1、1.3.1 正弦函数的图象与性质(二),第一章 1.3 三角函数的图象与性质,学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.会求函数yAsin(x)的周期. 3.掌握函数ysin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 函数的周期性,如果函数f(x)满足f(x3)f(x)，那么3是f(x)的周期吗？,答案,答案 不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x3)f(x)，才可以说3是f(x)的周期.,思考2,所有的函数都具有周期性吗？,答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.,
2、思考3,周期函数都有最小正周期吗？,答案,答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f(x)c(c为常数，xR)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.,函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得定义域内的 值，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数， 叫做这个函数的周期. (2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.,梳理,非零常数T,每一个x,f(xT)f(x),非零常数T,最小的正数,思考1,知识点二 正弦函数的周期性,证明函数ysin x是周期函数. 答案
3、sin(x2)sin x， ysin x都是周期函数， 且2就是它们的一个周期.,答案,思考2,证明函数f(x)Asin(x)(A0)是周期函数.,答案,答案 由诱导公式一知，对任意xR， 都有Asin(x)2Asin(x)，,梳理,由sin(x2k) (kZ)知，ysin x是 函数，_ 是它的周期，且它的最小正周期是 .,sin x,周期,2k (kZ且k0),2,思考1,知识点三 正弦函数的奇偶性,观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？,答案,正弦曲线：,答案 正弦函数ysin x的图象关于原点对称.,思考2,上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？,答案,答案 正弦函数
4、是R上的奇函数.根据诱导公式，得sin(x)sin x，对一切xR恒成立.,梳理,对于ysin x，xR恒有sin(x)sin x，所以正弦函数ysin x是函数，正弦曲线关于 对称.,奇,原点,题型探究,解答,类型一 三角函数的周期性,例1 求下列函数的最小正周期.,函数f(x)sin z的最小正周期是2， 即变量z只要且至少要增加到z2， 函数f(x)sin z(zR)的值才能重复取得.,所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，,解答,(2)y|sin x|(xR).,其图象如图所示，,所以该函数的最小正周期为.,反思与感悟,对于形如函数yAsin(x)，A0时的最小正周期的
5、求法常直接利用T 来求解，对于y|Asin x|的周期情况常结合图象法来求解.,解答,跟踪训练1 求下列函数的周期.,(2)y|sin 2x|.,解答,类型二 三角函数的奇偶性,例2 判断下列函数的奇偶性.,f(x)是偶函数.,解答,(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；,f(x)的定义域关于原点对称. 又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)， f(x)lg1sin(x)lg1sin(x) lg(1sin x)lg(1sin x)f(x). f(x)为奇函数.,解答,解 1sin x0，sin x1，,定义域不关于原点对称， 该函数是非奇非偶函数.,反思与感悟,判
6、断函数奇偶性应把握好两个关键点： 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称. 关键点二：看f(x)与f(x)的关系. 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.,解答,跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.,解 f(x)sin 2xx2sin x， xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x) sin 2xx2sin xf(x)， f(x)是奇函数.,解答,f(x)的定义域不关于原点对称. f(x)是非奇非偶函数.,解答,类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用,例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x 时，f(x)si
7、n x，求f 的值.,解 f(x)的最小正周期是，,f(x)是R上的偶函数，,反思与感悟,解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.,解答,解答,类型四 函数周期性的综合应用,例4 已知函数f(x)cos x，求f(1)f(2)f(3)f(2 020)的值.,f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0. 同理，可得每连续六项的和均为0. f(1)f(2)f(3)f(2 020) f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020),反思与感悟,当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值
8、.,跟踪训练4 设函数f(x)sin x，则f(1)f(2)f(3)f(2 015) .,0,答案,解析,f(1)f(2)f(3)f(2 015)335f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015),f(33561)f(33562)f(33563)f(33564)f(33565) 3350f(1)f(2)f(3)f(4)f(5),当堂训练,2,3,4,5,1,答案,2.下列函数中，周期为的偶函数是,答案,2,3,4,5,1,解析,2,3,4,5,1,A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周
9、期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数,答案,解析,f(x)cos 2x. 又f(x)cos(2x)cos 2xf(x)， f(x)是最小正周期为的偶函数.,答案,2,3,4,5,1,解析,4.函数ysin(x )的最小正周期为2，则的值为 .,|， .,2,3,4,5,1,答案,解析,规律与方法,1.求函数的最小正周期的常用方法： (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T. (2)图象法，即作出yf(x)的图象，观察图象可求出T，如y|sin x|. (3)结论法，一般地，函数yAsin(x)(其中A、为常数，A0，0，xR)的周期T 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.,本课结束,
