1、1通州区高三年级第一次模拟考试数学（理科）试卷2019 年 4 月第一部分（选择题 共 40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 , ,则 MN2,10M20NxA-2，-1 B-1，0 C0，1 D1 ，2 2. 已知 ，则下列不等式中成立的是cA B C D2c12cc12cc3.在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标是sinA B. C.D. ，12， 01， 10，4中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中
2、表示正整数 N 除以正整数 m 后的余数)(modnN为 n，例如 表示 11 除以 3 后的余数是 2.)3(21执行该程序框图，则输出的 N 等于A7 B. 8 C. 9 D. 10考生须知 1.本试卷共 4 页，满分 150 分考试时长 120 分钟2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回25.设抛物线 的焦点为 ，已知点 ， ， ，24yxF14M,a2N,b1P,c都在抛物线上，则 M，N ，P，Q 四点中与焦点 F 距离最小的点是Q,dAM BN C P DQ 6.“ ”是“方程 12myx表示双
3、曲线”的0mA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A. 32 B. 4 C. 8D. 168.由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3) ，(2,2)，(3,1)，(1,4) ，(2,3)，(3,2)，(4,1) ，(1,5)，(2,4)，若数对 满足 ，,mn2132019n其中 ，则数对 排在,mnN,mnA第 351 位 B第 353 位 C第 378 位 D第 380 位第二部分（非选择题 共 110分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分
4、9.复数 ( 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 象限2i10.在 中， ， ， ，则 ABC3cos54a5bc11若实数 x，y 满足Error!则 的最大值是 zxy12. 能说明“若函数 满足 ，则 在 内不存在零点”为)(f 0)(f)(xf2,03假命题的一个函数是 13. 用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是 5的四位数共有 个(用数字作答 )14.在平面直角坐标系 中，对于点 ),(baA，若函数 满足：xOyyfx，都有 ，就称这个函数是点 A的“限定函数” 以,xa1,下函数：y21，2， xysin， ，其中是原点l2的“限定函数
5、”的序号是 已知点 ),(ba在函数 的图象上，Oxy若函数 是点 A的“限定函数” ，则 的取值范围是 x三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题 13 分） 已知函数 22sincos1fxxx（）求 的最小正周期 ；()（）当 时 恒成立，求 m 的取值范围 ,4f16 （本小题 13 分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传 3 月 1 日至 3 月 7 日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：职工甲 职工乙（）从 3 月 1 日至 3 月 7 日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于 10000 的
6、概率；（）从 3 月 1 日至 3 月 7 日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000 的天数为 ，求 的分布列及数学X4期望；（）右图是校工会根据 3 月 1 日至 3 月 7 日某一天的数据，制作的全校 200 名教职工微信记步数的频率分布直方图已知这一天甲和乙微信记步数在单位 200 名教职工中排名分别为第 68 和第 142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由） 17 （本小题 14 分）如图 1，菱形 中， ， ， 于 将 沿ABCD604ABDEABED翻折到 ，使 ，EE如图 2（）求证：；平面 E 平面 （）求直线 与平面 所成角 的正
7、弦值；（）设 F 为 上一点，若线段 EF/平面 ，求 的值 DA18 （本小题 14 分）已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，长轴长为 C1,0F21,23（）求椭圆 的标准方程及离心率； （）过点 的直线 与椭圆 交于 A，B 两点，若点 满足01， lCM，求证：由点 构成的曲线 关于直线 对称MABOL13y19 （本小题 13 分）已知函数 2Rkxef（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；0yfx1f，（）当 时，k（）求 的单调区间；fx（）若 在区间 内单调递减，求 的取值范围01， kDCBEAECBA图 1 图 2520 （本小题 13 分）定义集合 M 与集合 N 之差是
8、由所有属于 M 且不属于 N 的元素组成的集合，记作|x且已知集合 1,23,0S（）若集合 |2,*nT，写出集合 ()T的所有元素；（）从集合 选出 10 个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值 和最小S D值 分别是多少？公差为 和 的等差数列各有多少个？dDd（）设集合 A，且集合 中含有 10 个元素，证明：集合 SA中必有 10 个元素组成等差数列通州区高三年级第一次模拟考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D B B A A C B第二
9、部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9三 107 11112 (答案不唯一 ) 21fx1348 14 , 0，三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 15解：（） 22sincos1fxxx2sinco2019.46sin2cosx3 分2sicsxx4 分， 2sinx5 分所以最小正周期 ； 2T6 分（）因为 ， ,4x所以 ， 2, 32,4x7 分所以当 ，即 时， 有最小24x4xsin24x值 10 分所以 有最小值 fx 111 分因为当 时 恒成立，,4fxm所以 ， 1m即 的取值范围是 1，13 分 716
10、解：（）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于 10000”为事件 A1 分从 3 月 1 日至 3 月 7 日这七天中，3 月 2 日，3 月 5 日，3 月 7 日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于 10000，所以 ； PA3 分（） 的所有可能取值为 0，1，2， 4X分 723C， 74C2134， 724C70PPXPX分的分布列为X8 分；1428077EX10 分（）3 月 3 日 . .13 分由直方图知，微信记步数落在20,25，15,20)，10,15) ，5,10) ，0,5)（单位：千步）区间内的人数依次为 30.152人， 50.2人，60.2人， 4人， 12人
11、由甲微信记步数排名第 68，可知当天甲微信记步数在 15000-20000 之间，根据折线图知，这只有 3月 2 日、3 月 3 日和 3 月 7 日；而由乙微信记步数排名第 142，可知当天乙微信记步数在 5000-10000 之间，根据折线图知，这只有 3 月 3 日和 3 月 6 日. 所以只有 3 月 3 日符合要求17 （）证明：在菱形 ABCD 中，因为 DEAB，所以 DEAE，DE EB所以 1 分因为 , ， = 平面 ， 平面 ，所以 平面 0 1 2P7174783 分因为 ， 平面 所以 平面 平面 4 分（）解：由（）知 ， ， ， 如图建立空间直角坐标系 E-xyz
12、，则 5 分E(0,0,0)，B (2,0,0)， ， ， (0,23,0)(4,23,0),(0,0,2)所以 =(0,0,2)，. 6 分 =(2,0,2)， =(2,23,0)设平面 的法向量 =(,)，由 7 分=0，=0， 得 2+2=0， 2+23=0， 所以 =， = 3 令 ，则 =1 =3， =3所以 =( 3,1,3)8 分所以 ，|=( 3)2+(1)2+( 3)2=7又 ，|=2， =23所以 21cos, 7AEn9 分所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 21710 分（）由（）可知， =(0,23,2)， =(0,23,0)，设 ，则 =(0,23,2)11 分
13、9 12=+=(0,2323,2)分因为 EF/平面 ，所以 =0，即 0 3+(2323)(1)+2 3=013 分所以 即 =12， =12所以 . DFA14 分 18解：（）由已知，得 3a， 1c，所以 13cea3 分又 22abc，所以 2b 4 分所以椭圆 的标准方程为213xy，离心率 C3e5 分（）设 12(,)(,)AxyB(,)mMxy当直线 与 轴垂直时，点 , 的坐标分别为 ， lA02， ，因为 ， ，0,mMxy ,2mMBxy，,O所以 (3,)mABOxy0所以 ， ，即点 与原点重合 0mxyM6 分当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 l l1yk
14、x7 分10由 213xyk，得 ， 82630x分 2223174kk所以 126x， 1203y9 分因为 11(,)mMA， 22(,)mMBxy，0,)Oxy，所以 1212(03,03)mmBOxxyy所以 123,mxy， 112mk240k分消去 得 223mmxyy综上，点 M 构成的曲线 的方程为 12L230xy分对于曲线 的任意一点 ，它关于直线 的对称点,y1为 把 的坐标代入曲线 的方程的左端：2,3xy2,3xL22 22244330yyyxy所以点 也在曲线 上ML11所以由点 构成的曲线 关于直线 对称 . . ML13y14 分19解: （）当 时， ， .
15、10k21fx32fxx分所以 ， . 12f f.2 分所以曲线 在点 处的切线方程为yfx1f， 1f.3 分即 ； .420xy分（） 时，k（） 2xek，定义域为 0|x， f5 分所以 42xekk= 42)xk（ fx7 分令 ，得 0fx2k8 分 当 时，在 和),(k， ；在)2,0(k， 0k， fx0fx所以 的单调递增区间为 和),2(，单调递减区间为),(；fx0，12.9 分 当 时，在）（ 0,2k， ；在），（ k2-和 ），（ 0， kfx0fx所以 的单调递增区间为）（ ,，单调递减区间为 和 ；fx， ，10 分（）由 在区间 内单调递减， f01，当
16、时， )2,(k，有1，所以 20k； k，11 分当 时, 在 ），（ 递减，符合题意 0fx12 分综上 的取值范围是 k02,13 分20. 解：（）集合 ()ST的所有元素是 : ； 248163， ， ， ， ，2 分（）当首项是 1，末项是 100 时，公差最大为 11，即 这样的数列只D有 1 个： ； ， ， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 04 分当选取的 10 个数是连续自然数时，公差最小为 1，即 这样的数列首项可d以是 中的任何一个，因此共有 91 个公差为 1 的等差数列. 29， ， ， ，. .6 分（）将集合 S 中元素列表如下： 1 2 3 1011
17、 12 13 2021 22 23 30 91 92 93 100表中各行或各列的十个数分别构成等差数列假设存在含有 10 个元素的集合 A，使得 S-A 中不含 10 个元素组成的等差数列显然每连续 10 个元素中必有集合 A 中的唯一一个元素，即表的每行、每列13中必有集合 A 中的唯一一个元素 记表中第 行第 列的数为 若第 i(1i9)行中集合 A 的唯一元素为( i,j)，ij,ij则第 i+1 行中(i+1,1),(i+1,2), (i+1,j)中必有集合 A 中元素若第 i(1i9)行的第一个数在集合 A 中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾因此，第一列中集合 A 的唯一元素只可能在第十行同理，若第 i(1i8)行的第二个数在集合 A 中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾因此，第二列中集合 A 的唯一元素只可能在第九行依此类推，得 A=10，19，28，37，46，55，64，73，82，91此时，另一条对角线上的十个元素1，12，23，34，45， 56，67，78，89，100构成等差数列，与假设矛盾综上，原命题成立 .13 分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分
