1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的制定位置作答，在其他位置作答一律无效。5.如需作图，须用 2B 铅
2、笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：样本数据 的方差 ，其中12,nx221niisx1nix棱柱的体积公式： =Sh，其中 S 是棱柱的底面积，h 为高.V棱锥的体积公式： Sh，其中 S 是棱锥的底面积，h 为高.31、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合 则 _. 1,26|23ABx=AB2.复数 其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_. (i)3,z3.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 的焦距是_. 2173xy4.已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_. 5.
3、函数 y= 的定义域是 .23x-6.如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是 .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 .8.已知a n是等差数列，S n是其前 n 项和.若 a1+a22=3，S 5=10，则 a9 的值是 .9.定义在区间0,3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是 .10.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于2()ba 02byB，C 两点，且 ,则该椭圆的离心率是 .90BC(第 10 题
4、)11.设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)上， 其中 ,10,()25xaf.aR若 ，则 f（5a）的值是 .59()(2f12. 已知实数 x，y 满足 ，则 x2+y2 的取值范围是 .2403yx13.如图，在ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点， ， ，4BAC1F则 的值是 . BEC14.在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 . 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.
5、（本小题满分 14 分）在 中，AC=6，ABC4cos.5BC=，（1）求 AB 的长；（2）求 的值. cos(6-)16.(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 ，1DAF.11AC求证：（1）直线 DE平面 A1C1F；（2）平面 B1DE平面 A1C1F. 17.（本小题满分 14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 ，下部分的形状是正1PABCD四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的四倍.1ABCD 1OO(1) 若 则仓库的容积是多
6、少？6m,2,PO(2) 若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 为多少时，仓库的容积最大？1P18. （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M: 及其上一点21460xyyA(2，4)(1) 设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；(2) 设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B、C 两点，且 BC=OA,求直线 l 的方程；(3) 设点 T（t,0）满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 ,求实数 t 的取值范围。TAP19. （本小题满分 16 分）已知函数 .()(0,1,)
7、xfabab（1） 设 a=2,b= .12 求方程 =2 的根;()fx若对任意 ,不等式 恒成立，求实数 m 的最大值；R()f(6fmx（2）若 ，函数 有且只有 1 个零点，求 ab 的值.01ab 2g20.（本小题满分 16 分）记 .对数列 和 的子集 T，若 ,定义 ;若 ，1,20U， *naNU0TS12,ktt，定义 .例如： 时， .现设 是公比为 3 的等12+kTtttSa=1,36T136+Sa*naN比数列，且当 时， .=,40S(1) 求数列 的通项公式；n(2) 对任意正整数 ，若 ，求证： ；1k1,2kT， 1TkSa（3）设 ,求证： .,CDUSC
8、DS数学（附加题）21.【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 【选修 41 几何证明选讲 】 （本小题满分 10 分）如图，在ABC 中，ABC=90，BD AC ，D 为垂足，E 是 BC 的中点，求证：EDC=ABD .B.【选修 42：矩阵与变换】 （本小题满分 10 分）已知矩阵 矩阵 B 的逆矩阵 ，求矩阵 AB.1,0A1=20C.【选修 44：坐标系与参数方程 】 （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参
9、数） ，椭圆 C 的参数方程123xty为 （ 为参数） .设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长.cos,2inxyD.【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分）设 a0 ，| x-1| ，|y-2| ，求证：|2x+y-4|a.3【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：x-y-2=0，抛物线 C：y 2=2px(p0).（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方
10、程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为（ 2-p，-p） ；求 p 的取值范围.23.（本小题满分 10 分）（1）求 的值；3467C（2）设 m，n N*， nm，求证： （m+1 ） +（m+2 ） +（m+3 ） +n +（ n+1） =（m+1） .1+2C1mC+2n参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基础思想方法，每小题 5 分，共计 70 分1. 1,22.53. 04.0.15. 3,16.97. 5.68.20.9.7.10. 6311. 2512. 4,113. 7814.8.二、解答题15.本
11、小题主要考查正余弦定理、同角三角函数关系与两角和的三角函数，考查运算求解能力，满分 14 分解（1）因为 所以4cos,0,5B2243sin1cos1(),5B由正弦定理知 ，所以siniACB26sin5.3ACB（2）在三角形 ABC 中 ，所以().于是 cosA(BC)cos()cossin,44又 ，故43,in,5232510A因为 ，所以07si1cos10因此 23726cos()coin .66100A 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，满分 14 分证明：（1）在直三棱柱 中，1ABC1/AC在三角形 AB
12、C 中，因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点.所以 ，于是/DE1/E又因为 DE 平面 平面1,ACF1ACF所以直线 DE/平面（2）在直三棱柱 中，1B11平 面 B因为 平面 ，所以1AC1AC又因为 111, ,AA， 平 面 平 面所以 平面11B因为 平面 ，所以DA1CBD又因为 11 111F,CF,AAF， 平 面 平 面所以 B平 面因为直线 ，所以11DBE平 面 1BDE平 面 1.平 面17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分.解：（1）由 PO1=2
13、 知 OO1=4PO1=8.因为 A1B1=AB=6，所以正四棱锥 P-A1B1C1D1 的体积 22311=64;33VABPOm柱正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积 8.柱所以仓库的容积 V=V 锥 +V 柱 =24+288=312（m 3）.(2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m)， 则 0h6,OO1=4h.连结 O1B1.因为在 中， RTPO22BP，所以 ，即 236ah2236.ah于是仓库的容积 ，22231364,06Vah锥 柱从而 .236hh令 ，得 或 （舍）.03当 时， ，V 是单调增函数；20当 时， ，V 是单调减函数.36h故 时，V 取得
14、极大值，也是最大值 .因此，当 时，仓库的容积最大.12PO18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分 16 分.解：圆 M 的标准方程为 ，所以圆心 M(6，7)，半径为 5,.22675xy（1）由圆心 N 在直线 x=6 上，可设 .因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，06,y所以 ，于是圆 N 的半径为 ，从而 ，解得 .07y0075y01因此，圆 N 的标准方程为 .221xy(2)因为直线 OA，所以直线 l 的斜率为 .l 40设直线 l 的方程为 y=2x+m，即 2x
15、-y+m=0，则圆心 M 到直线 l 的距离2675.5md因为 24,BCOA而 2,Md所以 ，解得 m=5 或 m=-15.25m故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.(3)设 12,Q,.Pxy因为 ,所以 ,4,0ATtAPT214xty因为点 Q 在圆 M 上，所以 .22675.x将代入，得 .1143ty于是点 既在圆 M 上，又在圆 上，,Pxy22435xty从而圆 与圆 有公共点，22675所以 解得 .25435,t2121t因此，实数 t 的取值范围是 .1,19本小题主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究初等函数的单调性及零点问题，考查
16、综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力，满分 16 分解：（1）因为 ，所以 .12,ab()2xf方程 ，即 ，亦即 ，()fxx10x所以 ，于是 ，解得 .2010x由条件知 .222()()()xf fx因为 对于 恒成立，且 ，26xmR所以 对于 恒成立.2()4fx而 ，且 ，2() 4()2()fxffx2(0)4f所以 ，故实数 的最大值为 4.4m（2）因为函数 只有 1 个零点，而 ，()gxf0(0)2gfab所以 0 是函数 的唯一零点 .因为 ，又由 知 ，()lnlxxab0,abln,l0所以 有唯一解 .0g0lnog()ba令 ，则 ，()hx
17、22()ll(ln)(l)xxxxhab从而对任意 ， ，所以 是 上的单调增函数，R0()gh,于是当 ， ；当 时， .0(,)x(gx0()x0()gx因而函数 在 上是单调减函数，在 上是单调增函数.,下证 .0x若 ，则 ，于是 ，02x0()2xg又 ，且函数 在以 和 为端点的闭区间上的图象logllo(l)aaaagb()gx02loga不间断，所以在 和 之间存在 的零点，记为 . 因为 ，所以 ，又 ，0xla()x11l20a0x所以 与“0 是函数 的唯一零点”矛盾.1()g若 ，同理可得，在 和 之间存在 的非 0 的零点，矛盾.0x02xloga()gx因此， .于
18、是 ，故 ，所以 .ln1abln0b1b20本小题主要考查等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查代数推理、转化与归化及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，满分 16 分（1）由已知得 .1*3,nnaN于是当 时， .2,4T2411730rSaa又 ，故 ，即 .30rS10所以数列 的通项公式为 .na1*3,nN（2）因为 ， ，,2Tk 0na所以 .111(3)2kkkrkS 因此， .rka（3）下面分三种情况证明.若 是 的子集，则 .DC2CDCDDSSS若 是 的子集，则 .C若 不是 的子集，且 不是 的子集.令 ， 则 ， ， .UEUFEFE于是 ， ，进而由 ，
19、得 .CDSFCDSCDSFS设 是 中的最大数， 为 中的最大数，则 .kl 1,kll由（2）知， ，于是 ，所以 ，即 .1Eka133l klFEaa1kl又 ，故 ，kl从而 ，1112 22lkl kEFl SS 故 ，所以 ，E()CDCDSS即 .21CDSS综合得， .CD21 【选做题】A .选修 4-1：几何证明选讲 本小题主要考查相似三角形等基础知识，考查推理论证能力，满分 10 分证明：在 和 中，DBAC因为 为公共角，90,所以 ，于是 .BD在 中，因为 是 的中点，RtE所以 ，从而 .EDCC所以 .AB选修 4-2：矩阵与变换本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘
20、法，考查运算求解能力，满分 10 分解：设 ，则 ，abcd1 1020abBcd即 ，121cd故 ，解得 ，所以 .12021abdc14012abcd1402B因此， .152400ABC选修 4-4：坐标系与参数方程 本小题主要考查直线和椭圆的参数方程、参数方程和普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，满分 10 分解：椭圆 的普通方程为 ，将直线 的参数方程 ，代入 ，得C214yxl123xty214yx，即 ，解得 ， .223()1()14tt2760t1t267t所以 .126|ABt21D.选修 4-5：不等式选讲 本小题主要考查含绝对值的不等式
21、的证明，考查推理论证能力，满分 10 分证明：因为 |1,|2|3axy所以 |24|()|1|2|.3ayxy22. 【必做题】本小题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力及推理论证能力，满分 10 分。解：（1）抛物线 的焦点为2:y(0)Cpx(,0)2p由点 在直线 上，得 ，即(,0)2pl4.所以抛物线 C 的方程为 28.yx（2）设 ，线段 PQ 的中点12(x,)(,)PQ0(x,y)M因为点 P 和 Q 关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段 PQ,ll于是直线 PQ 的斜率为 ，则可设其方程为.yxb由 消去 得2ypxb20(*)ypb因为
22、 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以 12,y从而 ，化简得 .2()4()0pb0pb方程（*）的两根为 ，从而21,2y12.yp因为 在直线 上，所以0(x,)Ml0.xp因此，线段 PQ 的中点坐标为 (2,).因为 在直线 上(2,).pyxb所以 ，即b2.p由知 ，于是 ，所以20p()04.3p因此 的取值范围为 4,).323.【必做题】本小题主要考查组合数及其性质等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 10分解：（1） 346765476540.321321C（2）当 时，结论显然成立，当 时nmnm1(1)!()!()() (),2,.1k1mk kk Cn 又因为 12,mmkkkC所以 21()(),k,+2,n.kkC，因此 1222 223431(1)()()() n1()()mmmmmnmnCCC
