2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题二第2讲《三角恒等变换与解三角形》学案

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1、第 2 讲 三角恒等变换与解三角形年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷 利用正、余弦定理求边或角T 17卷利用余弦定理求边长T 6 三角恒等变换T 152018卷 倍角公式T 4 三角形的面积公式T 9卷正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式T 17卷余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式T 172017卷 余弦定理、三角形的面积公式T 17卷 正、余弦定理、两角和的正弦公式T 17诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题T 9卷正弦定理的应用、诱导公式T 132016卷 正、余弦定理解三角形T 81.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现2若无解答题,一般在选

2、择题或填空题各有一题,主要考查三角恒等变换、解三角形,难度一般,一般出现在第 49 题或第1315 题位置上3若以解答题命题形式出现,主要考查三角函数与解三角形的综合问题,一般出现在解答题第 17 题位置上,难度中等.三角恒等变换与求值(基础型)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( )sin cos cos sin .(2)cos( )cos cos sin sin .(3)tan( ) .tan tan 1tan tan 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 2sin cos .(2)cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 .(3)tan 2 .

3、2tan 1 tan2三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1sin 2 cos 2 tan 45等(2)项的分拆与角的配凑:如 sin2 2cos 2 (sin 2 cos 2 )cos 2 , ( ) 等(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化:一般是切化弦考法全练1已知 ,tan 2,则 cos _(0, 2) ( 4)解析:因为 ,tan 2,(0, 2)所以 sin ,cos ,255 55所以 cos cos cos sin sin( 4) 4 4 .22 (255 55) 31010答案:310102已知 cos ,cos(

4、 ) ,且 , ,则 cos( )13 13 (0, 2)_解析:因为 ,所以 2 (0,)(0, 2)因为 cos ,所以 cos 2 2cos 2 1 ,13 79所以 sin 2 ,1 cos22429又 , ,(0, 2)所以 (0,),所以 sin( ) ,1 cos2( )223所以 cos( )cos2 ( )cos 2 cos( )sin 2 sin( ) .(79) ( 13) 429 223 2327答案:23273已知 sin ,且 sin( )cos ,则 tan( )35( 20,所以 sin B2sin Bcos C,所以 cos C .12因为 C(0,),所以

5、C . 3(2)由(1)及余弦定理得 cos C ,a2 b2 c22ab 12又 c2 ,所以 a2 b212 ab,3所以( a b)2123 ab3 ,(a b2 )2 即( a b)248(当且仅当 a b2 时等号成立)3所以 a b4 , a b c6 .3 3所以 ABC 周长的最大值为 6 .32(2018武汉调研)在锐角 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,满足cos 2Acos 2 B2cos cos 0.( 6 B) ( 6 B)(1)求角 A 的值;(2)若 b 且 b a,求 a 的取值范围3解:(1)由 cos 2Acos 2B2cos

6、cos 0,得 2sin2B2sin 2A2( 6 B) ( 6 B)0,化简得 sin A ,又 ABC 为锐角三角形,故 A .(34cos2B 14sin2B) 32 3(2)因为 b a,所以 c a,所以 C , B ,所以 sin B .3 3 2 6 3 12 32由正弦定理 ,得 ,所以 a ,asin A bsin B a32 3sin B 32sin B由 sin B 得 a ,3)(12, 32 3A 组 夯基保分专练一、选择题1(2018高考全国卷)已知函数 f(x)2cos 2xsin 2x2,则( )A f(x)的最小正周期为 ,最大值为 3B f(x)的最小正周期

7、为 ,最大值为 4C f(x)的最小正周期为 2,最大值为 3D f(x)的最小正周期为 2,最大值为 4解析:选 B.易知 f(x)2cos 2xsin 2x23cos 2x1 (2cos2x1) 1 cos 32 32 322x ,则 f(x)的最小正周期为 ,当 x k( kZ)时, f(x)取得最大值,最大值为 4.522在 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,若 c2 a, bsin B asin A asin C,则 sin B 为( )12A. B.74 34C. D.73 13解析:选 A.由 bsin B asin A asin C,12且 c2

8、a,得 b a,2因为 cos B ,a2 c2 b22ac a2 4a2 2a24a2 34所以 sin B .1 (34)2 743(2018洛阳第一次统考)在 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c,若a, b, c 成等比数列,且 a2 c2 ac bc,则 ( )cbsin BA. B.32 233C. D.33 3解析:选 B.由 a, b, c 成等比数列得 b2 ac,则有 a2 c2 b2 bc,由余弦定理得cos A ,故 A ,对于 b2 ac,由正弦定理得,sin 2 Bsin Asin b2 c2 a22bc bc2bc 12 3C sin C,

9、由正弦定理得, .故选 B.32 cbsin B sin Csin2 B sin C32sin C 2334(2018昆明模拟)在 ABC 中,已知 AB , AC ,tan BAC3,则 BC 边上2 5的高等于( )A1 B. 2C. D23解析:选 A.法一:因为 tan BAC3,所以 sin BAC ,cos BAC .由310 110余弦定理,得 BC2 AC2 AB22 ACABcos BAC522 9,所以5 2 ( 110)BC3,所以 S ABC ABACsin BAC ,所以 BC 边上的高 h12 12 2 5 310 32 1,故选 A.2S ABCBC 2323法二

10、:因为 tan BAC3,所以 cos BAC 0,则 BAC 为钝角,因此 BC 边110上的高小于 ,故选 A.25 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0, a2, c ,则 C( )2A. B.12 6C. D. 4 3解析:选 B.因为 sin Bsin A(sin Ccos C)0,所以 sin(A C)sin Asin Csin Acos C0,所以 sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0,整理得sin C(sin Acos A)0.因为 sin C0,所以 s

11、in Acos A0,所以 tan A1,因为 A(0,),所以 A .34由正弦定理得 sin C ,csin Aa 2222 12又 0C ,所以 C . 4 66.如图,在 ABC 中, C , BC4,点 D 在边 AC 上, 3AD DB, DE AB, E 为垂足若 DE2 ,则 cos A 等于( )2A. B.223 24C. D.64 63解析:选 C.依题意得, BD AD , BDC ABD A2 A.在 BCDDEsin A 22sin A中, , ,即 ,由此BCsin BDC BDsin C 4sin 2A 22sin A 23 423sin A 42sin Aco

12、s A 423sin A解得 cos A .64二、填空题7若 sin ,则 cos _( 3 ) 14 ( 3 2 )解析:依题意得 cos( 3 2 )cos ( 3 2 )cos 2( 3 )2sin 2 12 1( 3 ) (14)2 .78答案:788(2018高考全国卷改编)在 ABC 中,cos , BC1, AC5,则C2 55AB_解析:因为 cos C2cos 2 12 1 ,所以由余弦定理,得C2 15 35AB2 AC2 BC22 ACBCcos C251251 32,所以 AB4 .(35) 2答案:4 29(2018惠州第一次调研)已知 a, b, c 是 ABC

13、中角 A, B, C 的对边,a4, b(4,6),sin 2 Asin C,则 c 的取值范围为_解析:由 ,得 ,所以 c8cos A,因为4sin A csin C 4sin A csin 2A16 b2 c22 bccos A,所以 16 b264cos 2A16 bcos2A,又 b4,所以cos2A ,所以 c264cos 2A64 164 b.因为16 b264 16b ( 4 b) ( 4 b)16( 4 b) 4 b16 4 b16b(4,6),所以 32c240,所以 4 c2 .2 10答案:(4 ,2 )2 10三、解答题10(2018沈阳教学质量监测(一)在 ABC

14、中,已知内角 A, B, C 的对边分别是a, b, c,且 2ccos B2 a b.(1)求 C;(2)若 a b6, ABC 的面积为 2 ,求 c.3解:(1)由正弦定理得 2sin Ccos B2sin Asin B,又 sin Asin( B C),所以 2sin Ccos B2sin( B C)sin B,所以 2sin Ccos B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B,所以 2sin Bcos Csin B0,因为 sin B0,所以 cos C .12又 C(0,),所以 C .23(2)因为 S ABC absin C2 ,12 3所以 ab8,由余弦定理

15、,得 c2 a2 b22 abcos C a2 ab b2( a b)2 ab28,所以 c2 .711(2018石家庄质量检测(二)已知 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c,且 tan Atan B.3cacos B(1)求角 A 的大小;(2)设 AD 为 BC 边上的高, a ,求 AD 的取值范围3解:(1)在 ABC 中,因为 tan Atan B,所以 ,3cacos B 3sin Csin Acos B sin Acos A sin Bcos B即 ,3sin Csin Acos B sin Acos B sin Bcos Acos Acos B所以 ,

16、则 tan A ,所以 A .3sin A 1cos A 3 3(2)因为 S ABC ADBC bcsin A,12 12所以 AD bc.12由余弦定理得 cos A ,12 b2 c2 a22bc 2bc 32bc所以 0bc3(当且仅当 b c 时等号成立),所以 0AD .3212(2018郑州质量检测(二)已知 ABC 内接于半径为 R 的圆, a, b, c 分别是角A, B, C 的对边,且 2R(sin2Bsin 2A)( b c)sin C, c3.(1)求 A;(2)若 AD 是 BC 边上的中线, AD ,求 ABC 的面积192解:(1)对于 2R(sin2Bsin

17、2A)( b c)sin C,由正弦定理得,bsin B asin A bsin C csin C,即 b2 a2 bc c2,所以 cos A ,因为 0A180,所以 A60.b2 c2 a22bc 12(2)以 AB, AC 为邻边作平行四边形 ABEC,连接 DE,易知 A, D, E 三点共线在 ABE 中, ABE120, AE2 AD ,19在 ABE 中,由余弦定理得 AE2 AB2 BE22 ABBEcos 120,即 199 AC223 AC ,得 AC2.(12)故 S ABC bcsin BAC .12 332B 组 大题增分专练1(2018长春质量监测(二)在 ABC

18、 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,其面积 S b2sin A.(1)求 的值;cb(2)设内角 A 的平分线 AD 交于 BC 于 D, AD , a ,求 b.233 3解:(1)由 S bcsin A b2sin A,可知 c2 b,即 2.12 cb(2)由角平分线定理可知, BD , CD ,233 33在 ABC 中,cos B ,在 ABD 中,cos B ,即 4b2 3 b222b34b2 43 4322b233 4b2 3 b222b3,解得 b1.4b2 43 4322b2332(2018贵阳模拟)已知在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分

19、别为 a, b, c, AB 边上的高 h c.23(1)若 ABC 为锐角三角形,且 cos A ,求角 C 的正弦值;35(2)若 C , M ,求 M 的值 4 a2 b2 13c2ab解:(1)作 CD AB,垂足为 D,因为 ABC 为锐角三角形,且 cos A ,35所以 sin A ,tan A ,45 43所以 AD , BD AB AD ,c2 c2所以 BC ,CD2 BD2 (23c)2 (c2)2 5c6由正弦定理得:sin ACB .ABsin ABCc455c6 2425(2)因为 S ABC c c absin ACB ab,12 23 12 24所以 c2 ab

20、,324又 a2 b2 c22 abcos ACB ab,2所以 a2 b2 ab c2,2所以 a2 b2 c2 ab c2 ab ab2 ab,13 2 43 2 43 324 2所以 M 2 .a2 b2 13c2ab 22abab 23(2018合肥质量检测)已知 ABC 中, D 为 AC 边上一点, BC2 , DBC45.2(1)若 CD2 ,求 BCD 的面积;5(2)若角 C 为锐角, AB6 ,sin A ,求 CD 的长21010解:(1)在 BCD 中, CD2 BC2 BD22 BCBDcos 45,即 208 BD24 BD,解得 BD6,所以 BCD 的面积 S

21、2 6sin 456.12 2(2)在 ABC 中,由 得 ,BCsin A ABsin C 221010 62sin C解得 sin C .31010由角 C 为锐角得,cos C ,1010所以 sin BDCsin( C45) .255在 BCD 中, ,即 ,CDsin DBC BCsin BDC CD22 22255解得 CD .54(2018高考天津卷)在 ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知bsin A acos .(B 6)(1)求角 B 的大小;(2)设 a2, c3,求 b 和 sin(2A B)的值解:(1)在 ABC 中,由正弦定理 ,

22、可得 bsin A asin B,又由 bsin asin A bsin BA acos ,得 asin B acos ,即 sin Bcos ,可得 tan B .又(B 6) (B 6) (B 6) 3因为 B(0,),可得 B . 3(2)在 ABC 中,由余弦定理及 a2, c3, B ,有 b2 a2 c22 accos B7,故 3b .7由 bsin A acos ,(B 6)可得 sin A .37因为 ac,故 cos A .27因此 sin 2A2sin Acos A ,437cos 2A2cos 2A1 ,17所以,sin(2 A B)sin 2 Acos Bcos 2 Asin B .437 12 17 32 3314

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