1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第卷（选择题）和第（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分参考公式：如果事件 A，B
2、互斥，那么 如果事件 A，B 相互独立，P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A) P(B)柱体的体积公式 V 柱体=Sh， 圆锥的体积公式 V = Sh 31其中 S 表示柱体的底面积其中 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示圆锥的高h 表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合 ， ，则 =3,21A,12|AxyBB（A） （B） （C） （D）,33,21（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为2（A） （B） （C） （D ）65526131（3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个
3、棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（4）已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，)0,(12bayx 52 02yx则双曲线的方程为（A）（B ）142yx142yx（C） （ D）5302 2035（5）设 ， ，则“ ”是“ ”的xRyyx|（A） 充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足 ，)(xfR)0,(a)2()2(|1ffa则 的取值范围是a（A） （B） （C） （D）)21,(),23()1,()23,1(),2
4、3(（7）已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 分别是边 的中点，连接 并延长到点 ，EDBAEF使得 ，则 的值为 EFDAC（A） （B） （C） （D）8584181（8）已知函数 ， .若 在区间 内没有零点，则)0(2sin12si)( xxf Rx)(f)2,(的取值范围是（A） （B） （C） （D）81,0( ),854,0(85,( 85,41,0(第卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共 12 小题，共计 110 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.（9）i 是虚数单位，复数 满足 ，则 的实部为_.z(1
5、)2iz（10）已知函数 为 的导函数，则 的值为_.()2+,xfxef(fx(0)f（11）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为_.S（第 11 题图）（12）已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 在圆 C 上，且圆心到直线 的距离为(0,5)M20xy，则圆 C 的方程为_.45（13）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED ，则线段 CE 的长为_.(14) 已知函数 在 R 上单调递减，且关于 x 的方程2(43),0() (1)log1axxf a且恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是 _.|()|23xf三、
6、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15） （本小题满分 13 分）在 中，内角 所对应的边分别为 a,b,c，已知 .ABC, sin23siaBbA()求 B；()若 ，求 sinC 的值1cosA3(16)(本小题满分 13 分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮
7、乙种肥料，产生的利润为 3 万元.分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.()用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.(17)(本小题满分 13 分)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED平面ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE= ，DE=3 ，BAD=60，G 为 BC 的中点.6()求证：FG| 平面 BED；()求证：平面 BED平面 AED；()求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 .(18)(本小题满分 13 分)已知 是等比数列，前
8、n 项和为 ，且 .nanSN6123,Sa()求 的通项公式；n()若对任意的 是 和 的等差中项，求数列 的前 2n 项和.,bnN2logna21ln21nb（19） （本小题满分 14 分）设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右顶点为 ，已知 ，其中 为原132yax3aFA|3|1|FAeOO点， 为椭圆的离心率.e（）求椭圆的方程；（）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上） ，垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点AlBxllMy，若 ，且 ，求直线的 斜率.HFBMAOl（20） （本小题满分 14 分）设函数 ， ，其中baxf3)(Rba,（）求 的单调区间；（）若 存在极
9、值点 ，且 ，其中 ，求证： ；)(xf0x)(01xff01x021x（ ）设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于 .a|)(|gg,42016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）参考答案一、选择题：（1） 【答案】A（2） 【答案】A（3） 【答案】B（4） 【答案】A（5） 【答案】C（6） 【答案】C（7） 【答案】B（8） 【答案】D二、填空题：（9） 【答案】1（10） 【答案】3（11） 【答案】4（12） 【答案】 2()9.xy（13） 【答案】 3(14) 【答案】 12,)三、解答题（15）【答案】 （） （）6B21【解析】试题分析：（）利
10、用正弦定理，将边化为角： ,再根据三角形内角范围化2sincos3inBsAA简得 ， （）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为 ，将所求角化为两已知角23cosB6 的和，再根据两角和的正弦公式求解试题解析：（）解：在 中，由 ，可得 ，又由ABCBbasiniAbasini得 ，所以 ，得 ；bBasin32siAai3cosi2 23coB6（）解：由 得 ，则 ，所以1coA32i )sin()(sini AC)6sin(iC61cossin2A考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理(16)【答案】 （）详见解析（）生产甲种肥料 车皮，乙种肥料
11、车皮时利润最大，且最大利润为 万202412元【解析】试题分析：（）根据生产原料不能超过 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（）目标函数为利润 ，根据直线平移及截yxz32距变化规律确定最大利润试题解析：（）解：由已知 满足的数学关系式为 ，该二元一次不等式组所表示的yx, 031658204yxy区域为图 1 中的阴影部分. (1)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO（）解：设利润为 万元，则目标函数 ，这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线. 为zyxz3232z3z直线
12、在 轴上的截距，当 取最大值时， 的值最大.又因为 满足约束条件，所以由图 2 可知，当直y3x,线 经过可行域中的点 时，截距 的值最大，即 的值最大.解方程组 得点xz32M3zz30154yx的坐标为 ，所以 .M)4,0( 12420maxz答：生产甲种肥料 车皮，乙种肥料 车皮时利润最大，且最大利润为 万元.12M2x+3y=z2x+3y=0(2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO考点：线性规划【结束】(17) 【答案】 （）详见解析（）详见解析（） 65【解析】试题分析：（）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线
13、平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取 的中点为 ，可证四边形BDO是平行四边形，从而得出 （）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直OGFEOEFG/的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出 ，即 （）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面09ADBAD垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点 作 于点 ，则 平面 ，从而直EHAHBED线 与平面 所成角即为 .再结合三角形可求得正弦值BEH试题解析：（）证明：取 的中点为 ，连接 ，在 中，因为 是 的中点，所以 且OGE,BC
14、GCCOG/，又因为 ，所以 且12DCOGDABF/,/ OF/E，即四边形 是平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以EDBE平面 ./FB（）证明：在 中， ，由余弦定理可 ，进而可得ABD06,2,1BAD3BD，即 ，又因为平面 平面 平面 ；平面 平面09EC,ACE，所以 平面 .又因为 平面 ，所以平面 平面 .ABC （）解：因为 ，所以直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角.过点 作EF/F A于点 ，连接 ，又因为平面 平面 ，由（）知 平面 ，所DHBHBDEAHBD以直线 与平面 所成角即为 .在 中， ，由余弦定理可得ABA6,3,1A，所以 ，因此 ，
15、在 中，32cosE35sinE5sinHRt，所以直线 与平面 所成角的正弦值为65inABHABED6考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角【结束】(18) 【答案】 （） （ ）12na2【解析】试题分析：（）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由 解得 ，分211qa1,q别代入 得 ， （）先根据等差中项得631)(qaSn 1a，再利用分组求和法求和：21)log2(l)log(l2 212 nbnnnn 2211214321 )() nbnbbbT nn 试题解析：（）解：设数列 的公比为 ，由已知有 ，解之可得 ，又naq211qa1,q由 知 ，所以
16、，解之得 ，所以 .631)(qaSn 1632)(1 11n（）解：由题意得 ，即数列 是首项2)log(l)log(l2 221ab nnnnn nb为 ，公差为 的等差数列.2设数列 的前 项和为 ，则)1(2nbnT 22122121243212 )()()( nbnbbT nn 考点：等差数列、等比数列及其前 项和【结束】（19）【答案】 （） （）2143xy64【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由 ，得，再利13|cOFA13()ca用 ， 可解得 ， （）先化简条件： ， 即223acb21c24aMO|AMM 再 OA 中垂线上， ， 再利用直线与椭圆位置关系
17、，联立方程组求 ；利用两直线方程组求 H，最Mx B后根据 ， 列等量关系解出直线斜率.HFB试题解析：（1）解：设 ，由 ，即 ，可得 ，(,0)c13|cOFA13()ca223ac又 ，所以 ，因此 ，所以椭圆的方程为 .223acb224a243xy（2）设直线的斜率为 ，则直线 的方程为 ，(0)kl()yk设 ，由方程组 消去 ，(,)Bxy21,43()xyk整理得 ，解得 或 ，222(43)160kx2x28643k由题意得 ，从而 ，28Bx2143Bky由（1）知 ，设 ，有 ， ，(,0)F(,)H(,)HFy2941(,)3kBF由 ，得 ，所以 ，BFH0F2214
18、903Hky解得 ，因此直线 的方程为 ，2941kyMH24xk设 ，由方程组 消去 ，得 ，(,)Mx 2194,(),yxky2091()Mk在 中， ，AOAO|即 ，化简得 ，即 ，22()MMxyx1Mx2091()k解得 或 ，64kk所以直线 的斜率为 或 .l64k考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【结束】（20）【答案】 （）详见解析.（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数： ， 再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：2()3fxa当 时，有 恒成立，所以 的单调增区间为 .当 时，存在三个0a2()30fxa()f(,)0a单调区间（）由题意
19、得 即 ，再由 化简可得结论（）实质研20()fx203x)(01xff究函数 最大值：主要比较 ， 的大小即可，分三种情况研究当)(xg(1),f|(|,()|aff时， ，当 时， ，当3a3aa34232311aa时， .04211试题解析：（1）解：由 ，可得 ，下面分两种情况讨论：3()fxab2()3fxa当 时，有 恒成立，所以 的单调增区间为 .0a20(,)当 时，令 ，解得 或 .()fx3x当 变化时， 、 的变化情况如下表：xffx3(,)a3(,)a3a(,)f00(x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .()fx
20、3(,)a3(,)a(,)（2）证明：因为 存在极值点，所以由（1）知 且 .()fx0ax由题意得 ，即 ，2030fa23x进而 ，()xb又 ，且 ，30000082282 ()3afxxbxf02x由题意及（1）知，存在唯一实数 满足 ，且 ，因此 ，11()ff11所以 .0+=x（3）证明：设 在区间 上的最大值为 ， 表示 ， 两数的最大值，下面分三种()gx,Mmax,yx情况讨论：当 时， ，由（1） 知 在区间 上单调递减，a33aa()fx1,所以 在区间 上的取值范围为 ，因此，()fx1,(),fma()max|1|Mfbamx|1|,|ab所以 .1,0ab1|2Mab当 时， ，34233231a由（1）和（2） 知 ， ，(1)()fff3()()aff所以 在区间 上的取值范围为 ，()fx,3(),()aff所以 322ma|(|,()|mx|,3|99aff bab.22 1x|,|3|994bba当 时， ，由（1）和（ 2）知，304a31a， ，2(1)()fff23()()aff所以 在区间 上的取值范围为 ，因此，fx1,1,fma()max|Mf bamx|1|,|ab.1|4b综上所述，当 时， 在区间 上的最大值不小于 .0()gx1,4考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【结束】
