1、2019 年广东省汕头市潮阳区金灶镇中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）下列事件中，是随机事件的是（ ）A任意画一个三角形，其内角和为 180B经过有交通信号的路口，遇到红灯C太阳从东方升起D任意一个五边形的外角和等于 5402（3 分）抛物线 y（x 4） 25 的顶点坐标和开口方向分别是（ ）A（4，5），开口向上 B（4，5），开口向下C（4，5），开口向上 D（4， 5），开口向下3（3 分）下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（ ）个A4 B3 C2 D14（3 分）在ABC 中，若|cosA |+
2、（1tanB） 20，则C 的度数是（ ）A45 B60 C75 D1055（3 分）已知 是方程 x23 x+c0 的一个根，则 c 的值是（ ）A6 B6 C D26（3 分）下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（ ）A B C D7（3 分）如图，A、B 两点在双曲线 y 上，分别经过 A、B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影 1，则 S1+S2（ ）A3 B4 C5 D68（3 分）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上的两点，若 AB14，BC7则BDC 的度数是（ ）A15 B30 C45 D609（3 分）若抛物线 ykx 22x1 与 x 轴有两个不同的交点，则 k 的取值
3、范围为（ ）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk 1 且 k010（3 分）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数是（ ）A3 B4 C5 D6二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11（4 分）在一个不透明的口袋中有颜色不同的红、白两种小球，其中红球 3 只，白球n 只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为 ，则 n 12（4 分）方程（n3）x |n|1 +3x+3n0 是关于 x 的一元二次方程，n 13（4 分）已知扇形的圆心角是 120，半径为 6cm，把它围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径是 cm 14（4 分）如图，点
4、A、B、C 在O 上，点 D 是 AB 延长线上一点，CBD75，则AOC 15（4 分）计算： 16（4 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边在第一象限作正方形，点 D 恰好在双曲线上 ，则 k 值为 三、解答题（每小题 6 分，共 18 分）17（6 分）若二次函数图象的顶点坐标是（2，1），且经过点（1，2），求此二次函数的解析式18（6 分）某品牌电脑 1 月份的月销售额为 40 万元，为了扩大销售，销售商决定降价销售，3 月份调整价格后，月销售额达到 57.6 万元求 1 月份到 3 月份销售额的月平均增长率19（6
5、 分）在四张编号为 A，B，C ，D 的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C ，D 表示）；（2）我们知道，满足 a2+b2c 2 的三个正整数 a，b，c 成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率四、解答题（每小题 7 分，共 21 分）20（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，3），点 B（4，0），点C（0，1）（1）以点 C 为中心，把ABC 逆时针旋转 90，画出旋转后的图
6、形 A BC ；（2）在（1）中的条件下，点 A 经过的路径 的长为 （结果保留 ）；写出点 B的坐标为 21（7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m +3）x+m 20 有两根 ，（1）求 m 的取值范围；（2）若 +0求 m 的值22（7 分）如图，小明站在河岸上的 G 点，利用测角仪器 DG 测量小船 C 到岸边的距离，此时，测得小船 C 的俯角是FDC30，若测角仪器 DG 的高度是 2 米，BG 1 米，BG 平行于 AC 所在的直线，迎水坡 AB 的坡度 i4：3，坡高 BE8 米，求小船 C 到岸边的距离 CA 的长？（结果保留根号）五、解答题（每小题 9 分，共 2
7、7 分）23（9 分）如图，直线 yax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与双曲线y （x 0）相交于点 P，PC x 轴于点 C，且 PC2，点 A 的坐标为（2，0）（1）求双曲线的解析式；（2）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，且 QHx 轴于 H，当以点 Q、C、H 为顶点的三角形与AOB 相似时，求点 Q 的坐标24（9 分）如图，AB 是 O 的直径，点 P 是弦 AC 上一动点（不与 A，C 重合），过点P 作 PEAB，垂足为 E，射线 EP 交弧 AC 于点 F，交过点 C 的切线于点 D（1）求证：DCDP；（2）若CAB30，当 F 是弧 AC 的中
8、点时，判断以 A，O，C，F 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由25（9 分）如图，已知抛物线 yax 2+ x+4 的对称轴是直线 x3，且与 x 轴相交于A，B 两点（B 点在 A 点右侧）与 y 轴交于 C 点（1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标；（2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合），则是否存在一点 P，使PBC 的面积最大若存在，请求出PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当MN3 时，求 M 点的坐标2019 年广东省汕头市潮阳区金灶镇中考
9、数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）下列事件中，是随机事件的是（ ）A任意画一个三角形，其内角和为 180B经过有交通信号的路口，遇到红灯C太阳从东方升起D任意一个五边形的外角和等于 540【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和为 180是必然事件；B、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；C、太阳从东方升起是必然事件；D、任意一个五边形的外角和等于 540是不可能事件；故选：B【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一
10、定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件2（3 分）抛物线 y（x 4） 25 的顶点坐标和开口方向分别是（ ）A（4，5），开口向上 B（4，5），开口向下C（4，5），开口向上 D（4， 5），开口向下【分析】根据 ya（x h） 2+k，a0 时图象开口向上， a0 时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是 xh，可得答案【解答】解：由 y（x 4） 25，得开口方向向上，顶点坐标（4，5）故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，利用 ya（xh） 2+k，a0 时图象开口向上，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴
11、的右侧，y 随 x 的增大而增大；a0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是 xh，3（3 分）下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（ ）个A4 B3 C2 D1【分析】根据中心对称图形的概念判断即可【解答】解：矩形，平行四边形，菱形是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形，故选：B【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合4（3 分）在ABC 中，若|cosA |+（1tanB） 2
12、0，则C 的度数是（ ）A45 B60 C75 D105【分析】根据非负数的性质可得出 cosA 及 tanB 的值，继而可得出 A 和 B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出C 的度数【解答】解：由题意，得 cosA ，tanB1，A60，B45，C180AB180604575故选：C【点评】此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理5（3 分）已知 是方程 x23 x+c0 的一个根，则 c 的值是（ ）A6 B6 C D2【分析】把 x 代入方程 x23 x+c0，求出所得方程的解即可【解答】解
13、：把 x 代入方程 x23 x+c0 得：39+c0，解得：c6，故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是得出关于 c 的方程6（3 分）下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（ ）A B C D【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析【解答】解：A、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆；B、圆锥主视图是三角形，俯视图是圆；C、正方体的主视图与俯视图都是正方形；D、三棱柱的主视图是矩形与俯视图都是三角形；故选：C【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中7（3 分）如图，A、B 两点在双曲
14、线 y 上，分别经过 A、B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影 1，则 S1+S2（ ）A3 B4 C5 D6【分析】欲求 S1+S2，只要求出过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线 y 的系数 k，由此即可求出 S1+S2【解答】解：点 A、B 是双曲线 y 上的点，分别经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k| 4，S 1+S24+4126故选：D【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度8（3 分）如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上的两
15、点，若 AB14，BC7则BDC 的度数是（ ）A15 B30 C45 D60【分析】只要证明OCB 是等边三角形，可得CDB COB 即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OCAB14，BC 7，OBOCBC7，OCB 是等边三角形，COB60，CDB COB30，故选：B【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型9（3 分）若抛物线 ykx 22x1 与 x 轴有两个不同的交点，则 k 的取值范围为（ ）Ak1 Bk1 Ck1 且 k0 Dk 1 且 k0【分析】根据抛物线 ykx 22x1 与 x 轴有两个不同的交点，
16、得出 b24ac0，进而求出 k 的取值范围【解答】解：二次函数 ykx 22x1 的图象与 x 轴有两个交点b 24ac（2） 24k （1）4+4k 0k1抛物线 ykx 22x 1 为二次函数k0则 k 的取值范围为 k1 且 k0【点评】考查二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴交点的个数的判断10（3 分）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数是（ ）A3 B4 C5 D6【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数【解答】解：综合三视图，我们可以
17、得出，这个几何模型的底层有 3+14 个小正方体，第二有 1 个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是 4+15 个故选：C【点评】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11（4 分）在一个不透明的口袋中有颜色不同的红、白两种小球，其中红球 3 只，白球n 只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为 ，则 n 9 【分析】根据题意，由概率公式可得方程： ，解此方程即可求得答案【解答】解：根据题意得： ，解得：n9，经检验：x9 是原
18、分式方程的解故答案为：9【点评】此题考查了概率公式的应用注意概率所求情况数与总情况数之比12（4 分）方程（n3）x |n|1 +3x+3n0 是关于 x 的一元二次方程，n 3 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于 0，即可求得 n 的值【解答】解：方程（n3）x |n|1 +3x+3n0 是一元二次方程，|n |1 2，且 n30，即 n3故答案为：3【点评】本题考查了一元二次方程的定义一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（ a，b，c 是常数且 a0），特别要注意 a0 的条件这是在做题过程
19、中容易忽视的知识点13（4 分）已知扇形的圆心角是 120，半径为 6cm，把它围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径是 2 cm 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是 4，列出方程计算【解答】解：扇形的圆心角是 120，半径为 6cm，则扇形的弧长是： 4，则圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是 4，设圆锥的底面半径是 r，则 2r4，解得：r2圆锥的底面半径是 2cm【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的
20、记忆是解题的关键14（4 分）如图，点 A、B、C 在O 上，点 D 是 AB 延长线上一点，CBD75，则AOC 150 【分析】首先在优弧 AC 上取点 E，连接 AE，CE ，由圆的内接四边形的性质，可得CBDE，由圆周角定理可求得AOC 的度数【解答】解：在优弧 AC 上取点 E，连接 AE，CE ，ABC180E，ABC180CBD，CBD75，ECBD75AOC2E150，故答案为：150【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质以及圆周角定理注意准确作出辅助线是解此题的关键15（4 分）计算： 4 【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂、绝对值 4 个考点在计算时，需
21、要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式16 +4+ 1，12 +4+ 1，4 ，故答案为：4 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算16（4 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边在第一象限作正方形，点 D 恰好在双曲线上 ，则 k 值为 4 【分析】作 DEx 轴于点 E，易证OABEDA，求得 A、B 的坐标，根据全等三角形的性质可以求得 D 的坐标，从而利用待定系数法求得反
22、比例函数的解析式，即可求解【解答】解：作 DEx 轴于点 E在 y3x+3 中，令 x0，解得： y3，即 B 的坐标是（0，3）令 y0，解得：x 1，即 A 的坐标是（1，0）则 OB3，OA1BAD90，BAO+DAE 90，又Rt ABO 中，BAO+ OBA90，DAEOBA，在OAB 和EDA 中， ，OABEDA（AAS ），AEOB 3，DEOA1，故 D 的坐标是（4，1），代入 y 得：k 4，故答案为：4【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得 D 的坐标是关键三、解答题（每小题 6 分，共
23、18 分）17（6 分）若二次函数图象的顶点坐标是（2，1），且经过点（1，2），求此二次函数的解析式【分析】设二次函数为 ya（x2） 2+1，把点（1，2）代入表达式求得 a 即可【解答】解：设二次函数为 ya（x2） 2+1，把点（1，2）代入表达式，解得：a3，函数表达式为：y3（x2） 2+1即 y3x 2+12x11【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数表达式，本题用顶点式表达式较为简便18（6 分）某品牌电脑 1 月份的月销售额为 40 万元，为了扩大销售，销售商决定降价销售，3 月份调整价格后，月销售额达到 57.6 万元求 1 月份到 3 月份销售额的月平均增长率【分析】设
24、 1 月份到 3 月份销售额的月平均增长率为 x，根据该品牌电脑 1 月份及 3 月份的月销售额，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设 1 月份到 3 月份销售额的月平均增长率为 x，根据题意得：40（1+x） 257.6，解得：x 10.220% ，x 22.2（舍去）答：1 月份到 3 月份销售额的月平均增长率为 20%【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键19（6 分）在四张编号为 A，B，C ，D 的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放
25、回，再从剩下的卡片中随机抽取一张（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C ，D 表示）；（2）我们知道，满足 a2+b2c 2 的三个正整数 a，b，c 成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率【分析】（1）根据题意先画出树状图，得出共有 12 种等可能的结果数；（2）根据勾股数可判定只有 A 卡片上的三个数不是勾股数，则可从 12 种等可能的结果数中找出抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）画树状图如下：则共有 12 种等可能的结果数；（2）共有 12 种等可能的结果数，抽到的两张卡片上的数都是勾股数
26、的结果数为 6 种，抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率四、解答题（每小题 7 分，共 21 分）20（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，3），点 B（4，0），点C（0，1）（1）以点 C 为中心，把ABC 逆时针旋转 90，画出旋转后的图形 A BC ；（2）在（1）中的条件下，点 A 经过的路径 的长为 （结果保留 ）；写出点 B的坐标为 （1，3） 【分析】（1）根据旋转的定义作出点 A、B 绕点 C 逆时针旋转 90得到的
27、对应点，再顺次连接可得；（2） 根据弧长公式列式计算即可；根据（ 1）中所作图形可得【解答】解：（1）如图所示，ABC 即为所求；（2） AC 5，ACA90，点 A 经过的路径 的长为 ，故答案为： ；由图知点 B 的坐标为（1，3），故答案为：（1，3）【点评】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及弧长公式21（7 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m +3）x+m 20 有两根 ，（1）求 m 的取值范围；（2）若 +0求 m 的值【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知0，求出 m 的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出 +与 的值，代
28、入代数式进行计算即可【解答】解：（1）由题意知，（2m +3） 241m 20，解得：m ；（2）由根与系数的关系得：+（2m+3），m 2，+0，（2m+3） +m20，解得：m 11，m 13，由（1）知 m ，所以 m11 应舍去，m 的值为 3【点评】本题考查的是根与系数的关系，熟知 x1，x 2 是一元二次方程ax2+bx+c0（ a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 是解答此题的关键22（7 分）如图，小明站在河岸上的 G 点，利用测角仪器 DG 测量小船 C 到岸边的距离，此时，测得小船 C 的俯角是FDC30，若测角仪器 DG 的高度是 2 米，BG 1 米，BG 平行于
29、 AC 所在的直线，迎水坡 AB 的坡度 i4：3，坡高 BE8 米，求小船 C 到岸边的距离 CA 的长？（结果保留根号）【分析】根据坡度的概念求出 AE，根据矩形的性质求出 GH、EH，根据正切的定义出去 CH，结合图形计算，得到答案【解答】解：坡 AB 的坡度 i4：3，坡高 BE8，AE6，由题意得，四边形 BEHG 为矩形，GHBE8，EH BG2，DHDGDG+GH9，在 Rt DCH 中，tanC ，则 CH 9 ，ACCHAEEH9 8，答：小船 C 到岸边的距离 CA 的长为（9 8）米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度
30、坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键五、解答题（每小题 9 分，共 27 分）23（9 分）如图，直线 yax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与双曲线y （x 0）相交于点 P，PC x 轴于点 C，且 PC2，点 A 的坐标为（2，0）（1）求双曲线的解析式；（2）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，且 QHx 轴于 H，当以点 Q、C、H 为顶点的三角形与AOB 相似时，求点 Q 的坐标【分析】（1）把 A 坐标代入直线解析式求出 a 的值，确定出直线解析式，把 y2 代入直线解析式求出 x 的值，确定出 P 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值，即可确定出
31、双曲线解析式；（2）设 Q（a，b），代入反比例解析式得到 b ，分两种情况考虑：当 QCHBAO 时；当QCHABO 时，由相似得比例求出 a 的值，进而确定出 b 的值，即可得出 Q 坐标【解答】解：（1）把 A（2，0）代入 yax +1 中，求得 a ，y x+1，由 PC2，把 y2 代入 y x+1 中，得 x2，即 P（2 ，2），把 P 代入 y 得：k 4，则双曲线解析式为 y ；（2）设 Q（m，n），Q（m，n）在 y 上，n ，当QCHBAO 时，可得 ，即 ，2m4mn，即 m22，解得：m4，Q（4，1）；当QCHABO 时，可得 ，即 ，整理得：2a4 ，解得：a
32、1+ 或 a1 （舍），Q（1+ ，2 2）综上，Q（4，1）或 Q（1+ ，2 2）【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键24（9 分）如图，AB 是 O 的直径，点 P 是弦 AC 上一动点（不与 A，C 重合），过点P 作 PEAB，垂足为 E，射线 EP 交弧 AC 于点 F，交过点 C 的切线于点 D（1）求证：DCDP；（2）若CAB30，当 F 是弧 AC 的中点时，判断以 A，O，C，F 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由【分析】（1）连接 BC，OC，如
33、图，利用切线的性质得OCD90，即OCA+ACD90，然后证明DPCACD 得到 DPDC；（2）先证明OBC 为等边三角形得到AOC120，连接 OF，AF，再利用 F 是弧AC 的中点得到AOF COF60，则AOF 与COF 均为等边三角形，从而得到AFAO OC CF，于是可判断四边形 OACF 为菱形【解答】（1）证明：连接 BC，OC，如图，CD 为切线，OCCD ，OCD90，即OCA+ACD90，OAOC，OACA，DEAB，A+APE 90，而APE DPC，A+DPC90，DPCACD，DPDC；（2）解：以 A，O，C，F 为顶点的四边形是菱形理由如下：AB 是O 的直径
34、，ACB90，CAB30，B60，OBC 为等边三角形，AOC120，连接 OF，AF，F 是弧 AC 的中点，AOFCOF60，AOF 与COF 均为等边三角形，AFAO OCCF，四边形 OACF 为菱形【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和垂径定理25（9 分）如图，已知抛物线 yax 2+ x+4 的对称轴是直线 x3，且与 x 轴相交于A，B 两点（B 点在 A 点右侧）与 y 轴交于 C 点（1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标；（2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个
35、动点（不与 B、C 重合），则是否存在一点 P，使PBC 的面积最大若存在，请求出PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当MN3 时，求 M 点的坐标【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线 x3，利用二次函数的性质即可求出 a 值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点 A、B 的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，由点 B、C 的坐标，利用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式，假设存在，设点 P 的坐标为（x， x2+ x+4），过点 P 作
36、 PDy 轴，交直线 BC 于点 D，则点 D 的坐标为（x， x+4），PD x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出 SPBC 关于 x 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）设点 M 的坐标为（m， m2+ m+4），则点 N 的坐标为（ m， m+4），进而可得出 MN| m2+2m|，结合 MN3 即可得出关于 m 的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）抛物线 yax 2+ x+4 的对称轴是直线 x3， 3，解得：a ，抛物线的解析式为 y x2+ x+4当 y0 时， x2+ x+40，解得：x 12，x 28，点 A 的坐标为（2，
37、0），点 B 的坐标为（8，0）（2）当 x0 时，y x2+ x+44，点 C 的坐标为（0，4）设直线 BC 的解析式为 ykx +b（k 0）将 B（8，0）、C（0，4）代入 ykx+ b，解得： ，直线 BC 的解析式为 y x+4假设存在，设点 P 的坐标为（x， x2+ x+4），过点 P 作 PDy 轴，交直线 BC 于点 D，则点 D 的坐标为（x ， x+4），如图所示PD x2+ x+4（ x+4） x2+2x，S PBC PDOB 8（ x2+2x）x 2+8x（x 4） 2+1610，当 x4 时，PBC 的面积最大，最大面积是 160x8，存在点 P，使PBC 的面
38、积最大，最大面积是 16（3）设点 M 的坐标为（m， m2+ m+4），则点 N 的坐标为（ m， m+4），MN| m2+ m+4（ m+4）| m2+2m|又MN3，| m2+2m|3当 0m8 时，有 m2+2m30，解得：m 12，m 26，点 M 的坐标为（2，6）或（ 6，4）；当 m0 或 m8 时，有 m2+2m+30，解得：m 342 ，m 44+2 ，点 M 的坐标为（42 ， 1）或（4+2 ， 1）综上所述：M 点的坐标为（4 2 ， 1）、（2，6）、（6，4）或（4+2 ，1）【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出 a 的值；（2）根据三角形的面积公式找出 SPBC 关于 x 的函数关系式；（ 3）根据 MN 的长度，找出关于 m 的含绝对值符号的一元二次方程
