1、2.2.3 等差数列的前n项和(二),第2章 2.2 等差数列,1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质. 2.掌握等差数列前n项和的最值问题. 3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,1.前n项和公式：Sn d 2 n2 .,知识梳理 自主学习,知识点一 等差数列前n项和及其最值,答案,na1 n(n1) 2 d,2.等差数列前n项和的最值,(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式组 确定；,(a1 d 2 )n,最大,最小,(2)
2、因为Sn d 2 n2 n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有 值；当d0时，Sn有 值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.,答案,最小,知识点二 数列中an与Sn的关系 对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为,最大,S1,SnSn1,解析 n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n， 当n1时，a1S1121221，an2n.,思考 若Snn2n，则an .,返回,2n,解析答案,题型探究 重点突破,题型一 已知Sn求an 例1 已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2n23n，试判断数列an是不是等差数列.,解析答案,反思与感悟,解 Sn2n23n，当n2时
3、， anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1. 当n1时，a1S15411. n1时，适合an4n1. 数列的通项公式是an4n1. 故数列an是等差数列.,(1)an与Sn的关系：an,反思与感悟,当n1适合于an时，则a1可以统一到an(n2，nN*)的形式中，而不用写成分段函数形式.若n1不适合an，则通项公式应写成分段函数形式. (2)等差数列an中，若d0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若SnAn2Bn，那么数列an一定是等差数列.,跟踪训练1 例1中，若Sn2n23n1，试判断该数列是不是等差数列.,解析答案,解 Sn2n23n1.n2时， anSnSn12n
4、23n12(n1)23(n1)1 4n1. 当n1时，a1S16411.,故数列an不是等差数列.,题型二 等差数列前n项和的最值问题 例2 在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值.,解析答案,反思与感悟,解 方法一 S9S17，a125，,解得d2.,解析答案,反思与感悟,(n13)2169. 当n13时，Sn有最大值169. 方法二 同方法一，求出公差d2. an25(n1)(2)2n27. a1250，,又nN*，当n13时，Sn有最大值169. 方法三 S9S17， a10a11a170. 由等差数列的性质得a13a140.,解析答案,反思与感悟,a10，d0，a1
5、40，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法： 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用,反思与感悟,运用二次函数求最值的方法.,解析答案,跟踪训练2 已知等差数列an中，a19，a4a70. (1)求数列an的通项公式；,解 由a19，a4a70， 得a13da16d0，解得d2， ana1(n1)d112n.,解析答案,(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？,解 方法一 a19，d2，,当n5时，Sn取得最大值. 方法二 由(1)知a19，d20，n6时，an0；当n35时，anS7S5，有下列四个命题：d0；S12S7，a7S
6、5，a6a70，a60，d0，正确. S12 12 2 (a1a12)6(a6a7)0，不正确. Sn中最大项为S6，不正确. 故正确的是.,解析答案,解析 由|a5|a9|且d0得a50，a90，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小.,1,2,3,4,5,3.已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是 .,6或7,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,4.数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n2)2t，则t的值为 .,解析 等差数列前n项和Sn的形式为Snan2bn， t4.,4,1,2,3,4,5,解
7、析答案,5.已知数列an的前n项和Sn32n，求an.,解 当n1时，a1S1325. 当n2时，Sn132n1， 又Sn32n，anSnSn12n2n12n1(n2). 又当n1时，a121115，,课堂小结,1.因为anSnSn1在n2时才有意义，所以由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列前n项和最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.,返回,3.求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点.,
