1、第 1 页，共 18 页四川省德阳市高中 2016 级高三第二次诊断性考试数学(理工农医类)试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知全集 U=R， UA=x|x1，B=x| x-2，则 AB=（ ）A. B. C. D. |1 |21 |1 |22. 复数 z 满足 （1+i）=2 i（i 为虚数单位），则复数 z=（ ）A. B. C. D. 1 1+2 1+ 223. x（x+3） 5 展开式中 x3 项的系数是（ ）A. 270 B. 180 C. 90 D. 454. 运行如图程序框图，输出 m 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知 为锐角，
2、且 tan ，则 cos（2 ）=（ ）=43 +2A. B. C. D. 2425 1625 35 346. 已知双曲线 =1（a0，b0）的焦距为 8，一条渐近线方程为 y= ，则此2222 5511双曲线方程为（ ）A. B. C. D. 29216=1 21627=1 25211=1 21125=17. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 2B. 52C. 2+2D. 23+18. 已知抛物线 x2=2py（p0 ）的准线与圆 C：（x-2） 2+（y-1 ） 2=1 相切，则抛物线的方程为（ ）第 2 页，共 18 页A. B. 2=4 2=8C. D. 或2
3、=2 2=4 2=49. 已知ABC 外接圆的圆心为 O，若 AB=3，AC =5，则 的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 1610. 公元前 5 世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方如图，以 O 为圆心的大圆直径为 1，以 AB 为直径的半圆面积等于 AO 与 BO 所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形（图中阴影部分）区域的面积可以与一个正方形的面积相等现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是（ ）A. B. C. D. 13 12+1 1+1 211. ABC 中，BD 是 AC 边上的高，A= ，cos
4、B=- ，则 =（ ）4 55 A. B. C. D. 14 12 23 3412. 函数 f（x） =2ex-a（x -1） 2 有且只有一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. (4,1) (1,2 (0,32) (,32)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 某人在公园进行射击气球游戏，排除其它因素的影响，各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为 0.8，若连续射击 10 次，记击中气球的次数为 ，则 D（）=_14. 若实数 x，y 满足约束条件 ，则 z=x-2y 的最大值是_+30+2+30+0 15. 正四面体 ABCD 的体积为 ，则正
5、四面体 ABCD 的外接球的体积为_3316. 已知函数 f（x ）=ax+sinx，若 g（x）=f （x）+f（x）在区间- ， 上单调递增，2 2则 a 的最小值是_三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn=2an-n（1）求证a n+1为等比数列；（2）数列b n满足 bn= ，求b n的前 n 项和 Tn(+1)2第 3 页，共 18 页18. 某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价 x（元） 7 8 9 11 12 13销量y（kg） 120 118
6、 112 110 108 104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求 y 关于 x 的线性回归方程；（2）若在表格中的 6 种单价中任选 3 种单价作进一步分析，求销量恰在区间110，118内的单价种数 的分布列和期望附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： = ， =1()()=1()2 19. 如图四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD平面ABCD，PA BC，BCCD，AB=4，BC =CD=2，AD=BD（1）求证：平面 PBD平面 PAD；（2）若 AB 与平面 PBD 所成的角的正弦值为 ，225求二面角 C-PB-D 的余弦值20. 已知椭圆 C： =1（ab0
7、）上的动点 P 到其左焦点的距离的最小值为 1，22+22且离心率为 12（1）求椭圆的方程；（2）若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，Q 是椭圆 C 的左顶点，若 | + |=| |，试证明直线 l 经过不同于点 Q 的定点第 4 页，共 18 页21. 已知函数 f（x ）=（x-1）e x- ax3+ x2，aR13 12（1）当 a=0 时，求 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当 x0 时，f（x）是否存在两个极值点，若存在，求实数 a 的最小整数值；若不存在，请说明理由22. 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐
8、标系，已知曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数），曲线 C2 的极坐标=3=方程为 （cos+sin ）=15（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；（2）若点 P、Q 分别为曲线 C1 及曲线 C2 上任意一点，求| PQ|的最小值及此时 P的坐标23. 已知函数 f（x ）=| x-a|-|x+2|（1）当 a=1 时，求不等式 f（ x）-x 的解集；（2）若 f（x） a2+1 恒成立，求 a 的取值范围第 5 页，共 18 页答案和解析1.【答案】C【解析】解：A=x|x1； AB=x|x1 故选：C 可求出集合 A，然后进行并集的运算即可考查描述法的定义，以及并集、补
9、集的运算2.【答案】A【解析】解：由 （1+i）=2i，得 ，则 z=1-i故选：A把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.【答案】A【解析】解：x（ x+3）5=x（x5+15x4+90x3+270x2+405x+243）， 展开式中 x3 项的系数为 270， 故选：A把（x+3 ）5 按照二 项式定理展开，可得 x（x+3）5 展开式中 x3 项的系数本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题4.【答案】D【解析】解：a=16， a0 否，a=log
10、 216=4，m=1， a=4，a0 否，a=log 24=2，m=2， a=2，a0 否，a=log 22=1，m=3， 第 6 页，共 18 页a=1，a0 否，a=log 21=0，m=4， a=0，a0 是，输出 m=4， 故选：D根据程序框图进行模拟运算即可本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键5.【答案】A【解析】解： 为锐角，且 tan ，则 cos（2 ）=-sin2= = =- ，故选：A利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，求得 cos（2 ）的值本题主要考查诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题6.【答案】D
11、【解析】解：双曲线 =1（a0， b0）的焦距为 8，可得 c=4；一条渐近线方程为 y= ，可得 = ，a2+b2=16，可得：a= ，b= ，所以双曲线方程为： =1故选：D经验双曲线的焦距，求出 c，结合渐近线方程求解 a，b，即可得到双曲 线方程本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查7.【答案】C【解析】第 7 页，共 18 页解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥 P-ABCD，几何体的表面积为：11+ =2+ 故选：C 画出几何体的直观图，经验三视图的数据求解几何体的表面积即可本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键8.【答案】B【
12、解析】解：圆 C：（x-2）2+（y-1）2=1，抛物 线 x2=2py（p0）的准 线为 y=- ，抛物线 x2=2py（p0）的准线与圆 C：（x-2）2+（y-1）2=1 相切，- -1=1，解得 p=-4抛物线方程为：x 2=-8y故选：B 由抛物线 y2=2px（p0）的准线与圆 C：（x-2）2+（y-1）2=1 相切，知 - -1=1，解得 p=-4由此能求出抛物线方程本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径9.【答案】C【解析】解：如图，取 AC 中点 D，AB 中点 E，并连
13、接 OD，OE，则：ODAC，OEAB； ， ；第 8 页，共 18 页=8故选：C 可画出图形，并将 O 和 AC 中点 D 连接， O 和 AB 中点 E 连接，从而得到ODAC，OEAB，根据数量积的计算公式及条件即可得出，而 ，从而便可得出 的值考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，三角函数的定义10.【答案】B【解析】解：阴影部分面积等于 -（ - ）= ，所以根据几何概型得 P= = 故选：B 先求出阴影部分面积，再用几何概型概率公式可得本题考查了几何概型，属中档题11.【答案】A【解析】解：ABC 中，BD 是 AC 边上的高， A= ，在等腰直角
14、三角形 ABD 中，设 BD=h，可得 AD=h，在直角三角形 BDC 中，cosDBC=cos（ABC-45）=cosABCcos45+sinABCsin45= （- + ）= ，即有 sinDBC= = ，第 9 页，共 18 页则 tanDBC= =3，可得 CD=BDtanDBC=3h，即 AC=AD+CD=4h，则 = 故选：A在等腰直角三角形 ABD 中，设 BD=h，可得 AD，再由两角差的余弦公式可得 cosDBC，求得 tanDBC，由正切函数的定义，可得 CD，进而得到所求值本题解直角三角形的知识，考查锐角三角函数的定义，以及运算能力，属于基础题12.【答案】C【解析】解：
15、f（x ）=2ex-a（x-1）2=0，x=1 时 不成立，x1 时，化为：a= =g（x）（x1）g（x）= 可得：x1 时，g（x）0，函数g（x）单调递增；1x3 时，g（x）0 时，函数 g（x）单调递减；x3 时，g（x）0，函数 g（x）单调递增画出图象g（3）= 可得：当且仅当 时，函数 y=a 与函数 y=g（x）由且仅有一个交点即函数 f（x）=2ex-a（x-1）2 有且只有一个零点， 则实数 a 的取值范围是（0， ）故选：C 第 10 页，共 18 页f（x）=2ex-a（x-1）2=0，x=1 时不成立， x1 时，化为：a= =g（x）（x1）利用导数研究函数的单调
16、性极值与最值，画出图象， 转化为图象的交点个数即可得出本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数形结合方法、函数零点、等价转化方法，考 查了推理能力与 计算能力，属于难题13.【答案】1.6【解析】解：由题意可知各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为 0.8，若连续射击 10 次，记击中气球的次数为 ， 可得 B （10，0.8）， 所以 D（）=np（1-p）=100.80.2=1.6 故答案为：1.6根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，求出期方差即可本题主要考查了 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率，以及离散型随机变量的方程，同时考查了计算能力，
17、属于基本知 识的考查14.【答案】9【解析】解：作出实数 x，y 满足约束条件对应的平面区域如图：由 z=x-2y 得 y= x- z，平移直线 y= x-z，由图象可知当直线 y= x- z，经过点 B 时 ，直线 y= x- z，的截距最小，此时 z 最大，由 ，解得 B（3，-3）解得 z=9故答案为：9作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义 ，利用数形结合即可得到第 11 页，共 18 页结论本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义 ，通过数形结合是解决本题的关键15.【答案】323【解析】解：如图，设正四面体 ABCD 的棱长为 x，过 A 作 ADBC，设等边三角
18、形 ABC 的中心 为 O，则 ， ，VP-ABC= ，即 x= 再设正四面体 ABCD 的外接球球心为 G，连接 GA，则 ，即 R= 正四面体 ABCD 的外接球的体积为 V= 故答案为： 由题意画出图形，设正四面体 ABCD 的棱长为 x，由已知求得 x，进一步求出外接球半径，代入体积公式求解本题考查多面体外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，是中档题16.【答案】 2【解析】解：函数 f（x）=ax+sinx，若 g（x）=f（x）+f（x）=ax+sinx+cosx+a，g（x）=f（x）+f（x）在区间- ， 上单调递增，g（x）=a-sinx+cosx0，可得 a sin（x+
19、 ），x- ， ，第 12 页，共 18 页可得 x+ ， sin（x+ ）1， 所以 a 的最小 值为： 故答案为： 化简函数的解析式，利用函数的导数， 转化求解函数的最大值，即可得到 结果本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力17.【答案】（1）证明：由 Sn=2an-nn2 时，a n=Sn-Sn-1=2an-n-（2a n-1-n+1），化为：an+1=2（ an-1+1），n=1 时，a 1=2a1-1，解得 a1=1a1+1=2an+1为等比数列，首项为 2，公比为 2（2）解：由（1）可得：a n+1=2nbn= =n2n-1，(+1)2bn的前 n
20、 项和 Tn=1+22+322+n2n-1，2Tn=2+222+323+（n-1）2 n-1+n2n，相减可得：-T n=1+2+22+2n-1-n2n= -n2n，2121整理为：T n=（n-1）2 n+1【解析】（1）由 Sn=2an-nn2 时，a n=Sn-Sn-1，化为：a n+1=2（an-1+1），n=1 时， a1=2a1-1，解得 a1即可证明结论（2）由（1）可得：a n+1=2nbn= =n2n-1，利用错位相减法即可得出本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.【答案】解：（1） ，=16(7+8+9+
21、11+12+13)=10=112=16(120+118+112+110+108+104)= ， =1()()=1()2 7028=2.5y 关于 x 的线性回归方程为 ；（2）6 种单价中销售量在110，118 内的单价种数有 3 种销量恰在区间110，118内的单价种数 的取值为 0，1，2，3，第 13 页，共 18 页P（=0）= ，0336=120P（=1）= ，132336=920P（=2）= ，231336=920P（=3）= 3336=120 的分布列为： 0 1 2 3P 120920920120期望为 E（）= 0120+1920+2920+3120=32【解析】（1）由已知
22、表格中数据求得 与 ，则线性回归方程可求；（2）求出 的所有可能取值为 0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望与方差，考查计算能力，是中档题19.【答案】证明：（1）BCCD，AB =4，BC=CD=2，AD =BDAD=BD= =2 ，4+4 2BD2+AD2=AB2， ADBD，四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD平面ABCD，PA BC，BCCD，BC平面 PAB，BC平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD，平面 PAD平面 PAB=PA， PA平面ABCD，PABD，PAAD=A，BD平面 PAD，BD平面 PAD， 平面
23、PBD平面 PAD解：（2）以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AP=a，则 A（0，4，0），B（0，0，0），P（0，4，a），D（1，1，0），=（0，4，0）， =（0，4，a）， =（1，1，0）， 设平面 PBD 的法向量 =（x ， y，z），则 ，取 x=1，得 =（1，-1 ， ）， =4+=0 =+=0 4第 14 页，共 18 页AB 与平面 PBD 所成的角的正弦值为 ，225|cos |= = = ， | 42+162 16225解得 a= ， =（1，-1， ），823 324=（1
24、，0，0）， =（0，4， ）， 823设平面 PBC 的法向量 =（x，y，z），则 ，取 z=3，得 =（0，-2 ，3）， =4+823=0 =0 2设二面角 C-PB-D 的平面角为 ，则 cos= = = |17245016 17175二面角 C-PB-D 的余弦值为 175【解析】（1）推导出 ADBD，BC平面 PAB，从而平面 PAB平面 ABCD，进而 PA平面 ABCD，PABD，由此能证明 BD平面 PAD，从而平面 PBD平面PAD （2）以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴， 过 B 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求
25、出二面角 C-PB-D 的余弦值本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查运算求解能力，是中档题20.【答案】（1）解：由已知可得， ，解得 a=2，b= ，=1=122=2+2 3椭圆的方程 ；24+23=1（2）证明：由| + |=| |，得 ， 设直线 AB 方程为 y=kx+m，A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立 ，得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m2-12=0=+24+23=1=48（4k 2-m2+3）0第 15 页，共 18 页， 1+2=83+42 12=42123+42由题意，Q（-2，0），
26、则 ， ，=(1+2， 1) =(2+2， 2)由 ，得（ x1+2）（x 2+2）+y 1y2=x1x2+2（x 1+x2）+4+（kx 1+m）（kx 2+m）= =0，(2+1)12+(+2)(1+2)+2+4 ，(2+1)42123+42+(+2)83+42+2+4=0即 7m2+16km+4k2=0，（ 7m+2k）（m+2 k）=0 ，即 7m=-2k 或 m=-2k当 7m=-2k 时，满足 0，此时直线方程为： ，过定点（ ）；=72+ 27， 0当 m=-2k 时，满足 0，此时直线方程为：y=- ，过定点（2，0），不合题12+意综上，直线 l 经过不同于点 Q 的定点（
27、）27， 0【解析】（1）由已知可得 ，求解可得 a，b 的值，则椭圆方程可求；（2）由| + |=| |，得 ，设直线 AB 方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积可得（7m+2k）（m+2k ）=0，即 7m=-2k 或 m=-2k，验证判别式后可得直线 l 经过不同于点 Q 的定点（ ）本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21.【答案】解：（1）函数导数 f（x ）=xe x-ax2+x，当 a=0 时，f（ x）=（x -1）e x+ x2，f（1）= ，12 12f（x）=
28、xe x+x，f（1）=e+1，即在点（1， ）处的切线斜率 k=e+1，12则对应的切线方程为 y- =（e+1）（x-1）即 y=（e+1）x-e- 12 12（2）当 x0 时，若 f（x）存在两个极值点，则 f（x）=0 有两个不同的解，即 f（x）=xe x-ax2+x=0，e x-ax+1=0 有两个根，即 ex+1=ax 有两个不同的根，第 16 页，共 18 页设 h（x）=e x+1，h（x）=e x，设切点（m，e m+1），则 h（m）=e m，即过原点的切线方程为 y-（e m+1）=e m（x-m ），即 y=emx-mem+em+1当 x=0，y=0 时，-me m
29、+em+1=0，设 g（m）=-me m+em+1，则 g（m）=-me m0，即 g（m）在（0，+）上为减函数，g（ 1） =10，g（2）=-2e 2+e2+1=-e2+10，当 m（1，2）时，g（m） =0，即当 ae m时，y=e x+1 和 y=ax 有两个交点，m（1 ，2）， em（e，e 2），当 a=3 时，y=3x 与 h（x）没有交点，当 a=4 时，y=3x 与 h（x ）有两个交点，即当 x0 时，f（x）是存在两个极值点，此时最小的a 的整数值为 4【解析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程 （2）求函数的导数，结合极值与导数之间的关系， 转
30、化为 f（x）=0 有两个不同的根，构造函数结合导数的几何意义转化求切线，利用数形结合进行求解即可本题主要考查导数的几何意义以及函数极值的应用，求出函数的导数，结合导数的应用是解决本题的关键考查学生的运算推理能力22.【答案】解：（1）因为 ， ，=3= 3= 2+ 2 得 ，即 C1 的普通方程为 ，23+2=1 23+2=1曲线 C2 的极坐标方程为 （cos+sin）=15，cos+sin=15，由 cos=x，sin=y ，可得 C2 的直角坐标方程为：x+y-15=0（2）设直线 l 与 C2 平行，且与曲线 C1 相切，设 l 方程为 x+y+C=0，联立 l 与 C1 的方程 消
31、去 y 得：4x 2+6Cx+（3C 2-3）=0，23+2=1+=0因为 l 与曲线 C1 相切，故=36C 2-16（3C 2-3）=0，解得：C=2，或 c=2C2 的方程为：x +y-15=0当 C=-2 时，设切点为 P，过 P 作 C2 的垂线，垂足为 Q，则此时|PQ|最小，且此时，|PQ|值等于 l 与 C2 的距离，|PQ|= = |15+2|12+121322将 C=-2 代入 得，x = ，32第 17 页，共 18 页y=-x+2= 即 P 点坐标为（ ， ）12 32 12综上，点 P、Q 分别为曲线 C1 及曲线 C2 上任意一点，则| PQ|的最小值为 ，此时 P
32、1322点坐标为（ ， ）32 12【解析】（1）根据 sin2+cos2=1 消参即可得到 C1 的普通方程，由 cos=x，sin=y，可得 C2 的直角坐标方程 （2）设出 C2 的平行线 l：x+y+C=0，且 l 为 C1 的切线，联立 l 与 C1 令=0，得C，将|PQ|最小值转化为直线 l 和 C2 的距离，得到 |PQ|的最小值，再将 C 代入联立后的方程，得到 P 点的坐标本题考查了椭圆的参数方程、直线的极坐标方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系、曲线上的点，到直线上一点的距离的最小值的求法等知识，具有一定的综合性，属中档题23.【答案】解：（）a=1 时，f（x ）=|x
33、-1|-|x +2|，即 f（x）= ，3， 221， 2 13， 1 不等式 f（x）-x 即为 或 或 ，23 2121 13即有 x-3 或-1x1 或 1x3，则为 x-3 或-1x3，所以不等式的解集为x| x-3 或-1x3；（）由（）知，函数 f（ x）的值域为-3 ，3，若 f（x）a 2+1 恒成立，则 f（x） maxa2+1，即 3a2+1，解得 a 或 a- 2 2实数 a 的取值范围是（-，- ，+）2 2【解析】（）a=1 时利用分段函数表示 f（x），再求不等式 f（x）-x 的解集； （）由（）知函数 f（x）的值域，把不等式恒成立化为 3a2+1，即可求得 a 的取值范围第 18 页，共 18 页本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题
