | 2|3tan30+（ +） 0；（2）解不等式组： 16（6 分）先化简，再求值：（ + ） ，其中 x2+ 17（8 分）如图，在大楼 AB 正前方有一长为 20 米的斜坡 CD，坡角DCE30，小明在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60，在斜坡上的 D 处测得楼顶 B 的仰角为45，其中点 A，C，E 在同一直线上根据以上的测量数据，请求出大楼 AB 的高度（结果保留整数，参考数据： 1.414， 1.732）18（8 分）一个不透明的口袋中装有 4 个分别标有数字
6、1，2，3，4 的小球，它们的形状、大小完全相同小明先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为 x，小亮在剩下的3 个小球中随机摸出一个小球记下数字为 y（1）求小明摸出标有数字为正数的小球的概率；（2）请用列表法或画树状图的方法表示出由 x，y 确定的点 P（x，y ）所有可能的结果，并求出点 P（x ，y ）落在第三象限的概率19（10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y x+3 的图象与反比例函数 y（x 0，k 是常数）的图象交于 A（a，2），B（4， b）两点（1）求反比例函数的表达式；（2）点 C 是第一象限内一点，连接 AC，BC，使 ACx 轴，BCy 轴，连接OA，OB若
7、点 P 在 y 轴上，且OPA 的面积与四边形 OACB 的面积相等，求点 P 的坐标20（10 分）如图，在 Rt ABC 中，ACB90，以斜边 AB 为直径作 O，以直角边AC 为底边向右侧作等腰ACD，使 ABAD CD，连接 OD 交 AC 于点 E（1）求证：ODBC；（2）若 tanABC2，求证：DA 与 O 相切；（3）在（2）条件下，连接 BD 交于O 于点 F，连接 EF，若 BC2，求 EF 的长四、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）21（4 分）已知正实数 a，b 满足 a22，b 33比较大小：a b（填“”、“”或“”）22（4 分）已知 x1，x 2 是一
8、元二次方程 x23x20 的两实数根，则 +的值是 23（4 分）已知 ai0（i1，2，2019），且满足+ + 1971，则直线 ya ix+i（i1，2，2019）经过一、二、四象限的概率为 24（4 分）如图，一次函数 ykx+4 的图象与反比例函数 y （x0，m0）的图象交于 A，B 两点，与 x 轴，y 轴分别交于 C，D 两点，点 E 为线段 AB 的中点，点P（2， 0）是 x 轴上一点，连接 EP若COD 的面积是AOB 的面积的 倍，且AB 2PE，则 m 的值为 25（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，点 E 是 AB 边上一动点，连接CE，过点 B
9、作 BGCE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，连接 PD，PG，则 PD+PG的最小值为 五、解答题：（本大题共 3 个小题，共 30 分）26（8 分）某文具店出售一种文具，每个进价为 2 元，根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为 3 元时，每天能卖出 500 个，如果售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少10 个物价局规定售价不能超过进价的 240%（1）如果这种文具要实现每天 800 元的销售利润，每个文具的售价应是多少？（2）该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？27（10 分）已知，在菱形 ABCD 中，BAD120，BD 为对角线，P ，Q 两点
10、分别在AB， BD 上，且满足PCQ ABD（1）如图 1，连接 AC，过点 C 作 CKBC 交 BD 于点 K，求证：ACPKCQ ；（2）请求出线段 DQ，BP，CD 之间的等量关系式；（3）如图 2，延长 CQ 交 AD 边于点 E，交 BA 延长线于点 M，作DCE 的平分线交AD 于点 F若 ，EF ，求线段 BP 的长28（12 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A 在 x 轴的负半轴上，顶点 B在 y 轴的负半轴上，边 AC 交 y 轴的正半轴于点 E，抛物线 yax 2+bx4 经过点 B，且与直线 AB 只有一个公共点，点 D 是抛物线与 x 轴正半轴的交点已知
11、BAC90，AB AC，点 A 的坐标为（2，0），点 D 的坐标为（3，0）（1）求此抛物线的表达式；（2）若 P 是抛物线上的一点，使得锐角PBEABE，求点 P 的横坐标 xp 的取值范围；（3）将ABC 沿 BC 所在直线进行翻折，使点 A 落在点 F 处，过点 F 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，将抛物线沿其对称轴向下平移，使抛物线与线段 AM 总有两个公共点，则抛物线向下最多可平移多少个单位长度？2019 年四川省成都市双流区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 3 分，共 30 分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求1（3 分）在3，1，2，
12、4 这四个数中，最小的数是（ ）A3 B1 C2 D4【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0； 负数都小于 0； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可【解答】解：3124，在3，1，2，4 这四个数中，最小的数是3故选：A【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 正数都大于 0； 负数都小于 0；正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小2（3 分）如图，在平行线 l1，l 2 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点 A，B 分别在直线 l1，l 2 上，若1 55，则2 的度数是（ ）A25 B30 C35
13、D40【分析】依据平行线的性质，即可得到DAB+ABE180，再根据155，BAC60，ABC30，即可得到2 的度数【解答】解：如图所示，ADBE，DAB+ABE180，又155，BAC60，ABC 30，218055603035，故选：C【点评】本题考查的是平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补进行计算是解答此题的关键3（3 分）下列运算中，正确的是（ ）A（x 2） 3x 5 Bx 3x3x 6C3x 2+2x35 x5 D（x+y） 2x 2+y2【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案【解答】解：A、（x 2） 3x 6，故此选项错误；B、
14、x 3x3x 6，正确；C、3x 2+2x3，无法计算，故此选项错误；D、（x+y） 2x 2+2xy+y2，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键4（3 分）3 月 30 日，我区航空经济产业功能区 2019 年一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目用地举行参加此次集中开工仪式项目共计 71 个，总投资超过 249 亿元，未来随着这一波又一波项目的建成投产，必将为双流航空经济插上腾飞之翼，助力双流打造中国航空经济之都用科学记数法表示 249 亿元为（ ）A24910 8 元 B24.910 9 元C2.
15、4910 10 元 D0.249 1011 元【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 249 亿用科学记数法可表示为 2.491010故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5（3 分）如图所示的工件，其俯视图是（ ）A B C D【分析】根据从上边看得到的
16、图形是俯视图，可得答案【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图6（3 分）下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x3 的是（ ）Ay By Cy Dy 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于 0，分式的分母不等于 0 求出各选项的自变量 x 的取值范围，从而得解【解答】解：A、由 x30 得，x 3，故本选项错误；B、由 x30 得，x 3，故本选项正确；C、由 3x0 得，x3，故本选项错误；D、由 x+30 得，x3，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当
17、函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负7（3 分）在某学校“国学经典诵读”比赛中，有 11 名同学参加某项比赛，预赛成绩各不相同，要取前 5 名参加决赛，小明已经知道了自己的成绩，他想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这 11 名同学成绩的（ ）A中位数 B平均数 C众数 D方差【分析】由于比赛取前 5 名参加决赛，共有 11 名选手参加，根据中位数的意义分析即可【解答】解：11 个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有 5 个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否获奖了故
18、选：A【点评】本题考查了中位数意义解题的关键是正确的求出这组数据的中位数8（3 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ACB 的平分线分别交AB， BD 于 M，N 两点若 AM4 ，则线段 ON 的长为（ ）A2 B C2 D2【分析】过 M 点作 MHAC，根据等腰直角三角形的性质求出 HM 长，再根据角平分线性质可得 BM 长，由此得到正方形的边长，求出 OC 和 HC 长，根据 ONHM 得到，从而可求 ON 长【解答】解：过 M 点作 MH AC，HAM45，AHHM AM4CM 平分ACB，HMAC，MBCB ，BMHM4正方形边长 AB4+ ，正方形
19、对角线 AC4 +8，OC AC2 +4HCACAH4 +4ONHM， ，解得 ON 2 故选：C【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导出相关线段的长度9（3 分）将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得到的抛物线为（ ）Ay3（x2） 2+4 By3（x2） 22Cy 3（x +2） 2+4 Dy3（ x+2） 22【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可【解答】解：将抛物线 y3x 2+1 向左平移 2 个单位长度所得直线解析式为：y3（x+2） 2+1；再向下平移 3 个单位为：y
20、3（x+2） 2+13，即 y3（x+2） 22故选：D【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减10（3 分）如图，ABCD 中，B70，BC6，以 AD 为直径的O 交 CD 于点 E，则 的长为（ ）A B C D 【分析】连接 OE，由平行四边形的性质得出 D B 70，ADBC6，得出OAOD 3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出DOE40，再由弧长公式即可得出答案【解答】解：连接 OE，如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，DB70，ADBC 6，OAOD 3 ，ODOE ，OED D70，DOE 180 270 40， 的
21、长 ；故选：B【点评】本题考查了弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出DOE 的度数是解决问题的关键二、填空题：（每小题 4 分，共 l6 分）11（4 分） 的相反数是 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数【解答】解： 的相反数是 故答案为： 【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键12（4 分）如图，在ABC 中，ABAC 以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点 D，连结 BD若A44，则CDB 的度数是 34 【分析】利用等腰三角形的性质即可解决问题【解答】解：ABAC，A44，ACBA
22、BC （18044）68，CDCB，CDBCBD，ACBCDB+CBD，CDB34故答案为 34；【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型13（4 分）若关于 x 的分式方程 1 的解为正数，那么字母 a 的取值范围是 a1且 a2 【分析】将 a 看做已知数求出分式方程的解得到 x 的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集即可得到 a 的范围【解答】解：分式方程去分母得：2xax1，解得：xa1，根据题意得：a10 且 a110，解得：a1 且 a2故答案为：a1 且 a2【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键注意分式方程分母不等
23、于 014（4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，ABOB ，点E，F 分别是 OA，OD 的中点，连接 EF，过点 E 作 EMBC 于点 M，EM 交 BD 于点N若 BC4，CEF45，则线段 FN 的长为 【分析】连接 BE首先证明EMC，EMB 都是等腰直角三角形，再证明 ENFMNB，得到 ENMN1，由勾股定理即可得出 FN 的长【解答】解：连接 BE，如图所示：AEOE ，OFDF，EF AD，EF AD，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC4，ADBC，EF2，EFBC，EMBC，EMEF，MEF 90 ，CEF45，CEM45，BA
24、BO ，AEOE，BEAC，BEC90，BEM 45 ，EMCEMB90，MEB MBEMECMCE45，MEBMMC2，EFBM2，EFNMBN，ENF MNB，在ENFMNB 中， ，ENFMNB（AAS），ENMN1，FNBN，在 Rt EFN 中，FN 2EN 2+EF25，FN ；故答案为： 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 54 分）15（12 分）（1）计算：（ ） 1 | 2|3tan30+（ +） 0；（2）解不
25、等式组： 【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）分别解出两不等式的解集，再求其公共解【解答】解：（1）原式2（ 2 ）3 +11（2）解得： x1解得： x3不等式组的解集为：1x3【点评】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了16（6 分）先化简，再求值：（ + ） ，其中 x2+ 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式（ + ） （x2） 2 （x2） 2x2将 x2+ 代入，得 x22+ 2【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型17（8 分）如图
26、，在大楼 AB 正前方有一长为 20 米的斜坡 CD，坡角DCE30，小明在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60，在斜坡上的 D 处测得楼顶 B 的仰角为45，其中点 A，C，E 在同一直线上根据以上的测量数据，请求出大楼 AB 的高度（结果保留整数，参考数据： 1.414， 1.732）【分析】过点 D 作 DEAC 于点 E，DF AB 于点 F，设 ABx 米，根据矩形的性质得到 DFEA，DEAF，解直角三角形即可得到结论【解答】解：过点 D 作 DEAC 于点 E，DF AB 于点 F，设 ABx 米，则 DFEA，DEAF，在 Rt CDE 中， DCE 30，CD20
27、米，DE10 米，EC10 米，AF10 米，BF （x 10）米，在 Rt BCA 中，BCA 60，ABx 米，AC x 米，在 Rt BDF 中，BFD90，BDF45BFDF AEEC+AC，x1010 + x，解得 x20 +3065答：大楼 AB 的高度约为 65 米【点评】此题考查了解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键18（8 分）一个不透明的口袋中装有 4 个分别标有数字1，2，3，4 的小球，它们的形状、大小完全相同小明先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为 x，小亮在剩下的3 个小球中随机摸出一个小球记下数字为 y（1）求小明摸出标有数字为正
28、数的小球的概率；（2）请用列表法或画树状图的方法表示出由 x，y 确定的点 P（x，y ）所有可能的结果，并求出点 P（x ，y ）落在第三象限的概率【分析】（1）根据概率公式计算可得；（2）首先通过列表展示所有 12 种等可能性的结果数，再找出在第三象限的结果数，然后根据概率公式计算即可【解答】解：（1）根据题意，小明摸出标有数字为正数的小球的概率 P （2）根据题意，列表如下：小明小亮1 2 3 41 （2，1） （3，1） （4，1）2 （1，2） （3，2） （4，2）3 （1，3） （2，3） （4，3）4 （1，4） （2，4） （3，4）由列表可知，共有 12 种等可能结果，其中
29、点（2，1）和（1，2）落在第三象限，P （点 P 在第三象限） 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B的概率19（10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y x+3 的图象与反比例函数 y（x 0，k 是常数）的图象交于 A（a，2），B（4， b）两点（1）求反比例函数的表达式；（2）点 C 是第一象限内一点，连接 AC，BC，使 ACx 轴，BCy 轴，连接OA，OB若点 P 在 y 轴上，且OPA 的面积与四边形 OACB 的面积相等，求点 P 的坐
30、标【分析】（1）根据点 A（a，2），B（4，b）在一次函数 y x+3 的图象上求出a、b 的值，得出 A、B 两点的坐标，再运用待定系数法解答即可；（2）延长 CA 交 y 轴于点 E，延长 CB 交 x 轴于点 F，构建矩形 OECF，根据 S 四边形OACBS 矩形 OECFS OAE S OBF ，设点 P（0，m ），根据反比例函数的几何意义解答即可【解答】解：（1）点 A（a，2），B（4，b）在一次函数 y x+3 的图象上， a+32，b 4+3，a2，b1，点 A 的坐标为（2，2），点 B 的坐标为（4，1），又点 A（2，2）在反比例函数 y 的图象上，k224，反比例
31、函数的表达式为 y （x0）；（2）延长 CA 交 y 轴于点 E，延长 CB 交 x 轴于点 F，ACx 轴，BCy 轴，则有 CEy 轴， CFx 轴，点 C 的坐标为（4，2）四边形 OECF 为矩形，且 CE4，CF 2，S 四边形 OACBS 矩形 OECFS OAE S OBF24 22 414，设点 P 的坐标为（0，m），则 SOAP 2|m|4，m4，点 P 的坐标为（0，4）或（0，4）【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键20（10 分）如图，在 Rt A
32、BC 中，ACB90，以斜边 AB 为直径作 O，以直角边AC 为底边向右侧作等腰ACD，使 ABAD CD，连接 OD 交 AC 于点 E（1）求证：ODBC；（2）若 tanABC2，求证：DA 与 O 相切；（3）在（2）条件下，连接 BD 交于O 于点 F，连接 EF，若 BC2，求 EF 的长【分析】（1）连接 OC，证AODCOD，推出点 E 为 AC 的中点，且 DEAC ，推出 OE 是ABC 的中位线，即可推出结论；（2）设 BCa，由ABC 的正切值为 2，可推出 AC 的长，利用勾股定理求出 AB 的长，得到 AD，CD 的长，在AOD 中利用勾股定理的逆定理证出AOD
33、为直角三角形，可得出结论；（3）分别证AFDBAD，AED OAD ，推出 DFBDAD 2，ODDEAD 2，进一步证明EDFBDO ，由 BC 的长可逐步求出 AB，AD ，OD ，ED，BD ，OB 的长，最后利用相似三角形对应边的比求出 EF 的长【解答】解：（1）如图 1，连接 OC，AB 为O 的直径，AOCO，又ADCD，ODOD，AOD COD（SSS），ADECDE，即 DE 为ADC 的平分线又ACD 是等腰三角形点 E 为 AC 的中点，且 DEAC，又点 O 为 AB 的中点，OE 是ABC 的中位线，OEBC，即 ODBC；（2）在 RtABC 中，tanABC 2，
34、设 BCa，则 AC2a，ADAB a，OE 是ABC 的中位线，OE BC a，AE CE ACa，AO BO AB a，在 Rt AED 中，DE 2a，在AOD 中， AO2+AD2（ a） 2+（ a） 2 a2，OD2（OE +DE） 2（ a+2a） 2 a2，AO 2+AD2OD 2，AOD 为直角三角形，OAD 90 ，DA 与 O 相切；（3）如图 2，连接 AF，AB 为O 的直径，AFB 90，AFD90，AFDBAD，又ADFBDA ，AFDBAD， ，即 DFBDAD 2，又AEDOAD 90，ADEODA，AEDOAD， ，即 ODDEAD 2，DFBDODDE ，
35、即 ，又EDFBDO ，EDFBDO， ，EF ，BC2，ABAD 2 ，OD5， ED4，BD2 ，OB ，EF 【点评】本题考查了切线的判定定理，三角函数，勾股定理及其逆定理，三角形相似的多次运用等，本题综合性非常强，解题的关键是要牢固掌握并能灵活运用三角形相似的判定与性质四、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）21（4 分）已知正实数 a，b 满足 a22，b 33比较大小：a b（填“”、“”或“”）【分析】分别求出正实数 a，b 的 6 次方的大小，比较出两个数的 6 次方的大小关系，判断出 a、b 的大小关系即可【解答】解：a 22，b 33，a 68，b 69，a 6b 6，
36、ab故答案为：【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出两个数的 6 次方的大小关系22（4 分）已知 x1，x 2 是一元二次方程 x23x20 的两实数根，则 +的值是 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x23、x 1x22、x 123x 1+2、x 223x 2+2，将其代入 + 中即可得出结论【解答】解：x 1、x 2 是一元二次方程 x23x20 的两实数根，x 1+x23、x 1x22、x 123x 1+2、x 223x 2+2， + 故答案为： 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将代数式 +变形为 是解题
37、的关键23（4 分）已知 ai0（i1，2，2019），且满足+ + 1971，则直线 ya ix+i（i1，2，2019）经过一、二、四象限的概率为 【分析】根据 + + 1971，判断出有 24 对 1 和1 相加为 0，从而求解；【解答】解： + + 1971，2019197148，2019 个数中，其中有 24 个 1 和 24 个1 相加为 0，其它 1971 个都是 1；直线 ya ix+i（i1，2， ，2019）经过一、二、四象限，概率为 ；故答案 【点评】本题考查概率的公式，绝对值的性质，一次函数图象的特点；能够通过绝对值的式子判断有多少负数是解题的关键24（4 分）如图，一
38、次函数 ykx+4 的图象与反比例函数 y （x0，m0）的图象交于 A，B 两点，与 x 轴，y 轴分别交于 C，D 两点，点 E 为线段 AB 的中点，点P（2，0）是 x 轴上一点，连接 EP若COD 的面积是 AOB 的面积的 倍，且AB2PE，则 m 的值为 m 2 或 6 【分析】联立方程组表示出 A 和 B 点坐标，判断 ACBD，利用面积相等得到km2，连接 AP，BP，过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于点 M，过 B 作 x 轴垂线交 x 轴于点N，由点 E 为线段 AB 的中点，AB2PE，可知ABP 是直角三角形，证明 RtAMP RtPNB，利用边的关系求出 k 的值，
39、进而求出 m；【解答】解：把 ykx+4 代入 y ，得 kx+4 ，整理，得 kx2+4xm0，解得 x ，所以 B（ ，2+ ），A（ ，2 ）一次函数 ykx+4 的图象与 x 轴，y 轴分别交于 C、D 两点，D（ ，0 ），C （0，4）BD 2（ + ） 2+（2+ 0） 2（ ） 2+（2+ ） 2，AC2（ 0） 2+（2 4） 2（ ） 2+（2+ ） 2，AC 2BD 2，ACBDCOD 的面积是AOB 的面积的 倍，S COD SAOB （ SCOD 2S AOC ）， OCOD （ OCOD2 OC ），km2，B（ ，2+ ），A（ ，2 ）连接 AP，BP，过 A
40、作 x 轴垂线交 x 轴于点 M，过 B 作 x 轴垂线交 x 轴于点 N，点 E 为线段 AB 的中点，AB 2PE ，ABP 是直角三角形，RtAMPRtPNB， ， ，3k 2+4k+10，k1 或 k ，m2 或 6；故答案为 m2 或 6；【点评】本题考查反比例函数和一次函数的图象和性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质；能够熟练掌握函数的性质，利用相似三角形求 k 的值是解题的关键25（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，点 E 是 AB 边上一动点，连接CE，过点 B 作 BGCE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，连接 PD，PG，则 PD+PG的最小
41、值为 3 2 【分析】作 DC 关于 AB 的对称点 DC，以 BC 中的 O 为圆心作半圆 O，连 DO 分别交 AB 及半圆 O 于 P、G将 PD+PG 转化为 DG 找到最小值【解答】解：如图：取点 D 关于直线 AB 的对称点 D以 BC 中点 O 为圆心， OB 为半径画半圆连接 OD交 AB 于点 P，交半圆 O 于点 G，连 BG连 CG 并延长交 AB 于点 E由以上作图可知，BGEC 于 GPD+PGPD +PGDG由两点之间线段最短可知，此时 PD+PG 最小DCAB3，OC6，DO 3DGDOOG3 2，PD+ PG 的最小值为 3 2，故答案为：3 2【点评】本题考查
42、线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短五、解答题：（本大题共 3 个小题，共 30 分）26（8 分）某文具店出售一种文具，每个进价为 2 元，根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为 3 元时，每天能卖出 500 个，如果售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少10 个物价局规定售价不能超过进价的 240%（1）如果这种文具要实现每天 800 元的销售利润，每个文具的售价应是多少？（2）该如何定价，才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题依据题意根据销售利润销售量（售价进价），列出每天的销售利润 W（元）与
43、销售价 x（元/个）之间的函数关系式 W（ x2 ）（ 500 10 ），再依据函数的增减性求得最大利润【解答】解：（1）设实现每天 800 元利润的售价为 x 元/个，根据题意，得（ x2 ）（ 500 10 ）800整理得：x 210x +240，解得：x 14，x 26物价局规定，售价不能超过进价的 240%，即 2240%4.8（元）x6 不合题意，舍去，x4售价为 4 元/个，每天可获得 800 元的利润（2）设每天利润为 w 元，定价为 x 元/个，得w（ x2 ）（ 500 10 ）100x 2+1000x1600 100（ x5 ） 2+900当 x5 时 w 随 x 的增大而
44、增大，且 x4.8当 x4.8 时，w 最大w 最大 100（ 4.85 ） 2+900896当定价为 4.8 元/个时，每天利润最大，最大利润是 896 元【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题27（10 分）已知，在菱形 ABCD 中，BAD120，BD 为对角线，P ，Q 两点分别在AB， BD 上，且满足PCQ ABD（1）如图 1，连接 AC，过点 C 作 CKBC 交 BD 于点 K，求证：ACPKCQ ；（2）请求出线段 DQ，BP，CD 之间的等量关系式；（3）如图 2，延长 CQ 交 AD 边于点 E，交 BA 延长线于点 M，作DCE 的平分线交AD 于点 F若 ，EF ，求线段 BP 的长【分析】（1）根据菱形的性质得各角的度数，表示ACPACBBCP 60BCP，KCQ KCB PCQBCP 60BCP，则ACPKCQ；（2）证明APCKQC ，得 ，则 KQ AP，根据 KQ 的长列等式可得结论；（3）先证明CQD
