1、第 1 页，共 19 页江苏省金坛市 2019 届九年级上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）1. 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2+=0 3+22=1 (+1)(2)=0+2=22. 已知一元二次方程 x2+kx-3=0 有一个根为 1，则 k 的值为（ ）A. B. 2 C. D. 42 43. 下列对一元二次方程 x2+x-3=0 根的情况的判断，正确的是（ ）A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根4. 某企业 2018 年初获利润 300 万元，到 2020 年
2、初计划利润达到 507 万元设这两年的年利润平均增长率为 x应列方程是（ ）A. B. 300(1+)=507 300(1+)2=507C. D. 300(1+)+300(1+)2=507300+300(1+)+300(1+)2=5075. 如图，点 A，B，C 均在O 上，若A=66，则OCB 的度数是（ ）A. 24B. 28C. 33D. 486. 如图，AB、AC、BD 是O 的切线，切点分别是P、C、D若 AB=5，AC=3，则 BD 的长是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 17. 如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是 上的点，若BOC=40，则 D 的度
3、数为（ ）A. B. C. D. 100 110 120 1308. 在平面直角坐标系中，以点（3，-4）为圆心，r 为半径的圆与坐标轴有且只有 3个公共点，则 r 的值是（ ）A. 3 B. 4 C. 3 或 4 D. 4 或 5第 2 页，共 19 页二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）9. 方程 x2-x=0 的解是_10. 关于 x 的一元二次方程 x2+4x-k=0 有实数根，则 k 的取值范围是_11. 若一元二次方程 x2+x-2=0 的解为 x1、x 2，则 x1x2 的值是_12. 小明用一根长 30cm 的铁丝围成一个斜边长为 13cm 的直角三角形，则直角
4、三角形的面积是_cm 213. 如果正数 a 是关于 x 的方程 x2-5x+m=0 的根，-a 是关于 x 的方程 x2+5x-m=0 的根，那么 a 的值是_14. 如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CDAB 于 E，如果CD=6，OE =4，那么O 的半径的长为_15. 如图，AB 是O 的直径，MN 是O 的切线，切点为 N，若MNB=50，则AON 的度数是_16. 用一个半径为 30，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径是_17. 等腰三角形 ABC 中，顶角 A 为 40，点 P 在以 A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且 BP=BA，则 PBC 的度数为_
5、18. 如图，在扇形 CAB 中，CD AB，垂足为 D，E 是ACD 的内切圆，连接 AE，BE，则AEB 的度数为_三、计算题（本大题共 1 小题，共 6.0 分）19. （1）3（2x-1 ） 2=27；（2）2x 2+4x-1=0；（3）x（x+3 ） =x+3；（4）x 2+12x+27=0四、解答题（本大题共 6 小题，共 48.0 分）第 3 页，共 19 页20. 如图，矩形 ABCD 是景区内一块油菜花地，AB=6m ，BC=8m，点 E、F、G 、H 分别在矩形的四条边上，且 AE=FC=CG=HA，现在其中修建一条观花道（阴影所示）供游人赏花若观花道的面积为 13m2，求
6、 AE 的长21. 已知：平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 x2-mx+ - =0 的两214个实数根（1）m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若 AB 的长为 2，那么ABCD 的周长是多少？22. 已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC =40（1）如图 1，若 D 为弧 AB 的中点，求 ABC 和ABD 的度数；（2）如图 2，过点 D 作 O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC，求OCD 的度数第 4 页，共 19 页23. 如图，D 是ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作ABD
7、的外接圆O，将ADC 沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在 O 上（1）AE 与 AB 相等吗？为什么？（2）若 CAB=90，AB =5，求 BC 的长24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+b（b0）与 x 轴、y 轴分别交于点A、B ，过点 C（1，0）作直线 l 垂直于 x 轴，在直线 l 上取一点 D，满足AD=BD点 A 关于点 C 的对称点为 E，以 E 为圆心，EO 长为半径作E（1）求点 D 的坐标；（2）若直线 AB 与E 相切于点 F，求 b 的值25. 如图，已知 RtABC 中， ACB=90，AC =8，点 D 是 AC 边上一点（不与 A、C 重
8、合），经过 A、D 两点作 O（1）如图 1，AD 是O 的直径，连接 BD 并延长交O 于点 E，连接 CE，若CE=BC，则直线 CE 与 O 有什么位置关系？说明理由；（2）在（1）的条件下，若 BD=2 ，求O 的半径；5（3）如图 2，在（2）的条件下，改变点 D 的位置，CF 平分ACB，若直线 CF第 5 页，共 19 页与 O 相切，求 O 的半径第 6 页，共 19 页答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、只有当 a0时，ax 2+bx+c=0 是关于 x 的一元二次方程，故本选项错误； B、该方程中未知数的最高次数是 3，不是关于 x 的一元二次方程，故本选项错误； C、
9、符合一元二次方程的定义，它是一元二次方程，故本选项正确； D、该方程中含有两个未知数 x、y，不是关于 x 的一元二次方程，故本选项错误 故选：C 根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 22.【答案】B【解析】解：把 x=1 代入方程得 1+k-3=0， 解得 k=2 故选：B 根据一元二次方程的解的定义，把把 x=1 代入方程得关于 k
10、 的一次方程 1-3+k=0，然后解一次方程即可本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解3.【答案】A【解析】解：a=1，b=1，c=-3， =b2-4ac=12-4（1）（-3）=130， 第 7 页，共 19 页方程 x2+x-3=0 有两个不相等的实数根 故选：A根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=13 0，进而即可得出方程x2+x-3=0 有两个不相等的实数根本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键4.【答案】B【解析】解：设这两年的年利润平均增长率为 x， 根据题意得：300（1+x） 2=507
11、故选：B 设这两年的年利润平均增长率为 x，根据 2018 年初及 2020 年初的利润，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键5.【答案】A【解析】解：A=66，COB=132，CO=BO，OCB=OBC= （180-132）=24，故选：A首先利用圆周角定理可得COB 的度数，再根据等 边对等角可得OCB=OBC，进而可得答案此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半6.【答案】C【解析】第 8 页，共 19 页解：AC、 AP 为O
12、 的切线， AC=AP=3， BP、BD 为O 的切线， BP=BD， BD=PB=AB-AP=5-3=2 故选：C 由于 AB、AC、BD 是O 的切线， 则 AC=AP，BP=BD，求出 BP 的长即可求出 BD 的长本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键7.【答案】B【解析】解：BOC=40，AOC=180-40=140，D= ，故选：B 根据互补得出AOC 的度数，再利用圆周角定理解答即可此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出 AOC 的度数8.【答案】D【解析】解：如图，当圆心在（3，-4）且与 x 轴相切时， r=4，此时 O与坐标轴有且只有 3 个公
13、共点当圆心在（ 3，-4）且经过原点时，r=5 此时 O与坐标轴有且只有 3 个公共点故选：D利用圆与坐标轴的位置关系，分两种情形分别求解即可；第 9 页，共 19 页本题考查了直线与圆的位置关系，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断若圆心到直线的距离是 d，半径是 r，则dr，直线和圆相离，没有交点； d=r，直线和圆相切，有一个交点；dr，直线和圆相交，有两个交点9.【答案】0 或 1【解析】解：原方程变形为：x（x-1）=0， x=0 或 x=1本题应对方程进行变形，提取公因式 x，将原式化 为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为
14、 0”来解题本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法本题运用的是因式分解法10.【答案】k-4【解析】解：关于 x 的一元二次方程 x2+4x-k=0 有实数根， =42-41（-k）=16+4k0， 解得：k-4 故答案为：k-4根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出结论本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有实数根”是解题的关键11.【答案】-2【解析】解：一元二次方程 x2+x-2=0 的解为 x1、x2，x1x2=-2故答案为-2 两根之积等于 即可解
15、决问题第 10 页，共 19 页本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“ 两根之和等于-，两根之积等于 ”是解题的关键12.【答案】30【解析】解：设一条直角边长为 a，则另一边长为：30-13-a=17-a，故 a2+（17-a）2=132，解得：a 1=5，a2=12，故两直角边的长分别为：5cm，12cm直角三角形的面积= cm2故答案为：30首先表示出两直角边长，再利用勾股定理和三角形的面积公式得出答案此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键13.【答案】5【解析】解：正数 a 是关于 x 的方程 x2-5x+m=0 的根， a2-5a+m=0， -a 是关于 x
16、 的方程 a2-5a-m=0， +得 2a2-10a=0， 而 a0， a=5 故答案为 5根据一元二次方程的解的定义得到 a2-5a+m=0，a2-5a-m=0，然后两方程相加消去 m 得到关于 a 的方程，再解此方程即可本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解14.【答案】5【解析】解：连接 OC，根据垂径定理，得 CE=3，第 11 页，共 19 页根据勾股定理，得 OC=5连接 OC根据垂径定理和勾股定理求解此题综合运用了勾股定理和垂径定理15.【答案】80【解析】解：MN 是O 的切线， ONNM， ONM=90， ONB=90-MNB=
17、90-50=40， ON=OB， B=ONB=40， NOA=2B=80 故答案是：80 先利用切线的性质得ONM=90，则可计算出ONB=40，再利用等腰三角形的性质得到B= ONB=40，然后根据 圆周角定理得NOA 的度数本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理16.【答案】10【解析】解：设该圆锥底面圆的半径为 r，根据题意得 2r= ，解得 r=10，即该圆锥底面圆的半径为 10故答案为：10设该圆锥底面圆的半径为 rcm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2r= ，然后解方程即可
18、本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长17.【答案】30或 110【解析】第 12 页，共 19 页解：如图，当点 P 在直线 AB 的右侧时连接 APAB=AC，BAC=40，ABC=C=70，AB=AB，AC=PB，BC=PA，ABCBAP，ABP=BAC=40，PBC=ABC-ABP=30，当点 P在 AB 的左侧时，同法可得ABP=40，PBC=40+70=110，故答案为 30或 110分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的
19、思想思考问题，属于中考常考题型18.【答案】135【解析】解：如图，连接 ECE 是 ADC 的内心，AEC=90+ ADC=135，在AEC 和AEB 中，EACEAB，AEB=AEC=135，故答案为 135如图，连接 EC首先证明AEC=135，再 证明EAC EAB 即可解决问题；本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型第 13 页，共 19 页19.【答案】解：（1）3（2x-1） 2=27，（ 2x-1） 2=9，则 2x-1=3 或 2x-1=-3，解得：x 1=2，x 2=-1；（2）a=2，b
20、=4，c =-1，=16-42（-1）=240，则 x= = ；4264 262（3）x（x+3）=x+3，x（x+3）- （x+3）=0 ，（ x+3）（x-1）=0，则 x+3=0 或 x-1=0，解得：x 1=-3，x 2=1；（4）x 2+12x+27=0，（ x+3）（x+9）=0 ，则 x+3=0 或 x+9=0，解得：x 1=-3，x 2=-9【解析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用公式法求解可得； （3）移项后，利用因式分解法求解可得； （4）利用因式分解法求解可得本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式
21、法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键20.【答案】解：设 AE=xm，则 BE=DG=（6- x）m ，BF=DH=（8-x）m ，根据题意得：68-2 （6- x）（8-x）=13，12整理得：x 2-14x+13=0，解得：x 1=1，x 2=136-x0 ，x6，x=1答：AE 的长为 1m【解析】设 AE=xm，则 BE=DG=（6-x）m，BF=DH=（8-x）m，根据阴影部分的面积= 矩形的面积-两个三角形的面积，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较第 14 页，共 19 页小值即可得出结论本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方
22、程是解题的关键21.【答案】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，AB=AD又 AB、AD 的长是关于 x 的方程 x2-mx+ - =0 的两个实数根，214=（-m） 2-4（ - ）= （m-1 ） 2=0，214m=1，当 m 为 1 时，四边形 ABCD 是菱形当 m=1 时，原方程为 x2-x+ =0，即（x- ） 2=0，14 12解得：x 1=x2= ，12菱形 ABCD 的边长是 12（2）把 x=2 代入原方程，得：4-2m + - =0，214解得：m= 52将 m= 代入原方程，得：x 2- x+1=0，52 52方程的另一根 AD=12= ，12ABCD 的周长是 2（
23、2+ ）=512【解析】（1）根据菱形的性质可得出 AB=AD，结合根的判别式，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长； （2）将 x=2 代入原方程可求出 m 的值，将 m 的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根 AD 的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出ABCD 的周长本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四 边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于 m第 15 页，共 19 页的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根22.【答案】解
24、：（1）如图 1，连接 OD，AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC =40，ACB=90ABC=ACB-BAC=90-40=50D 为弧 AB 的中点，AOB =180，AOD=90，ABD=45；（2）如图 2，连接 OD，DP 切O 于点 D，ODDP，即ODP=90 由 DPAC，又 BAC=40，P=BAC=40AOD 是ODP 的一个外角，AOD=P+ODP=130ACD=65OC=OA， BAC=40，OCA=BAC=40OCD=ACD-OCA=65-40=25【解析】（1）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得ABC 和ABD 的大小； （2）根据题意和平行线的性
25、质、切线的性质可以求得OCD 的大小本题考查切线的性质、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答23.【答案】解：（1）相等，理由：由折叠的性质可知，ADE ADC，AED=ACD，AE=AC，ABD=AED，ABD=ACD，AB=AC，AE=AB；（2）将ADC 沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在O 上，AED=C，AED=ABC，C=ABC，BAC=90，C=ABC=45，AB=5，BC=5 2【解析】第 16 页，共 19 页（1）由折叠得出AED= ACD、AE=AC，结合ABD=AED 知ABD=ACD，从而得出 AB=AC，据
26、此得证； （2）根据折叠的性质得到AED=C，根据 圆周角定理得到 AED=ABC，推出 C=ABC=45，根据勾股定理即可得到结论本题主要考查三角形的外接圆，解题的关键是掌握折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点24.【答案】解：（1）如图 1 中，A（ -b，0），B（0，b），OA=OB又 DA=DB，点 O、 D 在线段 AB 的垂直平分线上，即直线 OP 垂直平分线段 ABAOB 是等腰直角三角形，直线 OD 是二、四象限的角平分线，即直线 OD 的解析式为 y=-x又 直线 l 过点（ 1，0），且直线 lx 轴，D（ 1， -1）；（2）如图 2 中，连
27、接 EF，EB，在 OE 上截取 OH=OB=bBF，BO 是E 的切线，EBF=EBO，ABO=45，EBF=EBO=67.5，第 17 页，共 19 页BOE=90，BEO=22.5，OB=OH，OBH=OHB=45，OHB=HEB+HBE，HBE=HEB=22.5，BH=EH= b，2OE=2+b，b+ b=2+b，2b= 2【解析】（1）易证直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线，从而可得直线 OD 的解析式，再由点 D 的横坐标为 1 就可求出点 D 的坐标； （2）如图 2 中，连接 EF，EB，在 OE 上截取 OH=OB=b根据 OE=OH+EH，由此构建方程即可解决问题；本题
28、属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关 键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题25.【答案】解：（1）结论：EC 是 O 的切线理由：如图（1）中，连接 OEACB=90，DBC+CDB=90，CE=CB，DBC=CEB，OE=OD，OED=ODE=CDB，CEB+OED=90，OEC=90，OECE，第 18 页，共 19 页EC 是 O 的切线（2）如图（1）中，连接 AE设 CD=xAD 是直径，AED=90，AED=DCB=90，ADE =CDB，EAD=CBD，CE=CB，CEB=CBD，CEDCAE，E
29、CD=ECA，CEDCAE，CE2=CDCA=8x，BC2=8x，在 RtBCD 中，BD 2=CD2+BC2，20=x2+8x，x=2 或 -10（舍弃），CD=2，AD =AC-CD=8-2=6，O 的半径为 3（3）如图 2 中，设O 与直线 CF 相切于点 E，连接 OECF 平分ACB，ACF=45，CF 是 O 的切线，OECE，EOC=ECO=45，OE=EC，设 OA=OE=EC=m，则 OC= m，2AC=8，m+ m=8，2m=8 -8，2O 的半径为 8 -82【解析】（1）连接 OE，只要证明 OEEC 即可（2）如图（1）中，连接 AE设 CD=x由 CEDCAE，推出第 19 页，共 19 页CE2=CDCA=8x，推出 BC2=8x，在 RtBCD 中，根据 BD2=CD2+BC2，构建方程即可解决问题；（3）如图 2 中，设O 与直 线 CF 相切于点 E，连接 OE首先证明 OE=EC，设OA=OE=EC=m，则 OC= m，根据 AC=8 构建方程即可解决 问题；本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解 题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题
