1、专题 10 平面向量的数量积及其应用【自主热身，归纳总结】1、 已知向量 a， b满足 a(4，3)，| b|1，| a b| ，则向量 a， b的夹角为_ 21【答案】 3【解析】：设向量 a， b的夹角为 ，由| a b| 得，2121 2 a2 b22 ab25125cos ，即 cos ，所以向量 a， b的夹角为 .(a b)12 32、已知| a|1，| b|2， a b(1， )，则向量 a， b的夹角为_2【答案】. 233、已知平面向量 a(2，1)， ab10，若| a b|5 ，则| b|的值是_2【答案】5 【解析】：因为 50| a b|2| a|2| b|22 ab
2、520| b|2，所以| b|5.4、 已知平面向量 a(4 x,2x)， b（1， ） ， xR，若 a b，则| a b|_.2x 22x【答案】. 2 【解析】：因为 a b，所以 4x2 x 4 x2 x20，解得 2x2(舍)或 2x1，故 a(1,1)，2x 22xb(1，1)，故 a b(0,2)，故| a b|2.5、如图，在平面四边形 ABCD中， O为 BD的中点，且 OA3， OC5.若 7，则 的值是AB AD BC DC _【答案】 9 【解析】： ( )( )( )( ) OC2 OD2，类BC DC OC OB OC OD OC OD OC OD 似 AO2 OD
3、27，所以 OC2 OD2 OC2 AO279.AB AD BC DC 思想根源 极化恒等式： ab 2 2.在 ABC中，若 M是 BC的中点，则 AM2 MC2.其作(a b2 ) (a b2 ) AB AC 用是：用线段的长度来计算向量的数量积6、 已知非零向量 a， b满足| a| b| a b|，则 a与 2a b夹角的余弦值为_【答案】： 5714解法 1 因为非零向量 a， b满足| a| b| a b|，所以 a2 b2 a22 ab b2， ab a2 b2，12 12所以 a(2a b)2 a2 ab a2， |2a b| |a|，52 2a b 2 5a2 4ab 7co
4、s a,2a b .a 2a b|a|2a b| 52a2|a|7|a| 527 5714解法 2 因为非零向量 a， b满足| a| b| a b|，所以 a， b ，23所以 a(2a b)2 a2 ab2 a2| a|b|cos a2，|2 a b| 23 52 2a b 2 5a2 4ab |a|.5a2 4|a|b|cos23 7以下同解法 1.解后反思 解法 2充分挖掘题目条件“非零向量 a， b满足| a| b| a b|”，可构造一个内角为 的菱23形，向量 a， b为此菱形的一组邻边，且其夹角为 .类似地，若将条件变为“| a| b| a b|”，同样23可构造一个内角为 的
5、菱形，向量 a， b为此菱形的一组邻边，但其夹角应为 .23 37、 在 ABC中，已知 AB1， AC2， A60，若点 P满足 ，且 1，则实数 AP AB AC BP CP 的值为_【答案】： 1 或 14解法 1 由题意可得 .又 ( 1) ，所AP AB BP AC CP AP AC AB AC 以 ( 1)| |21，即 ( 2 )41，所以有 4 23 10，解得BP CP AB AC AC 1 或 .14解法 2 建立如图所示的平面直角坐标系，所以 A(0,0)， B ， C(2,0)，设 P(x， y)(12， 32)所以 ( x， y)， ， (2,0)AP AB (12，
6、 32) AC 又因为 ，所以有Error!AP AB AC 所以 (2 ，0)， .BP CP (2 32， 32)由 1 可得 4 23 10，解得 1 或 .BP CP 14解后反思 用基向量表示其他向量的能力是平面向量考查的重点，如何基底化需要积累经验，如果不能基底化，也可以恰当建系，正确给出每个点的坐标，用坐标运算8、如图，在ABC 中，已知边 BC的四等分点依次为 D，E，F.若 2， 5，则 AE的长为AB AC AD AF _【答案】 6解决平面向量问题有三种常见方法：基底法、坐标法和几何法，由于本题求线段 AE长，且点思 路 分 析B，C，D，E，F 共线，故可以用向量 ，
7、作为基底 AE ED 解法 3(基底法) 因为 E在中线 AD上，所以可设 ( )，则 (1) ，同理AE AB AC EB AB AC (1) ，所以 3(1) 2 213(1)EC AC AB EB EC 37(1)由 E 0，得( )(1) 0，可解得 .从AD C AB AC AC AB 17而 3 .EB EC 67 277对于平面向量数量积的计算主要有两种思路：(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，写出各点解 后 反 思的坐标，通过坐标运算求解；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目标向量转化并求解本题用坐标法求解，较为简单，请考生尝试用基底法求解.【关
8、联 2】 、 如图，扇形 AOB的圆心角为 90，半径为 1，点 P是圆弧 AB上的动点，作点 P关于弦AB的对称点 Q，则 OP的取值范围为 【答案】 21, 解法 1 （坐标法） 以 A为 x轴， B为 y轴，建立平面直角坐标系， 则 )0,1(A，),0(B，则直线 ，由于点 P在单位圆在第一象限的 圆弧上，可设 ， 2,0，设点 关于直线 A的对称点 ),(1yxQ，则，可得 ，即所以令 ，则 2,1t且故 ，所以 OPQ的取值范围为 21,解法 2 （极化恒等式） 设 PQ的中点为 M，则 ，根据图形可得，当点 P与 A（或 B）重合时，点 与 重合，且 1max， 0minP，则
9、，当点位于弧 的中点时， ， ，则 ，所以OPQ的取值范围为 21,解法 3 （特殊位置法） 注意到本题图形的对称性，易得的最大值和最小值在点 P位于弧 AB的端点或中点时取得，当点 与 A（或 B）重合时，点 Q与 重合，此时，故 O1； 当点 位于弧 的中点时，如图，设 P与 相交于点 H，则 ，QPOBA故， 可得，所以 OPQ的取值范围为 21,解后反思：解决平面向量数量积的综合问题最常用的两种方法是坐标法和基底法，坐标法首先需要根据图形建立适当的平面直角坐标系，然后表示目标向量的坐标；基底法则需要选择一对不共线的向量作为基底来表示目标向量，然后利用向量的运算法则进行处理.另外，注意到
10、本题是填空题，涉及的图形的对称性，可以考虑利用特殊法计算，也充分体现了小题小做，小题巧做的思想.【变式 3】 、 如图，已知 2AC， B为 的中点，分别以 AB,C为直径在 A的同侧作半圆， M,N分别为两半圆上的动点（不含端点 C， ， ） ，且 MN，则 的最大值为 【思路分析】处理向量数量问题，主要是坐标法和基底法，解法 1，建立坐标系，设 ，(0)2，得到 M,N坐标，建立以角 a的函数关系式；解法 2，两个向量不共起点，可以转化为以 B为起点的向量，运用向量数量积的定义得到关于 AMur的函数，换元转化二次函数，求最值；解法 3，建立坐标系后，设出直线 BN和 方程， ,N为直线与
11、圆的交点，联立直线与圆方程，求出 ,MN的坐标，得到一个关于斜率 k的函数关系式，换元后求最值.【答案】 14【解法 1】 （坐标法）以点 B为坐标原点，线段 AC所在的直线为 x轴，建立平面坐标系。设， (0)2， ，则 , ， ，=，当 时，AMCNur的最大值为 14.【解法 2】 （定义法）设 ， (0)2， ， ，令 AMt=ur， 01t，所以 CNru的最大值为 14.【解法 3】 （解析几何法）以点 B为坐标原点，线段 AC所在的直线为 x轴，建立平面坐标系。 ，设直线BN的斜率为 (0)k，则直线 M的斜率为 1k，则直线 BN的方程为 yk，直线 BM的方程为1yx，联立
12、2,1kxy解得 ，联立 解得 ，因为 (1,0)A ， (,)C，所以 ， ，AMCN=ur令 21tk，则 01t， ，所以 AMCNur的最大值为 14.【解题反思】若题中几何关系明显，且所求向量的长度和夹角未知，首选坐标法;圆中求向量数量积最值问题，优先考虑以角作为参数，来建立函数关系 ，这样问题转为三角的最值问题，便于求解 .例 3、 如图，ABC 为等腰三角形，BAC120，ABAC4，以 A为圆心，1 为半径的圆分别交AB，AC 于点 E，F，点 P是劣弧 上的一动点，则 的取值范围是_EF PB PC 【答案】. 11，9 解法 1(几何法) 取 BC的中点 M，连结 PM，则
13、两个动向量 ， 均可用一个动向量 和一个定向量 表示.PB PC PM MC ( )( )PM 2MC 2.PB PC PM MC PM MC 因为 MC为定值，所以 的变化可由 PM的变化确定PB PC 易得 AM2，MC2 .3当 P为劣弧 与 AM的交点时，PM 取最小值 AM11；PM 的最大值为 EMFM .EF 3所以 PM2MC 2的取值范围是11，9，即 11，9PB PC 解法 2(坐标法) 以 A为原点，垂直于 BC的直线为 x轴建立平面直角坐标系 xAy，则 B(2，2 )，C(2，23)，设 P(cos， sin)，其中 .3 3， 3 (2 cos， sin2 )(2
14、 cos，2 sin)( cos2)PB PC 3 32 sin21274 cos.因为 cos ，所以 11，912， 1 PB PC 【变式 1】 、 已知| | | ，且 1.若点 C满足| |1，则| |的取值范围是OA OB 2 OA OB OA CB OC _【答案】： 1， 1 6 6【解析】：如图，以 OA， OB为邻边作平行四边形 OADB，则 ，因为OD OA OB | | | ， 1，所以| | | ，由| OA OB 2 OA OB OD OA OB OA OB 2 OA 2 OB 2 2OA OB 6 OA |1 得| | | | |1，所以点 C在以点 D为圆心，1
15、 为半径的圆上，CB OA CB OA OB OC OD OC CD 而| |表示点 C到点 O的距离，从而| |1| | |1，即 1| | 1，即| |的取值范OC OD OC OD 6 OC 6 OC 围是 1， 16 6【变式 2】 、在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A， B分别为 x轴， y轴上一点，且 AB2，若点 P(2， )，5则| |的取值范围是_AP BP OP 【答案】. 7,11 解法 3 因为 AB2，所以 AB的中点 M在以原点为 圆心，1 为半径的圆上运动(如下图)，则| |2 |，当 M点为射线 OP与圆交点时，|2 |的最小值为 7，当 M点为射线 OP的
16、AP BP OP MP OP MP OP 反向延长线与圆交点时，|2 |的最大值为 11，所以| |的取值范围是7,11MP OP AP BP OP 【关联 1】 、 已知平面向量 (1,2)， (2,2)，则 的最小值为_AC BD AB CD 【答案】 94思路分析 以 为桥梁，把 ， 与已知向量 ， 联系起来CB AB CD AC BD 设 ( x， y)，则 ( x1， y2)， ( x2， y2)所以 ( x1)( x2)CB AB AC CB CD CB BD AB CD ( y2) 2 2( y2) 2 ，其最小值为 .(x12) 94 94【关联 2】 、 已知 a， b， c
17、是同一平面内的三个向量，其中 a， b是互相垂直的单位向量，且(a c)( b c)1，则 的最大值是_3 |c|【答案】 1 2首先要根据题目条件求出 c( x， y)的轨迹方程，再利用| c|的几何意义求解即可；另外，也可思 路 分 析以考虑用三角换元，用三角函数的有界性求解解法 1 设 a(1,0)， b(0,1)， c( x， y)，则 a c(1 x， y)， b c( x， y)，3 3由题意得 x(1 x) y( y)1，整理得 x2 y2 x y10，3 3即 2 22，它表示以 为圆心，以 为半径的圆，则 表示该圆上的点到原点(0,0)的(x12) (y 32) (12， 32) 2 |c|距离，从而| c|max 1. 2 (12)2 ( 32)2 2解法 2 由解法 1得 2 22，(x12) (y 32)令Error! ( 为参数)，则| c|2 2 23 cos sin 32 cos( )(其中 tan )，(12 2cos ) ( 32 2sin ) 2 6 2 3所以| c| 32 ，于是| c|max1 .2max 2 2
