1、第 1 讲 三角函数的图象与性质年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷 三角函数的最值T 16卷 三角函数的单调性T 102018卷 三角函数图象的应用T 15卷 三角函数的图象变换T 9卷 三角函数的最值T 142017卷 余弦函数的图象与性质T 6卷 三角函数的图象变换与性质T 72016 卷 同角三角函数的基本关系T 5 三角函数的图象变换T 14高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第612 题或第 14、15 题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变
2、换交汇命题.三角函数的定义、诱导公式及基本关系(基础型)三角函数的定义若角 的终边过点 P(x， y)，则 sin ，cos ，yr xrtan (其中 r )yx x2 y2利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定注意 “奇变偶不变，符号看象限” 基本关系sin2xcos 2x1，tan x .sin xcos x考法全练1若 sin ，且 ，则 tan( )( )( 2 ) 35 ( 2， )A. B.43 23C D23 43解析：选 A.由 sin cos ，且 ，( 2 ) 35 ( 2， )得 sin
3、，1 cos2 45所以 tan( )tan .sin cos 45 35 432(2018唐山模拟)已知 是第三象限的角，且 tan 2，则 sin ( )( 4)A B.1010 1010C D.31010 31010解析：选 C.因为 是第三象限的角，tan 2，则 所以sin cos tan ，sin2 cos2 1， )cos ，sin ，则 sin sin cos cos 11 tan2 55 255 ( 4) 4 sin ，故选 C. 4 255 22 55 22 310103已知 ，则 _( 2， ) 1 2sin（ ） sin(32 )解析：因为 1 2sin（ ） sin(
4、32 ) 1 2sin cos |sin cos |，又 ，所以原式sin cos （ sin cos ） 2 ( 2， ) .答案：sin cos 4已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点 P(4，3)，则 的值为_cos( 2 )sin（ ）cos(112 )sin(92 )解析：因为 tan ，yx 34所以cos( 2 )sin( )cos(112 )sin(92 ) sin sin sin cos tan .34答案：345(2018武汉调研)若 tan cos ，则 cos 4 _1sin 解析：tan cos cos sin cos 2 ，故 cos 4
5、 sin cos 1sin cos 4 sin cos 4 sin sin2 cos2sin cos2sin sin 2 sin 2 sin 1sin 2 cos 2 1112.sin sin 答案：2三角函数的图象与解析式(综合型)函数 y Asin(x )的图象(1)“五点法”作图设 z x ，令 z0， ， ，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线 2 32可得(2)图象变换ysin x 的图象 ysin( x )的图象 向 左 （ 0） 或 向 右 （ 0） 平 移 | |个 单 位ysin( x )的图象 y Asin(x )的图象 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A（ A
6、 0） 倍 横 坐 标 不 变典型例题命题角度一 由“图”定“式”(一题多解)已知函数 f(x)2sin( x )，(x 12， 23)Error!的图象如图所示，若 f(x1) f(x2)，且 x1 x2，则f(x1 x2)的值为( )A0 B1C. D.2 3【解析】 法一：由 f(x)2sin( x )， x 的图象，得最小正周期12， 23T ，所以 2，所以 f(x)2sin(2 x )，将点 代入，2 43(23 12) (23， 2)得 sin 1，又 ，解得 ，所以 f(x)2sin(43 ) (0， 2) 6 (2x 6)，由 f(x1) f(x2)得 sin sin Err
7、or!，(x 12， 23) (2x1 6) (2x2 6)(x1， x2 )因为 x ，所以 02 x ，所以 2x1 2 x2 ，所以 x1 x212， 23 6 32 6 6，所以 f(x1 x2)2sin 1，故选 B. 3 56法二：由 f(x)2sin ， x 的图象，得最小正周期 T ( x ) 12， 23 2 43 ，所以 2，所以 f(x)2sin(2 x )，将点 代入，得 sin(23 12) (23， 2) 1，又 ，解得 ，所以 f(x)2sin(2 x )(43 ) (0， 2) 6 6，因为 f(x1) f(x2)且 x1 x2，由图象得 x1 x2 ，所以 f
8、(x1 x2)(x 12， 23) 32sin 1，故选 B.56【答案】 B由“图”定“式”找“对应”由三角函数的图象求解析式 y Asin(x ) B(A0， 0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图(1)最值定 A， B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为 m，则M A B， m A B，解得 B ， A .M m2 M m2(2)T 定 ：由周期的求解公式 T ，可得 .记住三角函数的周期 T 的相关2 2T结论：两个相邻对称中心之间的距离等于 .T2两条相邻对称轴之间的距离等于 .T2对称中心与相邻对称轴的距离等于
9、.T4(3)点坐标定 ：一般运用代入法求解 值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时 A， ， B 已知)，也可代入图象与直线 y B 的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)注意在确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点” “谷点”与三个“中心点” ，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解 命题角度二 图象变换(1)(一题多解)(2018南昌调研)函数 ysin 的图象可以由函数 ycos (x2 6)的图象( )x2A向右平移 个单位长度得到 3B向右平移 个单位长度得到23C向左平移 个单位长度得到 3D向左平移 个单位长度
10、得到23(2)(2018石家庄质量检测(一)若 0，函数 ycos 的图象向右平移 个( x 3) 3单位长度后与函数 ysin x 的图象重合，则 的最小值为( )A. B.112 52C. D.12 32【解析】 (1)法一：由 ycos sin ， ysin sin ，知函数 ysin 的图象可以由x2 (x2 2) 12(x 23) 2 (x2 6) (x2 6)ycos 的图象向右平移 个单位长度得到x2 23法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选 B.(2)函数 ycos 的图象向右平移 个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为( x 3) 3ycos cos ，
11、其图象与函数 ysin x cos (x 3) 3 ( x 3 3)， kZ 的图象重合，所以 2 k ， kZ，所以( x 2 2k ) 2 3 3 6 k ， kZ，又 0，所以 的最小值为 ，故选 B.52 52【答案】 (1)B (2)B(1)平移规律由函数 ysin x 的图象变换得到 y Asin(x )(A0， 0)的图象的两种方法(2)图象变换的实质图象变换的实质点的坐标的变换，三角函数图象的伸缩、平移变换，可以利用两个函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取与 y 轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方
12、式、平移的长度与方向等命题角度三 图象的应用已知函数 f(x)4sin cos x ，若函数 g(x) f(x) m 在 上有(x 3) 3 0， 2两个不同的零点，则实数 m 的取值范围为_【解析】 方程 g(x)0 同解于 f(x) m，在平面直角坐标系中画出函数 f(x)2sin在 上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当 m ，2)时，方程 f(x)(2x 3) 0， 2 3 m 有两个不同的解【答案】 ，2)3巧用图象解决三角方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集准确作出对应函数的
13、图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值 对点训练1.(2018开封模拟)如果存在正整数 和实数 使得函数 f(x)sin 2(x )的图象如图所示(图象经过点(1，0)，那么 的值为( )A1 B2C3 D4解析：选 B.由 f(x)sin 2(x ) 及其图象知，1 cos（ 2 x 2 ）2，即 ，得 cos 12 1 cos 22 1 cos 22 122 0)个单(x 3) ( 6 x)位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则 的最小值为( )A. B. 6 12C. D. 4 3解析：选 A.由 y2sin sin 可得 y2si
14、n cos sin(x 3) ( 6 x) (x 3) (x 3)，该函数的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 g(x)(2x23)sin sin ，因为 g(x)sin 为奇函数，2（ x ） 23 (2x 2 23) (2x 2 23)所以 2 k( kZ)， (kZ)，又 0，故 的最小值为 ，选 A.23 k2 3 6三角函数的性质(综合型)三角函数的单调区间(1)ysin x 的单调递增区间是 (kZ)，单调递减区间是2k 2， 2k 2(k Z)2k 2， 2k 32(2)ycos x 的单调递增区间是2 k，2 k( kZ)，单调递减区间是2k，2 k( kZ
15、)(3)ytan x 的单调递增区间是 (kZ)(k 2， k 2)三角函数的奇偶性、对称轴方程(1)y Asin(x )，当 k( kZ)时为奇函数；当 k (kZ)时为偶函数； 2对称轴方程可由 x k (kZ)求得 2(2)y Acos(x )，当 k (kZ)时为奇函数； 2当 k( kZ)时为偶函数；对称轴方程可由 x k( kZ)求得(3)y Atan(x )，当 k( kZ)时为奇函数典型例题(1)(2018柳州模拟)下列函数中同时具有以下性质的是( )最小正周期是 ；图象关于直线 x 对称；在 上是增函数；图 3 6， 3象的一个对称中心为 .(12， 0)A ysin B y
16、sin(x2 6) (2x 3)C ysin D ysin(2x 6) (2x 3)(2)(2018郑州第一次质量预测)若将函数 f(x)3sin(2 x )(00， 0)的单调区间，是将 x 作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为 y Asin(x )的增区间(或减区间)，但是当 A0， 0， 0 2)离为 ，且在 x 时取得最大值 1. 2 8(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x 时，若方程 f(x) a 恰好有三个根，分别为 x1， x2， x3，求0，98 x1 x2 x3的取值范围解：(1) T 2，T2 2 2所以 sin sin 1，(2 8 ) (
17、4 )所以 2 k ， kZ，所以 2 k ， kZ， 4 2 4因为 0 ，所以 ，所以 f(x)sin . 2 4 (2x 4)(2)画出该函数的图象如图，当 a0， | |0)在区间 上单调( x 6) 4， 23递增，则 的取值范围为( )A. B.(0，83 (0， 12C. D.12， 83 38， 2解析：选 B.因为 x ，所以 x ，因为函 4， 23 6 4 6， 23 6数 f(x)sin ( 0)在区间 上单调递增，所以( x 6) 4， 23又 0，所以 00，| |0，且(k 3) 6 (k 23) 6 ，所以 0)的部分图象如图所示，且 f(a) f(b)0，对不
18、同的 2x1， x2 a， b，若 f(x1) f(x2)，有 f(x1 x2) ，则( )3A f(x)在 上是减函数(512， 12)B f(x)在 上是增函数(512， 12)C f(x)在 上是减函数( 3， 56)D f(x)在 上是增函数( 3， 56)解析：选 B.由题图知 A2，设 m a， b，且 f(0) f(m)，则 f(0 m) f(m) f(0) ，所以 2sin ， sin ，又| | ，所以 ，所以 f(x)2sin3 332 2 3，令 2 k2 x 2 k， kZ，解得(2x 3) 2 3 2 k x k， kZ，此时 f(x)单调递增所以选项 B 正确512
19、 126(2018河北“五个一名校联盟”模拟)已知函数 f(x)12cos xcos(x3 )是偶函数，其中 ，则下列关于函数 g(x)cos(2 x )的正确描述是( )(0， 2)A g(x)在区间 上的最小值为 112， 3B g(x)的图象可由函数 f(x)的图象向上平移 2 个单位长度，向右平移 个单位长度 3得到C g(x)的图象的一个对称中心是 (12， 0)D g(x)的一个单调递减区间是 0， 2解析：选 C.因为函数 f(x)12cos xcos(x3 )是偶函数， y1， y2cos x 都是偶函数，所以 ycos( x3 )是偶函数，所以 3 k， kZ，所以 ， kZ
20、，又k300，00，00)的图象上相邻最高点与332最低点的距离为 . 2 4(1)求 的值；(2)若函数 y f(x )(00， T 2，所以 .22 12(2)由(1)可知 f(x)sin ，(x 3)所以 f(x )sin .(x 3)因为 y f(x )是奇函数，则 sin 0.( 3)又 0 ，所以 ， 2 3所以 g(x)cos(2 x )cos .(2x 3)令 2k2 x 2 k， kZ， 3则 k x k ， kZ， 6 23所以单调递减区间是 ， kZ，k 6， k 23又因为 x0，2，所以当 k0 时，递减区间是 ； 6， 23当 k1 时，递减区间是 .76， 53所以函数 g(x)在0，2上的单调递减区间是 ， . 6， 23 76， 53
