1、第三章 3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,3.5.2 简单线性规划(一),学习目标 1.了解线性规划的意义. 2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念. 3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,该不等式组所表示的平面区域如图，求2x3y的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念.,知识点一 目标函数及线性目标函数,1.要求 的函数，叫做目标函数. 2.如果目标函数是 ，则称为线性目标函数.如上述问题中，就是线性目标函数.,最大值或最小值,关于变量的一次函数,知识点二 约束条件及
2、线性约束条件,1.目标函数中的变量所要满足的 叫约束条件. 2.如果约束条件是 ，则称为线性约束条件.如上述问题中的就是线性约束条件.,不等式组,关于变量的一次不等式(或等式),知识点三 线性规划问题,1.在线性约束条件下，求 的最大值或最小值问题，称为线性规划问题. 2.满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫 ，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个 ，其中能使式取最大值的可行解称为 .,线性目标函数,可行域,可行解,最优解,思考辨析 判断正误 1.可行域是一
3、个封闭的区域.( ) 2.在线性约束条件下，最优解是唯一的.( ) 3.最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解.( ) 4.线性规划问题一定存在最优解.( ),题型探究,类型一 求线性目标函数的最大(小)值,该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，求2x3y的最大值.,解答,解 设区域内任一点P(x，y)，z2x3y，,由图可以看出，,此时2x3y14.,反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤： 确定线性约束条件，线性目标函数； 作图画出可行域； 平移平移目标函数对应的直线zaxby，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；
4、 求值解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.,跟踪训练1 已知1xy5，1xy3，求2x3y的取值范围.,解答,当直线截距最大时，z的值最小， 由图可知， 当直线z2x3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小.,zmin2x3y22335. 当直线z2x3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大.,zmax2x3y223(1)7. 52x3y7， 即2x3y的取值范围是5，7.,类型二 根据最优解的个数求参数,解 约束条件所表示的平面区域如图阴影部分， 由zaxy，得yaxz. 当a0时，最优解只有一个，过A(1，1)时取得最大值； 当a0时，当yaxz与x
5、y2重合时，最优解有无数个，此时a1； 当a0时，当yaxz与xy0重合时，最优解有无数个，此时a1. 综上，a1或a1.,解答,反思与感悟 当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解.,解析 由约束条件画出可行域如图阴影部分所示， 要使仅在点(3，0)处取最大值，,答案,解析,类型三 生活中的线性规划问题,例3 营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg
6、食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少kg? 将已知数据列成下表：,解答,解 设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，,目标函数为z28x21y.,作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，,如图可知，当直线z28x21y经过可行域上的点M时， 截距最小，即z最小.,(2)最优解和目标函数与边界函数的斜率大小有关.,跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得
7、最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为 .,4，1,答案,解析,解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，,易知当直线z20x10y平移经过点A时，z取得最大值， 即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.,达标检测,解析 画出可行域如图阴影部分(含边界). 设zx2y，,1,2,3,4,答案,解析,A.6 B.7 C.8 D.23,1,2,3,4,解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示. 由图可知，z2x3y经过点A(2，1)时，z有最小值，z的最小值为7.,答案,解析,3.满足|x|y|2的点(x，y)中整点的个数是 A.10 B.11 C.13 D.15,1
8、,2,3,4,作出可行域为如图正方形内部(包括边界)， 容易得到整点个数为13个.,答案,解析,8,解析 由不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，知目标函数z在点(0，2)处取得最大值8.,1,2,3,4,答案,解析,规律与方法,1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)寻找线性约束条件，线性目标函数； (2)作图画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l； (3)平移将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置； (4)求值解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解. 3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.,
