1、2019 年浙江省宁波市南三片中考数学一模试卷一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（4 分） 的倒数是（ ）A2019 B C D20192（4 分）宁波位于东南沿海，中国大陆海岸线中段，陆域总面积约为 9816 平方公里其中 9816 用科学记数法表示为（ ）A918.610 B91.8610 2 C9.18610 3 D0.918610 43（4 分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）A BC D4（4 分）下列计算正确的是（ ）A（a 3） 2a 5 Ba 3a5a 8 Ca 5+a2a 7 Da 6a2a 35（4 分）盒子里有 3
2、 支红色笔芯，2 支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同从中任意拿出一支笔芯，则拿出黑色笔芯的概率是（ ）A B C D6（4 分）由 6 个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）A主视图的面积最大 B左视图的面积最大C俯视图的面积最大 D三种视图的面积相等7（4 分）今年 3 月 12 日，某学校开展植树活动，某植树小组 20 名同学的年龄情况如下表：年龄（岁） 12 13 14 15 16人数 1 4 3 5 7则这 20 名同学年龄的众数和中位数分别是（ ）A15，14 B15，15 C16，14 D16，158（4 分）用半径为 8 的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆
3、锥的底面半径等于（ ）A4 B6 C16 D89（4 分）一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x210x+210 的解，则三角形的周长为（ ）A12 B16 C12 或 16 D不能确定10（4 分）如图，点 A、B、C 在O 上，若BAC45，OB2，则图中阴影部分的面积为（ ）A2 B C4 D11（4 分）如图，在反比例函数 y 的图象上有一动点 A，连结 AO 并延长交图象的另一支于点 B，在第一象限内有一点 C，满足 ACBC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y 的图象上运动，若 tanCAB3，则 k 的值为（ ）A B6 C8 D1812（4 分）如图，边
4、长为正整数的正方形 ABCD 被分成了四个小长方形且点E，F ，G，H 在同一直线上（点 F 在线段 EG 上），点 E，N，H，M 在正方形 ABCD的边上，长方形 AEFM，GNCH 的周长分别为 6 和 10则正方形 ABCD 的边长的最小值为（ ）A3 B4 C5 D不能确定二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13（4 分）比较大小：3 （填“”、“”或“”）14（4 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 15（4 分）因式分解：4x 2y 2 16（4 分）不等式组 的解集是 17（4 分）如图，把一副三角板按如图放置，ACBADB90，CAB30，DAB45，点
5、E 是 AB 的中点，连结 CE，DE，DC若 AB8，则DEC 的面积为 18（4 分）如图，O 是正方形 ABCD 边上一点，以 O 为圆心， OB 为半径画圆与 AD 交于点 E，过点 E 作 O 的切线交 CD 于 F，将DEF 沿 EF 对折，点 D 的对称点 D恰好落在O 上若 AB6，则 OB 的长为 三、解答题（本大题有 8 小题，共 78 分）19（6 分）计算：20（8 分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了 m 名学生，并将其结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图结合以上信息解答下列问题：（1）m （2）请补全上面的条形统
6、计图；（3）在图 2 中，乒乓球所对应扇形的圆心角 ；（4）已知该校共有 2100 名学生，请你估计该校约有多少名学生最喜爱足球活动21（8 分）如图 1 是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图 2 是侧面示意图，MN 是二楼楼顶，MNPQ，点 C 在 MN 上，且位于自动扶梯顶端 B 点的正上方，BCMN测得AB 10 米，在自动扶梯底端 A 处测得点 C 的仰角为 50，点 B 的仰角为 30，求二楼的层高 BC（结果保留根号）（参考数据：sin500.77， cos500.64，tan501.20）22（10 分）如图，在ABC 中，C90，AD 平分CAB，交 CB 于点 D，过点 D作
7、DE AB 于点 E（1）求证：ACDAED；（2）若B30，CD1，求 BD 的长23（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx 2+ax+b 交 x 轴于 A（1，0），B（3， 0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴相交于点 C（1）求抛物线 yx 2+ax+b 的解析式；（2）当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，求 sinOCB 的值24（10 分）从宁海县到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程与普通列车的行驶路程之和是 920 千米，而普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍（1）求普通
8、列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车的平均速度（千米/ 时）的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度25（12 分）定义：如图（1），E，F，G ，H 四点分别在四边形 ABCD 的四条边上，若四边形 EFGH 为菱形，我们称菱形 EFGH 为四边形 ABCD 的内接菱形动手操作：（1）如图（2），网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由 36 个小正方形组成一个大正方形 ABCD，点 E、F 在格点上，请在图（2）中画出四边形 ABCD 的内接菱形 EFGH；特例探索（2）如图（3），矩形 ABCD
9、，AB5，点 E 在线段 AB 上且 EB2，四边形 EFGH 是矩形 ABCD 的内接菱形，求 GC 的长度；拓展应用（3）如图（4），平行四边形 ABCD，AB5，B60，点 E 在线段 AB 上且EB2，请你在图（4）中画出平行四边形 ABCD 的内接菱形 EFGH，点 F 在边 BC 上；在的条件下，当 BF 的长最短时， BC 的长为 （请同学们注意：以上作图题用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）26（14 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的O 与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，直线 l：ykx+2（k0）与 x 轴和 y 轴分别交
10、于 P，M 两点（1）当直线与O 相切时，求出点 M 的坐标和点 P 的坐标；（2）如图 2，当点 P 在线段 OA 上时，直线 1 与O 交于 E，F 两点（点 E 在点 F 的上方）过点 F 作 FCx 轴，与O 交于另一点 C，连结 EC 交 y 轴于点 D如图 3，若点 P 与点 A 重合时，求 OD 的长并写出解答过程；如图 2，若点 P 与点 A 不重合时，OD 的长是否发生变化，若不发生变化，请求出OD 的长并写出解答过程；若发生变化，请说明理由（3）如图 4，在（2）的基础上，连结 BF，将线段 BF 绕点 B 逆时针旋转 90到 BQ，若点 Q 在 CE 的延长线时，请用等式
11、直接表示线段 FC，FQ 之间的数量关系2019 年浙江省宁波市南三片中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（4 分） 的倒数是（ ）A2019 B C D2019【分析】根据倒数的定义解答【解答】解： 的倒数是 2019故选：A【点评】考查了倒数的定义，考查了学生对概念的记忆，属于基础题2（4 分）宁波位于东南沿海，中国大陆海岸线中段，陆域总面积约为 9816 平方公里其中 9816 用科学记数法表示为（ ）A918.610 B91.8610 2 C9.18610 3 D0.918610 4【分析】科学记
12、数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：98169.18610 3，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（4 分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
13、这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案【解答】解：A、不是轴对称图形，故 A 错误；B、不是轴对称图形，故 B 错误；C、是轴对称图形，故 C 正确；D、不是轴对称图形，故 D 错误故选：C【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合4（4 分）下列计算正确的是（ ）A（a 3） 2a 5 Ba 3a5a 8 Ca 5+a2a 7 Da 6a2a 3【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解【解答】解：A、
14、（a 3） 2a 6，错误；B、a 3a5a 8，正确；C、a 5 与 a2 不是同类项，不能合并，错误；D、a 6a2a 4，错误；故选：B【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方题目比较简单，解题需细心5（4 分）盒子里有 3 支红色笔芯，2 支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同从中任意拿出一支笔芯，则拿出黑色笔芯的概率是（ ）A B C D【分析】先确定盒子里全部笔芯的总数及黑色笔芯的支数，再根据概率公式求解即可【解答】解：因为全部是 5 支笔，2 支黑色笔芯，所以从中任意拿出一支笔芯，拿出黑色笔芯的概率是 故选 C【点评】明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所
15、求情况数与总情况数之比6（4 分）由 6 个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）A主视图的面积最大 B左视图的面积最大C俯视图的面积最大 D三种视图的面积相等【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边起 2 个小正方形，主视图的面积是 5；从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为 3；从上边看第一列是 2 个小正方形，第二列是 1 个小正方形，第三列是 1 个小正方形，俯视图的面积是 4，主视图的面积最大，故 A 正确；故选：
16、A【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图7（4 分）今年 3 月 12 日，某学校开展植树活动，某植树小组 20 名同学的年龄情况如下表：年龄（岁） 12 13 14 15 16人数 1 4 3 5 7则这 20 名同学年龄的众数和中位数分别是（ ）A15，14 B15，15 C16，14 D16，15【分析】众数即为出现次数最多的数，所以从中找到出现次数最多的数即可；中位数是排序后位于中间位置的数，或中间两数的平均数【解答】解：12 岁有 1 人，13 岁有 4 人，14 岁有 3 人，15 岁有 5 人，16
17、 岁有 7 人，出现次数最多的数据是 16，同学年龄的众数为 16 岁；一共有 20 名同学，因此其中位数应是第 10 和第 11 名同学的年龄的平均数，中位数为（15+15）215，故中位数为 15故选：D【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数8（4 分）用半径为 8 的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（ ）A4 B6 C16 D8【分析】由于半圆的弧长圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为 8，底面半径82 【解答】解：由题意知：底面周长8，
18、底面半径824故选：A【点评】此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长圆锥的底面周长9（4 分）一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x210x+210 的解，则三角形的周长为（ ）A12 B16 C12 或 16 D不能确定【分析】先利用因式分解法解方程得 x13，x 27，利用三角形三边的关系得到三角形的第三边为 7，然后计算这个三角形的周长【解答】解：x 210x +210，（x3）（x7）0，x30 或 x70，所以 x13，x 27，而 3+3
19、6，所以三角形的第三边为 7，所以这个三角形的周长为 3+6+716故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了三边的关系10（4 分）如图，点 A、B、C 在O 上，若BAC45，OB2，则图中阴影部分的面积为（ ）A2 B C4 D【分析】先证得OBC 是等腰直角三角形，然后根据 S 阴影 S 扇形 OBCS OBC 即可求得【解答】解：BAC45，BOC90，OBC 是等腰直角三角形，OB2，S 阴影 S 扇形 OBCS OBC 22 222故选：A【点评】本题考查的是圆周角定理及
20、扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键11（4 分）如图，在反比例函数 y 的图象上有一动点 A，连结 AO 并延长交图象的另一支于点 B，在第一象限内有一点 C，满足 ACBC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y 的图象上运动，若 tanCAB3，则 k 的值为（ ）A B6 C8 D18【分析】连接 OC，过点 A 作 AEy 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，通过角的计算找出AOECOF，结合“AEO90，CFO90”可得出AOECOF，根据相似三角形的性质得出 ，再由 tanCAB 3，可得出CFOF18，由此即可得出结论【解答】解：连接 OC，过点 A
21、作 AEy 轴于点 E，过点 C 作 CFx 轴于点 F，如图所示由直线 AB 与反比例函数 y 的对称性可知 A、B 点关于 O 点对称，AOBO 又ACBC，COAB AOE+EOC90，EOC+COF90，AOECOF，又AEO90，CFO90，AOECOF， tanCAB 3，CF3AE，OF3OE又AEOE |2|2，CFOF|k|，k18点 C 在第一象限，k18故选：D【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出 CFOF18本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再
22、结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论12（4 分）如图，边长为正整数的正方形 ABCD 被分成了四个小长方形且点E，F ，G，H 在同一直线上（点 F 在线段 EG 上），点 E，N，H，M 在正方形 ABCD的边上，长方形 AEFM，GNCH 的周长分别为 6 和 10则正方形 ABCD 的边长的最小值为（ ）A3 B4 C5 D不能确定【分析】设 AEx ，ABy，则由长方形 AEFM，GNCH 的周长分别为 6 和 10 可表示出EF 和 HG 的长，由 EF+HGBC 即可得到正方形 ABCD 的边长的最小值【解答】解：设 AEx ，AB y，则由长方形 AEFM，GNCH 的周长
23、分别为 6 和 10 可知：EF3x，BEyx，HGxy +5，EF+HGBC，3x+xy+5y ，即 y4，正方形 ABCD 的边长的最小值为 4故选：B【点评】本题考查正方形的性质和矩形的性质，解决本题的关键在于得到关于正方形边长的不等式，难度中等二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）13（4 分）比较大小：3 （填“”、“”或“”）【分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大【解答】解：3 29， 10，3 【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等14（4 分）若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x2
24、 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可【解答】解：由题意得，2x0，解得，x2，故答案为：x2【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键15（4 分）因式分解：4x 2y 2 （2x +y）（2xy） 【分析】原式利用平方差公式分解即可【解答】解：原式（2x+y ）（2x y），故答案为：（2x+y ）（2x y）【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键16（4 分）不等式组 的解集是 2x7 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【解答】解：由得， x7，由得， x2，故原不等式组
25、的解集为2x7故答案为：2x7【点评】本题考查的是解一元一此不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了17（4 分）如图，把一副三角板按如图放置，ACBADB90，CAB30，DAB45，点 E 是 AB 的中点，连结 CE，DE，DC若 AB8，则DEC 的面积为 4 【分析】作 CFDE 交 DE 的延长线于 F，根据直角三角形斜边中线的性质得出DECEAE BE AB 4，然后根据CAB30， DAB45，得出BEC 是等边三角形，BDE 是等腰直角三角形，即可得出CEB60，DEAB，进而求得ECFCEB60，根据 30的直角三角
26、形的性质得出 CF CE2，最后根据三角形面积公式求得即可【解答】解：作 CFDE 交 DE 的延长线于 F，ACBADB90，点 E 是 AB 的中点，DECEAE BE AB4，CAB30，DAB45，BEC 是等边三角形，BDE 是等腰直角三角形，CEB60，DEAB ，CFDE，CFAB，ECFCEB60，CF CE2，S DEC DECF 424，故答案为 4【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含 30的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建含 30的直角三角形是解题的关键18（4 分）如图，O 是正方形 ABCD 边上一点，以 O 为圆心，
27、OB 为半径画圆与 AD 交于点 E，过点 E 作 O 的切线交 CD 于 F，将DEF 沿 EF 对折，点 D 的对称点 D恰好落在O 上若 AB6，则 OB 的长为 【分析】（1）由正方形的性质得到ABC90，根据切线的判定即可证得结论：（2）连接 OE、OD，作 OHED 于 H，通过证得 AEOHEO（AAS），AEEH ED2，设 OBOE x 则 AO6x ，根据勾股定理得 x22 2+（6x）2，解方程即可求得结论【解答】解：（1）正方形 ABCD，ABC90，OB 为半径，BC 是O 的切线；（2）连接 OE、OD，作 OHED 于 H，EHDH EDEDED ，EH ED，正
28、方形 ABCD，A90，AB AD6，EF 是O 的切线，OEEF，OEH +DEF90，AEO+DEF90，DEFDEF，AEOHEO，在AEO 和HEO 中AEOHEO（AAS），AEEH ED，AE AD2，设 OBOE x则 AO6x，在 Rt AOE 中，x 22 2+（6x） 2，解得：x ，OB ，故答案为 【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的性质和判定、正方形的性质、勾股定理，方程，全等三角形的判定与性质等知识；本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明三、解答题（本大题有 8 小题，共 78 分）19（6 分）计算：【分析】原式利用
29、零指数幂和负整数指数幂法则，算术平方根的概念，以及绝对值的代数意义计算即可求出值【解答】解：原式21+3+26【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20（8 分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了 m 名学生，并将其结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图结合以上信息解答下列问题：（1）m 150 （2）请补全上面的条形统计图；（3）在图 2 中，乒乓球所对应扇形的圆心角 36 ；（4）已知该校共有 2100 名学生，请你估计该校约有多少名学生最喜爱足球活动【分析】（1）根据条形图、扇形图得到数据，计算即可；（2）求出喜欢足
30、球的人数，补全上面的条形统计图；（3）根据乒乓球对应的百分比计算；（4）根据校最喜爱足球活动的人数所占的百分比计算【解答】解：（1）由条形图可知，喜欢排球的人数是 21 人，由扇形统计图可知，喜欢排球的人数所占的百分比为 14%，m2114%150（人），故答案为：150；（2）喜欢足球的人数：1502139451530（人）补全上面的条形统计图如图所示：（3）乒乓球所对应扇形的圆心角360 100%36，故答案为：36；（4）该校最喜爱足球活动的人数：210020%420（人）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键21（8 分）
31、如图 1 是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图 2 是侧面示意图，MN 是二楼楼顶，MNPQ，点 C 在 MN 上，且位于自动扶梯顶端 B 点的正上方，BCMN测得AB 10 米，在自动扶梯底端 A 处测得点 C 的仰角为 50，点 B 的仰角为 30，求二楼的层高 BC（结果保留根号）（参考数据：sin500.77， cos500.64，tan501.20）【分析】延长 CB 交 PQ 于点 D，在 RtADB 中，求出 BD，AD 的长，然后在直角CDA 中利用三角函数即可求得 CD 的长，则 BC 即可得到【解答】解：延长 CB 交 PQ 于点 DMNPQ，BCMN，BCPQ在 Rt AB
32、D 中，AB 10 米，BAD30，BD AB5（米），AD5 （米），在 Rt CDA 中， CDA90 ，CAD42，CDADtanCAD5 1.26 （米），BC（6 5）（米）【点评】本题考查仰角和坡度的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形22（10 分）如图，在ABC 中，C90，AD 平分CAB，交 CB 于点 D，过点 D作 DE AB 于点 E（1）求证：ACDAED；（2）若B30，CD1，求 BD 的长【分析】（1）根据角平分线性质求出 CDDE，根据 HL 定理求出另三角形全等即可；（2）求出DEB90，DE1，根据含 30 度角的直角三角形性质求出即可【
33、解答】（1）证明：AD 平分 CAB ，DEAB，C90，CDED，DEAC 90，在 RtACD 和 RtAED 中，RtACD RtAED（HL ）；（2）DCDE1，DEAB，DEB90，B30，BD2DE 2【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含 30 度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等23（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx 2+ax+b 交 x 轴于 A（1，0），B（3， 0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴相交于点 C（1）求抛物线 yx 2+ax+b 的解析式；（2）当点 P 是线段
34、 BC 的中点时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，求 sinOCB 的值【分析】（1）将点 A、B 代入抛物线 yx 2+ax+b，解得 a，b 可得解析式；（2）由 C 点横坐标为 0 可得 P 点横坐标，将 P 点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得 P 点坐标；（3）由 P 点的坐标可得 C 点坐标，由 B、C 的坐标，利用勾股定理可得 BC 长，利用sinOCB 可得结果【解答】解：（1）将点 A、B 代入抛物线 yx 2+ax+b 可得，解得，a4，b3，抛物线的解析式为：yx 2+4x3；（2）点 C 在 y 轴上，所以 C 点横坐标 x0，点 P 是线段 BC 的中点，
35、点 P 横坐标 xP ，点 P 在抛物线 yx 2+4x 3 上，y P 3 ，点 P 的坐标为（ ， ）；（3）点 P 的坐标为（ ， ），点 P 是线段 BC 的中点，点 C 的纵坐标为 2 0 ，点 C 的坐标为（0， ），BC ，sinOCB 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点 P 的坐标是解答此题的关键24（10 分）从宁海县到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程与普通列车的行驶路程之和是 920 千米，而普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车的平均
36、速度（千米/ 时）的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度【分析】（1）设高铁的行驶路程为 x 千米，则普通列车的行驶路程为 1.3x 千米，根据“普通列车的行驶路程+高铁的行驶路程920 千米”列出方程并解答（2）设普通列车平均速度是 x 千米/ 时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，列出分式方程，然后求解即可【解答】解：（1）设高铁的行驶路程为 x 千米，则普通列车的行驶路程为 1.3x 千米，依题意得：x+1.3x 920解得 x400所以 1.3x520（千米）答：普通列车的行驶路程是 520 千米；（2）设普通列车平
37、均速度是 x 千米/ 时，则高铁平均速度是 2.5x 千米/时，根据题意得： 3，解得：x120，经检验 x120 是原方程的解，则高铁的平均速度是 1202.5300（千米/时），答：高铁的平均速度是 300 千米/时【点评】此题考查了分式方程和一元一次方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程注意：解分式方程时要注意检验25（12 分）定义：如图（1），E，F，G ，H 四点分别在四边形 ABCD 的四条边上，若四边形 EFGH 为菱形，我们称菱形 EFGH 为四边形 ABCD 的内接菱形动手操作：（1）如图（2），网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由
38、 36 个小正方形组成一个大正方形 ABCD，点 E、F 在格点上，请在图（2）中画出四边形 ABCD 的内接菱形 EFGH；特例探索（2）如图（3），矩形 ABCD，AB5，点 E 在线段 AB 上且 EB2，四边形 EFGH 是矩形 ABCD 的内接菱形，求 GC 的长度；拓展应用（3）如图（4），平行四边形 ABCD，AB5，B60，点 E 在线段 AB 上且EB2，请你在图（4）中画出平行四边形 ABCD 的内接菱形 EFGH，点 F 在边 BC 上；在的条件下，当 BF 的长最短时， BC 的长为 1+ （请同学们注意：以上作图题用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）【分析】（1
39、）以 EF 为边，作一个菱形，使其各边长都为 ；（2）如图 2，连接 HF，证明 DHGBFE（AAS），可得 CG3；（3） 根据（ 2）中可知 CGBE2，根据对角线垂直平分作内接菱形 EFGH；如图 5，当 F 与 C 重合，则 A 与 H 重合时，此时 BF 的长最小，就是 BC 的长，根据直角三角形 30 度角的性质和勾股定理计算可得结论【解答】解：（1）如图 2 所示，菱形 EFGH 即为所求；（2）如图 2，连接 HF，四边形 ABCD 是矩形，DB90，ADBC ，ABCD5，DHF HFB，四边形 EFGH 是菱形，GHEF，GHEF ，GHF HFE，DHF GHFBFH
40、HFE，即DHGBFE，DHGBFE（AAS），DGBE2，CGCD DG523；（3） 如图 4 所示，由（2）知：DHGBFE，DGBE2，作法：作 DG2，连接 EG，再作 EG 的垂直平分线，交 AD、BC 于 H、F，得四边形EFGH 即为所求作的内接菱形 EFGH；如图 5，当 F 与 C 重合，则 A 与 H 重合时，此时 BF 的长最小，过 E 作 EPBC 于P，RtBEP 中，B 60， BE2，BP1，EP ，四边形 EFGH 是菱形，AEEC3，PF ，BFBCBP+ CF1+ ，即当 BF 的长最短时，BC 的长为 1+ 故答案为：1+ 【点评】本题是四边形的综合题，
41、主要考查新定义四边形 ABCD 的内接菱形，基本作图线段的垂直平分线，菱形，熟练掌握基本作图及平行四边形、菱形和矩形的性质是解题的关键26（14 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的O 与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，直线 l：ykx+2（k0）与 x 轴和 y 轴分别交于 P，M 两点（1）当直线与O 相切时，求出点 M 的坐标和点 P 的坐标；（2）如图 2，当点 P 在线段 OA 上时，直线 1 与O 交于 E，F 两点（点 E 在点 F 的上方）过点 F 作 FCx 轴，与O 交于另一点 C，连结 EC 交 y 轴于点 D如图 3，若点 P
42、 与点 A 重合时，求 OD 的长并写出解答过程；如图 2，若点 P 与点 A 不重合时，OD 的长是否发生变化，若不发生变化，请求出OD 的长并写出解答过程；若发生变化，请说明理由（3）如图 4，在（2）的基础上，连结 BF，将线段 BF 绕点 B 逆时针旋转 90到 BQ，若点 Q 在 CE 的延长线时，请用等式直接表示线段 FC，FQ 之间的数量关系【分析】（1）先根据题意求出 A、B、M、P 坐标（P 坐标用 k 表示），由直线与O相切，先设切点为 N，则有 ONMP 且 ON1，因此 MON 可求，故利用三角函数可求 OP 的长，即求出 P 的坐标（2） 当 P 与 A 重合时，k
43、值可求即直线 l 解析式确定，点 F 也与 P、A 重合，C 在 x轴上为（1，0）因为点 E 在直线 l 上且在O 上，可求出 E 坐标，故直线 CE 解析式可求，即求出 CE 与 y 轴交点 D要求 OD 的长即求 D 的坐标，解题思路与相同，但由于 P 与 A 不重合，直线 l 和点 E、F 坐标不确定，可先设 E、F 坐标，利用直线 l 与点在O 的关系列得方程，得到点 E、F 横坐标之间的关系用 E、F 横坐标表示的点 C、E 坐标代入求 CE 解析式，化简后即求出其与 y 轴交点纵坐标的值（3）在（2）的基础上有 D（ 0， ）可直接使用由旋转 90联想到构造三垂直全等模型，作 Q
44、R 垂直 y 轴，即能用 F 的坐标表示 QR、BR 等线段长度又由 FCQR 得相似，对应边的比相等得到用 F 坐标表示的等式利用 F 在O 上化简式子，并代入求FQ2，即能得到 FQ2 与 FC 的长度关系【解答】解：（1）半径为 1 的O 与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴分别交于 A，B 两点A（1，0），B（0，1），OAOB 1直线 l：ykx+2（k 0）中，当 x0 时，y2点 M 坐标为（0，2），OM2当 kx+20 时，解得：x点 P 坐标为（ ，0），OP设直线 l 与与O 相切于点 N，ONMP，ON1ONMONP90RtOMN 中，sin OMN OMN30RtMOP
45、 中，tan OMP 解得：k点 P 坐标为（ ，0）（2） P 与 A 重合，FC x 轴P（1，0）， 1，点 F 与 P、A 重合k2，C（ 1，0）直线 l：y 2x+2点 E 在直线 l 上，且在O 上设 E（e， 2e+2），则有 e2+（2e +2） 21解得：e 11（即为点 A，舍去），e 22e+22 +2点 E 坐标为（ ， ）设直线 CE 解析式为：y ax+b 解得：直线 CE 与 y 轴交点 D（0， ）ODOD 的长度不变设点（x，y）在O 上，则有 x2+y21求直线 l：y kx+2 与O 的交点 E、F ，即求两方程的公共解整理得：（1+k 2）x 2+4kx+30设 E（e ，ke+2），F（t，kt +2）e+t ，et FCx 轴且 C 在O 上C、F 关于 y 轴对称，即 C（t ，kt+2）设直线 CE 解析式为：y ax+be 得：aet+beket+2et 得： aet+btket+2t+得：（e +t）b2ket
