1、2019 年湖南省湘潭市雨湖区临丰学校中考数学二模试卷一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）13 的相反数是（ ）A3 B3 C D2不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）A BC D32018 年 10 月 24 日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度 55000 米，则数据 55000 用科学记数法表示为（ ）A5510 5 B5.510 4 C0.5510 5 D5.510 54下列各式中，计算错误的是（ ）A2a
2、+3a5a B2x3x1Cx （2x ）x 22x D（x 3） 2x 65某班 5 位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：50、45、36、48、50则这组数据的众数是（ ）A36 B45 C48 D506已知 xy，且 x2+2x3，y 2+2y3，则 xy 的值为（ ）A2 B2 C3 D37如图，在ABC 中，D，E 分别在边 AC 与 AB 上，DEBC，BD、CE 相交于点O， ，AE 1，则 EB 的长为（ ）A1 B2 C3 D48如图，点 E 为平行四边形 ABCD 的边 AB 延长线上的一点，连接 DE 交 BC 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）A B C
3、D 二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）9分解因式：a 2+4a+4 10如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，CEAD ，且 CEBC，连接 BE 交对角线 AC 于点F，则 EFC 11函数 y 中，自变量 x 的取值范围是 12如图，在 RtBAC 和 RtBDC 中，BACBDC90，O 是 BC 的中点，连接AO、DO 若 AO3，则 DO 的长为 13如图，四边形 ABCD 内接于O ，连结 AC，若BAC35，ACB40，则ADC 14一次数学竞赛出了 15 个选择题，选对一题得 4 分，选错或不答一题倒扣 2 分，小明同学做了15 题，得 42 分设他做
4、对了 x 道题，则可列方程为 15关于 x 的一元二次方程 x22x k+1 有两个实数根，则 k 的取值范围是 16反比例函数 y ，y 在同一直角坐标系中的图象如图所示，则AMN 的面积为 （用含有 k1、 k2 代数式表示）三解答题（共 10 小题，满分 72 分）17（6 分）计算：（ ） 2 +| |+2cos30+（3.14） 018（6 分）先化简，再求值：（x2+ ） ，其中 x 19（6 分）在平面直角坐标系中，一次函数 y x+b 的图象与反比例函数 y （k0）图象交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D，其中 A 点坐标为（2，3）（1）求一次函
5、数和反比例函数解析式（2）若将点 C 沿 y 轴向下平移 4 个单位长度至点 F，连接 AF、BF，求ABF 的面积（3）根据图象，直接写出不等式 x+b 的解集20（6 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，PMAB，PNBC，垂足分别为点 M， N，求证：DPMN21（6 分）如图，一艘轮船在 A 处测得灯塔 P 在船的北偏东 30的方向，轮船沿着北偏东 60的方向航行 16km 后到达 B 处，这时灯塔 P 在船的北偏西 75的方向求灯塔 P 与 B 之间的距离（结果保留根号）22（6 分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、
6、有害垃圾、其它垃圾其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率23（8 分）如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!这是 2017 年微信圈一篇热传的文章国际上，法国教育部宣布从 2018 年 9 月新学期起小学和初中禁止学生使用手机为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图，的统计图，已知“查资料”的人数是 40 人请你根据以上信息解答下列问题：（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为 ，圆心角度数是 度
7、；（2）补全条形统计图；（3）该校共有学生 2100 人，估计每周使用手机时间在 2 小时以上（不含 2 小时）的人数24（8 分）某慈善组织租用甲、乙两种货车共 16 辆，把蔬菜 266 吨，水果 169 吨全部运到灾区已知一辆甲种货车同时可装蔬菜 18 吨，水果 10 吨：一辆乙种货车同时可装蔬菜 16 吨，水果 11吨（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？（2）若甲种货车每辆需付燃油费 1600 元，乙种货车每辆需付燃油费 1200 元，应选（1）种的哪种方案，才能使所付的燃油费最少？最少的燃油费是多少元？25（10 分）如图，在ABC 中，ACB 90，O 是 AB 上一
8、点，以 OA 为半径的O 与 BC 相交与点 D，与 AB 交于点 E，AD 平分FAB，连接 ED 并延长交 AC 的延长线于点 F（1）求证：BC 为O 的切线（2）求证：AEAF ；（3）若 DE3，sinBDE ，求 AC 的长26（10 分）如图，已知抛物线 yax 2+bx+c（a0）分别交 x 轴、y 轴于点 A（2，0）、B（0， 4），点 P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PCx 轴于点 C，交抛物线于点 D（1）若 a+b0求抛物线的解析式；当线段 PD 的长度最大时，求点 P 的坐标；（2）当点 P 的横坐标为 1 时，是否存在这样的抛物线，使得以 B、P、D 为
9、顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由2019 年湖南省湘潭市雨湖区临丰学校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1【分析】依据相反数的定义回答即可【解答】解：3 的相反数是3故选：A【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键2【分析】首先解不等式组中的每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即可确定不等式组的解集【解答】解：解不等式2x4，得：x2，解不等式 x+12，得：x 1，则不等式组的解集为 1x2，故选：B【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的
10、关键是熟练掌握解一元一次不等式组的基本步骤和依据3【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将数据 55000 用科学记数法表示为 5.5104故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式5a，不符合题意；B、
11、原式x，符合题意；C、原式2x +x2，不符合题意；D、原式x 6，不符合题意，故选：B【点评】此题考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键5【分析】根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即可求出答案【解答】解：在这组数据 50、45、36、48、50 中，50 出现了 2 次，出现的次数最多，则这组数据的众数是 50，故选：D【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数6【分析】x、y 可以看作是关于 t 的方程 t2+2t30 的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系解答即可【解答】解：依题意
12、可知，x、y 可以看作是关于 t 的方程 t2+2t30 的两个不相等的实数根，所以 xy3故选：C【点评】本题考查了根与系数的关系，观察已知两个方程的形式，得到“x、y 可以看作是关于t 的方程 t2+2t 30 的两个不相等的实数根”是解题的关键7【分析】先由 DEBC，根据平行线分线段成比例定理得到 ；同样得到 ，然后计算出 AB，从而得到 BE 的长【解答】解：DEBC， ；DEBC， ，AB3AE3，BE312故选：B【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等也考查了平行线分线段成比例定理8【分析】根据平行四边形的性质得到
13、 ADBC，ABCD，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AB CD ，BEF CDF， ， ，故 A 错误；BFAD ， ， ，故 B 正确；CDBE ， ，故 C 错误， ，故 D 错误故选：B【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）9【分析】利用完全平方公式直接分解即可求得答案【解答】解：a 2+4a+4（a+2） 2故答案为：（a+2） 2【点评】此题考查了完全平方公式法分解因式题目比较简单，注意要细心10【分析】由菱形及菱形一个内角为
14、 120，易得ABC 与ACD 为等边三角形CEAD 可由三线合一得 CE 平分ACD，即求得ACE 的度数再由 CEBC 等腰三角形把E 度数求出，用三角形内角和即能去EFC【解答】解：菱形 ABCD 中，BAD120ABBCCDAD，BCD120，ACBACD BCD60，ACD 是等边三角形CEADACE ACD30BCEACB+ACE 90CEBCECBE45EFC180EACE1804530105故答案为：105【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形及三线合一，三角形内角和按照题目给的条件逐步综合信息即能求出答案11【分析】由二次根式中被开方数为非负数且分母不等于零求解可得【解答】
15、解：根据题意，得： ，解得：x2 且 x2，故答案为：x2 且 x2【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负12【分析】利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题【解答】解：在 RtBAC 和 RtBDC 中，BACBDC90，O 是 BC 的中点，AO BC，DO BC，DOAO ，AO3，DO3，故答案为 3【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型13【分析】根据
16、三角形内角和定理求出ABC，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案【解答】解：ABC180BAC ACB105，四边形 ABCD 内接于O，ADC180ABC75，故答案为：75【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键14【分析】设他做对了 x 道题，则做错或不答（15x）道题，根据总分4答对题目数2答错或不答题目数，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解【解答】解：设他做对了 x 道题，则做错或不答（15x）道题，根据题意得：4x2（15x ）42故答案为：4x2（15x ）42【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正
17、确列出一元一次方程是解题的关键15【分析】先把方程化为一般式，再利用判别式的意义得到（2） 24（k1）0，然后解关于 k 的不等式即可【解答】解：x 22x k 1 0，根据题意得（2） 24（k1）0，解得 k2故答案为 k2【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根16【分析】依据 A（a， ），即可得到 M（a， ），N（ a， ），进而得出 ANaa，AM ，再根据 AMN 的面积 ANAM 进行计算即可【解答】解：设 A（a， ），
18、则 M（a， ），N （ a， ），ANa a，AM ，AMN 的面积 ANAM （a a）（ ） ，故答案为： 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：在反比例函数 y 图象上任一点的横坐标与纵坐标的乘积等于 k三解答题（共 10 小题，满分 72 分）17【分析】根据公式 an ，a 01（a0），特殊角的三角函数值 cos30 ，即可求解【解答】解：原式9+2 +2 +112【点评】此题主要考查实数的综合运算，此类题型，可以根据知识点分步进行计算即可18【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式（ + ） 2（x
19、+2）2x+4，当 x 时，原式2（ ）+41+43【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式19【分析】（1）将点 A 坐标代入解析式，可求解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点 B 坐标，即可求ABF 的面积；（3）直接根据图象可得【解答】解：（1）一次函数 y x+b 的图象与反比例函数 y （k0）图象交于A（3，2）、B 两点，3 （2）+ b，k236b ，k6一次函数解析式 y x+ ，反比例函数解析式 y（2）根据题意得：解得： ，S ABF 4（4+2）
20、12（3）由图象可得：x2 或 0x4【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求解析式，熟练运用函数图象解决问题是本题的关键20【分析】连结 PB，由正方形的性质得到 BCDC，BCPDCP，接下来证明CBP CDP，于是得到 DPBP ，然后证明四边形 BNPM 是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP MN，从而等量代换可证得问题的答案【解答】证明：如图，连结 PB四边形 ABCD 是正方形，BCDC，BCPDCP45在CBP 和CDP 中，CBPCDP（SAS）DPBPPMAB，PNBC，MBN90四边形 BNPM 是矩形BPMNDPMN【点评】本题主要考查的是正
21、方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，证得四边形 BFPE 为矩形是解题的关键21【分析】作 PHAB ，由题意得PAB30，PBA45，设 PHx，则AH x，BHx，PB x，由 AB16 可得关于 x 的方程，解之可得【解答】解：过点 P 作 PH AB 于点 H，由题意得PAB30，PBA45，设 PHx，则 AH x，BHx，PB x，AB16， x+x16，解得：x8 8，PB x8 8 ，答：灯塔 P 与 B 之间的距离为（8 8 ）km【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，注意在解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解
22、决的方法就是作高线22【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案【解答】解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为 A，B，C，D，垃圾要按 A，B，C、D 类分别装袋，甲拿了一袋垃圾，甲拿的垃圾恰好是 B 类：厨余垃圾的概率为： ；（2）画树状图如下：由树状图知，乙拿的垃圾共有 16 种等可能结果，其中乙拿的两袋垃圾不同类的有 12 种结果，所以乙拿的两袋垃圾不同类的概率为 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键23【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求
23、出“玩游戏”的百分比，乘以 360 即可得到结果；（2）求出 3 小时以上的人数，补全条形统计图即可；（3）由每周使用手机时间在 2 小时以上（不含 2 小时）的百分比乘以 2100 即可得到结果【解答】解：（1）根据题意得：1（40%+18%+7% ）35% ，则“玩游戏”对应的圆心角度数是 36035%126，故答案为：35%，126；（2）根据题意得：4040%100（人），3 小时以上的人数为 100（2+16+18+32）32（人），补全图形如下：；（3）根据题意得：2100 1344（人），则每周使用手机时间在 2 小时以上（不含 2 小时）的人数约有 1344 人【点评】此题考查
24、了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键24【分析】（1）设租用甲种货车 x 辆，表示出租用乙种货车为（16x）辆，然后根据装运的蔬菜和水果数不少于所需要运送的吨数列出一元一次不等式组，求解后再根据 x 是正整数设计租车方案；（2）方法一：根据所付的费用等于两种车辆的燃油费之和列式整理，再根据一次函数的增减性求出费用的最小值；方法二：分别求出三种方案的燃油费用，比较即可得解【解答】解：（1）设租用甲种货车 x 辆，租用乙种货车为（16x）辆，根据题意得 ，由得 x5，由得 x7，5x7，x 为正整数，x5 或 6 或 7，因此，有 3 种租车方案：方案一：租甲
25、种货车 5 辆，乙种货车 11 辆；方案二：租甲种货车 6 辆，乙种货车 10 辆；方案三：租甲种货车 7 辆，乙种货车 9 辆；（2）方法一：由（1）知，租用甲种货车 x 辆，租用乙种货车为（16x）辆，设两种货车燃油总费用为 y 元，由题意得 y1600x +1200（16x ），400x+19200，4000，y 随 x 值增大而增大，当 x5 时，y 有最小值，y 最小 4005+1920021200 元；方法二：当 x5 时，16511 辆，51600+11120021200 元；当 x6 时，16610 辆，61600+10120021600 元；当 x7 时，1679 辆，716
26、00+9120022000 元答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是 21200 元【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，找出题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键25【分析】（1）证明 AC OD，得ODB ACB 90，可得结论；（2）由 ODAC得ODEF，所以OEDF，根据等腰三角形的判定可得结论；（3）证明DAFCDFBDE根据等角的三角函数可得：，则 AF3DF9同理得：CF 的长，可得结论【解答】（本题 9 分）（1）证明：连接 ODAD 平分FAB，CADDAB，（1 分）在 O 中， OAOD，DABODA，CADODA， （2 分
27、）ACOD，ODB ACB 90，ODCB，CB 为O 的切线； （2）证明：由（1）知：ODAC （5 分）ODE FOED FAEAF （6 分）（3）解：AE 是O 的直径，ADE90AEAF，DFDE 3ACB90DAF+F90，CDF+F90，DAFCDFBDE （7 分）在 Rt ADF 中， ，AF3DF 9（8 分）在 Rt CDF 中， ACAFCF8（9 分）【点评】本题考查了切线的判定、运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题也考查了等腰三角形的性质和三角函数的定义26【分析】（1）把 A（2，0）、B（0，4）可得
28、关于 a，b，c 的方程组，结合 a+b0 可求得a，b，c 的值，从而得出答案；先根据 A，B 点的坐标得出直线 AB 解析式，设 P 点坐标为（m，2m +4），则D（m，2m 2+2m+4），从而得出 PD2m 2+2m+4（ 2m +4）2m 2+4m2（m1）2+2，即可得出答案；（2）先求出 AB2 ，PB ，将点 A 坐标代入解析式得 b2a2，从而得出抛物线的解析式为 yax 22（a+1）x+4 ，求出 x1 时 y 的值知 D（1，2a），再分 和两种情况分别求解可得【解答】解：（1）把 A（2，0）、B（0，4）代入 yax 2+bx+c，得 ，a+b0， ，抛物线的解析
29、式为 y2x 2+2x+4；设直线 AB 的解析式为 ykx+4，则 2k+40，k2，直线 AB 的解析式为 y2x +4，设 P 点坐标为（m，2m+4），则 D（m，2m 2+2m+4），PD2m 2+2m+4（2m+4）2m 2+4m2（m1） 2+2，当 m1 时，线段 PD 的长度最大，此时点 P 的坐标是（ 1，2）（2）存在如图 2，OB4， OA2，则 AB 2 ，当 x1 时，y2x +42，则 P（1，2），PB ，把 A（2，0）代入 yax 2+bx+4 得 4a+2b+40，解得 b2a2，抛物线的解析式为 yax 22（a+1）x +4，当 x1 时，yax 22（a+1 ）x+4a2a2+4 2a，则 D（1，2a），PD2a2a，DCOB，DPBOBA，当 时，PDBBOA，即 ，解得 a2，此时抛物线解析式为 y2x 2+2x+4；当 时，PDBBAO，即 ，解得 a ，此时抛物线解析式为 y x2+3x+4；综上所述，满足条件的抛物线的解析式为 y2x 2+2x+4 或 y x2+3x+4【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及相似三角形的判定与性质等知识点
