1、2016 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1、设 x ,则不等式 的解集为_R13x2、设 ，期中 为虚数单位，则 =_iZ23iImz3、已知平行直线 ，则 的距离_012:,0:1 yxlyxl 21,l4、某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 则这组数据的中位数是_（米）5、已知点 在函数 的图像上，则(,9)xaf)( _)()(1x
2、fxf的 反 函 数6、如图，在正四棱柱 中，底面 的边长为 3， 与底面所成角的大小为1DCBAAB1BD，则该正四棱柱的高等于_32arctn7、方程 在区间 上的解为_ 学.科.网si1cos2x,08、在 的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于_n39、已知 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_ABC10、设 若关于 的方程组 无解，则 的取值范围是_.0,ba,xy1axybba11.无穷数列 由 k 个不同的数组成， 为 的前 n 项和.若对任意 ， ，则 k 的最大n nSNn3,2nS值为.12.在平面直角坐标系中，已知 A（1,0） ，
3、B（0，-1） ，P 是曲线 上一个动点，则 的取21xyBAP值范围是.13.设 ，若对任意实数 都有 ，则满足条件的有序实数组2,0,cRbaxcbaxsin3sin2的组数为.,14.如图，在平面直角坐标系 中，O 为正八边形 的中心，xy821A.任取不同的两点 ，点 P 满足 ，则点0,1AjiA, 0jiOP 落在第一象限的概率是.2、选择题（54=20）15.设 ，则“ ”是 “ ”的（ ）Ra12a（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（A） （B）cos56ins56（C） （D）
4、17.已知无穷等比数列 的公比为 ，前 n 项和为 ，且 .下列条件中，使得naqnSSnlim恒成立的是（ ）NnS2（A） （B ）7.06.,1qa 6.07.,01qa（C） （D）8818、设 、 、 是定义域为 的三个函数，对于命题：若 、 、()fxg()hxR()fxg()fxh均为增函数，则 、 、 中至少有一个增函数；若 、ghf()gxh、 均是以 为周期的函数，则 、 、 均是以 为周期的函数，下列()fx()xT()fxg()hxT判断正确的是（ ）、和均为真命题 、和均为假命题AB、为真命题，为假命题 、为假命题，为真命题 学科.网CD三、解答题（74 分）19.将
5、边长为 1 的正方形 （及其内部）绕的 旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，1AO1OAC23长为 ，其中 与 在平面 的同侧。A1B3BC1（1）求三棱锥 的体积；学.科网1（2）求异面直线 与 所成的角的大小。A OC1A1B120、 （本题满分 14）有一块正方形菜地 , 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到 点或河边运走。于是，菜地EFGHF分为两个区域 和 ，其中 中的蔬菜运到河边较近， 中的蔬菜运到 点较近，而菜地内 和 的1S21S2S1S2分界线 上的点到河边与到 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，C其中原点 为 的中点，点 的坐标为（1,0） ，如图O（1）求菜地内的分界线
6、的方程（2）菜农从蔬菜运量估计出 面积是 面积的两倍，由此得到 面积1S2 1S的“经验值”为 。设 是 上纵坐标为 1 的点，请计算以 为一38MCEH边、另一边过点 的矩形的面积，及五边形 的面积，并判断OMG哪一个更接近于 面积的经验值1S21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 且与双曲线交于 两点。21(0)yxb2F、 lFAB、（1）若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；l21FAB（2）设 ，若 的斜率存在，且 ，求 的斜率. 学科&网3bl1()0FABl22
7、.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.已知 ，函数 .aR21()log()fxa（1）当 时，解不等式 ；50f（2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的取值范围；x2()log(4)50axa（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过 1，求 的0a1,t(f,1ta取值范围.23. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.若无穷数列 满足：只要 ，必有 ，则称 具有性质 .na*(,)pq
8、aN1pqanaP（1）若 具有性质 ，且 ， ，求 ；P1245,36783（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列， ， ，nbnc15bc518c判断 是否具有性质 ，并说明理由；nnaca（3）设 是无穷数列，已知 .求证：“对任意 都具有性质 ”的充要 *1si()nnbaN1,naP条件为“ 是常数列”.nb参考答案1. )4,2(2. 33. 54. 76.15. 2log(x)6. 7. 56或8. 129. 3710. +或11. 412. 0,1213. 414. 5815.A16.D17.B18.D19. （1）由题意可知，圆柱的高 ，底面半径 1h
9、1r由 的长为 ，可知 A33A，1111sin24S11C3V32hAA（2）设过点 的母线与下底面交于点 ，则 ，11/A所以 或其补角为直线 与 所成的角C1C1由 长为 ，可知 ，A323A又 ，所以 ，1从而 为等边三角形，得 CC1因为 平面 ，所以 1在 中，因为 ， ， ，所以 ，1211C4从而直线 与 所成的角的大小为 1CA420. （1）因为 上的点到直线 与到点 的距离相等，所以 是以 为焦点、以FF为准线的抛物线在正方形 内的部分，其方程为 （ ） G24yx02y（2）依题意，点 的坐标为 1,4所求的矩形面积为 ，而所求的五边形面积为 5214矩形面积与“经验值
10、”之差的绝对值为 ，而五边形面积与“经验值”之差58236的绝对值为 ，所以五边形面积更接近于 面积的 “经验值” 184321S考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积.21（1）设 ,xyA由题意， ， ， ，2F,0c21b241ycbA因为 是等边三角形，所以 ，13即 ，解得 2443b2故双曲线的渐近线方程为 yx（2）由已知， ， 1F2,02,设 ， ，直线 显然 1,xyA2,y:l2ykx0k由 ，得 23ykx22343k因为 与双曲线交于两点，所以 ，且 l 202610k设 的中点为 A,xy由 即 ，知 ，故 1F01FA1F1Fk而 ， ， ，23xk263y
11、kxk123所以 ，得 ，故 的斜率为 231k25l522.解：（1）由 ，得 ，2log0x1x解得 ,4x（2） ， ，125axa24510xa当 时， ，经检验，满足题意当 时， ，经检验，满足题意312当 且 时， ， ， a414xa21x2x是原方程的解当且仅当 ，即 ；1x10a是原方程的解当且仅当 ，即 2 2x1于是满足题意的 1,a综上， 的取值范围为 3,4（3）当 时， ， ，120x12ax2211loglogaaxx所以 在 上单调递减fx0,函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， 1t ft1ft即 ，对任意221loglogft aatt20tat成立1
12、,2t因为 ，所以函数 在区间 上单调递增， 时，0a21yatt1,212ty有最小值 ，由 ，得 31403故 的取值范围为 a2,23.解析：（1）因为 ，所以 ， ， 52a63a74a852a于是 ，又因为 ，解得 6783a82136（2） 的公差为 ， 的公比为 ，nb0nc3所以 ， 1219n158nn503nnnabc，但 ， ， ，158248a6026a所以 不具有性质 n（3）证充分性：当 为常数列时， nb1sinnaba对任意给定的 ，只要 ，则由 ，必有 1pq11isinpqba1pqa充分性得证必要性：用反证法证明假设 不是常数列，则存在 ，nbk使得 ，而 12kbb1kb下面证明存在满足 的 ，使得 ，但 1sinnaan121kaa21ka设 ，取 ，使得 ，则sifxm， ，故存在 使得 0mb0fbc0f取 ，因为 （ ） ，所以 ，1ac1sinna1k21sinaa依此类推，得 2kc但 ，即 211sisisinkkbb21k所以 不具有性质 ，矛盾na必要性得证综上， “对任意 ， 都具有性质 ”的充要条件为“ 是常数列” 1nanb
