1、2019 年天津市西青区中考数学一模试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3 分）计算 5+（22）的结果是（ ）A27 B17 C17 D272（3 分）sin45的值等于（ ）A B C D13（3 分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A B C D4（3 分）近年来，国家重视精准扶贫，收效显著据统计约有 65 000 000 人脱贫，把 65 000 000 用科学记数法表示，正确的是（ ）A0.6510 8 B6.510 7 C6.510 8 D65
2、10 65（3 分）如图是一个由 6 个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A BC D6（3 分）估算 的值在（ ）A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间7（3 分）化简 （a+1）的结果是（ ）A B C D8（3 分）方程组 的解是（ ）A B C D9（3 分）如图所示，ABC 绕着点 A 旋转能够与ADE 完全重合，则下列结论不一定成立的是（ ）AAEACBEACBADCBCADD若连接 BD，则ABD 为等腰三角形10（3 分）若点（3，y 1），（1，y 2），（2，y 3）都是反比例函数 y 图象上的点，则 y1，y 2，y 3
3、的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 2y 1y 3 Dy 2y 3y 111（3 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 1，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的中点，点 P是对角线 AC 上的一个动点，则 MP+PN 的最小值是（ ）A B1 C D212（3 分）如图是二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）图象的一部分，与 x轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x1对于下列结论：ab 0；2a+ b0； 3a+c0； a+bm （am +b）（ m 为实数）；当1x 3 时， y0其中正确结论的个数为（ ）A2 个 B
4、3 个 C4 个 D5 个二填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分13（3 分）计算（5b） 3 的结果等于 14（3 分）计算（2 + ）（2 ）结果等于 15（3 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 16（3 分）若一次函数 y3x+b 的图象经过第一、三、四象限，则 b 的值可以是 （写出一个即可）17（3 分）如图，ABC 是等边三角形，AB ，点 D 是边 BC 上一点，点 H 是线段AD 上一点，连接 BH、CH 当BHD60，AHC90时，DH 18（3 分）如图，将BOA 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 O、A 均落在格
5、点上，角的一边 OA 与水平方向的网格线重合，另一边 OB 经过格点 B（）tanBOA 等于 ；（）如图BOC 为BOA 内部的个锐角，且tanBOC ，请在如图所示的网格中，借助无刻度的直尺画出COA，使得COABOABOC，请简要说明COA 是如何找到的（不要求证明）三解答题：本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19（8 分）解不等式组 ，请结合题意填空，完成本题的解答（）解不等式，得 ；（）解不等式，得 ；（）把不等式和 的解集在数轴上表示出来；（）原不等式组的解集为 ；20（8 分）某校九年级有 1200 名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行
6、跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（）本次参加跳绳测试的学生人数为 ，图中 m 的值为 ；（）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得 3 分的学生有多少人？21（10 分）已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BCD28（I）如图 ，求 ABD 的大小；（）如图，过点 D 作O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC，求OCD 的大小22（10 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 53方向，距离灯塔 100nmile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔
7、 P 南偏东 45方向上的 B 处这时，B处距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin530.80， cos530.60，tan530.33， 1.41）23（10 分）某教学网站策划了 A，B 两种上网学习的月收费方式收费方式 月使用费/元 月包时上网时间/h 月超时费/（元/h）A 7 25 0.6B 10 50 3设每月的上网时间为 xh（）根据题意，填写下表：收费方式 月使用费/元 月上网时间/h 月超时费/元 月总费用/元A 7 45 B 10 45 （）设 A，B 两种方式的收费金额分别为 y1 元和 y2 元，分别写出 y1，y 2 与 x 的函数解析式；（）当 x6
8、0 时，你认为哪种收费方式省钱？请说明理由24（10 分）如图，将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（3，0），点 C 的坐标是（0，2），点 O 的坐标是（0，0），点 E 是 AB 的中点，在OA 上取一点 D，将BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处（）求点 E、F 的坐标；（）如图 2，若点 P 是线段 DA 上的一个动点（点 P 不与点 D，A 重合），过 P 作PHDB 于 H，设 OP 的长为 x，DPH 的面积为 S，试用关于 x 的代数式表示 S；（）在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周长
9、最小，请直接写出四边形 MNFE 的周长最小值25（10 分）抛物线 yx 2bx +c 与 x 轴交于点 A（1，0），点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，其顶点为 D，直线 BD 与 y 轴交于点 E（1）求顶点 D 的坐标；（2）如图，设点 P 为线段 BD 上一动点（点 P 不与点 B、D 重合），过点 P 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 F，求BDF 的面积最大值；（3）点 Q 在线段 BD 上，当BDCQCE 时，求点 Q 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）2019 年天津市西青区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36
10、分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（3 分）计算 5+（22）的结果是（ ）A27 B17 C17 D27【分析】绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值【解答】解：5+（22）（225）17故选：C【点评】本题主要考查的是有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键2（3 分）sin45的值等于（ ）A B C D1【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可【解答】解：sin45 故选：B【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可3（3 分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图
11、形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形的概念判断即可【解答】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形故选：A【点评】本题考查的是轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合4（3 分）近年来，国家重视精准扶贫，收效显著据统计约有 65 000 000 人脱贫，把 65 000 000 用科学记数法表示，正确的是（ ）A0.6510 8 B6.510 7 C6.510 8 D6510 6【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少
12、位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：65 000 0006.510 7故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5（3 分）如图是一个由 6 个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A BC D【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案【解答】解：从正面看第一层是 3 个小正方形，第二层右边 2 个小正方形，第三层右边2 个小正方形，故选：D【点评】本题考查了简单组合体
13、的三视图，从正面看得到的图形是主视图6（3 分）估算 的值在（ ）A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间【分析】先估计 的近似值，然后即可判断 的近似值【解答】解：4 5，5 6故选：D【点评】此题主要考查了估算无理数的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法7（3 分）化简 （a+1）的结果是（ ）A B C D【分析】先根据通分法则把原式变形，再根据平方差公式、合并同类项法则计算即可【解答】解：原式 ，故选：A【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握分式的加减法法则、平方差公式是解题的关键8（3
14、 分）方程组 的解是（ ）A B C D【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解： ，+得：3x 6，解得：x2，把 x2 代入得：y1，则方程组的解为 ，故选：B【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法9（3 分）如图所示，ABC 绕着点 A 旋转能够与ADE 完全重合，则下列结论不一定成立的是（ ）AAEACBEACBADCBCADD若连接 BD，则ABD 为等腰三角形【分析】由旋转可知ABCADE，从而得到边或角相等，逐一排除法即可判断【解答】解：根据旋转的性质可知ABCADE，AEAC，A 选项内容正确，不符合题意；CABEAD，
15、CABEABEAD EAB ，即EACBAD，B 选项内容正确，不符合题意；C 选项内容错误，BC 不一定与 AD 平行；连接 BD，AB AD，ABD 为等腰三角形故选：C【点评】本题主要考查旋转的性质，解决旋转问题就是利用全等知识求解边或角的问题10（3 分）若点（3，y 1），（1，y 2），（2，y 3）都是反比例函数 y 图象上的点，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 2y 1y 3 Dy 2y 3y 1【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数的增减性，结合各个点的横坐标，即可得到答案【解答】解：反比例函数 y ，k0，x0
16、时，y0，y 随着 x 的增大而减小，x0 时，y0，y 随着 x 的增大而减小，310，y 2y 10，20y 30y 2y 1y 3，故选：C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数的增减性是解题的关键11（3 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 1，点 M、N 分别是 AB、BC 边上的中点，点 P是对角线 AC 上的一个动点，则 MP+PN 的最小值是（ ）A B1 C D2【分析】先作点 M 关于 AC 的对称点 M，连接 MN 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值然后证明四边形 ABNM为平行四边形，即可求出 MP+NPMNAB1
17、【解答】解：如图，作点 M 关于 AC 的对称点 M，连接 MN 交 AC 于 P，此时MP+NP 有最小值，最小值为 MN 的长菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点，M是 AD 的中点，又N 是 BC 边上的中点，AMBN， AMBN，四边形 ABNM是平行四边形，MNAB1，MP+NPMN1，即 MP+NP 的最小值为 1，故选：B【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键12（3 分）如图是二次函数 yax 2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）图象的一部分，与 x轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，
18、对称轴是 x1对于下列结论：ab 0；2a+ b0； 3a+c0； a+bm （am +b）（ m 为实数）；当1x 3 时， y0其中正确结论的个数为（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴判定 b 与 0 的关系以及 2a+b0；当 x1 时，yab+c；然后由图象确定当 x 取何值时，y0【解答】解：对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，ab0，故正确；对称轴 x 1，2a+b0；故正确；2a +b0，b2a，当 x1 时，y ab+c 0，a（2a）+c3a+c0，故错
19、误；根据图示知，当 m1 时，有最大值；当 m1 时，有 am2+bm+c a+b+c，所以 a+bm（ am+b）（m 为实数）故正确如图，当 1x3 时，y 不只是大于 0故错误故选：B【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数 a决定抛物线的开口方向，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（0
20、，c）二填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分13（3 分）计算（5b） 3 的结果等于 125b 3 【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案【解答】解：（5b） 3125b 3故答案为：125b 3【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键14（3 分）计算（2 + ）（2 ）结果等于 6 【分析】先利用平方差公式计算，再计算乘方，最后计算减法即可得【解答】解：原式（2 ） 2（ ） 21266，故答案为：6【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式15（3 分）同时抛掷两枚质地均匀
21、的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是 【分析】画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 4 种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为 1，所以两枚硬币全部正面向上的概率 故答案为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B的概率16（3 分）若一次函数 y3x+b 的图象经过第一、三、四象限，则 b 的值可以是 1 （写出一个即可）【分析】根据题中 k0，可知图形经过一、
22、三象限，又由图象还要经过四象限，判断b0【解答】解：一次函数 y3x+b，其中 k3，图象经过一、三象限；又图象经过第一、三、四象限，b0，故答案1（答案不唯一）【点评】本题考查一次函数的图象掌握一次函数解析式中 k，b 对图象的影响是解题的关键17（3 分）如图，ABC 是等边三角形，AB ，点 D 是边 BC 上一点，点 H 是线段AD 上一点，连接 BH、CH 当BHD60，AHC90时，DH 【分析】作 AEBH 于 E，BFAH 于 F，如图，利用等边三角形的性质得ABAC，BAC60，再证明 ABH CAH，则可根据“AAS”证明ABECAH，所以 BEAH ，AECH，在 RtA
23、HE 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 HE AH，AE AH，则 CH AH，于是在 RtAHC 中利用勾股定理可计算出 AH2，从而得到 BE2，HE 1，AE CH ，BH1，接下来在 RtBFH 中计算出 HF ，BF ，然后证明CHD BFD，利用相似比得到 2，从而利用比例性质可得到 DH 的长【解答】解：作 AEBH 于 E，BFAH 于 F，如图，ABC 是等边三角形，ABAC， BAC60，BHD ABH+ BAH60，BAH+CAH60，ABHCAH，在ABE 和CAH 中，ABE CAH，BEAH ，AECH，在 Rt AHE 中，AHEBHD 60，sinA
24、HE ，HE AH，AEAH sin60 AH，CH AH，在 Rt AHC 中， AH2+（ AH） 2AC 2（ ） 2，解得 AH2，BE2，HE 1，AECH ，BHBEHE211，在 Rt BFH 中，HF BH ，BF ，BFCH，CHDBFD ， 2，DH HF 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质18（3 分）如图，将BOA 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点
25、 O、A 均落在格点上，角的一边 OA 与水平方向的网格线重合，另一边 OB 经过格点 B（）tanBOA 等于 5 ；（）如图BOC 为BOA 内部的个锐角，且tanBOC ，请在如图所示的网格中，借助无刻度的直尺画出COA，使得COABOABOC，请简要说明COA 是如何找到的（不要求证明）【分析】（1）借助于直角三角形解决问题即可（2）取格点 C，作射线 OC 即可【解答】解：（）tanBOA 5，故答案为 5；（）取格点 C，作射线 OC 即可理由：连接 BC，易证 BCOC，BC2 ，OC3 ，可得 tanBOC 【点评】本题考查作图复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用
26、数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型三解答题：本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19（8 分）解不等式组 ，请结合题意填空，完成本题的解答（）解不等式，得 x4 ；（）解不等式，得 x2 ；（）把不等式和 的解集在数轴上表示出来；（）原不等式组的解集为 4x2 ；【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：解不等式 ，得 x4，解不等式 ，得 x2，把不等式 和 的解集在数轴上表示出来：；所以，原不等式组的解集为4x2，故答案为：x4，x 2，4x 2【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此
27、题的关键20（8 分）某校九年级有 1200 名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（）本次参加跳绳测试的学生人数为 50 ，图中 m 的值为 10 ；（）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得 3 分的学生有多少人？【分析】（）求得直方图中各组人数的和即可求得跳绳的学生人数，利用百分比的意义求得 m；（）利用加权平均数公式求得平均数，然后利用众数、中位数定义求解；（）利用总人数乘以对应的百分比即可求解【解答】解：（）本次参加跳绳的学生人数是 10+5+25+105
28、0（人），m100 10故答案是：50，10；（）平均数是： （102+53+25 4+105）3.7（分），众数是：4 分；中位数是：4 分；（）该校九年级跳绳测试中得 3 分的学生有 120010%120（人）答：该校九年级跳绳测试中得 3 分的学生有 120 人【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据21（10 分）已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BCD28（I）如图 ，求 ABD 的大小；（）如图，过点 D 作O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC，求OCD 的
29、大小【分析】（）根据圆周角定理可求ACB90，即可求ABD 的度数；（）根据切线的性质可得ODP90，且POD 2 BCD56，即可求P34，根据平行线性质和等腰三角形的性质可求OCD 的度数【解答】解：（）AB 是直径，ACB90，且BCD28，ACD62，ACDABD，ABD62（）连接 OD，DP 是 O 的切线，ODP 90 ，DOB 2 DCB，DOB 2 2856，P34，ACDP，POAC34，OAOC，OACOCA34，COBOAC+OCA68，CODCOB+ DOB 124CODOOCDODC28【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，熟练运用切线的
30、性质是本题的关键22（10 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 53方向，距离灯塔 100nmile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 南偏东 45方向上的 B 处这时，B处距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin530.80， cos530.60，tan530.33， 1.41）【分析】在 RtAPC 中，求出 PC 的长，再在 RtPBC 中，求出 BP【解答】解：APC905337，AP100nmile，PCAPcos37100sin5380（nmile），又BPC45，BP PC1.4180113（nmile ）答：B 处距离灯塔 P 有 1
31、13nmile【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想23（10 分）某教学网站策划了 A，B 两种上网学习的月收费方式收费方式 月使用费/元 月包时上网时间/h 月超时费/（元/h）A 7 25 0.6B 10 50 3设每月的上网时间为 xh（）根据题意，填写下表：收费方式 月使用费/元 月上网时间/h 月超时费/元 月总费用/元A 7 45 12 19 B 10 45 0 10 （）设 A，B 两种方式的收费金额分别为 y1 元和 y2 元，分别写出 y1，y 2 与 x 的函数解析式；（）当
32、x60 时，你认为哪种收费方式省钱？请说明理由【分析】（）根据表格中的数据可以计算出两种方式下超时费和总费用；（）根据题意，可以分别写出 y1，y 2 与 x 的函数解析式；（）根据（）中的函数关系式，令它们相等，求出 x 的值，再根据题意即可解答本题【解答】解：（）当上网时间为 45h 时，A 方式月超时费为：（4525）0.612（元），总费用为：7+1219（元），B 方式月超时费为 0 元，总费用为 10 元，故答案为：12，19；0，10；（）由题意可得，当 0x25 时，y 17，当 x25 时，y 17+0.6 （x 25）0.6x8，即 y1 与 x 的函数关系式为 y1 ，当
33、 0x50 时，y 210，当 x50 时，y 210+3 （x 50）3x140，即 y2 与 x 的函数关系式为 y2 ；（）当 x60 时，A 种收费方式省钱，令 0.6x83x140，得 x 55，当 x60 时，A 种收费方式省钱【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答24（10 分）如图，将一个矩形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（3，0），点 C 的坐标是（0，2），点 O 的坐标是（0，0），点 E 是 AB 的中点，在OA 上取一点 D，将BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处（）求点 E
34、、F 的坐标；（）如图 2，若点 P 是线段 DA 上的一个动点（点 P 不与点 D，A 重合），过 P 作PHDB 于 H，设 OP 的长为 x，DPH 的面积为 S，试用关于 x 的代数式表示 S；（）在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周长最小，请直接写出四边形 MNFE 的周长最小值【分析】（）求出 CF 和 AE 的长度即可写出点的坐标；（）用 x 表示出 PD 长度，结合三角函数进一步表示 DH，PH 的长度，运用三角形面积公式即可求解；（）作点 F 关于 y 轴的对称点 F，点 E 关于 x 轴的对称点 E，连接 EF 交 y 轴于点 N，交 x
35、轴于点 M，此时四边形 MNFE 的周长最小，求出 E和 F的坐标直接求线段长度即可【解答】解：（）点 A 的坐标是（3，0），点 C 的坐标是（0，2），OA3，OC2，根据矩形 OABC 知 ABOC 2，BCOA 3，由折叠知 DADFOC2，ODOA DA 1，点 F 坐标为（1，2），点 E 是 AB 的中点，EA1，点 E 的坐标是（3，1）；（）如图 2将BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，BFAB2，ODCF321，若设 OP 的长为 x，则，PDx1，在 Rt ABD 中，AB 2，AD 2，ADB45，在 Rt PDH 中，PHDHDP （x1）
36、，S DHPH （x1） （x1） + （1x3）；（）如图 3作点 F 关于 y 轴的对称点 F，点 E 关于 x 轴的对称点 E，连接 EF 交 y 轴于点N，交 x 轴于点 M，此时四边形 MNFE 的周长最小，可求，点 F（1，2）关于 y 轴的对称点 F（1，2），点 E（3，1）关于 x 轴的对称点 E（3，1），用两点法可求直线 EF的解析式为：y x+ ，当 x0 时，y ，当 y0 时，x ，N（0， ），M （ ，0），此时，四边形 MNFE 的周长EF+EF + 5+ ；在 x 轴、y 轴上分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周长最小，最小为 5+ 【点评】本题是
37、四边形的综合问题，主要考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定理等知识，注意求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题25（10 分）抛物线 yx 2bx +c 与 x 轴交于点 A（1，0），点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，其顶点为 D，直线 BD 与 y 轴交于点 E（1）求顶点 D 的坐标；（2）如图，设点 P 为线段 BD 上一动点（点 P 不与点 B、D 重合），过点 P 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 F，求BDF 的面积最大值；（3）点 Q 在线段 BD 上，当BDCQCE 时，求点 Q 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程
38、）【分析】（1）利用待定系数法将点 A（1，0），点 B（3，0）代入解析式求得 b，c的值，进而化为顶点式即可求得顶点 D 点坐标（2）根据解析式设出点 P，点 F 的坐标，表示出线段 PF 的长度，将BDF 分割为PFD 和PFB，利用三角形面积公式表示并相加即可（3）分析如图，设出 Q 点坐标，利用解直角三角形的方法求解即可【解答】解：（1）抛物线 yx 2bx +c 与 x 轴交于点 A（1，0），B（3，0）解得，抛物线解析式为，yx 22x 3将其化为顶点式为，y（x 1） 24故顶点 D 的坐标为（1，4 ）（2）如图，设直线 BD 解析式为，ykx+b点 B，D 的坐标分别为（
39、3 ，0），（1，4）解得，直线 BD 的解析式为，y2x6设点 P 的坐标（m，n）P 为线段 BD 上一动点（点 P 不与 B，D 重合），点 P 坐标为（m，2m6）（1m3）又点 F 是过点 P 作 x 轴的垂线与抛物线的交点，点 F 坐标为（m，m 22m3）又点 P 在点 F 上方，PF2m6 （m 22m3）m 2+4m3设 PF 交 x 轴于点 G，过点 D 作 DHPF 于点 HS BDF S PDF +SPBFS BDF PF（DH+DG） m 2+4m3化为顶点式为，S BDF （m2） 2+1又二次项系数，a1，即 a0，抛物线开口向下，S BDF 有最大值当 m2 时
40、，BDF 面积最大，最大值为 1（3）点 Q 坐标为（ ， ）如图，连接 BC，CD，由点 B（3， 0），点 C（0，3），点 D（1，4），由勾股定理得，CB 218，CD 22，BD 220BD 2CB 2+CD2BCD90在 RtBCD 中，tanBDC 3又BDCQCE，tanQCE3设点 Q 坐标为（n，2n6），过点 Q 作 QMCE 于点 M在 Rt CMQ 中，tanMCQ 3，解得，n 点 Q 的坐标为（ ， ）【点评】本题考查了利用待定系数法求解抛物线解析式以及将一般式化为顶点式并且读取顶点坐标的能力，另一方面考察了利用数形结合的思想设出坐标系内图象上的点，解决数学问题的一般思路
