1、第 1 页，共 18 页四川省遂宁市 2019 届高三第三次诊断性考数学（文）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A=1，2，3， B=x|x|1，则 AB=（ ）A. B. C. D. (0,1 1,1 1 1,12. 已知复数 z 满足（1+ i）z=3+i ，则复数 z 的模是（ ）A. 1 B. C. 2 D. 453. 已知函数 ，则 f（f （-3 ）的值为（ ）()=+23(1)(2+1)( 1)A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. 若抛物线 y=ax2 的焦点坐标是（0，1），则 a=（ ）A. 1 B. C. 2 D. 12 145.
2、 “x1”是“log 2x0”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知角 在第二象限，若 ，则 tan2=（ ）=35A. B. C. D. 23 247 247 347. 九章算术卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽 3 丈，长 4丈，上棱长 2 丈，高 1 丈现有一刍甍，其三视图如图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为 2 丈，那么该刍甍的体积为（ ）A. 5 立方丈 B. 20 立方丈 C. 40 立方丈 D. 80 立方丈8. 执行如
3、图所示的程序框图，若输出的 k 的值为 b，则过定点（4，2）的直线 l 与圆（ x-b） 2+y2=16 截得的最短弦长为（ ）A. 43B. 23C. 11D. 2119. 已知点 P 的坐标（x ，y ）满足 ，则 的最大值（ ）+20+202+60 +1第 2 页，共 18 页A. 2 B. C. D. 812 4310. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a=3， ，sin C=2sinB，则=3ABC 的周长为（ ）A. B. C. D. 3+23 3+26 3+33 3+3611. 已知 P，A，B ，C ，D 是球 O 的球面上的五个点，四边形 ABC
4、D 为梯形，ADBC，AB= DC=AD=2，BC=PA=4，PA面 ABCD，则球 O 的体积为（ ）A. B. C. D. 166423 1623 16212. 设函数 有三个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）=|+12|A. B. (33, ) (33,0)(0,33)C. D. (1,1)33 (0,33)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 设两个非零平面向量 与 的夹角为 ，则将（ ）叫做向量 在向量 方向上的 | 投影已知平面向量 ， =（1，0），则向量 在向量 方向上的投影为=(1， 1) _14. 曲线 在点（4，2）处的切线的斜率为 _=15. 将函
5、数 f（x ）=2cos（2x+ ）的图象向左平移 t（t0）个单位长度，所得图象对应6的函数为奇函数，则 t 的最小值为 _16. 已知函数 ，函数 g（x）在区间-m，m （m0）上的最()=+ 2+1+12大值与最小值的和为 a，若函数 f（x ）=ax|x| ，且对任意的 x0，2，不等式 f（x-2k）2k 恒成立，则实数 k 的取值范围为 _三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知函数 在 x（0，1）上的零点为等差数列 an（nN *）()=3的首项 a1，且数列a n的公差 d=1（1）求数列a n的通项公式；（2）设 ，求数列 bn的前 n 项和 Tn=
6、(12)(+23)18. 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是邻边相等的矩形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC =2，E 是 PC 的中点（1）判断直线 PA 与 EB 的位置关系（不需证明）；（2）证明：PBED；（3）求三棱锥 A-PBE 的体积第 3 页，共 18 页19. 2018 年 1 月 22 日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”如表为 2014 年至 2018 年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）年份 2014 2015 2016 2017 2018线下销售
7、额 90 170 210 280 340为了解“祈福观音、永保平安”活动的支持度某新闻调查组对 40 位老年市民和40 位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有 30 人，支持的年轻市民有 15 人（1）从以上 5 年中任选 2 年，求其销售额均超过 200 万元的概率；（2）请根据以上信息列出列联表，并判断能否有 85%的把握认为支持程度与年龄有关附： ，其中 n=a+b+c+d2= ()2(+)(+)(+)(+)参考数据：P（K 2k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 0.455
8、0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520. 已知直线 l1：x +y+1=0 与直线 l2：x +y+3=0 的距离为 a，椭圆 C：的离心率为 22+22=1( 0) 22（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，抛物线 D：y 2=2px（p0）的焦点 F 与点 关于 y(18， 2)轴上某点对称，且抛物线 D 与椭圆 C 在第四象限交于点 Q，过点 Q 作抛物线 D的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积第 4 页，共 18 页21. 已知函数 f（x ）=axlnx+b，g（x）=x 2+kx+3，曲线 y=f（
9、x）在（1，f（1）处的切线方程为 y=x-1（1）求 f（x）在 xm，n（0mn）上的最小值；（2）若存在 使关于 x 的不等式 2f（x ）+ g（x ）0 成立，求 k 的取值范(1， )围22. 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为，又在直角坐标系 xOy 中，曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数）2= 32+2 =1+=7（1）求曲线 C1 的直角坐标方程和曲线 C2 的普通方程；（2）已知点 P 在曲线 C1 上，点 Q 在曲线 C2 上，若 ，求此时点 P 的直|=22角坐标23. 已知函数 ()=24+4|1|（1）解不等式 f（
10、x ） ；12（2）若正数 a，b，c，满足 a+2b+4c=f（ ）+2，求 的最小值12 1+2+4第 5 页，共 18 页答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合 A=1，2，3， B=x|x|1=x|-1x1， AB=1 故选：C 分别求出集合 A，B，由此能求出 AB本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性 质等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题2.【答案】B【解析】解：（1+i）z=3+i ，z= ，则|z|= 故选：B 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3.【答案】A【解析】解：根据
11、题意，函数 ，f（-3）=lg（32+1）=lg10=1，则 f（f（-3）=f（1）=1+ -3=0，故选：A根据题意，由函数的解析式求出 f（-3）的值，即可得 f（f（-3）=f（1），由解析式计算可得答案本题考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式，属于基础题4.【答案】D【解析】第 6 页，共 18 页解：抛物线 y=ax2 的标准方程为 x2= y，抛物线 y=ax2 的焦点坐标为 （0，1）， =1，a= 故选：D先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得 a 的值本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质属基础题5.【答案】B【解析】解：由 log2x0
12、 得 0x1， 则“x1”是“log 2x0”的必要不充分条件， 故选：B 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础6.【答案】C【解析】解：角 在第二象限，若 ，cos=- =- ，tan= =- ，tan2= =- 故选：C 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos，进而可求 tan，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题7.【答案】C【解析】第 7 页，共 18 页解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部
13、分，如图：直三棱柱的侧棱长为 8，底面三角形的底边长为 6，底边上的高为 2，消去的三棱锥的高为 2，几何体的体积 V= 628-2 622=40故选：C 几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长及底面三角形的相关几何量的数据，判断消去三棱锥的高，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键8.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1S=1，不满足条件 S6， 执行循环体，k=2，S=2，不满足条件 S6， 执行循环体，k=3，S=6，不满足条件 S6，
14、 执行循环体，k=4，S=15，满足条件 S 6，退出循 环，输出 k 的值为 4，由题意，b=4，由题意过圆内定点 P（4，2）的弦，只有和 PC（C 是圆心）垂直时才最短，定点P（4，2）是弦|AB| 的中点，由勾股定理得，|AB|=2 =4 故选：A模拟程序的运行，可得输出的 k 的值为 4，可求 b=4，由题意过圆内定点第 8 页，共 18 页P（4，2）的弦，只有和 PC（C 是圆心）垂直时才最短，解三角形即可得解本题考查程序框图的应用问题，考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定直 线恒过定点是关键，属于中档 题9.【答案】A【解析】解：由点 P
15、的坐 标（x， y）满足 ，作出可行域如图，A（0，2）z 的几何意义为可行域内的动点与定点 D（-1，0）连线的斜率，kDA= =2，z= 的最大值是：2故选：A由约束条件作出可行域，由 z= 的几何意义可知，z 为可行域内的动点与定点 D（-1，0）连线的斜率，求出 DO 的斜率得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10.【答案】C【解析】解：在ABC 中，sinC=2sinB，由正弦定理可得：c=2b，又a=3， ，由余弦定理可得：9=b 2+c2-bc=b2+（2b）2-b2b，解得：b= ，c=2 ，ABC 的周长为 a+b+c=3+ +2 =3+3 第
16、 9 页，共 18 页故选：C 由已知利用正弦定理可得：c=2b，利用余弦定理可得 9=b2+c2-bc，联立解得b，c 的值，即可得解ABC 的周长本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题11.【答案】B【解析】解：如图，由题意，ABCD 为等腰梯形，作 AEBC，DFBC 与 E，F，则 BE=CF=1，可得 AE= ，取 BC 中点 M，连接 AM，易得 AM=2，故 M 到 A，B，C，D 距离相等，为球小圆的圆心，取 PA 中点 N，则 ANOM 为矩形，在等腰直角三角形 AMO 中，得球半径 OA=2 ，故球 O 的体积为： = ，故选：B 利用 ABCD 为
17、等腰梯形找到球小圆的圆心 M 恰为 BC 中点，取 PA 中点 N，在矩形 ANOM 中，求得半径 OA，得解此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中第 10 页，共 18 页12.【答案】D【解析】解：函数的定义域为（0，+），由函数 有三个零点，得 =ax，有三个根，则必有 a0，即 =ax，则 =a2，有三个根，设 h（x）= = ，则当 x 时，h（x）= = ，由 h（x）0 得-2-3lnx0 得 lnx ，得 x ，此时为增函数，由 h（x）0 得-2-3lnx 0 得 lnx ，得 x ，此时为减函数，此时 x=取得极大值，极大值为 h（ ）= = = ，当 x+，f（x
18、）0， h（ ）=0，当 0x 时，h（x）=- ，则 h（x）=- =- =-（）= ，当 0x 时，lnx-1， 则 2+3lnx2-3=-1 0，即此时 h（x）0，且 h（ ）=0，作出函数 h（x）的图象如图：要使 =a2，有三个根，即 h（x）= ，与 y=a2，有三个不同的交点，则满足 0a 2 ，第 11 页，共 18 页即 0a ，即实数 a 的取值范围是（0， ）故选：D由题意知 a 0，x0，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法转化为两个函数的交点个
19、数问题，构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值，利用数形 结合是解决本题的关键综合性较强，运算量 较大，有一定的难度13.【答案】1【解析】解：两个非零平面向量 与 的夹角为 ，则将（ ）叫做向量 在向量方向上的投影平面向量 ， =（1，0），则向量 在向量 方向上的投影为： =1故答案为：1利用平面向量的数量积转化求解即可本题考查向量的数量积的应用，向量 在向量 方向上的投影是求法，考查计算能力14.【答案】14【解析】解：曲线 的导数为 y= ，可得曲线 在点（4，2）处的切线的斜率：k= ，故答案为： 运用函数的导数运算法则，可得曲线 的导数，再由导数的几何意义，代入 x=4，即可得到
20、所求斜率第 12 页，共 18 页本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意复合函数的导数的运算法则，考查运算能力，属于基础题15.【答案】6【解析】解：将函数 f（x）=2cos（2x+ ）的图象向左平移 t（t 0）个单位长度，可得y=2cos（2x+2t+ ）的图象，再根据所得图象对应的函数为奇函数，可得 2t+ =k+ ，求得t= + ，kZ，则 t 的最小值为 ，故答案为： 利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求出 t的最小值本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题16.【答案】（ ）12， 2【解析】解：
21、令 ，则有 y=h（x）在-m，m 上为奇函数h（x）max+h（x）min=0 又函数 g（x）在区间-m，m（m0）上的最大值与最小值的和为 a，a=1 ，y=f（x）在 x0，2上为增加的又对任意的 x0，2，不等式 f（x-2k）2k 恒成立，f（2-2k）2k，即（ 2-2k）22k，解得 故答案为：（ ）第 13 页，共 18 页可用奇函数的几何性质，先求 a 的值，再利用函数的单调性来解答不等式恒成立问题，从而求出 k 的取值范围本题考查了函数的奇偶性，不等式恒成立问题；判断函数的单调性来求最值，从而解答不等式恒成立问题17.【答案】（本小题满分 12 分）解：（1）因为 （1
22、分）()=3=2(+6)所以，由题意有 （3 分）+6=+2()=+13()由于 x（0，1 ），所以 an是以 为首项，1 为公差的等差数列 （4 分）13所以 （6 分）=23()（2） = （7 分）=(12)(+23)(12)（8 分）=1(12)1+2(12)2+3(12)3+(1)(12)1+(12)（9 分）12=1(12)2+2(12)3+3(12)4+(1)(12)+(12)+1则-得：，12=12+(12)2+(12)3+(12)(12)+1=12(12)12112(12)+1=1(+2)(12)+1所以 （12 分）=2(+2)(12)=2+22【解析】（1）通过两角和与
23、差的三角函数化简函数的解析式，利用函数在 x（0，1）上的零点为等差数列 an（nN*）的首项 a1，求出首项，然后求解通项公式（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列得和即可本题考查数列求和，数列与函数相结合，考 查发现问题解决问题的能力18.【答案】（本小题满分 12 分）解：（1）直线 PA 与 EB 是异面直线 （2 分）（2）证明：PD平面 ABCD，DC 平面ABCD， PDDC同理可证 PDBC（3 分）PD=DC 可知PDC 是等腰直角三形，而 E 是斜边 PC 的中点，DE PC第 14 页，共 18 页底面 ABCD 是邻边相等的矩形，即四边形 ABCD 为正方形B
24、CDC，又 PDBC，PDDC=D，BC平面 PDC，又 DE平面 PDC（5 分）BCDE，又 DEPC，且 PCBC=C，DE平面 PBC，又 PB平面 PBCPBED（7 分）（3）因为 E 为 PC 中点，所以 （8 分）=12=12又 PD底面 ABCD，而底面 ABCD 是邻边相等的矩形，即底面 ABCD 是正方形 （9 分）故 （12 分）=12=12=121312222=23【解析】（1）真假判断直线 PA 与 EB 是异面直线；（2 证明 PDDCPDBC，说明 BCDC，又 PDBC，推出 BC平面 PDC，得到 BCDE，又 DEPC，证明 DE平面 PBC，即可证明 P
25、BED（3）通过 转化求解即可本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力19.【答案】解：（1）分别记“2014 年、2015 年、2016 年、2017 年、2018 年”为“a，b，c，d，e ”从以上 5 年中任选 2 年，其基本事件为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，e）（b，c ）（b，d）（ b，e）（c ，d）（c，e）（e，f）； （4 分）其中销售额均超过 200 万元的有：（c，d）（c，e ）（e，f）；（5 分）故所求的概率为 ；（6 分）=310（2）根据题意，整理数据得如下 22 列联表；年轻市民 老年市
26、民 合计支持 15 10 25很支持 25 30 55合计 40 40 80计算 K2= 1.4552.072，80(15301025)240402555所以没有 85%的把握认为支持程度与年龄有关【解析】（1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； 第 15 页，共 18 页（2）根据列联表，计算观测值， 对照临界值得出结论本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题20.【答案】解：（1）两平行直线间的距离 ， a2=2，（2 分）=2离心率 ，故 c=1，b=1，（4 分）=22椭圆 C 的标准方程为 ；（5 分）22+2=1（2）由题意，抛物线
27、D 焦点为 ，故其方程为 （7 分）(18， 0) 2=2联立方程组 ，解得 x=1 或 x=-2（舍去）， （8 分）2=222+2=1 (1， 22)设抛物线 在 点处的切线为 ，2=2 (1， 22) =(1)22联立方程组 ，整理得 ，2=2=(1)22 2222=0由=0，解之得 ，=24所求的切线方程为 =24(1)22即是 （10 分）+22+1=0令 x=0，得 ；=24令 y=0，得 x=-1（11 分）故所求三角形的面积为 （12 分）=12241=28【解析】（1）求出两平行直线间的距离，得到 a2=2，结合离心率求得 c，再由隐含条件求得 b 则椭圆 C 的标准方程可求
28、；（2）由抛物线 D 焦点，可得抛物 线方程， 联立抛物线方程与椭圆方程，求得 Q的坐标，写出抛物线 在 点处的切线为 ，再与抛物线方程联立求得切线斜率，得到切线方程，分 别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案第 16 页，共 18 页本题是圆锥曲线综合题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与抛物线、 椭圆与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档 题21.【答案】解（1）f（x ）=a（ln x+1），根据题意得 ，计算得出：(1)=0(1)=1（2 分）=1=0故 f（x）=ln x+1，当 f（x ） 0，即 时，f（x ）递增，1当 f（x）0，即 时， f（x）递减，（
29、3 分）0 1当 时，函数 f（x）在m ，n上单调递减，1此时 f（x）最小值为 f（n）=nlnn ；当 时，函数 f（x）在 上递减，1 ， 1在 上递增，此时 f（x ）最小值为 ；1， (1)=1当 时，函数 f（x ）在 m，n 上递增，1此时 f（x）最小值为 f（m）=mlnm（6 分）（2）关于 x 的不等式 2f（x）+g（x）0 存在 成立(1， )等价于不等式 在 有解 （7 分）2+2+3 (1， )设 ， ， （8 分）()=2+2+3 (1， ) ()=2+232当 h（x ）0 即 时，h（x）递增，1 1当 h（x ）0，即 1x e 时， h（x）递减 （9
30、 分）又 ， ， （10 分）(1)=322+1 ()=2+2+3 (1)() 0（12 分） 322+1【解析】根据导数的几何意义以及切线方程可得 a=1，b=0；（1）先用导数的符号求出 f（x）在0， +）上的单调性，再对 n 进行讨论可得f（x）在 m，n上的单调性，根据 单调性求得最小值；（2）关于 x 的不等式 2f（x）+g（x）0 存在 成立等价于不等式第 17 页，共 18 页在 有解，再构造函数求得最小值即可本题考查了利用导数研究函数的最值，属难题22.【答案】解：（1）由 得 ，即 2+2（cos） 2=3，把2= 32+2 2= 322+1x=cos，y=sin ， 2
31、=x2+y2，得 ，故曲线 C1 的直角坐标方程为 ；2+23=1 2+23=1因为曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数）消去参数 t 得曲线 C2 的普通方程为=1+=7x+y-6=0 （4 分）（2）由题意，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数），可设点 P 的直角坐标=3为 ，(， 3)因为曲线 C2 是直线，又 |=22|PQ|即为点 P 到直线 x+y-6=0 的距离 （6 分）易得点 P 到直线 x+y-6=0 的距离为 ，=|+36|2 =2|(+6)3|=22（7 分）所以 ，所以 ，此时点 P 的直角坐标(+6)=1 =2+3()为 （10 分）(12， 32)【解析】（1
32、）由 得 ，即 2+2（cos）2=3，把x=cos，y=sin，2=x2+y2，得 ，故曲 线 C1 的直角坐标方程为；因为曲线 C2 的参数方程为 （t 为参数）消去参数 t 得曲线 C2 的普通方程为 x+y-6=0（2）利用椭圆的参数方程设 P 的坐标，根据点到直线距离求得|PQ|的最小值列等式可解得本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23.【答案】解：（1）因为 ，所以 f（x）=|x-2|-|x-1|，()=24+4|1|当 x1 时，f （x）=2-x- （1- x）=1 ，由 ，解得 x1；()12当 1x2 时，f（x）=3-2x，由 ，即 ，()12 32 12解得 ，
33、又 1x 2，所以 ；54 1 54当 x2 时，f （x）=-1 不满足 ，此时不等式无解()12第 18 页，共 18 页综上，不等式 的解集为 ()12 (， 54)（2）由题意得 ，+2+4=(12)+2=3所以 =1+2+4=(1+2+4)+2+43 13(1+4+16)+2+2+4+4+8+813(21+222+244+288)=493当且仅当 时等号成立=37所以 的最小值为 1+2+4 733【解析】（1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集， （2）由题意可得 a+2b+4c=3，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
