1、1通州区高三年级第一次模拟考试数学（文科）试卷2019 年 4 月第一部分（选择题 共 40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则1Mx2NxMNA B. C. D. 1， ， 1， 2，2. 已知 0c，则下列不等式中成立的是A 2 B 2cCccD 1cc3.中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中 )(modnN表示正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，例如 321表示 11除以 3 后的余
2、数是 2.执行该程序框图，则输出的 N 等于A7 B. 8 C. 9 D. 104.设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，则24yxF1M,aMFA B C D 154考生须知 1.本试卷共 4 页，满分 150 分考试时长 120 分钟2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效4.考试结束后，请将答题卡交回25.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A.54 B. 27 C.108 D. 54 6.已知 ，则“ ba”是“ cb”的,RabcA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不
3、充分也不必要条件7.已知函数 f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的表达式为Af(x)2sin( x ) Bf(x)2sin( 32x ) 32 4 29Cf(x)2sin( x ) D f(x)2sin( x )32 54 25188.下面各表格中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律第 10 个表格中 的值为mA184 B. 354 C. 464 D. 574第二部分（非选择题 共 110分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9. 复数 ( 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第 象限.2i10.若实数 x，y 满足Error!则 z2x +y
4、的最大值是 正（主）视图 侧（左）视图俯视图第 10 个第 3 个第 2 个第 1 个311.写出一个既是奇函数又在(0，) 内单调递减的函数 12.直线xy3被圆 4)2(y截得的弦长为 13.如图，在矩形 中， ， ，点 为ABCD2BCE的中点，点 在边 上，若 ，则BF1AF的值是_ E14. 已知函数 且 ，则实数 23,1logxaf3fa三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题 13 分）在ABC 中， ， ， 3cos5A4a5b（）求角 B 的大小；（）求ABC 的面积16 （本小题 13 分）已知数列 na中， 1，
5、10na；数列 nb的前 项和2nS （）求数列 ， nb的通项公式；（）求数列 的前 2n 项和17 （本小题 13 分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传 3 月 1 日至 3 月 7 日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：职工甲 职工乙ABCEFD4（）从 3 月 1 日至 3 月 7 日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000 的概率；（）从 3 月 1 日至 3 月 7 日中任选两天，求职工乙在这两天中微信记步数至少有一天不低于 10000 的概率；（）右图是校工会根据 3 月 1 日至 3 月 7 日某一天的数据，制作的全校 200 名教职
6、工微信记步数的频率分布直方图已知这一天甲和乙微信记步数在单位 200 名教职工中排名分别为第 68 和第 142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由） 18 （本小题满分 14 分）如图 1，菱形 中， ， ， 于 将 沿 翻ABCD604ABDEABED折到 ，使 ，如EE图 2（）求证： 平面 ；（）求三棱锥 的体积；（）在线段 上是否存在一点ADF，使 EF/平面 ？若存在，BC求 的值；若不存在，说明理由19 （本小题 13 分）设 2lnRafxx（）当 时，直线 是曲线 的切线，求 的值；0yemyfxm（）求 的单调区间；fx（）若 1)(恒成立，求 的
7、取值范围a20 （本小题 14 分）已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，长轴长为 L1,0F21,23（）求椭圆 的标准方程及离心率； （）设点 为椭圆 内任意一点，过点 作两条倾斜角互补的直线 和 （ 与MM1l21lDCBEAECBA图 1 图 25不重合） ， 与椭圆 交于 ， 两点， 与椭圆 交于 ， 两点，求证：2l1lLAB2lLCDMABCD通州区高三年级第一次模拟考试数学（文科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D B B A B C C第二部分（非选择
8、题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 三 101 11 (答案不唯一 ) fx12 32 132 140 或 7 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分 ） 15解：（）因为 , ， 3cos5A02019. 46所以 ， 2 分02A4sin5由 得， 4 分siniabB45sin2ibAa因为 ，所以 . A 6 分所以 4（）因为 ， BC所以 . 7 分A因为 ，所以 842sinco分 所以 9 分siisinCAB10 分 ncos 11 分42372510所以ABC 的面积 sinSabC 13 分17245142016解
9、：（）因为 1na， ，所以 na为等比数列，其中公比为 ，首项为 q1a所以 ，11nq所以 n的通项公式是 ， 3 分naN当 1时， ；1bS7当 2n时， ，2211nnbSn经检验 也成立1所以 n的通项公式是 ， 7 分nN（）由（）得， 12nab设数列 的前 2n 项和为 ，则 n nT21357431Tn4 13 分n17 （）设“这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于 10000”为事件 . 1 分A在该周 7 天中，3 月 2 日，3 月 5 日，3 月 7 日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于 10000，所以 ； 37PA分（）设“职工乙在这两天中微信记步数至少有
10、一天不低于 10000”为事件 4B分职工乙在该周 7 天中，有四天微信记步数不低于 10000，分别记为 ， ， ， ；有1a234a三天微信记步数低于 10000，分别记为 ， ， 1b235 分从 3 月 1 日至 3 月 7 日中任选两天，全部基本事件为21411213,aaa322bb4133,124aba23,，8 8 分23,b全部基本事件总数 21 个，事件 中的基本事件数 18 个B所以 . .10 分1867PB（）3 月 3 日 13 分由直方图知，微信记步数落在20,25，15,20)，10,15) ，5,10) ，0,5)（单位：千步）区间内的人数依次为 30.152
11、人， 50.2人， 60.3人，40.2人， 人由甲微信记步数排名第 68，可知当天甲微信记步数在 15000-20000 之间，根据折线图知，这只有 3 月 2 日、3 月 3 日和 3 月 7 日；而由乙微信记步数排名第 142，可知当天乙微信记步数在 5000-10000 之间，根据折线图知，这只有 3 月 3 日和 3 月 6 日. 所以只有 3 月 3 日符合要求18 （）证明：在菱形 ABCD 中，因为 DEAB，所以 DEAE 所以 2 分因为 ， ， ， = 平面 ， 平面 所以 . 4 平面 分（）解： 5 分=由（）知 平面 因为在菱形 ABCD 中， ，AB=4，=60所
12、以 ABD，BCD 是边长为 4 等边三角形 所以=1244 32=43 6分因为 DEAB 于 E，所以 E 为 AB 中点，AE= EB=2所以三棱锥 中，高 7 分 =2所以 8 分=139=13432=833分（）解：在 上存在一点 F，使 EF/平面 10 分AD ABC分别取 的中点 ，连 EF、FM、BM ,C,M9因为 FM 为 的中位线，所以 /，且 =12在菱形 ABCD 中， ，/，且 =12所以 /，且 =所以四边形 EBMF 为平行四边形 11 分所以 12 分/因为 平面 ， 平面 ，所以 . 13 分/平面 因为 F 为 中点所以 14 分=119解：（）当 时，
13、 ， 1 分0alnfx1fx设切点 ，则 ， 2 分 0,Pxy01fe所以 ， 01e0把切点 的坐标代入切线方程 ，得 ； 4 分0,Pxyyexm2（） 的定义域为 ），（ 0， 5 分2lnafx 6 分331fxx（）当 0a时， ， 在 ），（ 0上单调递增； 7 分ffx（）当 时，令 ，得 2a在 ， ，所以 在 ），（ 单调递减；2， fxfx在 ,a， ，所以 在 ,单调递增 8 分010（） xf1)(恒成立，即 在 恒成立，21ln0ax,也就是 在 恒成立 9 分2ln0a,令 ， ，则gxx 10 分2l1因为 ， 11 分0当 ),(x时，因为 ， ，所以 ；0
14、x2lnx0gx当 1时，因为 ， ，所以 12 分10所以 在 时取得极小值 gx1ga因为在定义域 ），（ 0内 只有一个极小值，所以 也是最小值x1ga所以 ，即 1a所以 的取值范围是 13 分，20 （）解：由已知，得 3a， 1c， 3ea又 22abc，所以 2b 所以椭圆 的方程为 ，离心率 5 分L13xy3e（）证明：设直线 和 的斜率分别为 和 ， ，1l21k20,Mxy12(,)(,)AxyB则直线 的方程为 ，即 0y10kxy6 分由 得210,3,ykxy11 8 分2 22110101036360kxkyxkxy所以 ， ， 9 分1221321213k10 分001MABxxk2121 11 分2012136xykk同理可得 12220MCD 分因为直线 与 的倾角互补，所以 13 分1l221k所以 14 分ABC注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分
