2019年河南省中原名校中考数学一模试卷(含答案解析)

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第 1 页,共 22 页2019 年河南省中原名校中考数学一模试卷一、选择题(本大题共 10 小题,共 30.0 分)1. - 的绝对值是( )52A. B. C. D. −25 52 25 −522. 国家统计局 2019 年 1 月 21 日发布数据显示2018 年我国国内生产总值超过 90万亿元,按平均汇率折算,经济总量达到 13.6 万亿美元.根据 2018 年中国大陆人口 139538 万人计算,人均 GDP 接近 1 万美元,将 13.6 万亿用科学记数法表示为( )A. B. C. D. 1.361014 1.361013 1.361012 1.3610113. “流浪地球”是 2019 年春节档冲出的一匹黑马,备受关注.将图中的图形剪去一个正方形,使剩余的部分恰好能折成一个正方体,则剪去哪个小正方形不能构成正方体( )A. 带 B. 着 C. 地 D. 流4. 如图,若直线 MN∥PQ,∠ ACB 的顶点 C 在直线 MN 与 PQ之间,若∠ ACB60°,∠CFQ35°,则∠CEN 的度数为( )A. B. C. D. 35∘ 25∘ 30∘ 45∘5. 压岁钱由来已久,古称“厌胜钱”、“压祟钱”等.铛铛同学在 2019 年春节共收到 10 位长辈给的压岁钱,分别是100 元、200 元、100 元、50 元、400 元、300元、50 元、100 元、200 元、400 元,关于这组数据,下列说法正确的是( )A. 中位数是 200 元 B. 众数是 100 元 C. 平均数是 200 元 D. 极差是 300 元6. 下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业,他做错的题目有( )①a 3÷a-1a2 ②(2a 3) 24a5 ③( ab2) 3 a3b6 ④2 -5 ⑤(ab) 2a2b212 16 132A. 2 道 B. 3 道 C. 4 道 D. 5 道7. 叮叮、铛铛两位同学参加中央美术学院的考试,要求从素描、速写和色彩中抽考一项,那么这两位学生抽到同一项的概率是( )A. B. C. D. 14 16 19 138. 如图,在△ABC 中,∠ BAC80°,以点 B 为圆心,以任意长度为半径画弧交 AB,BC 于点 D,E,分别以点 D,E 为圆心,以大于 DE 的长度为半径画12弧,两弧交于点 P,作射线 BP;以点 C 为圆心,以任意长度为半径画弧交 AC,BC 于点 M,N,分别以点 M,N 为圆心,以大于第 2 页,共 22 页MN 的长度为半径画弧,两弧交于点 Q,作射线 CQ;若 BP 与 CQ 相交于点 O,12则∠BOC 的度数是( )A. B. C. D. 100∘ 110∘ 120∘ 130∘9. 如图,在平面直角坐标系中,△OAB 是等腰三角形,∠OBA120°,位于第一象限,点 A 的坐标是( , ),332 32将△OAB 绕点 O 旋转 30°得到 △OA1B1,则点 A1 的坐标是( )A. B. 32,332 32,−332C. 或 D. 或32,332 3,0 32,332 332,−3210. 如图,已知平行四边形 ABCD 中,ABBC,点 M 从点 D 出发,沿 D→C →A 以1cm/s 的速度匀速运动到点 A,图 2 是点 M 运动时,△ MAB 的面积 y(cm 2)随时间 x(s)变化的关系图象,则边 AB 的长为( )A. B. C. D. 136 13 52 213二、填空题(本大题共 5 小题,共 15.0 分)11. 计算(π-3 ) 0______.12. 关于 x 的一元二次方程 kx22x-30 有实数根,则 k 的取值范围是______.13. 如图是二次函数 yax2bxc 的图象,已知点(2,y 1),(3,y 2)是函数图象上的两个点,则 y1,y 2 的大小关系是______.14. 如图,在△ABC 中,∠ BAC120°,AB AC4,现将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△A ′ B′C ,其中点 B 的运动路径为 ,点 A 的运动路径为 ,则图中阴影部分的面积是⏜𝐵𝐵′ ⏜𝐴𝐴′______.15. 如图,已知正方形 ABCD,边长为 8,E 是 AB 边上的一点,连接 DE,将△DAE 沿 DE 所在直线折叠,使点 A 的对应点A1 落在正方形的边 CD 或 BC 的垂直平分线上,则 AE 的长度是______.第 3 页,共 22 页三、计算题(本大题共 1 小题,共 8.0 分)16. 先化简,再求值( -x-y)÷x 2,其中 x-y- .𝑦2𝑦−𝑥 3四、解答题(本大题共 7 小题,共 67.0 分)17. 为推广传统文化,某学校布置了年味十足的寒假作业,比如包饺子、写春联、逛庙会等等,并要求学生拍照.现将八年级五班的学生作品进行展示,分为A,B ,C ,D 四个等级,并将结果绘制成以下两幅尚不完整的统计图请根据图中的信息解答下列问题(1)补全两个统计图;(2)请求出 C 等级所在扇形的圆心角的度数;(3)现准备从等级 A 的 4 人中随机抽取两人去参加学校比赛,其中小明和小丽都被抽到的概率是多少(4)请你对推广传统文化提出一条合理化建议.18. 如图,一次函数 ymxb 的图象经过 A(0,-2 ),B(-1 ,0)两点,与反比例函数 y 的图象在第二象限𝑛𝑥内的交点为 P,连接 OP,△ OBP 的面积为 1.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)若点 M(x,y)是直线 ymxb 上的一个动点,且满足 mxb> ,过点 M 作 MD⊥y 轴于点 D,是否存𝑛𝑥在一点 M 使△ADM 的面积为 16若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说第 4 页,共 22 页明理由.19. 如图,已知 BC 是⊙O 的切线,AC 是⊙O 的直径,连接 AB 交⊙O 于点 D.在 AB 上截取 AEAC,在△ ABC 中,连接 CE,交⊙O 于点 F.(1)求证∠BAC 2∠BCE;(2)连接 OD,DF,当∠ B______时,四边形 OCFD 是菱形.20. 如图,一艘游轮在海面上点 O 处遇到大雾天气,向处于A 处的救援船发出求救信号,救援船指定 B 地为相遇地点.其中游轮在救援船的北偏西 51°的方向上,在相遇点B 的南偏西 54°的方向上,相遇点 B 在救援船的北偏东 9°的方向上,救援船以 50 海里/时的速度行驶 2 小时到达 B地,若游轮的速度是 30 海里/时,求游轮用多长时间能到达 B 地(保留一位小数参考数据 ≈1.41, ≈1.73)2 321. 为支持国货,郑州格东律师事务所准备购买若干台华为电脑和华为手机奖励优秀员工.如果购买 1 台电脑,2 部手机,一共需要花费 10200 元;如果购买 2 台电脑,1 部手机一共需要花费 13200 元.(1)求每台华为电脑和每部华为手机的价格分别是多少元(2)财务张经理交代会记小李,购买华为电脑和手机一共 50 台/部,并且手机部数不少于电脑台数的 4 倍,那么小李最多应准备多少钱第 5 页,共 22 页22. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形,而对角线互相垂直的四边形也比较常见,比如筝形、菱形、图 1 中的四边形 ABCD 等.它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感.(1)如图 2,在四边形 ABCD 中,ABAD,CBCD,则 AC 与 BD 的位置关系是______,请说明理由.(2)试探究图 1 中四边形 ABCD 的两组对边 AB,CD 与 BC,AD 之间的数量关系,请写出证明过程.(3)问题解决如图 3,分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE,连接 CE,BG,GE ,已知 AC4,AB5,求 GE 的长.23. 如图,抛物线 y-x2bxc 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,直线 yx-5 经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一动点,求△BCP 面积 S 的最大值;(3)在抛物线上找一点 M,连接 AM,使得∠MAB∠ABC,请直接写出点 M 的坐标.第 6 页,共 22 页第 7 页,共 22 页答案和解析1.【答案】B【解析】解- 的绝对值是 ,故选B .根据绝对值的性质求解可得.本题主要考查绝对值,解题的关键是掌握绝对值的性质.2.【答案】B【解析】解13.6 万亿1360000000000001.3610 13, 故选B .科学记数法的表示形式为 a10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时, n 是正数;当原数的绝对值<1 时, n 是负数.此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a10n 的形式,其中 1≤|a|<10 ,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.3.【答案】C【解析】解根据正方体展开图可得应剪去标有文字“着” 或 “带”或“ 流”的小正方形. 但不能剪去“ 地” ,剪去后不能构成正方体, 故选C .根据正方体展开图的特点可得答案.此题主要考查了正方体展开图,关键是掌握正方体展开图的特点.4.【答案】B【解析】第 8 页,共 22 页解如图作 CK∥MN,∵MN∥PQ,MN∥CK,∴PQ∥CK,∴∠CEN∠ACK,∠FCK∠CFQ,∴∠ACB∠CEN∠CFQ,∴60°∠CEN35°,∴∠CEN25°,故选B .如图作 CK∥MN,证明基本结论∠ACB ∠CEN∠CFQ 即可解决问题.本题考查平行线的性质和判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题.5.【答案】B【解析】解将这 10 个数据重新排列为50 元、50 元、 100 元、100 元、100 元、200 元、200 元、300 元、400 元、 400 元,∴这组数据的中位数是 150(元),A 选项错误 ;众数为 100 元,B 选项正确;平均数为 190(元),C 选项错误;极差为 400-50350(元),D 选项错误;故选B .将数据重新排列后,依据中位数、众数和平均数、极差的定义逐一判断即可得.本题主要考查极差,解题的关键是掌握中位数、众数和平均数、极差的定 义.6.【答案】C【解析】解①a 3÷a-1a4,故此选项错误;②(2a3)24a6,故此 选项错误;第 9 页,共 22 页③( ab2)3 a3b6,故此选项错误;④2-5 ,正确;⑤(ab)2a22abb2,故此选项错误;则错误的一共有 4 道.故选C .直接利用完全平方公式以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案.此题主要考查了完全平方公式以及同底数幂的乘除运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.7.【答案】D【解析】解画树状图如下由树状图知,共有 9 种等可能结果,其中 这两位学生抽到同一项的有 3 种结果,所以这两位学生抽到同一项的概率为 ,故选D.画树状图展示所有 9 种等可能的结果数,再找出这两位学生抽到同一项的结果数,然后根据概率公式求解.本题考查了列表法与树状图法利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n,再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m,然后利用概率公式 计算事件 A 或事件 B 的概率.8.【答案】D【解析】解由作图可知∠OBC ∠ABC,∠OCB ∠ACB,∵∠A80°,∴∠ABC∠ACB100°,∴∠BOC180°- (∠ABC∠ACB)180°-50°130°,第 10 页,共 22 页故选D.由作图可知∠OBC ∠ABC,∠OCB ∠ACB,根据∠ BOC180°-(∠ABC∠ACB)计算即可.本题考查作图-复杂作图,三角形内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握五种基本作图,属于中考常考题型.9.【答案】C【解析】解如图,∵A( , ),∴OA 3,∵BABO,∠ABO120°,∴∠AOB30°,∴△OAB 绕点 O 旋转 30°得到△ OA1B1,则点 A1 的坐标是( , )或(3,0),故选C .两个勾股定理求出 OA 的长,分两种情形分别求解即可解决问题.本题考查坐标与图形的性质,勾股定理,旋转变换等知识,解 题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.10.【答案】A【解析】解由图象可知,当 M 从点 D 运动到 C 时,△MAB 的面积不变为 a,∴CDa,ABBCa,S△MABa,当 M 从点 C 运动到 A 时, △MAB 的面积逐渐减小,一直到 0,∴ACa -a ,第 11 页,共 22 页连接 BD,与 AC 交于点 O,∵ABBC,∴平行四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD,AOCO ,BO ,∵S△MABa,∴ ,即 ,化简,得 ,解得 a 或 (舍去).∴AB 的长为 .故选A.由图象可知,当 M 从点 D 运动到 C 时,△MAB 的面积不变为 a,所以CDa,ABBCa,S△MABa,当 M 从点 C 运动到 A 时,△MAB 的面积逐渐减小,一直到 0,所以 ACa -a ,于是连接 BD,与 AC 交于点 O,由 ABBC,可知平行四边形 ABCD 为菱形,得到 AC⊥BD,AOCO ,BO ,由 S△MABa,得 ,即,得 a .本题考查了动点问题的函数图象,正确理解函数图象的意义是解题的关键.11.【答案】1【解析】解(π-3) 01, 故答案为1.第 12 页,共 22 页根据零指数幂的性质即可得出答案.本题主要考查了零指数幂的性质,比较简单.12.【答案】k 且 k≠0≥−13【解析】解∵关于 x 的一元二次方程 kx22x-30 有实数根,∴△b2-4ac≥0,即412k≥0,解得k≥- ,∵关于 x 的一元二次方程 kx2-2x10 中 k≠0,故答案为k 且 k≠0.根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围,进而可以得到关于 k的不等式,解得即可,同时还应注意二次项系数不能为 0.本题考查了根的判别式,解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.13.【答案】y 1>y 2【解析】解抛物线的对称轴是 x ,开口向下,∴y 随 x 的增大而减小,∵2<3,∴y1>y 2.故答案为y 1>y 2.先求出抛物线对称轴,由图象可知抛物线开口向下,再根据两个点与对称轴距离的大小及抛物线的增减性即可判断纵坐标的大小.本题主要考查了抛物线线上点坐标的特征,找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键.14.【答案】16𝜋3【解析】第 13 页,共 22 页解如图 1,过 A 作 AD⊥BC 于 D∵∠BAC120°,ABAC4,∴AD2,BDCD2∴BC4∵根据旋转的性质知∠BCB ∠ACA 60°, △ABC≌△A B C,∴S△ABCS△A B C,∴S 阴影 S 扇形 CB BS△A B C-S△ABC-S 扇形 CA A - .故答案是 π.图中阴影部分的面积扇形 CBB 的面积三角形 A B C 的面积-三角形 ABC的面积-扇形 CAA 的面积.又由旋 转的性质知△ABC≌△ A B C,代入计算可得结论.S 扇形 CB B本题考查了扇形面积的计算.解题的难点是找出图中阴影部分的面积扇形CBB 的面积-扇形 CAA 的面积.15.【答案】16-8 或3833【解析】解分两种情况①当点 A 的 对应点 A1 落在正方形的 边 CD 的垂直平分线 MN 上时,如图 1所示由折叠的性质得∠DA 1E∠A90°,A1DAD8,则 MN⊥AB,MN⊥AB,DM CD4,A1DAD8,∴∠DA1M30°,A1M 4 ,∴∠EA1N180°-30°-90°60°,A1N8-4 ,∴∠A1EN90°-60°30°,∴AEA1E2A1N16-8 ;②当点 A 的 对应点 A1 落在正方形的 边 BC 的垂直平分线 GH 上时,作 AP⊥AB 于 P,如图 2 所示第 14 页,共 22 页则 DGA1P AD4,A1DAD8,∠DA1E90°,AEA1E,∴DG A1D,∴∠DA1G30°,∴∠PA1E30°,∴AEA1E ;综上所述,AE 的长为 16-8 或 ;故答案为16-8 或 .分两种情况①当点 A 的对应点 A1 落在正方形的边 CD 的垂直平分线 MN上时,由折叠的性质得∠DA 1E∠A90°,A1DAD8,则MN⊥AB,MN⊥AB,DM CD4,A1DAD8,得出∠DA 1M30°,由勾股定理求出 A1M4 ,求出∠EA 1N60°,A1N8-4 ,得出∠A 1EN30°,再由直角三角形的性质即可得出结果;②当点 A 的 对应点 A1 落在正方形的 边 BC 的垂直平分线 GH 上时,作AP⊥AB 于 P,解法同①.本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识;熟练掌握翻折变换的性质和直角三角形的性质是关键.16.【答案】解原式( - )𝑦2𝑦−𝑥𝑦2−𝑥2𝑦−𝑥 1𝑥2 𝑥2𝑦−𝑥1𝑥2 ,1𝑦−𝑥当 x-y- ,即 y-x 时,3 3原式 .13 33【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将 y-x 的值代入计算可得.第 15 页,共 22 页本题主要考查分式的混合运算,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.17.【答案】解(1)∵C 级对应的百分比为 1-(104020)30,被调查的总人数为 4÷1040,∴C 级人数为 403012(人),补全图形如下(2)C 等级所在扇形的圆心角的度数为 360°30108°;(3)记这 4 个人分别为甲、乙、丙、丁,其中小明和小丽分别为甲、乙,画树状图得∵共有 12 种等可能的结果,小明和小丽两名选手恰好被抽到的有 2 种情况,∴小明和小丽都被抽到的概率是 ;21216(4)建议以不同形式体现自己对传统文化的认知(答案不唯一).【解析】(1)根据百分比之和为 1 求得 C 级百分比,由 A 级人数及其百分比求得总人数,据此求出 C 级人数即可 补全图形; (2)用 360°乘以 C 级对应 百分比; (3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小丽两名选手恰好被抽到的情况,再利用概率公式求解即可求得答案. (4)提出合理化建议均可以(答案不唯一).本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每第 16 页,共 22 页个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小,也考查了树状图法求概率.18.【答案】解(1)∵一次函数 ymxb 的图象经过 A(0,-2),B(-1,0)两点,∴ ,{−2𝑏0−𝑘𝑏解得, ,{𝑘−2𝑏−2∴∵△OBP 的面积为 1,BO1,∴P 点纵坐标为2,把 y2 代入 y-2x-2 中,得 x-2,∴P( -2,2),把 P(-2,2)代入 y 中,得 n-4,𝑛𝑥∴反比例的解析式为y- ;4𝑥(2)∵点 M(x ,y)是直线 ym-2x-2 上的一个动点,∴M( x, -2x-2),∴MD|x|,AD |-2x-22||-2x|,∵S△ADM16,∴ ,12|𝑥||−2𝑥|16解得,x±4,由方程组 得, , ,{𝑦−2𝑥−2𝑦−4𝑥 {𝑥1−2𝑦1−2 { 𝑥21𝑦2−4∴一次函数与反比例函数的图象的交点为(-2 ,-2)和(1,-4),∴mxb> 解集为x <-2 或 0<x<1,𝑛𝑥∴只取 x-4,∴M( -4,6),故存在点 M,其坐标为 M(-4,6).【解析】(1)利用已知点 A 和点 B 坐标代入一次函数解析式,再利用 △OBP 的面积得出 P 点纵坐标 ,进而求得反比例函数的解析式;(2)用 x 表示出 PD 与 AD 的长度,再根据面 积求出 x 的值,再根据 mxb>求得 x 的取值范围,进而确定 x 的值.本题是反比例函数与一次函数交点问题,考查了待定系数法求函数解析式,数形结合的思想,用函数图象求不等式的解集,求函数的交点坐标,三角形第 17 页,共 22 页的面积的应用,求函数图象的交点坐标,常用方法是联立方程组, 转化求方程组的解,数形结合,用坐标正确表示出三角形的底边与高是涉及面积题的解题关键.19.【答案】30°【解析】(1)证明连接 AF,如图,∵AC 为直径,∴∠AFC90°,即 AF⊥CE,∵ACAE,∴AF 平分∠EAC ,即∠ EAF∠CAF,∵BC 切⊙ O 于 C,∴∠ACB90°,∴∠BCE∠CAF,∴∠BAC2∠BCE;(2)解连接 OF,如图,∵∠EAF∠CAF,∴FDFC,当∠ ACE60°时,CFOCODFD,此时四边形 OCFD 为菱形,∵AEAC,∴△ACE 为等边三角形,∴∠BAC60°,∴∠B30°,即当∠ B30°时,四 边形 OCFD 是菱形.故答案为 30°.(1)连接 AF,如图,根据圆周角定理得到 AF⊥CE,再根据等腰三角形的性质得 AF 平分∠EAC,接着利用切线的性质得到∠ACB90°,则根据等角的余角相等得到∠BCE∠CAF,从而得到∠BAC2 ∠BCE;(2)连接 OF,如图,利用∠EAF∠CAF 得到 FDFC,根据菱形的判定∠ACE60°,此时四边形 OCFD 为菱形,然后 计算出∠A 的度数,从而得到∠B 的度数.第 18 页,共 22 页本题考查了切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理、等腰三角形的性质和菱形的判定.20.【答案】解作 OC⊥AB 于 C,由题意得,∠OAB60°,∠ OBA45°,设 OCx 海里,则 BCx 海里, OB x 海里,2在 Rt△OAC 中,AC x,𝑂𝐶𝑡𝑎𝑛∠𝑂𝐴𝐶33由题意得, xx502,33解得,x150-50 ,3∴OB x150 -50 ,2 2 6游轮到达 B 地所用的时间为 ≈3.4(时).1502−50630【解析】作 OC⊥AB 于 C,根据等腰直角三角形的性 质用 x 表示出 BC、OB,根据正切的定义用 x 表示出 AC,根据 题意列方程,解方程得到答案.本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题,掌握方向角的概念、熟 记锐角三角函数的定义是解题的关键.21.【答案】解(1)设每台华为电脑的价格是 x 元,每部华为手机的价格是 y 元,根据题意得 ,{𝑥2𝑦102002𝑥𝑦13200解得 ,{𝑥5400𝑦2400答每台华为电脑的价格是 5400 元,每部华为手机的价格是 2400 元,(2)设购买华为电脑 m 台,则购买华为手机( 50-m)台,购买手机和电脑总共需要W 元钱,根据题意得50-m≥4m,解得m≤10,W5400m2400(50- m)3000m120000,即 W 是 m 的一次函数,∵k3000>0∴W 随 m 增大而增大,∴当 m10 时,W 取到最大值,W (最大)150000,答小李最多应准备 150000 元钱.【解析】(1)设每台华为电脑的价格是 x 元,每部华为手机的价格是 y 元,根据“ 如果购买 1 台电脑,2 部手机,一共需要花费 10200 元;如果购买 2 台电脑, 1 部第 19 页,共 22 页手机一共需要花费 13200 元”,列出关于 x 和 y 的二元一次方程 组,解之即可,(2)设购买华为电脑 m 台,则购买华为手机(50-m)台,购买手机和电脑总共需要 W 元钱 ,根据“手机部数不少于电脑台数的 4 倍”,列出关于 m 的一元一次不等式,解之,根据题意列出 W 关于 a 的一次函数表达式,根据一次函数的增减性,结合 m 的取值 范围,即可得到答案.本题考查了一次函数的应用,二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,根据题意中的数量关系列出方程组、不等式、一次函数关系式是解决 问题的关键.22.【答案】AC⊥BD【解析】(1)解AC⊥BD,理由如下连接 AC、BD,如图 2 所示∵ABAD,∴点 A 在线段 BD 的垂直平分线上,∵CBCD,∴点 C 在线段 BD 的垂直平分 线上,∴直线 AC 是 线段 BD 的垂直平分线,∴AC⊥BD,故答案为AC⊥BD;(2)解AD 2BC2AB2CD2;理由如下如图 1,已知四边形 ABCD 中,AC⊥BD,设 BD、AC 相交于 E,∵AC⊥BD,∴∠AED∠AEB∠BEC∠CED90°,由勾股定理得,AD 2BC2AE2DE2BE2CE2,AB2CD2AE2BE2CE2DE2,∴AD2BC2AB2CD2;第 20 页,共 22 页(3)解如图 3,连接 CG、BE,∵四边形 ACFG 和四边形 ABDE 是正方形,∴ACAG,ABAE,∠CAG∠BAE90°,∴∠CAG∠BAC∠BAE∠BAC,即∠ GAB∠CAE,在△GAB 和△CAE 中, ,∴△GAB≌△CAE(SAS),∴∠ABG∠AEC,又∠ AEC∠AME90°,∴∠ABG∠AME90°,即 CE⊥BG,由(2)得,CG 2BE2CB2GE2,在 Rt△ABC 中,AC4,AB5,根据勾股定理得,BC 252-429,∵CG 和 BE 分 别是正方形 ACFG 和正方形 ABDG 的对角线,∴CG2424232,BE2525250,∴GE2CG2BE2-CB23250-973,∴GE .(1)根据垂直平分线的判定定理证出点 A 在线段 BD 的垂直平分线上,点 C在线段 BD 的垂直平分线上,即可得出结论;(2)根据垂直的定义和勾股定理得出AD2BC2AE2DE2BE2CE2,AB2CD2AE2BE2CE2DE2,即可得出结论;(3)先由 SAS 证明△GAB≌△ CAE,得出∠ABG∠AEC,进而证出 CE⊥BG,再根据勾股定理、结合(2)的结论计算,即可得出 结果.此题是四边形综合题,主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用;熟练掌握正方形的性质,灵活运用勾股定理是解题的关键.第 21 页,共 22 页23.【答案】解(1)yx -5,令 x0,则 y-5,令 y0,则 x5,即点 B、C 的坐标为(5,0)、( 0,-5),则 y-x2bxc-x2bx-5,将点 B 坐标代入上式并解得b 6,故抛物线的表达式为y-x 26x-5①,令 y0,则 x1 或 5,即点 A(1,0);(2)过点 P 作 PH∥y 轴交直线 BC 与点 H,设点 P(x, -x26x-5),则点 H(x ,x-5 ),S△BCP PHOB (-x 26x-5-x5)- x2 x,12 125 52 252∵- <0,故 S△BCP有最大值,52当 x- 时,S △BCP最大值为 ;𝑏2𝑎52 1258(3)①当点 M 在 x 轴上方时,∠MAB∠ ABC45°,则直线 AM 表达式中的 k 值为 1,设直线 AM 的表达式为y xb,将点 A 坐标代入上式并解得b-1,故直线 AM 的表达式为y x-1②,联立①②并解得x1 或 4(舍去 x1),故点 M 的坐标为(4,3);②当点 M 在 x 轴下方时,同理可得点 M′(6,-5);故点 M 的坐标为(4,3)或( 6,-5 ).【解析】(1)求出点 B、C 的坐标为 (5,0)、(0,-5),则 y-x2bxc-x2bx-5,将点 B坐标代入上式并解得b6,即可求解;(2)S△BCP PHOB (-x26x-5-x5),即可求解;第 22 页,共 22 页(3)分点 M 在 x 轴上方和 x 轴下方两种情况,分别求解即可.主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.
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