1、2.3.3 等比数列的前n项和(二),第2章 2. 3 等比数列,1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 等比数列的前n项和的变式,答案,na1,当公比q1时，因为a10，所以Snna1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).,答案,AqnA,思考 在数列an中，an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k，则实数k_.,答案, 1 3,解析 由题意知an是等比数列， 3n的系数与常数项互为相反数， 而3n的系
2、数为 1 3 ， k 1 3 .,知识点二 等比数列前n项和的性质 1.连续m项的和(如Sm、S2mSm、S3mS2m)仍构成数列.(注意：q1或m为奇数) 2.SmnSmqmSn(q为数列an的公比). 3.若an是项数为偶数、公比为q的等比数列，则 S偶 S奇 .,答案,等比,q,思考 在等比数列an中，若a1a220，a3a440，则S6_.,140,解析 S220，S4S240，S6S480， S6S480S24080140.,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 等比数列前n项和性质的应用 例1 (1)等比数列an中，S27，S691，则S4_.,解析答案,解析 数列an是等比数列
3、， S2，S4S2，S6S4也是等比数列， 即7，S47,91S4也是等比数列，(S47)27(91S4)， 解得S428或S421. 又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2 (a1a2)(1q2)S2(1q2)0， S428.,28,(2)等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，则公比q_.,解析答案,反思与感悟,解析 由题S奇S偶240，S奇S偶80， S奇80，S偶160， q S偶 S奇 2.,2,解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，常常可以避繁就简.不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同
4、时还可以避免对公比q的讨论.解题中把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地.,反思与感悟,解析 方法一 因为数列an是等比数列，所以S6S3q3S3，S9S6q6S3S3q3S3q6S3，于是 S6 S3 (1q3)S3 S3 3，,因为数列an是等比数列，且由题意知q1，所以S3，S6S3，S9S6也成等比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，解得S97S3，所以 S9 S6 7 3 .,即1q33，所以q32.,跟踪训练1 (1)设等比数列an的前n项和为Sn，若 S6 S3 3，则 S9 S6 _.,解析答案,7 3,(2)一
5、个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该数列的通项公式.,解析答案,解 设数列an的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知 S奇S偶4S偶，即S奇3S偶.,题型二 等比数列前n项和的实际应用 例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.,解析答案,反思与感悟,解 方法一 设小华每期付款x元，第k个月末付
6、款后的欠款本利为Ak元，则： A25 000(10.008)2x5 0001.0082x， A4A2(10.008)2x5 0001.00841.0082xx， A125 0001.00812(1.008101.00881.00821)x0， 解得x 5 0001.00812 11.00821.00841.00810,解析答案,反思与感悟,故小华每期付款金额约为880.8元.,方法二 设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则： A2x； A4A2(10.008)2xx(11.0082)； A6A4(10.008)2xx(11.00821.0084)； A12x(11.00821
7、.00841.00861.00881.00810). 年底付清欠款，A125 0001.00812， 即5 0001.00812x(11.00821.00841.00810)， x 5 0001.00812 11.00821.00841.00810 880.8. 故小华每期付款金额约为880.8元.,反思与感悟,分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同.解决这类问题有两种处理方法：一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地
8、投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 1 5 ，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长 1 4 .设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式.,解析答案,题型三 新情境问题,解析答案,(1)证明：数列2an1是“平方数列”，且数列lg(2an1)为等比数列；,数列2an1是“平方数列”. lg(2an11)lg(2an1)22lg(2an1)， 且lg(2a11)lg 50，,lg(2an1)是首项为lg 5，公比为
9、2的等比数列.,解 lg(2a11)lg 5，lg(2an1)2n1lg 5.,lg Tnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1),(2n1)lg 5，,(2)设(1)中“平方数列”的前n项之积为Tn，则Tn(2a11)(2a21)(2an1)，求数列an的通项及Tn关于n的表达式；,解析答案,(3)对于(2)中的Tn，记bn ，求数列bn的前n项和Sn，并求使Sn4 024的n的最小值.,解析答案,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,n的最小值为2 013.,反思与感悟,数列创新题的特点及解题关键 特点：叙述复杂，关系条件较多，难度较大. 解题关键：读清条件要求，理清关系，逐个分析.,
10、反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2)；如此继续下去，则：,(1)图(3)共挖掉了_个正方形；,解析 89173.,73,解析答案,(2)第n个图形共挖掉了_个正方形，这些正方形的面积和是_.,解析 设第n个图形共挖掉an个正方形，则a11，a2a18，a3a282，anan18n1(n2)，所以an18828n1 8n1 7 (n2).当n1时，a11也满足上式，所以an 8n1 7 . 原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积
11、和为,返回,1.等比数列an中，a1a2a31，a44，则a2a4a6a2n_.,当堂检测,1,2,3,4,a21， 又a44，,解析答案,数列a2，a4，a6，a2n是首项为1，公比为4的等比数列.,1,2,3,4,2.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n_ (nN*).,解析 设每天植树棵数为an，则an是等比数列， an2n(nN*，n为天数). 由题意得222232n100， 2n150， 2n51， n6. 需要的最少天数n6.,6,解析答案,解析 易知Sm4，S2mSm8， S3mS2m16， S3m121628.,
12、1,2,3,4,3.等比数列an的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是_.,28,解析答案,解析答案,4.已知数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列.求证：2S3，S6，S12S6成等比数列.,1,2,3,4,证明 设等比数列an的公比为q，由题意得2a7a1a4， 即2a1q6a1a1q3，2q6q310. 令q3t，则2t2t10，,当q31时，2S36a1，S66a1，S12S66a1， S62S3(S12S6)， 2S3，S6，S12S6成等比数列.,解析答案,1,2,3,4,2,2S3，S6，S12S6成等比数列. 综上可知，2S3，S6，S12S6成等比数列.,1,2,3,4,课堂小结,等比数列中用到的数学思想 (1)分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论； 研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a11或a10,0q1时为递减数列；当q0时为摆动数列；当q1时为常数列.,返回,(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn， a1 1q 当成整体求解.,
