1、一轮单元训练金卷 高三 数学卷（A ）第 二 十 五 单 元 综 合 测 试注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接
2、答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 i23（ ）A B 32iC 32iD 32i2已知集合 1,57， ,45，则 AB（ ）A 3B C ,5D 1,45,73函数 2exf的图象大致为（ ）4已知向量， b满足 1a， b，则 2ab（ ）A4 B3 C2 D05从 2
3、名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（ ）A 0.6B 0.5C 0.4D 0.36双曲线 21,xyabb的离心率为 3，则其渐近线方程为（ ）A 2yxB 3yxC 2yxD 32yx7在 C 中， 5cos， 1， 5A，则 B（ ）A 42B 30C 29D 258为计算 1491S ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A 1iB 2iC 3iD 4i9在正方体 1CDA中， E为棱 1的中点，则异面直线 AE与 C所成角的正切值为（ ）A 2B 32C 52D 7210若 cosinfxx在 0,a是减函数，则 a的最大值
4、是（ ）A 4B 2C 34D 11已知 1F， 2是椭圆 C的两个焦点， P是 上的一点，若 12PF， 且 2160PF， 则 C的离 心 率 为 （ ）A 32B 3C 32D 312已知 fx是定义域为 ,的奇函数，满足 1fxf若 12f，则 1350f f （ ）A 50B0 C2 D50二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13曲线 2lnyx在点 1,0处的切线方程为_14若 ， 满足约束条件2035xy，则 zxy的最大值为_15已知 51tan4，则 tan_16已知圆锥的顶点为 S，母线 A， SB互相垂直， SA与圆锥底面所
5、成角为 30，若 SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。17 （12 分）记 nS为等差数列 na的前 项和，已知 17a， 315S（1）求 a的通项公式；（2）求 n，并求 n的最小值18 （12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量 t的两个线性回归模型根据2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t的
6、值依次为 1,27 ）建立模型： 30.415yt；根据2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为 , ）建立模型： 97.t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC中， 2，4PABC， O为 的中点（1）证明： 平面 ；（2）若点 M在棱 上，且 2M，求点 到平面 POM的距离ABCOM20 （12 分）设抛物线 2:4Cyx的焦点为 F，过 且斜率为 0k的直线 l与 C交于 A， B两点，8AB（1）求 l的方程；（2）求过点 ， B且与
7、 的准线相切的圆的方程21 （12 分）已知函数 3211fxax（1）若 3a，求 的单调区间；（2）证明： fx只有一个零点（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 （10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 2cos4inxy， （ 为参数） ，直线 l的参数方程为1cos2inxty， （ t为参数） （1）求 C和 l的直角坐标方程；（2）若曲线 截直线 l所得线段的中点坐标为 1,2，求 l的斜率23 （10 分） 【选修 45：不等式选讲】设函数 2fxax（1）当
8、a时，求不等式 0f的解集；（2）若 1fx，求 a的取值范围一轮单元训练金卷 高三数学卷答案（ A）第 二 十 五 单 元 综 合 测 试一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】D【解析】 2i23i3i，故选 D2 【答案】C【解析】 1,57A， ,45B， 3,5AB，故选 C3 【答案】B【解析】 0x， 2exffx， f为奇函数，舍去 A；1ef， 舍去 D； 24 3e2e2xxxxf ， 2， 0fx，所以舍去 C；因此选 B4 【答案】B【解析】因为 2213abab，所以选 B5 【答
9、案】D【解析】设 2 名男同学为 1A， 2，3 名女同学为 1B， 2， 3，从以上 5 名同学中任选 2 人总共有 1A， 1B， ， ， 1， 2A， ， 1， 3B， 2共 10 种可能，选中的 2 人都是女同学的情况共有共 2B， 3， 三种可能，则选中的 2 人都是女同学的概率为30.1P，故选 D6 【答案】A【解析】 3cea，22132bcae， ba，因为渐近线方程为 byxa，所以渐近线方程为 yx，选 A7 【答案】A【解析】因为2253cos11C，所以 22ab， 42c，选 A8 【答案】B【解析】由 1123490S 得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再
10、相减因此在空白框中应填入 i，选 B9 【答案】C【解析】在正方体 1ABCD中， CDA ，所以异面直线 AE与 CD所成角为 EAB，设正方体边长为 2a，则由 E为棱 1的中点，可得 a，所以 5Ba，则 5tanEAB故选 C10 【答案】C【解析】因为 cosin2cos4fxxx，所以由 0224kxk， Z得 32244kk， Z，因此 30,a， a，从而 a的最大值为 4，故选 C11 【答案】D【解析】在 12FP 中， 1290F， 2160PF，设 2Pm，则 12cFm，13Pm，又由椭圆定义可知 12231am则离心率 231cea，故选 D12 【答案】C【解析】
11、因为 fx是定义域为 ,的奇函数，且 1fxf，所以 11fxf，31f f， 4T，因此 12350123412fffffff ，因为 31ff， 42ff，所以 12340fff，2， 0，从而 512ff ，故选 C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13 【答案】 2yx【解析】由 lnf，得 2fx，则曲线 2lnyx在点 1,0处的切线的斜率为12kf，则所求切线方程为 01y，即 14 【答案】9【解析】不等式组表示的可行域是以 5,4A， ,2B， 5,0C为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数 zxy的最大值必在顶点处取得，易
12、知当 x， 4y时， max9z15 【答案】 32【解析】5tant5tan14tan451，解方程得 3tan216 【答案】 8【解析】如下图所示， 30SAO， 90SB，又 2182SABSA ，解得 4SA，所以 12， 23AO，所以该圆锥的体积为2183VO三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。17 【答案】 （1） 29na；（2） 16【解析】 （1）设 的公差为 d，由题意得 315ad由 17a得 2d，所以 na的通项公式为 29na（2）由（1）
13、得 228416nSn所以当 4n时， nS取得最小值，最小值为 1618 【答案】 （1）模型 6.亿元，模型 5 亿元；（2）模型，见解析【解析】 （1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为30.4592.1y（亿元） 利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为9176 （亿元） （2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 30.415yt上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2
14、009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 9175yt 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值2261 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分1
15、9 【答案】 （1）见解析；（2） 45【解析】 （1）因为 APC， O为 AC的中点，所以 OPAC，且 23连结 OB因为 2B，所以 B 为等腰直角三角形，且 B， 1由 2OP知， 由 P， ，知 平面 （2）作 CHOM，垂足为 H又由（1）可得 OPCH，所以 平面 POM故 的长为点 到平面 P的距离由题设可知 12A， 423BC， 45AB所以 253O， sin5HO 所以点 C到平面 PO的距离为 4520 【答案】 （1） 1yx；（2） 2216xy或 2261xy【解析】 （1）由题意得 ,0F， l的方程为 k0设 1,Axy， 2,Bxy由 214kx得 22
16、24xk，故 12k260k所以 2241ABFxk由题设知248k，解得 k（舍去） ， 因此 l的方程为 1yx（2）由（1）得 的中点坐标为 3,2，所以 AB的垂直平分线方程为 23，即5yx设所求圆的圆心坐标为 0,xy，则 02205116yxy，解得 032xy或 016，因此所求圆的方程为 2231x或 224xy21 【答案】 （1） ,， 3,单调递增， 3,3单调递减；（2）见解析【解析】 （1）当 3a时， 321fxx， 26xf令 0fx解得 2x或 当 3,3,时， ；0fx当 2,x时， fx故 f在 ,3， 23,单调递增，在 32,3单调递减（2）由于 21
17、0x，所以 ()0fx等价于 201xa设 ()g=32a，则 223g ，仅当 x时 0g，所以 gx在 ， 单调递增，故 x至多有一个零点，从而 f至多有一个零点又2211631603aaf ， 031fa，故 fx有一个零点综上， fx只有一个零点（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 【答案】 （1）2146xy，当 cos0， tan2tanyx；当 cos0，x；（2） 【解析】 （1）曲线 C的直角坐标方程为2146xy当 cos0时， l的直角坐标方程为 tan2tanyx，当 时， 的直角坐标方程为 1（2）将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程，整理得关于 t的方程213cos4cosin80tt因为曲线 C截直线 l所得线段的中点 1,2在 C内，所以有两个解，设为 1t， 2，则 120t又由得 122csi3ot，故 cosin0，于是直线 l的斜率 tank23 【答案】 （1） |x；（2） ,6,【解析】 （1）当 a时， ，可得 0fx的解集为 |23x4,1226,xf x（2） fx等价于 4x，而 2a，且当 2时等号成立故 1fx等价于 24a，由 4可得 6或 a，所以 a的取值范围是 ,6,
