1、高三数学理科试题 第 1 页 共 12 页淮北 宿州 2019 届高三第二次模拟考试数学（理科）试题时间：120 分钟 满分：150 分注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷(选择题 60 分)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 i 为虚数单位，在复平面内，复数 的共
2、轭复数对应的点位于i2A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设全集为实数集 ，集合 ， ，则RA|4xB|31xB)C(ARA B C D|0x|20|0x3已知数列 为等比数列，则“ ”是“数列 单调递增”的na31anaA 充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4CPI 是居民消费价格指数的简称，它是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标下图为国家统计局发布的 2018 年 2 月-2019 年 2 月全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图（注：同比是今年第 n 个月与去年第 n 个月之比；环比表示连续 2 个单位周期（比如
3、连续两月）内的量的变化比，环比增长率=（本期数-上期数）/上期数100%）.下列说法错误的是A2019 年 2 月份居民消费价格同比上涨 1.5% B2019 年 2 月份居民消费价格环比上涨 1.0%第 6 题图高三数学理科试题 第 2 页 共 12 页C2018 年 6 月份居民消费价格环比下降 0.1% D2018 年 11 月份居民消费价格同比下降 0.3%5已知双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ，且离心率为 ，则该双曲线实12byax0,b23轴的长为 A. B. C. D.1326若实数 ， 满足 ，则 的最小值是 xyxy2yA2 B3 C4 D57如图，网格纸上小正方形的边长为
4、 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的体积为 A B C D 291638368已知 ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系为xf2)()5(log3fa)21(log3fb)3(lnfcabcA B C D bcacba9函数 的图像向右平移 个单位，若所得图像对应的函数在 是递增的，xxfsinc3)(4a,则 的最大值是aA B C D64310古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：取线段 ，过点 作 的垂线，并用圆规在垂线上截取2ABA，连接 ；以 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；以 为圆心，以
5、为半12BCCA径画弧，交 于点 ，则点 即为线段 的黄金分割点如图所示，在 中，扇形区域AE RtBC记为，扇形区域 记为，其余部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自DBD，的概率分别记为 ， ， ，（参考数据： ）则 1P2352.36A B 12PC D 3213第 7 题图第 10 题图高三数学理科试题 第 3 页 共 12 页11设函数 （其中 为自然对数的底数） ，函数0,219ln)(xexf ， e，若函数 恰有 4 个零点，则实数 的取值范围是)()(2fmfg )(xgmA. B C D21m2121或12.已知正四面体的中心与球心 O 重合，正四面体的棱长为 ，球的半径
6、为 ,则正四面体表面与球面65的交线的总长度为A. B. C. D.4282112第 II 卷 (非选择题，90 分)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 已知向量 ，则 )7,2(,3baba14在 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则 项的系数等于 _ nx2 x15在 中，内角 满足 ,则 的最小值为 ABC, BCBcostant)tan(t2A16.如图，抛物线 的焦点为 ,点 与 关于坐标原点 对称，xyE42： FMO过 的直线与抛物线交于 两点，使得 ，又 点在 轴上的FA,Ax投影为 ，则 CBC三、解答题：共 70 分解答应写出文
7、字说明、证明过程或演算步骤第 22、23 题为选考题17 （本小题满分 12 分）已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ， ， nannS1a121nnS（I）求数列 的项 ；na12n（II）求数列 的前 项和 .nS2 第 16 题图高三数学理科试题 第 4 页 共 12 页18 （本小题满分 12 分）如图，边长为 2 的菱形 中， 分别是 ， 的中点，将 ，ABCDFE， ABCDAE分别沿 ， 折起，使 ， 重合于点 . DCFEFP（I）已知 为线段 上的一点，满足 ，求证： 平面 .GPG3/G（II）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值D19.（本小题满分 12 分）
8、在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） ，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人的得分统计结果如下表所示：（I）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ， 近似为这 100 人得分的平均值.)198,(N（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求 ；)579.3(P（II）在（I）的条件下， “创城办 ”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加
9、此次问卷调查，记 （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 的分布列与X X数学期望赠送话费的金额（元） 20 50概率 3231第 16 题图高三数学理科试题 第 5 页 共 12 页附：参考数据： ；650491852475621534235 ；198若 ,则)(2NX ， 954.0)22(68.0)( XPXP，974.033P20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 ，右焦点 的坐标为 ，且点 在)0(1:2bayxCF），（ 02），（ 2椭圆 上.C（I）求椭圆 的方程及离心率；（II）过点 的直线交椭圆于 两点（直线不与 轴垂直 ），已知点 与点 关于 轴对称，FBA,xA
10、Px证明：直线 恒过定点，并求出此定点坐标P21.（本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 ， ，函数22ln(1)fxaxb01abR，其中 为自然对数的底数.1xge（I）判断函数 的单调性；f（II）设 ， 是函数 的两个零点，求证： ；1x2fx12x（III）当 ， 时，试比较 与 的大小并证明你的结论.abfg高三数学理科试题 第 6 页 共 12 页选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 轴的xOyltyx31
11、 x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 相交于Csin2colC两点，与 轴相交于点 ，BA,yP（I） 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；l（II）求 的值P123选修 45：不等式选讲 （10 分）已知函数 axf9)(（I）若 ，求实数 的值；103f（II）若函数 在区间 上的最大值是 10，求实数 的取值范围)(x9, a高三数学理科试题 第 7 页 共 12 页淮北 宿州市 2019 届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案1、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案
12、D B C D C C A D A B A A11.略解：作函数草图，设 ，原题等价于方程 一根在 ，一根在 上，txf)( 02)1(2tmt 1,),(由一元二次方程根的分布知识解得 .2m12.略解：易得正四面体内切球半径为 1，由球的半径知球被平面截得小圆半径为 2，故球被正四面体一个平面截曲线为三段圆弧，且每段弧所对中心角为 ，由数据求得所截曲线长为 .034第 II 卷 (非选择题，90 分)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 14 112 15 16. 441 1216.略解 法一：设 ,AB 过焦点得 ，又),(),(21yxBA1xBMA得 B
13、在以 MF 为直径的圆上，故 ，而 ， 24y得 ，2241xyx又 41)1( 22212 xxFA又 ，所以 四点共圆，进而得BMCABBCA故 4法二：可由 B 点垂直关系及 B 在抛物线上解得 ，并可计算求得结果为 4.),32(),32(1yy三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 22、23 题为选考题17 解（1）由 得， ，121nnSa121nnSa两式相减得 ，因为数列 为正项数列，高三数学理科试题 第 8 页 共 12 页所以 ，又 ， 3 分22na1故数列 是以 为首项，公差为 2 的等差数列，1所以 . 6 分2nn（2）由（1）知， ，由
14、 及 得2na1121nnSa32a故数列 是以 为首项，公差为 2 的等差数列，na23所以 - 8 分1所以 nn aS21322 . 12 分118解：（1）证明：在菱形 中，连接 ，记 ， ，ABCD,BEFACBDMEFBO则 ，对折后，连接 ，3BOMOG在 中， ， 2PD1G / ， 3又 平面 ，BEF平面 ， 4O /平面 . 5PG（2）连接 ，由 ，得 ， 平面 ，平面 平面 ，PFEEOPFDEPFDEF平面 ， 平面 .OD又 ， 两两垂直，以 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直BD, , zyx,角坐标系. 6则 ， ，所以 ，设 ，则在 中，1PFEPBEP
15、FBOPOaPDRt由 得， ， 822O50a在 中, 由勾股定理得， ， 9RtBF1OF高三数学理科试题 第 9 页 共 12 页则 ， ， ， ， ，0,51,B0,51F0,513,D510,P510,B，,F设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，PBzyxn,0nBFP051yxz取 ， 111,36n记直线 PD 与平面 PBF 所成的角为 .则 . 12sinco,PDn5119.解（1）由题意得,.25.610491852475625134235 98 .5)2()5.7.3( PP 0.94.82.50.15（2）由题意知， ，1获赠话费 的可能取值为 20，40，50，70
16、，100，X， ，3120P 92340PX， ，65171821X则 的分布列为：.1020 40 50 70 100P312619218高三数学理科试题 第 10 页 共 12 页451809276150924310EX20.解：（1）由已知得 ， 222abc解得 ， 3284ab椭圆 的标准方程 ， 4C2184xy椭圆 的离心率 . 52cea(2)设 ， ，则 ，1(,y)Px2B(,)1(,y)Ax可设 的直线方程为 km联立方程 ，整理得 ，2184yx22(1)480xkm 721218,kmxxk， 8AFBk21y整理得， ，9122()40xkxm ，解得 112281
17、mk 4k 的直线方程为： ，PB4()ykx直线 恒过定点 . 12(,0)21.解：（I） ，fx2ln(1)ax0当 时， ， ， ， 在 上递减；0,1x()0lfxfx0,1高三数学理科试题 第 11 页 共 12 页当 时， ， ， ， 在 上递增.1,x2(1)0ax2lnx0fxfx1,综上可知， 在 上递减， 在 上递增. 4f,f1,（II）不妨设 ，由题意及（I）可知， ， ，且12x,x2,xmin10fxfb令 ，Fff0,x则 x22ln(1)ab22ln()(1)xab2lxln2lxl ln()0x即 ， ， ， ， ,(01)fxf2112fffx10x12x
18、21由（I）知 在 上递增， ， . 8 ,x（III）当 ， 时， 在 上递减， 在 上2ab22ln()fxfx,fx,递增. . ， ，令 ，得 ，所以函数 在区间min1fxf1xge1xge0g1g单调递增，在区间 单调递减. .0,1,ma综上所述， 当且仅当 时等号成立. 12()fxx选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）解：（1） 直线 的参数方程为 ltyx31消去参数 后，直线 的普通方程为 ， 2tl 01y的极坐标方程为 ，Csin2co ， ， 2cos2inxy整理得
19、，曲线 C 的普通方程为 . 52)1()(2（2）设 两点对应的参数分别为 ，BA, 2,t高三数学理科试题 第 12 页 共 12 页将直线 方程 代入曲线 C 的 ltyx312)1()(2yx得， 7024t 81124t， = 10PBA2112121212 45ttttt 23选修 45：不等式选讲 （10 分）解：（1） ， ， 2(3)60fa60a解得 5220,61,a8.（2）当 ， 69,60xx当 时， ， ， ，舍去0a42faaxmax()2610f8a当 时， ，此时命题成立； 1910x当 时， ，ma()6,f则 或 ，601a10a解得 或 ， 9 8综上可得，实数 的取值范围是 10,8
